新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第19講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（講）（原卷版）

第02講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系本講為高考命題熱點(diǎn)，通常以選擇題出現(xiàn)，但出現(xiàn)頻次較少，往往與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合，考察空間想象能力與邏輯推理能力.考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).(2)公理2：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.考點(diǎn)二空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，b是異面直線a?α考點(diǎn)三平行公理與等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).考點(diǎn)四異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).考點(diǎn)五常用結(jié)論1.公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面.2.異面直線的判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線.3.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.高頻考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用【例1】（1）如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()（2）如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A.直線AC B.直線ABC.直線CD D.直線BC（3）在三棱錐A－BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF∩HG＝P，則點(diǎn)P()A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上，也不在直線BD上【方法技巧】1.證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法：(1)首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.2.證明點(diǎn)共線問題的兩種方法：(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線(如某兩個(gè)平面的交線)上.3.證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).高頻考點(diǎn)二空間兩直線的位置關(guān)系【例1】(1)(2022·廣州六校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論：①AP與CM是異面直線；②AP，CM，DD1相交于一點(diǎn)；③MN∥BD1；④MN∥平面BB1D1D.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①④ B.②④C.①③④ D.②③④(2)(2019·全國(guó)Ⅲ卷)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A.BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C.BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線【方法技巧】空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面，平行和垂直的判定.異面直線的判定可采用直接法或反證法；平行直線的判定可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關(guān)系的判定往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2021·河南名校聯(lián)考)已知空間三條直線l，m，n，若l與m垂直，l與n垂直，則()A.m與n異面B.m與n相交C.m與n平行D.m與n平行、相交、異面均有可能2.(2021·宜賓質(zhì)檢)四棱錐P－ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，M，N分別為PA，CD的中點(diǎn)，下列說法錯(cuò)誤的是()A.MN與PD是異面直線 B.MN∥平面PBCC.MN∥AC D.MN⊥PB高頻考點(diǎn)三異面直線所成的角【例3】(1)(經(jīng)典母題)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)(2)(2022·衡水檢測(cè))如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝eq\f(1,4)SB，則異面直線SC與OE所成角的正切值為()A.eq\f(\r(22),2) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(13,16) D.eq\f(\r(11),3)【方法技巧】1.綜合法求異面直線所成角的步驟：(1)作：通過作平行線得