2020-2021學年新教材高中數(shù)學數(shù)列5.5數(shù)學歸納法課時素養(yǎng)檢測含解析

十二數(shù)學歸納法(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.對于不等式QUOTE≤n+1(n∈N+),某學生的證明過程如下:(1)當n=1時,QUOTE≤1+1,不等式成立.(2)假設n=k(k∈N+)時,不等式成立,即QUOTE<k+1,則n=k+1時,QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE=(k+1)+1,所以當n=k+1時,不等式成立,上述證法 ()A.過程全都正確B.n=1驗證不正確C.歸納假設不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確【解析】選D.n=1的驗證及歸納假設都正確,但從n=k到n=k+1的推理中沒有使用歸納假設,而通過不等式的放縮法直接證明,不符合數(shù)學歸納法的證題要求.2.用數(shù)學歸納法證明QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>1(n∈N*),在驗證n=1時,左邊的代數(shù)式為 ()A.QUOTE+QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE 【解析】QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>1(n∈N*)中,當n=1時,3n+1=4,故n=1時,等式左邊的項為:QUOTE+QUOTE+QUOTE.3.凸n邊形有f(n)條對角線,則凸n+1邊形對角線的條數(shù)f(n+1)為 ()A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2【解析】選C.增加一個頂點,就增加n+1-3條對角線,另外原來的一邊也變成了對角線,故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.4.設f(n)=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,n∈N+,那么f(n+1)-f(n)= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE-QUOTE【解析】選D.f(n+1)-f(n)=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE-QUOTE-QUOTE-…-QUOTE=QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)5.用數(shù)學歸納法證明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=QUOTE(n∈N*)時,由n=k的假設到證明n=k+1時,等式左邊應增加的式子是__________________.

【解析】根據(jù)等式左邊的特點,各數(shù)是先遞增再遞減,由于n=k,左邊=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,n=k+1時,左邊=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,比較兩式,可知等式左邊應增加的式子是(k+1)2+k2.答案:(k+1)2+k26.設f(x)=QUOTE,x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N*).則x2=________;數(shù)列{xn}的通項公式為________.

【解析】(1)x2=f(x1)=QUOTE,x3=f(x2)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,x4=f(x3)=QUOTE=QUOTE.(2)根據(jù)計算結果,可以歸納出xn=QUOTE.證明:①當n=1時,x1=QUOTE=1,與已知相符,歸納出的公式成立.②假設當n=k(k∈N*)時,公式成立,即xk=QUOTE,那么,xk+1=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以當n=k+1時,公式也成立.由①②知,當n∈N*時,xn=QUOTE.答案:QUOTExn=QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)7.用數(shù)學歸納法證明1+QUOTE≤1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≤QUOTE+n(n∈N*).【證明】(1)當n=1時,左式=1+QUOTE,右式=QUOTE+1,所以QUOTE≤1+QUOTE≤QUOTE,命題成立.(2)假設當n=k(k∈N*)時,命題成立,即1+QUOTE≤1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≤QUOTE+k,則當n=k+1時,1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>1+QUOTE+2k·QUOTE=1+QUOTE.又1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE+k+2k·QUOTE=QUOTE+(k+1),即當n=k+1時,命題成立.由(1)和(2)可知,命題對所有的n∈N*都成立.8.在數(shù)列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N*),求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜測數(shù)列{an},{bn}的通項公式,證明你的結論.【解析】由題意得2bn=an+an+1,QUOTE=bnbn+1,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4n=n(n+1),bn=(n+1)2,n∈N*.用數(shù)學歸納法證明如下:①當n=1時,由a1=2,b1=4可得結論成立.②假設當n=k(k≥2且k∈N*)時,結論成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么當n=k+1時,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2)=(k+1)[(k+1)+1],bk+1=QUOTE=QUOTE=(k+2)2=[(k+1)+1]2.所以當n=k+1時,結論也成立.由①②可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2對一切n∈N*都成立.【拓展提升】應用數(shù)學歸納法證題時應注意(1)驗證是基礎:找準起點,奠基要穩(wěn),有些問題中驗證的初始值不一定為1.(2)遞推是關鍵:正確分析由n=k到n=k+1時式子項數(shù)的變化是應用數(shù)學歸納法成功證明問題的保障.(3)利用假設是核心:在第二步證明中一定要利用歸納假設,這是數(shù)學歸納法證明的核心環(huán)節(jié),否則這樣的證明就不是數(shù)學歸納法證明.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.用數(shù)學歸納法證明“凸n(n≥3,n∈N*)邊形的內角和公式”時,由n=k到n=k+1內角和增加了()A.QUOTE C.QUOTE 【解析】選B.如圖,由n=k到n=k+1時,凸n邊形的內角和增加的是∠1+∠2+∠3=π.2.利用數(shù)學歸納法證明不等式1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<n(n≥2,n∈N*)的過程中,由n=k變到n=k+1時,左邊增加了 ()項 項k-1項 k項【解析】選D.當n=k時,不等式左邊的最后一項為QUOTE,而當n=k+1時,最后一項為QUOTE=QUOTE,并且不等式左邊和式每一項分母的變化規(guī)律是每一項比前一項加1,故增加了2k項.3.當n=1,2,3,4,5,6時,比較2n和n2的大小并猜想得到的結論為 ()≥1時,2n>n2 ≥3時,2n>n2≥4時,2n>n2 ≥5時,2n>n2【解析】選D.當n=1時,21>12,即2n>n2;當n=2時,22=22,即2n=n2;當n=3時,23<32,即2n<n2;當n=4時,24=42,即2n=n2;當n=5時,25>52,即2n>n2;當n=6時,26>62,即2n>n2;…猜想當n≥5時,2n>n2;下面我們用數(shù)學歸納法證明猜想成立,(1)當n=5時,由以上可知猜想成立,(2)設n=k(k≥5)時,命題成立,即2k>k2,當n=k+1時,2k+1=2·2k>2k2=k2+k2>k2+(2k+1)=(k+1)2,即n=k+1時,命題成立,由(1)和(2)可得n≥5時,2n>n2;故當n=2或4時,2n=n2;n=3時,2n<n2;n=1及n取大于4的正整數(shù)時,都有2n>n2.4.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N+,都能使m整除f(n),則最大的m的值為 () B.26【解析】選C.因為f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,所以f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除.證明:當n=1,2時,由上得證,設當n=k(k≥2)時,f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,則當n=k+1時,f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k=(6k+27)·3k-(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2)?f(k+1)能被36整除.因為f(1)不能被大于36的數(shù)整除,所以所求的最大的m的值等于36.二、填空題(每小題5分,共20分)5.用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”,當?shù)诙郊僭On=2k-1(k∈N*)命題為真時,進而需證n=__________時,命題為真.

【解析】因為n為正奇數(shù),所以奇數(shù)2k-1之后的奇數(shù)是2k+1.答案:2k+16.用數(shù)學歸納法證明1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,則當n=k+1時,等式左邊應在n=k的基礎上加上________.

【解析】當n=k時,左邊=1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE,當n=k+1時,左邊=1-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE.答案:QUOTE-QUOTE7.在用數(shù)學歸納法證明“(n∈N*)能被14整除”的過程中,當n=k+1時,式子QUOTE應變形為________.

答案:8.用數(shù)學歸納法證明“n3+5n能被6整除”的過程中,當n=k+1時,式子(k+1)3+5(k+1)應變形為__________.

【解析】采取湊配法,湊出歸納假設k3+5k來,(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=(k3+5k)+3k(k+1)+6.答案:(k3+5k)+3k(k+1)+6三、解答題(每小題10分,共20分)9.求證:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,n∈N*.【證明】(1)當n=1時,a1+1+(a+1)2×1-1=a2+a+1,命題顯然成立.(2)假設當n=k(k∈N*,k≥1)時,ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除,則當n=k+1時,ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2·(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a+1)2(a+1)2k-1-a(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a+1)2k-1.由歸納假設,上式中的兩項均能被a2+a+1整除,故n=k+1時命題成立.由(1)(2)知,對任意n∈N*,命題成立.10.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知對任意的n∈N*,點(n,Sn)均在函數(shù)y=tx+r(t>0且t≠1,t,r均為常數(shù))的圖像上.(1)求r的值.(2)當t=2時,記bn=2(log2an+1)(n∈N*),證明:對任意的n∈N*,不等式QUOTE·QUOTE·…·QUOTE>QUOTE成立.【證明】(1)由題意:Sn=tn+r,當n≥2時,Sn-1=tn-1+r.所以an=Sn-Sn-1=tn-1(t-1),由于t>0且t≠1,所以n≥2時,{an}是以t為公比的等比數(shù)列.又a1=t+r,a2=t(t-1),QUOTE=t,即QUOTE=t,解得r=-1.(2)當t=2時,由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(n∈N*),所證不等式為QUOTE·QUOTE·…·QUOTE>QUOTE.①當n=1時,左式=QUOTE,右式=QUOTE.左式>右式,所以結論成立,②假設當n=k(k∈N*)時結論成立,即QUOTE·QU