2021-2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)和平街一中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2021-2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)和平街一中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共16分，每題2分）第1一8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）2．（2分）下列四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．3．（2分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x2﹣3x+2＝0 B．x2﹣xy＝2 C．x2+＝2 D．2（x﹣1）＝x4．（2分）拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對(duì)稱(chēng)軸是（）A．直線x＝a B．直線x＝2a C．直線x＝1 D．直線x＝﹣15．（2分）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．27．（2分）跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目之一，運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．（2分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx交于M，N兩點(diǎn)，則二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x+c的圖象可能是（）A． B． C． D．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向下，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式．10．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，﹣2）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后所得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為．11．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)x≥1時(shí)，y的取值范圍是．當(dāng)y≥0時(shí)，x的取值范圍是．12．（2分）若關(guān)于x的方程x2﹣mx+m＝0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式2m2﹣8m+1的值為．13．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB可以看作是△OCD經(jīng)過(guò)若干次圖形的變化（平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫(xiě)出一種由△OCD得到△AOB的過(guò)程：．14．（2分）在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的圖象如圖所示，則a1，a2，a3的大小關(guān)系為（用“＞”連接）．15．（2分）近年來(lái)我國(guó)無(wú)人機(jī)產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展，無(wú)人機(jī)駕駛員已正式成為國(guó)家認(rèn)可的新職業(yè)．中國(guó)民用航空局的現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從2019年底至2021年底，全國(guó)擁有民航局頒發(fā)的民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約2.44萬(wàn)人增加到約6.72萬(wàn)人．若設(shè)2019年底至2021年底，全國(guó)擁有民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列出關(guān)于x的方程為．16．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸直線x＝﹣2．拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（﹣4，0）和點(diǎn)（﹣3，0）之間，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①4a﹣b＝0；②c≤3a；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝2有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；④b2+2b＞4ac，正確的有．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．18．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．（1）將y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是；（3）在坐標(biāo)系中畫(huà)出此拋物線．19．（5分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△DBE，且A，D，C三點(diǎn)在同一條直線上．求證：DB平分∠ADE．20．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，如果m為非負(fù)整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值及此時(shí)方程的根．21．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與直線y＝﹣x﹣1交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（m，﹣3）．（1）求m的值；（2）求拋物線的解析式．22．（6分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個(gè)根小于1，求k的取值范圍．23．（5分）如圖，利用一面墻（墻的長(zhǎng)度18m），另三邊用30m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，求矩形場(chǎng)地的兩條邊各為多少時(shí)，面積最大？最大面積是多少？24．（6分）四邊形ABCD是正方形，△ADF旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ABE，如圖所示，如果AF＝3，AB＝7，求（1）指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度；（2）求DE的長(zhǎng)度；（3）BE與DF的位置關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸；（2）求點(diǎn)C縱坐標(biāo)（用含有a的代數(shù)式表示）；（3）已知點(diǎn)P（5，﹣4）．將點(diǎn)C向下移動(dòng)一個(gè)單位，得到點(diǎn)D．若二次函數(shù)圖象與線段PD只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．26．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0）、O（0，0）、B（2，2）．以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1OB1．（1）畫(huà)出△A1OB1；（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)A1和點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（3）求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，點(diǎn)A，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'，點(diǎn)C'．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C'恰好為線段AA'的中點(diǎn)時(shí)，α＝°，AA'＝；（2）當(dāng)線段AA'與線段CC'有交點(diǎn)時(shí)，記交點(diǎn)為點(diǎn)D．①在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想線段AD與A'D的數(shù)量關(guān)系并加以證明；②連接BD，請(qǐng)直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)的取值范圍．28．（7分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)A和點(diǎn)P，若將點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)Q，則稱(chēng)點(diǎn)Q為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”，圖1為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”Q的示意圖．（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的“垂鏈點(diǎn)”為點(diǎn)Q；①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，1），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）如圖2，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D在直線y＝x+1上，若點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的“垂鏈點(diǎn)”在坐標(biāo)軸上，試求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖3，已知圖形G是端點(diǎn)為（1，0）和（0，﹣2）的線段，圖形H是以點(diǎn)O為中心，各邊分別與坐標(biāo)軸平行的邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)M為圖形G上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為圖形H上的動(dòng)點(diǎn)，若存在點(diǎn)T（0，t），使得點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)T的“垂鏈點(diǎn)”恰為點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍．

2021-2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)和平街一中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共16分，每題2分）第1一8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，﹣1）【分析】直接根據(jù)頂點(diǎn)式的特點(diǎn)求頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：因?yàn)閥＝（x﹣1）2﹣1是拋物線的頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式的坐標(biāo)特點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法．2．（2分）下列四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形與中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念．軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．3．（2分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x2﹣3x+2＝0 B．x2﹣xy＝2 C．x2+＝2 D．2（x﹣1）＝x【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【解答】解：A、它是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意；B、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不合題意；C、它是分式方程，不是整式方程，故此選項(xiàng)不合題意；D、未知數(shù)次數(shù)為1，不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程定義，關(guān)鍵是掌握判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．4．（2分）拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對(duì)稱(chēng)軸是（）A．直線x＝a B．直線x＝2a C．直線x＝1 D．直線x＝﹣1【分析】先把函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，即可得出答案．【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，所以拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．5．（2分）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】所給形式是二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，易知其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣2），也就是當(dāng)x＝﹣1，函數(shù)有最大值﹣2．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2﹣2，∴此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣2），即當(dāng)x＝﹣1函數(shù)有最大值﹣2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式，并會(huì)根據(jù)頂點(diǎn)式求最值．6．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2【分析】利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性確定（0，2）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出拋物線在直線y＝2上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝﹣1.5，∴點(diǎn)（0，2）關(guān)于直線x＝﹣1.5的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（﹣3，2），當(dāng)﹣3＜x＜0時(shí)，y＞2，即當(dāng)函數(shù)值y＞2時(shí)，自變量x的取值范圍是﹣3＜x＜0．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．7．（2分）跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目之一，運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如圖記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【分析】將點(diǎn)（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分別代入函數(shù)解析式，求得系數(shù)的值；然后由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸公式可以得到答案．【解答】解：法一：根據(jù)題意知，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），則解得，所以x＝﹣＝﹣＝15（m）．法二：∵拋物線開(kāi)口向下，∴離對(duì)稱(chēng)軸越近，位置越高，從A、C兩點(diǎn)來(lái)看，對(duì)稱(chēng)軸更靠近A，即在20左邊，從A、B兩點(diǎn)來(lái)看，對(duì)稱(chēng)軸更靠近B，即在10右邊，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，此題也可以將所求得的拋物線解析式利用配方法求得頂點(diǎn)式方程，然后直接得到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，由頂點(diǎn)坐標(biāo)推知該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離．8．（2分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx交于M，N兩點(diǎn)，則二次函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x+c的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)直線y＝kx與拋物線y2＝ax2+bx+c相交于M、N兩點(diǎn)，可以得到方程kx＝ax2+bx+c有兩個(gè)不同的根，從而可以得到函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x+c與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和交點(diǎn)的正負(fù)情況，本題得以解決．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx交于M，N兩點(diǎn)，∴kx＝ax2+bx+c有兩個(gè)不同的根，即ax2+（b﹣k）x+c＝0有兩個(gè)不同的根且都小于0，∴函數(shù)y＝ax2+（b﹣k）x+c與x軸兩個(gè)交點(diǎn)且都在x軸的負(fù)半軸，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．二、填空題（共16分，每題2分）9．（2分）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向下，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝﹣x2．【分析】根據(jù)開(kāi)口向下，可知a＜0，再根據(jù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，可知c＝0，從而可以寫(xiě)出一個(gè)符合要求的二次函數(shù)解析式，本題得以解決，注意本題答案不唯一．【解答】解：開(kāi)口向下，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝﹣x2，故答案為：y＝﹣x2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．10．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，﹣2）繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后所得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，2）．【分析】將點(diǎn)P繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，實(shí)際上是求點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：根據(jù)題意得，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)P′，∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣2），∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)（﹣3，2）．故答案為：（﹣3，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變換﹣旋轉(zhuǎn)，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11．（2分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，由圖可知，當(dāng)x≥1時(shí)，y的取值范圍是y≥0．當(dāng)y≥0時(shí)，x的取值范圍是x≥1或x≤﹣2.5．【分析】利用函數(shù)圖象得出y、x的取值范圍．【解答】解：由圖象可得：當(dāng)x≥1時(shí)，y的取值范圍是y≥0．當(dāng)y≥0時(shí)，x的取值范圍是x≥1或x≤﹣2.5．故答案為：y≥0；x≥1或x≤﹣2.5．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．12．（2分）若關(guān)于x的方程x2﹣mx+m＝0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式2m2﹣8m+1的值為1．【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出Δ＝m2﹣4m＝0，將其代入2m2﹣8m+1中即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣mx+m＝0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝m2﹣4m＝0，∴2m2﹣8m+1＝2（m2﹣4m）+1＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式，熟練掌握“當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．13．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB可以看作是△OCD經(jīng)過(guò)若干次圖形的變化（平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫(xiě)出一種由△OCD得到△AOB的過(guò)程：以點(diǎn)C為中心，將△OCD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將得到的三角形向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)即可得到由△OCD得到△AOB的過(guò)程．【解答】解：以點(diǎn)C為中心，將△OCD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將得到的三角形向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度（答案不唯一）．故答案為：以點(diǎn)C為中心，將△OCD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將得到的三角形向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度．【點(diǎn)評(píng)】考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，平移，對(duì)稱(chēng)，解題時(shí)需要注意：平移的距離等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的長(zhǎng)度，對(duì)稱(chēng)軸為對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線，旋轉(zhuǎn)角為對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角的大小．14．（2分）在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的圖象如圖所示，則a1，a2，a3的大小關(guān)系為a3＞a2＞a1（用“＞”連接）．【分析】拋物線的開(kāi)口方向和開(kāi)口大小由a的值決定的，系數(shù)越大，開(kāi)口越?。窘獯稹拷猓骸叨魏瘮?shù)y1＝a1x2的開(kāi)口最大，二次函數(shù)y3＝a3x2的開(kāi)口最小，∴a3＞a2＞a1，故答案為：a3＞a2＞a1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握拋物線的開(kāi)口方向和開(kāi)口大小由a的值決定是解題的關(guān)鍵．15．（2分）近年來(lái)我國(guó)無(wú)人機(jī)產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展，無(wú)人機(jī)駕駛員已正式成為國(guó)家認(rèn)可的新職業(yè)．中國(guó)民用航空局的現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，從2019年底至2021年底，全國(guó)擁有民航局頒發(fā)的民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約2.44萬(wàn)人增加到約6.72萬(wàn)人．若設(shè)2019年底至2021年底，全國(guó)擁有民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x，則可列出關(guān)于x的方程為2.44（1+x）2＝6.72．【分析】利用2021年底全國(guó)擁有民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)＝2019年底全國(guó)擁有民用無(wú)人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)×（1+年平均增長(zhǎng)率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：2.44（1+x）2＝6.72．故答案為：2.44（1+x）2＝6.72．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．16．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸直線x＝﹣2．拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（﹣4，0）和點(diǎn)（﹣3，0）之間，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①4a﹣b＝0；②c≤3a；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝2有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；④b2+2b＞4ac，正確的有①③④．【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸可判斷①；由拋物線與x軸的交點(diǎn)及拋物線的對(duì)稱(chēng)性以及由x＝﹣1時(shí)y＞0可判斷②，由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且頂點(diǎn)為（﹣2，3），即可判斷③；利用拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3得到＝3，即可判斷④．【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣＝﹣2，∴4a﹣b＝0，所以①正確；∵與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（﹣3，0）和（﹣4，0）之間，∴由拋物線的對(duì)稱(chēng)性知，另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）和（0，0）之間，∴x＝﹣1時(shí)，y＞0，且b＝4a，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，∴c＞3a，所以②錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且頂點(diǎn)為（﹣2，3），∴拋物線與直線y＝2有兩個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝2有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，所以③正確；∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3），∴＝3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，∵a＜0，∴b＝4a＜0，∴b2+2b＞4ac，所以④正確；故答案為①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大?。寒?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0，c）：拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：Δ＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；Δ＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；Δ＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．三、解答題（共68分，第17-20題，每題5分，第21-22題，每題6分，第23題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：（x+1）（x﹣5）＝0，則x+1＝0或x﹣5＝0，∴x＝﹣1或x＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵18．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．（1）將y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，0），（3，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣3）；（3）在坐標(biāo)系中畫(huà)出此拋物線．【分析】（1）將函數(shù)解析化為頂點(diǎn)式求解；（2）把y＝0，x＝0代入函數(shù)解析式求解；（3）根據(jù)拋物線與x軸及y軸交點(diǎn)作圖．【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，故答案為：y＝（x﹣1）2﹣4．（2）把y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得0＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣1或x＝3，∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0），令x＝0，得y＝﹣3，∴拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），故答案為：（﹣1，0），（3，0），（0，﹣3）；（3）如圖，【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征．19．（5分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△DBE，且A，D，C三點(diǎn)在同一條直線上．求證：DB平分∠ADE．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△DBE，進(jìn)一步得到BA＝BD，從而得到∠A＝∠ADB，根據(jù)∠A＝∠BDE得到∠ADB＝∠BDE，從而證得結(jié)論．【解答】證明：∵將△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA＝BD．∴∠A＝∠ADB．∵∠A＝∠BDE，∴∠ADB＝∠BDE．∴DB平分∠ADE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了鄰補(bǔ)角定義．20．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，如果m為非負(fù)整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值及此時(shí)方程的根．【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣4）2﹣4×2＞0，然后解不等式即可得到m的范圍，由m為非負(fù)整數(shù)確定m的值為0或1，然后把m＝0或m＝1代入方程得到兩個(gè)一元二次方程，然后解方程確定方程有整數(shù)解的方程即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＞0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2m＞0，解得m＜2，∵m為非負(fù)整數(shù)，∴m＝0或m＝1．當(dāng)m＝0時(shí)，方程為x2﹣4x＝0，解得方程的根為x1＝0，x2＝4，符合題意；當(dāng)m＝1時(shí)，方程為x2﹣4x+2＝0，∵Δ＝16﹣8＝8，∴它的根不是整數(shù)，不合題意，舍去；綜上所述，m＝0，方程的根為x1＝0，x2＝4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟記一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．21．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與直線y＝﹣x﹣1交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（m，﹣3）．（1）求m的值；（2）求拋物線的解析式．【分析】（1）將點(diǎn)B（m，﹣3）代入直線y＝﹣x﹣1，即可得m的值；（2）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3與直線y＝﹣x﹣1交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（m，﹣3），∴將點(diǎn)B（m，﹣3）代入直線y＝﹣x﹣1，得﹣m﹣1＝﹣3，解得m＝2；（2）∵點(diǎn)A（﹣1，0），B（2，﹣3）在拋物線y＝ax2+bx﹣3上，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．22．（6分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個(gè)根小于1，求k的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得Δ＝（k﹣1）2≥0，由此可證出方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝2、x2＝k+1，根據(jù)方程有一根小于1，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．【解答】（1）證明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．∵方程有一根小于1，∴k+1＜1，解得：k＜0，∴k的取值范圍為k＜0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程結(jié)合方程一根小于1，找出關(guān)于k的一元一次不等式．23．（5分）如圖，利用一面墻（墻的長(zhǎng)度18m），另三邊用30m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，求矩形場(chǎng)地的兩條邊各為多少時(shí)，面積最大？最大面積是多少？【分析】設(shè)菜園寬為xm，則長(zhǎng)為（30﹣2x）m，由面積公式寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的最值的知識(shí)可得出菜園的最大面積，及取得最大面積時(shí)矩形的長(zhǎng)和寬．【解答】解：設(shè)矩形的寬為xm，面積為Sm2，根據(jù)題意得：S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5，所以當(dāng)x＝7.5時(shí)，S最大，最大值為112.5．30﹣2x＝30﹣15＝15．故當(dāng)矩形的長(zhǎng)為15m，寬為7.5m時(shí)，矩形場(chǎng)地的面積最大，最大面積為112.5m2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，難度一般，關(guān)鍵在于找出等量關(guān)系列出方程求解，另外應(yīng)注意配方法求最大值在實(shí)際中的應(yīng)用．24．（6分）四邊形ABCD是正方形，△ADF旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ABE，如圖所示，如果AF＝3，AB＝7，求（1）指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度；（2）求DE的長(zhǎng)度；（3）BE與DF的位置關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，對(duì)應(yīng)邊AB、AD的夾角為旋轉(zhuǎn)角；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AF，AD＝AB，然后根據(jù)DE＝AD﹣AE計(jì)算即可得解；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE＝DF，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知：△AFD≌△AEB，即AE＝AF＝3，∠EAF＝90°，∠EBA＝∠FDA；可得旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A；旋轉(zhuǎn)角度為90°或270°；（2）DE＝AD﹣AE＝7﹣3＝4；（3）∵∠EAF＝90°，∠EBA＝∠FDA，∴延長(zhǎng)BE與DF相交于點(diǎn)G，則∠GDE+∠DEG＝90°，∴BE⊥DF，即BE與DF是垂直關(guān)系．【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點(diǎn)﹣旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．25．（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸；（2）求點(diǎn)C縱坐標(biāo)（用含有a的代數(shù)式表示）；（3）已知點(diǎn)P（5，﹣4）．將點(diǎn)C向下移動(dòng)一個(gè)單位，得到點(diǎn)D．若二次函數(shù)圖象與線段PD只有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性求得即可；（2）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（3）分四種情況：當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，分別畫(huà)圖結(jié)合相關(guān)計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線；（2）∵拋物線與x軸交于（﹣1，0），（3，0），∴設(shè)y＝a（x+1）（x﹣3），∴c＝﹣3a，∴yc＝﹣3a；（3）當(dāng)a＞0時(shí)，∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，∴拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4a），當(dāng)﹣4a＝﹣4時(shí)，a＝1，①當(dāng)a＝1時(shí)，拋物線與線段PD有一個(gè)交點(diǎn)，即拋物線的頂點(diǎn)，如圖1所示；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，拋物線與線段PD沒(méi)有交點(diǎn)，如圖2，；③當(dāng)a＞1時(shí)，拋物線與線段PD有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖3，；當(dāng)a＜0時(shí)，將點(diǎn)P（5，﹣4）代入拋物線y＝a（x+1）（x﹣3）得：﹣4＝a（5+1）（5﹣3）解得，，①當(dāng)時(shí)，拋物線與線段PD只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖4，②當(dāng)﹣＜a＜0時(shí)，拋物線與線段PD沒(méi)有交點(diǎn)，如圖5，；綜上所述，當(dāng)或a＝1時(shí)，拋物線與線段PD只有一個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．26．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，0）、O（0，0）、B（2，2）．以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1OB1．（1）畫(huà)出△A1OB1；（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)A1和點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（3）求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1即可；（2）利用（1）所畫(huà)圖形確定點(diǎn)A1和點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（3）先計(jì)算出OB的長(zhǎng)，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算．【解答】解：（1）如圖，△A1OB1為所作；（2）A1（0，1），B1（﹣2，2）；（3）OB＝＝2，所以點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B1所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)＝＝π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，點(diǎn)A，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'，點(diǎn)C'．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C'恰好為線段AA'的中點(diǎn)時(shí)，α＝60°，AA'＝2；（2）當(dāng)線段AA'與線段CC'有交點(diǎn)時(shí)，記交點(diǎn)為點(diǎn)D．①在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想線段AD與A'D的數(shù)量關(guān)系并加以證明；②連接BD，請(qǐng)直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)的取值范圍．【分析】（1）證明△ABA′是等邊三角形即可解決問(wèn)題．（2）①根據(jù)要求畫(huà)出圖形．結(jié)論：AD＝A'D．如圖2，過(guò)點(diǎn)A作A'C'的平行線，交CC'于點(diǎn)E，記∠1＝β．證明△ADE≌△A'DC'（AAS），可得結(jié)論．②如圖1中，當(dāng)α＝60°時(shí)，BD的值最大，當(dāng)α＝120°時(shí)，BD的值最小，分別求出最大值，最小值即可．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝，∠ABC＝30°，∴AC＝BC?tan30°＝1，∴AB＝2AC＝2，∵BA＝BA′，AC′＝A′C′，∴∠ABC′＝∠A′BC′＝30°，∴△ABA′是等邊三角形，∴α＝60°，AA′＝AB＝2．故答案為：60，2．（2）①補(bǔ)全圖形如圖所示：結(jié)論：AD＝A'D．理由：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作A'C'的平行線，交CC'于點(diǎn)E，記∠1＝β．∵將Rt△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到Rt△A'BC'，∴∠A'C'B＝∠ACB＝90°，A'C'＝AC，BC'＝BC．∴∠2＝∠1＝β．∴∠3＝∠ACB﹣∠1＝90°﹣β，∠A'C'D＝∠A'C'B+∠2＝90°+β．∵AE∥A'C'∴∠AED＝∠A'C'D＝90°+β．∴∠4＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+β）＝90°﹣β．∴∠3＝∠4．∴AE＝AC．∴AE＝A'C'．在△ADE和△A'DC'中，，∴△A