第23講 正（余）弦定理（解析版）

第23講正（余）弦定理1、正弦定理在三角形中，每一條邊與對(duì)角正弦的比值相等，相等的比值等于三角形外接圓直徑關(guān)系式：的內(nèi)角的對(duì)邊分別為。滿足：，其中為三角形外接圓直徑。2、余弦定理。內(nèi)容：在三角形中，一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和減去二倍兩邊乘積再乘以?shī)A角余弦。關(guān)系式：的內(nèi)角的對(duì)邊分別為。滿足：①；②；③。3、余弦定理推導(dǎo)式。關(guān)系式：的內(nèi)角的對(duì)邊分別為。滿足：①；②；③。4、三角形面積公式。內(nèi)容：三角形的面積等于兩條邊與夾角正弦的乘積的一半。關(guān)系式：的內(nèi)角的對(duì)邊分別為。滿足：。題型一：正弦定理1．（河南高二月考（文））在中，角的對(duì)邊分別為，已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在中，因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，即，解得?因?yàn)?，所以，所?故選：A2．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．若，，，則角（）A． B． C．或 D．或【答案】D【詳解】在中，由正弦定理可得，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋曰?，故選：D.3．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，則下列等式正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】bcosC+ccosB=b·+c·=a，所以A正確、B錯(cuò)誤；a=bsinC+csinB，顯然不恒成立，故C錯(cuò)誤；a=bsinC-csinB，故D錯(cuò)誤.故選：A4．（全國(guó)高一單元測(cè)試）已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別，若，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，由正弦定理得：.故選：B.5．（重慶墊江第五中學(xué)校）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在中，因，由正弦定理得：，所以的值是.故選：A6．（日照神州天立高級(jí)中學(xué)有限責(zé)任公司高一月考）在中，，邊的長(zhǎng)度為1，則該三角形外接圓的半徑為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【詳解】由正弦定理：，其中為三角形外接圓的半徑故：故選：A7．（江蘇沭陽(yáng)·高一期中）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．若，，則（）A． B．2 C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理可得，所以．故選：B．8．（河北邯鄲·高一期中）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且，的外接圓半徑為2.則（）A． B．2 C． D．4【答案】B【詳解】根據(jù)正弦定理知，又因?yàn)椋?，又，所以，所以，即，所以，由正弦定理可得，解得，故選：B.9．（南昌市豫章中學(xué)高二開學(xué)考試（理））在中，若，則三角形的最大角與最小角的和是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在中，若，由正弦定理化邊為角可得：，根據(jù)大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角可知：最大角為，最小角為，設(shè)，，，在中，由余弦定理可得：，因?yàn)?，所以，所以，所以三角形的最大角與最小角的和是，故選：B.10．（北京市延慶區(qū)教育科學(xué)研究中心高二期末）在中，角所對(duì)的邊分別為，，.若，，則（）A． B．或C． D．【答案】B【詳解】由正弦定理，可得，因?yàn)?，所以?故B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B11．（福建福州·）在中，，，，則此三角形（）A．有兩解 B．有一解 C．無解D．解的個(gè)數(shù)不確定【答案】A【詳解】解：因?yàn)?，，所以頂點(diǎn)到的距離，因?yàn)?，所以，所以以為圓心，為半徑畫弧與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以三角形有兩解，故選：A12．（江蘇鎮(zhèn)江·高一期中）在中，角所對(duì)的邊分別為，，，，則（）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】在中，由余弦定理得，即，解得.在中，由正弦定理得，為外接圓半徑.則.故選:C題型二：余弦定理1．（河南新鄭·高二月考（文））在中，，,，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在中，由余弦定理可得，所以所以，故選：.2．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在中，分別為角的對(duì)邊，若，，，則的周長(zhǎng)為（）A．20 B．30 C．40 D．25【答案】A【詳解】解：根據(jù)余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝52+82﹣5×8＝49，所以c＝7，則△ABC的周長(zhǎng)為20．故選：A．3．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由余弦定理，得cosC=.因?yàn)镃∈(0，π)，所以C=，sinC=.故選：C4．（江西九江一中高一月考）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，，由余弦定理，，∵，∴.故選：C.5．（河北高三月考）在中，，，的對(duì)邊分別為，，，，，，則（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【詳解】由余弦定理得，即，解得.故選：B.6．（梁河縣第一中學(xué)高二開學(xué)考試）△中，角所對(duì)的邊分別為，若，則=（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由余弦定理知：，又，∴.故選：C7．（肇州縣第二中學(xué)高二期末）已知的角，所對(duì)的邊分別為，，，，則（）A． B．2 C． D．3【答案】B【詳解】由余弦定理得，即，整理得，解得．故選：B.8．（徐聞縣第一中學(xué)高一期中）在中，已知，則角為（）A． B． C． D．或【答案】C【詳解】因?yàn)?，即，由余弦定理可得，又因?yàn)?，所?故選：C.9．（云南省南澗縣第一中學(xué)高一月考）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.若，，，則（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【詳解】由余弦定理得，，所以.故選：D10．（晉中市新一雙語(yǔ)學(xué)校（文））在三角形中，，則大小為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在三角形中，，由余弦定理得：.因?yàn)?，所?故選：C11．（河北邢臺(tái)·）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以．故選：B12．（江蘇通州·高一期中）在中，，，，則等于（）A． B．3 C． D．21【答案】A【詳解】在△ABC中，∠ACB＝，AC＝，BC＝3，由余弦定理得：.故選：A13．（河南高三月考（理））已知銳角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，5，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因2，5，是三角形的三邊，則且，解得，設(shè)這個(gè)三角形中長(zhǎng)為5，m的邊所對(duì)角分別為，顯然長(zhǎng)為2的邊所對(duì)角必為銳角，而這個(gè)三角形為銳角三角形，則由余弦定理得：，且，即且，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B14．（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知是三邊長(zhǎng)，若滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，即，，，所以.故選：A題型三：面積公式1．（四川新都·高三月考（文））在中，，，邊上的中線的長(zhǎng)度為，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵，，邊上的中線的長(zhǎng)度為∴根據(jù)余弦定理可得，即，解得∴∴的面積為故選：B2．（黑龍江哈爾濱·哈師大附中高三月考（理））已知，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，為銳角，則，，，角為直角，，，，．故選：B3．（安徽鏡湖·蕪湖一中高三月考（理））已知中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，，則的面積為（）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【詳解】解：已知，由余弦定理得：，解得：，故，.所以的面積為1.故選：B.4．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若的面積是，，，則＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【詳解】解：因?yàn)椤鰽BC的面積是，，a＝2c，所以，解得，可得，由余弦定理可得.故選：C.5．（云南玉溪·（文））在中，，是線段上的點(diǎn)，，若的面積為，則的最大值是（）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】依題意，所以，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：A6．（黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為??，若，，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在中，因?yàn)?，，，所以，解得，由余弦定理得：，解得，故選：A7．（全國(guó)高三專題練習(xí)）過x軸上一點(diǎn)P向圓作圓的切線，切點(diǎn)為，則面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解法一（極限法）：如圖所示，若點(diǎn)P離原點(diǎn)越遠(yuǎn)趨向無窮遠(yuǎn)處時(shí)，越來越長(zhǎng)，、也隨著越來越長(zhǎng)，顯然的面積趨向于無窮大；當(dāng)點(diǎn)P趨近于原點(diǎn)時(shí)，的面積逐漸變小，當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)重合時(shí)，，且此時(shí)的為正三角形，面積最小，其最小面積為，解法二（直接解法）：設(shè)，則，，設(shè)，則有，，于是，，顯然上式是的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：A.8．（廣東第二師范學(xué)院高二月考）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．已知，則的面積為（）A． B．3 C． D．6【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故的面積．故選：C9．（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在中，，且周長(zhǎng)為30，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，設(shè)，又因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，可得，解得，所以，由余弦定理，可得，所以，所以的面積為.故選：D.10．（浙江省蘭溪市第三中學(xué)）△的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，其面積為2，則△的外接圓的直徑為（）A． B． C．4 D．5【答案】B【詳解