第15講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值）（解析版）

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1．極值點與極值(1)極小值點與極小值若函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都小，，而且在點附近的左側(cè)，右側(cè)，就把叫做函數(shù)的極小值點，叫做函數(shù)的極小值．(2)極大值點與極大值若函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都大，，而且在點附近的左側(cè)，右側(cè)，就把叫做函數(shù)的極大值點，叫做函數(shù)的極大值．(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值．特別提醒：（1），不一定是極值點（2）只有且兩側(cè)單調(diào)性不同，才是極值點.(3)求極值點，可以先求的點，再列表判斷單調(diào)性.2.求函數(shù)極值（極大值，極小值）的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域（2）求方程的根（3）用方程的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格（4）由在方程的根左右的符號，來判斷在這個根處取極值的情況若左正右負，則為極大值；若左負右正，則為極小值；若左右同號，則無極值。3.最大值:一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有;（2）存在，使得那么，稱是函數(shù)的最大值4.最小值:一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足：（1）對于任意的，都有;（2）存在，使得那么，稱是函數(shù)的最小值題型一：求極值1．（全國高二課時練習）函數(shù)的極小值為（）A．1 B．C． D．【答案】B【詳解】f′(x)＝－1＋2x＝2，令f′(x)＝0，得x＝．當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：xf′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增當x＝時，f(x)有極小值．故選：B．2．（全國高二課時練習）函數(shù)在區(qū)間上的極大值為（）A． B．C．－1 D．0【答案】C【詳解】f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－1.令f′(x)＝0，得x＝1.當x∈(0，1)時，f′(x)>0，當x∈(1，e)時，f′(x)<0，故f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.故選：C3．（河南新鄉(xiāng)縣一中（文））已知函數(shù)，則的極大值為（）A．0 B． C． D．1【答案】D【詳解】因為，所以在，上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減，所以的極大值為.故選：D4．（江蘇沭陽·高二期中）函數(shù)的極大值為（）A．18 B．21 C．26 D．28【答案】D【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)，令，解得：，極大值極小值所以當時，函數(shù)有極大值故選：D.5．（福建南平·高二期末）已知是函數(shù)的極小值點，則函數(shù)的極小值為（）A． B． C． D．4【答案】B【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因為是函數(shù)的極小值點，則，即，解得，可得，當或時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以當是函數(shù)的極小值點，所以函數(shù)的極小值為.故選：B.6．（山西省古縣第一中學高二期中（理））已知函數(shù)的極大值和極小值分別為，，則（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【詳解】解：，當時，該方程兩個根為，或，，故在取到極大值、極小值，且，.故選：D.7．（全國高二課時練習）函數(shù)在上的極大值為（）A． B．0 C． D．【答案】A【詳解】由可得當時，單調(diào)遞增當時，單調(diào)遞減所以函數(shù)在上的極大值為故選：A8．（全國高二課時練習）已知函數(shù)極值點的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】解：由，可得，由，可得，令，可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；故可得函數(shù)存在一個極值點，故選：B.題型二：根據(jù)極值求參數(shù)1．（西藏日喀則區(qū)南木林高級中學高二期末（文））函數(shù)，已知在時取得極值，則等于（）A．2 B．5 C．4 D．3【答案】B【詳解】由題意，，且，∴，可得.∴，當，有或，則、上遞增；當，有，則上遞減；∴是的極值點.綜上，.故選：B2．（安徽師范大學附屬中學高二期中（文））函數(shù)在處有極值10，則的值為（）A．，，或， B．，，或，C．， D．，【答案】C【詳解】因為，所以，由題意可得：，解得：或.當時，，在x=1的左右兩側(cè)正負相反，所以在處有極值，符合題意；當時，恒成立，所以在處無極值，應(yīng)舍去；故選：C3．（陜西武功·高二期中（理））函數(shù)，已知在時取得極值，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，因為在時取得極值，所以，解得.故選：D.4．（寧夏吳忠中學（文））若函數(shù)既有極大值又有極小值，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：，因為函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x既有極大值又有極小值，所以函數(shù)有兩不同的零點，即，解得或，所以a的取值范圍是(－∞，－)∪(，＋∞).故選：B.5．（四川省蒲江縣蒲江中學高二月考（文））已知有極值，則的取值范圍為（）A．或 B． C．或 D．【答案】C【詳解】因為有極值，所以有兩個不相等的實根，只需，解得：或.故選：C6．（永壽縣中學高二月考（理））若函數(shù)既有極大值，也有極小值，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題設(shè)，，又既有極大值，也有極小值，∴有兩個不同的零點，∴，可得或.故選：A7．（南京市寧海中學高二期中）已知函數(shù)在處有極值0，則的值為（）A．4 B．7 C．11 D．4或11【答案】C【詳解】解：由，得，因為在處有極值0，所以，即，解得或，當時，，則在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無極值，所以舍去，當時，，令，得或，經(jīng)檢驗和都為函數(shù)的極值點，綜上，所以，故選：C8．（甘肅蘭州一中高二月考（文））已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且在處取得極大值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】（1）當時，當時，，當時，，則在處取到極小值，不符合題意；（2）當時，函數(shù)無極值，不符合題意；（3）當時，當時，，當時，，則在處取到極大值，符合題意；（4）當時，，函數(shù)無極值，不符合題意；（5）當時，當時，，當時，，則在處取到極小值，不符合題意；綜上所述，故選：．9．（滑縣實驗學校）已知函數(shù)在處取得極值0，則（）A．4 B．11 C．4或11 D．3或9【答案】B【詳解】因為，由題有，即，解得或，檢驗：當時，不合題意，舍掉；當'時，，令，得或；令得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意，則.故選：B.10．（元氏縣第四中學高二期中）若函數(shù)在處取極值0，則（）A．0 B．2 C．-2 D．1【答案】A【詳解】解：,則,若在處取極值0，則,解得：,故,故選：．題型三：求最大（?。┲?．（廣東高三月考）函數(shù)在上的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以當時，，此時函數(shù)是增函數(shù)，所以，即.故選：A.2．（全國）函數(shù)在上的最小值為（）A． B． C．0 D．【答案】B【詳解】由，得．，得或．所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，所以在上的最小值為．故選：B．3．（全國高二專題練習）函數(shù)在上的最大值是（）A．當時， B．當時，C．當時， D．當時，【答案】A【詳解】因為，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.所以，當時，函數(shù)取得最大值，即.故選：A.4．（安徽金安·毛坦廠中學（理））已知函數(shù)，則在上的最大值與最小值的差為（）A．12 B．2 C．6 D．4【答案】A【詳解】由，令導(dǎo)數(shù)為0得，則，，單減；時，，單增，則，，故，故選：A5．（合肥市第十一中學（理））在區(qū)間上的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，令，解得.所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，又因為，，所以函數(shù)在的最大值為.故選：D6．（山西運城·（理））函數(shù)在上的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】因，當時，，由，得，當時，，當時，，于是得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值.故選：B7．（山西運城·（文））函數(shù)在上的最小值為（）A． B．4 C． D．【答案】D【詳解】，所以時，，遞減，時，，遞增，所以是在上的唯一極值點，極小值也是最小值．．故選：D．8．（四川省資中縣第二中學高二月考（理））函數(shù)在上的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為函數(shù)，所以，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；又，，所以函數(shù)在上的最大值是.故選：C.9．（重慶市清華中學校）函數(shù)在上的最小值是（）A． B． C． D．0【答案】B【詳解】由