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第1頁(共1頁)2021-2022學(xué)年北京市朝陽區(qū)和平街一中九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(共16分,每題2分)第1一8題均有四個選項,符合題意的選項只有一個。1.(2分)拋物線y=(x﹣1)2﹣1的頂點坐標(biāo)是()A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(1,﹣1) D.(﹣1,﹣1)2.(2分)下列四個圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A. B. C. D.3.(2分)下列方程中,屬于一元二次方程的是()A.x2﹣3x+2=0 B.x2﹣xy=2 C.x2+=2 D.2(x﹣1)=x4.(2分)拋物線y=x2﹣2x﹣3的對稱軸是()A.直線x=a B.直線x=2a C.直線x=1 D.直線x=﹣15.(2分)二次函數(shù)y=﹣(x+1)2﹣2的最大值是()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.26.(2分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示,則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值可以是()A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.27.(2分)跳臺滑雪是冬季奧運(yùn)會比賽項目之一,運(yùn)動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分,運(yùn)動員起跳后的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c(a≠0).如圖記錄了某運(yùn)動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù),可推斷出該運(yùn)動員起跳后飛行到最高點時,水平距離為()A.10m B.15m C.20m D.22.5m8.(2分)如圖,平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx交于M,N兩點,則二次函數(shù)y=ax2+(b﹣k)x+c的圖象可能是()A. B. C. D.二、填空題(共16分,每題2分)9.(2分)請寫出一個開口向下,經(jīng)過原點的二次函數(shù)的表達(dá)式.10.(2分)在平面直角坐標(biāo)系中,點P(3,﹣2)繞原點旋轉(zhuǎn)180°后所得到的點的坐標(biāo)為.11.(2分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,由圖可知,當(dāng)x≥1時,y的取值范圍是.當(dāng)y≥0時,x的取值范圍是.12.(2分)若關(guān)于x的方程x2﹣mx+m=0有兩個相等實數(shù)根,則代數(shù)式2m2﹣8m+1的值為.13.(2分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△AOB可以看作是△OCD經(jīng)過若干次圖形的變化(平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn))得到的,寫出一種由△OCD得到△AOB的過程:.14.(2分)在同一個平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y1=a1x2,y2=a2x2,y3=a3x2的圖象如圖所示,則a1,a2,a3的大小關(guān)系為(用“>”連接).15.(2分)近年來我國無人機(jī)產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展,無人機(jī)駕駛員已正式成為國家認(rèn)可的新職業(yè).中國民用航空局的現(xiàn)有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,從2019年底至2021年底,全國擁有民航局頒發(fā)的民用無人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約2.44萬人增加到約6.72萬人.若設(shè)2019年底至2021年底,全國擁有民用無人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長率為x,則可列出關(guān)于x的方程為.16.(2分)拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸直線x=﹣2.拋物線與x軸的一個交點在點(﹣4,0)和點(﹣3,0)之間,其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論中:①4a﹣b=0;②c≤3a;③關(guān)于x的方程ax2+bx+c=2有兩個不相等實數(shù)根;④b2+2b>4ac,正確的有.三、解答題(共68分,第17-20題,每題5分,第21-22題,每題6分,第23題5分,第24題6分,第25題5分,第26題6分,第27-28題,每題7分)解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。17.(5分)解方程:x2﹣4x﹣5=0.18.(5分)已知二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3.(1)將y=x2﹣2x﹣3化成y=a(x﹣h)2+k的形式;(2)與x軸的交點坐標(biāo)是,與y軸的交點坐標(biāo)是;(3)在坐標(biāo)系中畫出此拋物線.19.(5分)如圖,將△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)得到△DBE,且A,D,C三點在同一條直線上.求證:DB平分∠ADE.20.(5分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根,如果m為非負(fù)整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),求m的值及此時方程的根.21.(6分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx﹣3與直線y=﹣x﹣1交于點A(﹣1,0),B(m,﹣3).(1)求m的值;(2)求拋物線的解析式.22.(6分)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0.(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;(2)若方程有一個根小于1,求k的取值范圍.23.(5分)如圖,利用一面墻(墻的長度18m),另三邊用30m長的籬笆圍成一個矩形場地,求矩形場地的兩條邊各為多少時,面積最大?最大面積是多少?24.(6分)四邊形ABCD是正方形,△ADF旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ABE,如圖所示,如果AF=3,AB=7,求(1)指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度;(2)求DE的長度;(3)BE與DF的位置關(guān)系如何?請說明理由.25.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于點C.(1)求此二次函數(shù)圖象的對稱軸;(2)求點C縱坐標(biāo)(用含有a的代數(shù)式表示);(3)已知點P(5,﹣4).將點C向下移動一個單位,得到點D.若二次函數(shù)圖象與線段PD只有一個交點,求a的取值范圍.26.(6分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△AOB的三個頂點坐標(biāo)分別為A(1,0)、O(0,0)、B(2,2).以點O為旋轉(zhuǎn)中心,將△AOB逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A1OB1.(1)畫出△A1OB1;(2)直接寫出點A1和點B1的坐標(biāo);(3)求點B旋轉(zhuǎn)到點B1所經(jīng)過的路徑長.27.(7分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=.將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤120°)得到△A'BC',點A,點C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別為點A',點C'.(1)如圖1,當(dāng)點C'恰好為線段AA'的中點時,α=°,AA'=;(2)當(dāng)線段AA'與線段CC'有交點時,記交點為點D.①在圖2中補(bǔ)全圖形,猜想線段AD與A'D的數(shù)量關(guān)系并加以證明;②連接BD,請直接寫出BD的長的取值范圍.28.(7分)對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點A和點P,若將點P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到點Q,則稱點Q為點P關(guān)于點A的“垂鏈點”,圖1為點P關(guān)于點A的“垂鏈點”Q的示意圖.(1)已知點A的坐標(biāo)為(0,0),點P關(guān)于點A的“垂鏈點”為點Q;①若點P的坐標(biāo)為(2,0),則點Q的坐標(biāo)為;②若點Q的坐標(biāo)為(﹣2,1),則點P的坐標(biāo)為;(2)如圖2,已知點C的坐標(biāo)為(1,0),點D在直線y=x+1上,若點D關(guān)于點C的“垂鏈點”在坐標(biāo)軸上,試求出點D的坐標(biāo);(3)如圖3,已知圖形G是端點為(1,0)和(0,﹣2)的線段,圖形H是以點O為中心,各邊分別與坐標(biāo)軸平行的邊長為6的正方形,點M為圖形G上的動點,點N為圖形H上的動點,若存在點T(0,t),使得點M關(guān)于點T的“垂鏈點”恰為點N,請直接寫出t的取值范圍.
2021-2022學(xué)年北京市朝陽區(qū)和平街一中九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題(共16分,每題2分)第1一8題均有四個選項,符合題意的選項只有一個。1.(2分)拋物線y=(x﹣1)2﹣1的頂點坐標(biāo)是()A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(1,﹣1) D.(﹣1,﹣1)【分析】直接根據(jù)頂點式的特點求頂點坐標(biāo).【解答】解:因為y=(x﹣1)2﹣1是拋物線的頂點式,根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點,頂點坐標(biāo)為(1,﹣1).故選:C.【點評】主要考查了求拋物線的頂點坐標(biāo)的方法.2.(2分)下列四個圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A. B. C. D.【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.【解答】解:A、不是軸對稱圖形,是中心對稱圖形,故此選項錯誤;B、不是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項錯誤;C、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項錯誤;D、是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形,故此選項正確.故選:D.【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸,圖形兩部分折疊后可重合,中心對稱圖形是要尋找對稱中心,旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.3.(2分)下列方程中,屬于一元二次方程的是()A.x2﹣3x+2=0 B.x2﹣xy=2 C.x2+=2 D.2(x﹣1)=x【分析】只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.【解答】解:A、它是一元二次方程,故此選項符合題意;B、含有兩個未知數(shù),不是一元二次方程,故此選項不合題意;C、它是分式方程,不是整式方程,故此選項不合題意;D、未知數(shù)次數(shù)為1,不是一元二次方程,故此選項不合題意;故選:A.【點評】此題主要考查了一元二次方程定義,關(guān)鍵是掌握判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面:“化簡后”;“一個未知數(shù)”;“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”;“二次項的系數(shù)不等于0”;“整式方程”.4.(2分)拋物線y=x2﹣2x﹣3的對稱軸是()A.直線x=a B.直線x=2a C.直線x=1 D.直線x=﹣1【分析】先把函數(shù)解析式化成頂點式,即可得出答案.【解答】解:y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,所以拋物線y=x2﹣2x﹣3的對稱軸是直線x=1,故選:C.【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.5.(2分)二次函數(shù)y=﹣(x+1)2﹣2的最大值是()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2【分析】所給形式是二次函數(shù)的頂點式,易知其頂點坐標(biāo)是(﹣1,﹣2),也就是當(dāng)x=﹣1,函數(shù)有最大值﹣2.【解答】解:∵y=﹣(x+1)2﹣2,∴此函數(shù)的頂點坐標(biāo)是(﹣1,﹣2),即當(dāng)x=﹣1函數(shù)有最大值﹣2故選:A.【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值,解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)頂點式,并會根據(jù)頂點式求最值.6.(2分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示,則使得函數(shù)值y大于2的自變量x的取值可以是()A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.2【分析】利用拋物線的對稱性確定(0,2)的對稱點,然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出拋物線在直線y=2上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.【解答】解:∵拋物線的對稱軸為x=﹣1.5,∴點(0,2)關(guān)于直線x=﹣1.5的對稱點為(﹣3,2),當(dāng)﹣3<x<0時,y>2,即當(dāng)函數(shù)值y>2時,自變量x的取值范圍是﹣3<x<0.故選:B.【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.7.(2分)跳臺滑雪是冬季奧運(yùn)會比賽項目之一,運(yùn)動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分,運(yùn)動員起跳后的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c(a≠0).如圖記錄了某運(yùn)動員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù),可推斷出該運(yùn)動員起跳后飛行到最高點時,水平距離為()A.10m B.15m C.20m D.22.5m【分析】將點(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9)分別代入函數(shù)解析式,求得系數(shù)的值;然后由拋物線的對稱軸公式可以得到答案.【解答】解:法一:根據(jù)題意知,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9),則解得,所以x=﹣=﹣=15(m).法二:∵拋物線開口向下,∴離對稱軸越近,位置越高,從A、C兩點來看,對稱軸更靠近A,即在20左邊,從A、B兩點來看,對稱軸更靠近B,即在10右邊,故選:B.【點評】考查了二次函數(shù)的應(yīng)用,此題也可以將所求得的拋物線解析式利用配方法求得頂點式方程,然后直接得到拋物線頂點坐標(biāo),由頂點坐標(biāo)推知該運(yùn)動員起跳后飛行到最高點時,水平距離.8.(2分)如圖,平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx交于M,N兩點,則二次函數(shù)y=ax2+(b﹣k)x+c的圖象可能是()A. B. C. D.【分析】根據(jù)直線y=kx與拋物線y2=ax2+bx+c相交于M、N兩點,可以得到方程kx=ax2+bx+c有兩個不同的根,從而可以得到函數(shù)y=ax2+(b﹣k)x+c與x軸的交點個數(shù)和交點的正負(fù)情況,本題得以解決.【解答】解:∵拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx交于M,N兩點,∴kx=ax2+bx+c有兩個不同的根,即ax2+(b﹣k)x+c=0有兩個不同的根且都小于0,∴函數(shù)y=ax2+(b﹣k)x+c與x軸兩個交點且都在x軸的負(fù)半軸,故選:A.【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.二、填空題(共16分,每題2分)9.(2分)請寫出一個開口向下,經(jīng)過原點的二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=﹣x2.【分析】根據(jù)開口向下,可知a<0,再根據(jù)經(jīng)過原點,可知c=0,從而可以寫出一個符合要求的二次函數(shù)解析式,本題得以解決,注意本題答案不唯一.【解答】解:開口向下,經(jīng)過原點的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=﹣x2,故答案為:y=﹣x2.【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.10.(2分)在平面直角坐標(biāo)系中,點P(3,﹣2)繞原點旋轉(zhuǎn)180°后所得到的點的坐標(biāo)為(﹣3,2).【分析】將點P繞原點旋轉(zhuǎn)180°,實際上是求點P關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo).【解答】解:根據(jù)題意得,點P關(guān)于原點的對稱點是點P′,∵P點坐標(biāo)為(3,﹣2),∴點P′的坐標(biāo)(﹣3,2).故答案為:(﹣3,2).【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變換﹣旋轉(zhuǎn),熟練掌握關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)特征是解決問題的關(guān)鍵.11.(2分)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,由圖可知,當(dāng)x≥1時,y的取值范圍是y≥0.當(dāng)y≥0時,x的取值范圍是x≥1或x≤﹣2.5.【分析】利用函數(shù)圖象得出y、x的取值范圍.【解答】解:由圖象可得:當(dāng)x≥1時,y的取值范圍是y≥0.當(dāng)y≥0時,x的取值范圍是x≥1或x≤﹣2.5.故答案為:y≥0;x≥1或x≤﹣2.5.【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等知識,利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵.12.(2分)若關(guān)于x的方程x2﹣mx+m=0有兩個相等實數(shù)根,則代數(shù)式2m2﹣8m+1的值為1.【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出Δ=m2﹣4m=0,將其代入2m2﹣8m+1中即可得出結(jié)論.【解答】解:∵關(guān)于x的方程x2﹣mx+m=0有兩個相等實數(shù)根,∴Δ=(﹣m)2﹣4m=m2﹣4m=0,∴2m2﹣8m+1=2(m2﹣4m)+1=1.故答案為:1.【點評】本題考查了根的判別式,熟練掌握“當(dāng)Δ=0時,方程有兩個相等的兩個實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.13.(2分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△AOB可以看作是△OCD經(jīng)過若干次圖形的變化(平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn))得到的,寫出一種由△OCD得到△AOB的過程:以點C為中心,將△OCD順時針旋轉(zhuǎn)90°,再將得到的三角形向左平移2個單位長度.【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),平移的性質(zhì)即可得到由△OCD得到△AOB的過程.【解答】解:以點C為中心,將△OCD順時針旋轉(zhuǎn)90°,再將得到的三角形向左平移2個單位長度(答案不唯一).故答案為:以點C為中心,將△OCD順時針旋轉(zhuǎn)90°,再將得到的三角形向左平移2個單位長度.【點評】考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn),平移,對稱,解題時需要注意:平移的距離等于對應(yīng)點連線的長度,對稱軸為對應(yīng)點連線的垂直平分線,旋轉(zhuǎn)角為對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角的大?。?4.(2分)在同一個平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y1=a1x2,y2=a2x2,y3=a3x2的圖象如圖所示,則a1,a2,a3的大小關(guān)系為a3>a2>a1(用“>”連接).【分析】拋物線的開口方向和開口大小由a的值決定的,系數(shù)越大,開口越?。窘獯稹拷猓骸叨魏瘮?shù)y1=a1x2的開口最大,二次函數(shù)y3=a3x2的開口最小,∴a3>a2>a1,故答案為:a3>a2>a1.【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),掌握拋物線的開口方向和開口大小由a的值決定是解題的關(guān)鍵.15.(2分)近年來我國無人機(jī)產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展,無人機(jī)駕駛員已正式成為國家認(rèn)可的新職業(yè).中國民用航空局的現(xiàn)有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示,從2019年底至2021年底,全國擁有民航局頒發(fā)的民用無人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約2.44萬人增加到約6.72萬人.若設(shè)2019年底至2021年底,全國擁有民用無人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長率為x,則可列出關(guān)于x的方程為2.44(1+x)2=6.72.【分析】利用2021年底全國擁有民用無人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)=2019年底全國擁有民用無人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)×(1+年平均增長率)2,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,此題得解.【解答】解:依題意得:2.44(1+x)2=6.72.故答案為:2.44(1+x)2=6.72.【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.16.(2分)拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸直線x=﹣2.拋物線與x軸的一個交點在點(﹣4,0)和點(﹣3,0)之間,其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論中:①4a﹣b=0;②c≤3a;③關(guān)于x的方程ax2+bx+c=2有兩個不相等實數(shù)根;④b2+2b>4ac,正確的有①③④.【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸可判斷①;由拋物線與x軸的交點及拋物線的對稱性以及由x=﹣1時y>0可判斷②,由拋物線與x軸有兩個交點,且頂點為(﹣2,3),即可判斷③;利用拋物線的頂點的縱坐標(biāo)為3得到=3,即可判斷④.【解答】解:∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=﹣2,∴4a﹣b=0,所以①正確;∵與x軸的一個交點在(﹣3,0)和(﹣4,0)之間,∴由拋物線的對稱性知,另一個交點在(﹣1,0)和(0,0)之間,∴x=﹣1時,y>0,且b=4a,即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c>0,∴c>3a,所以②錯誤;∵拋物線與x軸有兩個交點,且頂點為(﹣2,3),∴拋物線與直線y=2有兩個交點,∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c=2有兩個不相等實數(shù)根,所以③正確;∵拋物線的頂點坐標(biāo)為(﹣2,3),∴=3,∴b2+12a=4ac,∵4a﹣b=0,∴b=4a,∴b2+3b=4ac,∵a<0,∴b=4a<0,∴b2+2b>4ac,所以④正確;故答案為①③④.【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系:對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小:當(dāng)a>0時,拋物線向上開口;當(dāng)a<0時,拋物線向下開口;一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置:當(dāng)a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右;常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置:拋物線與y軸交于(0,c):拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定:Δ=b2﹣4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點;Δ=b2﹣4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;Δ=b2﹣4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點.三、解答題(共68分,第17-20題,每題5分,第21-22題,每題6分,第23題5分,第24題6分,第25題5分,第26題6分,第27-28題,每題7分)解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。17.(5分)解方程:x2﹣4x﹣5=0.【分析】因式分解法求解可得.【解答】解:(x+1)(x﹣5)=0,則x+1=0或x﹣5=0,∴x=﹣1或x=5.【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力,熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法:直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法,結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵18.(5分)已知二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3.(1)將y=x2﹣2x﹣3化成y=a(x﹣h)2+k的形式;(2)與x軸的交點坐標(biāo)是(﹣1,0),(3,0),與y軸的交點坐標(biāo)是(0,﹣3);(3)在坐標(biāo)系中畫出此拋物線.【分析】(1)將函數(shù)解析化為頂點式求解;(2)把y=0,x=0代入函數(shù)解析式求解;(3)根據(jù)拋物線與x軸及y軸交點作圖.【解答】解:(1)y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,故答案為:y=(x﹣1)2﹣4.(2)把y=0代入y=x2﹣2x﹣3得0=x2﹣2x﹣3,解得x=﹣1或x=3,∴拋物線與x軸交點坐標(biāo)為(﹣1,0),(3,0),令x=0,得y=﹣3,∴拋物線與y軸交點坐標(biāo)為(0,﹣3),故答案為:(﹣1,0),(3,0),(0,﹣3);(3)如圖,【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象,解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象上點的特征.19.(5分)如圖,將△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)得到△DBE,且A,D,C三點在同一條直線上.求證:DB平分∠ADE.【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△DBE,進(jìn)一步得到BA=BD,從而得到∠A=∠ADB,根據(jù)∠A=∠BDE得到∠ADB=∠BDE,從而證得結(jié)論.【解答】證明:∵將△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)得到△DBE,∴△ABC≌△DBE∴BA=BD.∴∠A=∠ADB.∵∠A=∠BDE,∴∠ADB=∠BDE.∴DB平分∠ADE.【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了鄰補(bǔ)角定義.20.(5分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根,如果m為非負(fù)整數(shù),且該方程的根都是整數(shù),求m的值及此時方程的根.【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ=(﹣4)2﹣4×2>0,然后解不等式即可得到m的范圍,由m為非負(fù)整數(shù)確定m的值為0或1,然后把m=0或m=1代入方程得到兩個一元二次方程,然后解方程確定方程有整數(shù)解的方程即可.【解答】解:∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0有兩個不相等的實數(shù)根,∴Δ>0,∴Δ=(﹣4)2﹣4×1×2m>0,解得m<2,∵m為非負(fù)整數(shù),∴m=0或m=1.當(dāng)m=0時,方程為x2﹣4x=0,解得方程的根為x1=0,x2=4,符合題意;當(dāng)m=1時,方程為x2﹣4x+2=0,∵Δ=16﹣8=8,∴它的根不是整數(shù),不合題意,舍去;綜上所述,m=0,方程的根為x1=0,x2=4.【點評】此題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系,解決問題的關(guān)鍵是熟記一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系:(1)Δ>0?方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)Δ=0?方程有兩個相等的實數(shù)根;(3)Δ<0?方程沒有實數(shù)根.21.(6分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx﹣3與直線y=﹣x﹣1交于點A(﹣1,0),B(m,﹣3).(1)求m的值;(2)求拋物線的解析式.【分析】(1)將點B(m,﹣3)代入直線y=﹣x﹣1,即可得m的值;(2)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得.【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣3與直線y=﹣x﹣1交于點A(﹣1,0),B(m,﹣3),∴將點B(m,﹣3)代入直線y=﹣x﹣1,得﹣m﹣1=﹣3,解得m=2;(2)∵點A(﹣1,0),B(2,﹣3)在拋物線y=ax2+bx﹣3上,∴,解得,∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3.【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.22.(6分)關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0.(1)求證:方程總有兩個實數(shù)根;(2)若方程有一個根小于1,求k的取值范圍.【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式,可得Δ=(k﹣1)2≥0,由此可證出方程總有兩個實數(shù)根;(2)利用分解因式法解一元二次方程,可得出x1=2、x2=k+1,根據(jù)方程有一根小于1,即可得出關(guān)于k的一元一次不等式,解之即可得出k的取值范圍.【解答】(1)證明:∵在方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0中,Δ=[﹣(k+3)]2﹣4×1×(2k+2)=k2﹣2k+1=(k﹣1)2≥0,∴方程總有兩個實數(shù)根.(2)解:∵x2﹣(k+3)x+2k+2=(x﹣2)(x﹣k﹣1)=0,∴x1=2,x2=k+1.∵方程有一根小于1,∴k+1<1,解得:k<0,∴k的取值范圍為k<0.【點評】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式,解題的關(guān)鍵是:(1)牢記“當(dāng)△≥0時,方程有兩個實數(shù)根”;(2)利用因式分解法解一元二次方程結(jié)合方程一根小于1,找出關(guān)于k的一元一次不等式.23.(5分)如圖,利用一面墻(墻的長度18m),另三邊用30m長的籬笆圍成一個矩形場地,求矩形場地的兩條邊各為多少時,面積最大?最大面積是多少?【分析】設(shè)菜園寬為xm,則長為(30﹣2x)m,由面積公式寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式,然后利用二次函數(shù)的最值的知識可得出菜園的最大面積,及取得最大面積時矩形的長和寬.【解答】解:設(shè)矩形的寬為xm,面積為Sm2,根據(jù)題意得:S=x(30﹣2x)=﹣2x2+30x=﹣2(x﹣7.5)2+112.5,所以當(dāng)x=7.5時,S最大,最大值為112.5.30﹣2x=30﹣15=15.故當(dāng)矩形的長為15m,寬為7.5m時,矩形場地的面積最大,最大面積為112.5m2.【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用,難度一般,關(guān)鍵在于找出等量關(guān)系列出方程求解,另外應(yīng)注意配方法求最大值在實際中的應(yīng)用.24.(6分)四邊形ABCD是正方形,△ADF旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ABE,如圖所示,如果AF=3,AB=7,求(1)指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度;(2)求DE的長度;(3)BE與DF的位置關(guān)系如何?請說明理由.【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),點A為旋轉(zhuǎn)中心,對應(yīng)邊AB、AD的夾角為旋轉(zhuǎn)角;(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=AF,AD=AB,然后根據(jù)DE=AD﹣AE計算即可得解;(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△ABE和△ADF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DF,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.【解答】解:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可知:△AFD≌△AEB,即AE=AF=3,∠EAF=90°,∠EBA=∠FDA;可得旋轉(zhuǎn)中心為點A;旋轉(zhuǎn)角度為90°或270°;(2)DE=AD﹣AE=7﹣3=4;(3)∵∠EAF=90°,∠EBA=∠FDA,∴延長BE與DF相交于點G,則∠GDE+∠DEG=90°,∴BE⊥DF,即BE與DF是垂直關(guān)系.【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)變化前后,對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等.要注意旋轉(zhuǎn)的三要素:①定點﹣旋轉(zhuǎn)中心;②旋轉(zhuǎn)方向;③旋轉(zhuǎn)角度.25.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于點C.(1)求此二次函數(shù)圖象的對稱軸;(2)求點C縱坐標(biāo)(用含有a的代數(shù)式表示);(3)已知點P(5,﹣4).將點C向下移動一個單位,得到點D.若二次函數(shù)圖象與線段PD只有一個交點,求a的取值范圍.【分析】(1)根據(jù)拋物線的對稱性求得即可;(2)拋物線的表達(dá)式為:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即可求解;(3)分四種情況:當(dāng)a>0時,當(dāng)a<0時,分別畫圖結(jié)合相關(guān)計算可得答案.【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),B(3,0),∴拋物線的對稱軸為直線;(2)∵拋物線與x軸交于(﹣1,0),(3,0),∴設(shè)y=a(x+1)(x﹣3),∴c=﹣3a,∴yc=﹣3a;(3)當(dāng)a>0時,∵y=a(x+1)(x﹣3)=a(x﹣1)2﹣4a,∴拋物線的頂點為(1,﹣4a),當(dāng)﹣4a=﹣4時,a=1,①當(dāng)a=1時,拋物線與線段PD有一個交點,即拋物線的頂點,如圖1所示;②當(dāng)0<a<1時,拋物線與線段PD沒有交點,如圖2,;③當(dāng)a>1時,拋物線與線段PD有兩個交點,如圖3,;當(dāng)a<0時,將點P(5,﹣4)代入拋物線y=a(x+1)(x﹣3)得:﹣4=a(5+1)(5﹣3)解得,,①當(dāng)時,拋物線與線段PD只有一個交點,如圖4,②當(dāng)﹣<a<0時,拋物線與線段PD沒有交點,如圖5,;綜上所述,當(dāng)或a=1時,拋物線與線段PD只有一個交點.【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特點,熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.26.(6分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△AOB的三個頂點坐標(biāo)分別為A(1,0)、O(0,0)、B(2,2).以點O為旋轉(zhuǎn)中心,將△AOB逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A1OB1.(1)畫出△A1OB1;(2)直接寫出點A1和點B1的坐標(biāo);(3)求點B旋轉(zhuǎn)到點B1所經(jīng)過的路徑長.【分析】(1)利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B的對應(yīng)點A1、B1即可;(2)利用(1)所畫圖形確定點A1和點B1的坐標(biāo);(3)先計算出OB的長,然后利用弧長公式計算.【解答】解:(1)如圖,△A1OB1為所作;(2)A1(0,1),B1(﹣2,2);(3)OB==2,所以點B旋轉(zhuǎn)到點B1所經(jīng)過的路徑長==π.【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)線段也相等,由此可以通過作相等的角,在角的邊上截取相等的線段的方法,找到對應(yīng)點,順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.27.(7分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=.將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤120°)得到△A'BC',點A,點C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點分別為點A',點C'.(1)如圖1,當(dāng)點C'恰好為線段AA'的中點時,α=60°,AA'=2;(2)當(dāng)線段AA'與線段CC'有交點時,記交點為點D.①在圖2中補(bǔ)全圖形,猜想線段AD與A'D的數(shù)量關(guān)系并加以證明;②連接BD,請直接寫出BD的長的取值范圍.【分析】(1)證明△ABA′是等邊三角形即可解決問題.(2)①根據(jù)要求畫出圖形.結(jié)論:AD=A'D.如圖2,過點A作A'C'的平行線,交CC'于點E,記∠1=β.證明△ADE≌△A'DC'(AAS),可得結(jié)論.②如圖1中,當(dāng)α=60°時,BD的值最大,當(dāng)α=120°時,BD的值最小,分別求出最大值,最小值即可.【解答】解:(1)∵∠C=90°,BC=,∠ABC=30°,∴AC=BC?tan30°=1,∴AB=2AC=2,∵BA=BA′,AC′=A′C′,∴∠ABC′=∠A′BC′=30°,∴△ABA′是等邊三角形,∴α=60°,AA′=AB=2.故答案為:60,2.(2)①補(bǔ)全圖形如圖所示:結(jié)論:AD=A'D.理由:如圖2,過點A作A'C'的平行線,交CC'于點E,記∠1=β.∵將Rt△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)α得到Rt△A'BC',∴∠A'C'B=∠ACB=90°,A'C'=AC,BC'=BC.∴∠2=∠1=β.∴∠3=∠ACB﹣∠1=90°﹣β,∠A'C'D=∠A'C'B+∠2=90°+β.∵AE∥A'C'∴∠AED=∠A'C'D=90°+β.∴∠4=180°﹣∠AED=180°﹣(90°+β)=90°﹣β.∴∠3=∠4.∴AE=AC.∴AE=A'C'.在△ADE和△A'DC'中,,∴△A
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