第3章 控制系統(tǒng)的時域分析

第3章控制系統(tǒng)的時域分析3.1自動控制系統(tǒng)的時域指標3.2一階系統(tǒng)的動態(tài)響應3.3二階系統(tǒng)的動態(tài)響應3.4高階系統(tǒng)的動態(tài)響應3.5自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

3.1自動控制系統(tǒng)的時域指標

評價控制系統(tǒng)性能好壞的指標主要有動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標。而要獲得控制系統(tǒng)的性能指標,往往要對系統(tǒng)施加輸入信號用以研究控制系統(tǒng)的性能。由于在大多數(shù)情況下,控制系統(tǒng)的輸入是無法確定的,所以為了便于分析和設計,往往選擇一些典型輸入信號來進行分析。常用的典型輸入信號有:階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、脈沖函數(shù)、加速度函數(shù)和正弦函數(shù)。

3.1.1自動控制系統(tǒng)的典型輸入信號

1.階躍函數(shù)

階躍函數(shù)的數(shù)學表達式為

式(3-1)中,R為常數(shù)。r(t)表示一個在t=0時出現(xiàn)的幅值為R的階躍變化函數(shù),如圖3-1(a)所示。在實際系統(tǒng)中,當R=1時,稱為單位階躍函數(shù),用1(t)表示。幅值為R的階躍函數(shù)用R·1(t)表示。在任意時刻t0出現(xiàn)的階躍函數(shù)用R·1(t-t0)表示。圖3-1階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)

2.斜坡函數(shù)

斜坡函數(shù)的數(shù)學表達式為

式(3-2)中,R為常數(shù)。r(t)表示一個從t=0時刻開始,以恒定速率R隨時間而變化的函)數(shù),如圖3-1(b)所示。當R=1時,稱為單位斜坡函數(shù)。因為dr(t)/dt=R,所以斜坡函數(shù)代表勻速變化的信號,斜坡函數(shù)也稱為等速度函數(shù)。斜坡函數(shù)的導數(shù)等于階躍函數(shù),同時,階躍函數(shù)的積分等于斜坡函數(shù)。

3.脈沖函數(shù)

脈沖函數(shù)的數(shù)學表達式為

式(3-3)中,A為脈沖函數(shù)的面積,即面積A表示脈沖函數(shù)的強度,脈沖函數(shù)如圖3-2(a)所示。

A=1,h→0時的脈沖函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù),記為δ(t),如圖3-2(b)所示,其表達式為

即圖3-2脈沖函數(shù)和單位脈沖函數(shù)

4.加速度函數(shù)

加速度函數(shù)的數(shù)學表達式為

式(3-5)中,R為常數(shù)。r(t)表示一個從t=0時刻開始,以恒定加速度R隨時間而變化的函數(shù),如圖3-3(a)所示。當R=1時,稱為單位加速度函數(shù)。加速度函數(shù)的導數(shù)等于斜坡函數(shù),同時,斜坡函數(shù)的積分等于加速度函數(shù)。

加速度函數(shù)、斜坡函數(shù)、階躍函數(shù)、脈沖函數(shù)之間的關系為

或

5.正弦函數(shù)

正弦函數(shù)的數(shù)學表達式為

式(3-7)中,A為正弦函數(shù)的振幅,ω=2πf為正弦函數(shù)的角頻率,正弦函數(shù)如圖3-3(b)所示。圖3-3-加速度函數(shù)和正弦函數(shù)

3.1.2自動控制系統(tǒng)的時域指標

對于一個控制系統(tǒng)而言,在階躍輸入信號作用下,系統(tǒng)的時域響應可能有四種形式,分別為衰減振蕩過程、非周期衰減過程、發(fā)散振蕩過程和等幅振蕩過程,各響應形式如圖3-4所示。其中衰減振蕩過程和非周期衰減過程屬于穩(wěn)定的過程,發(fā)散振蕩過程屬于不穩(wěn)定過程,等幅振蕩過程屬于臨界穩(wěn)定過程。圖3-4控制系統(tǒng)的階躍響應過程

1.穩(wěn)態(tài)性能

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應是指當t→∞時系統(tǒng)的輸出狀態(tài),通常采用穩(wěn)態(tài)誤差ess來衡量。穩(wěn)態(tài)誤差ess是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的指標,其定義為:在輸入信號作用下,當時間t→∞時,系統(tǒng)輸出響應的期望值與實際值之差,即

穩(wěn)態(tài)誤差ess反映了系統(tǒng)跟蹤輸入信號的能力,是評價穩(wěn)定系統(tǒng)準確性的性能指標,是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。

2.動態(tài)性能(暫態(tài)性能)

穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍輸入信號下,其動態(tài)過程隨時間t變化狀況的指標,稱為動態(tài)性能指標。為了便于分析和比較,假定系統(tǒng)在單位階躍信號作用前處于靜止狀態(tài),而且輸出量及其各階導數(shù)均等于零。

1)階躍響應曲線為衰減振蕩過程

單位階躍響應為衰減振蕩過程的響應曲線如圖3-5所示,其動態(tài)性能指標通常如下。

圖3-5衰減振蕩過程

(1)延遲時間td:指系統(tǒng)輸出響應從零時刻首次到達穩(wěn)態(tài)值一半所需的時間。

(2)上升時間tr:指系統(tǒng)響應從零時刻首次到達穩(wěn)態(tài)值的時間,即單位階躍響應曲線從t=0開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需要的時間。

(3)峰值時間tp:指系統(tǒng)響應從零時刻到達第一個峰值所需的時間,即單位階躍響應曲線從t=0開始上升到第一個峰值所需要的時間。

(4)調節(jié)時間ts:指系統(tǒng)響應達到并保持在穩(wěn)態(tài)值范圍±Δ%誤差帶內不再超出的最短時間。

(5)最大超調量σ%:指系統(tǒng)響應曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值之比的百分數(shù),即

(6)振蕩次數(shù)N:指在調整時間ts內響應曲線振蕩的次數(shù)。

述幾個動態(tài)性能指標基本上可以體現(xiàn)系統(tǒng)動態(tài)過程的特征。通常用上升時間tr或峰值時間tp來評價系統(tǒng)的響應速度,用最大超調量σ%和振蕩次數(shù)N來評價系統(tǒng)的阻尼特性或相對穩(wěn)定性,用調節(jié)時間ts來評價系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性。

2)階躍響應曲線為非周期穩(wěn)態(tài)過程

單位階躍響應為非周期衰減過程的響應曲線如圖3-6所示。圖3-6非周期穩(wěn)態(tài)過程

3.2一階系統(tǒng)的動態(tài)響應

3.2.1一階系統(tǒng)的數(shù)學模型能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng),稱為一階系統(tǒng),其微分方程為相應的傳遞函數(shù)形式為式中,T為一階系統(tǒng)的時間常數(shù)。

3.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍響應

當一階系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍信號時,即r(t)=1(t),可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應h(t)為

由式(3-12)可知,一階系統(tǒng)的單位階躍響應是一條初始值為零,以指數(shù)規(guī)律上升到終值的曲線,為非周期響應,如圖3-7所示。圖3-7一階系統(tǒng)的單位階躍響應

根據(jù)式(3-12)和圖3-7可知,時間常數(shù)T是表示一階系統(tǒng)響應的唯一特征參數(shù),可用來度量系統(tǒng)的輸出值。當t=T,2T,3T,4T時,h(t)數(shù)值分別為

另外,當對一階系統(tǒng)的單位階躍響應,即對式(3-12)求導時,可發(fā)現(xiàn)

所以一階系統(tǒng)的單位階躍響應初始斜率為時間常數(shù)的倒數(shù)。

根據(jù)3.1節(jié)中動態(tài)性能指標的定義,可得到一階系統(tǒng)的主要性能指標如下。

3.2.3-一階系統(tǒng)的單位脈沖響應

當一階系統(tǒng)的輸入信號為單位脈沖信號,即r(t)=δ(t),R(s)=1時,可得一階系統(tǒng)的單位脈沖響應g(t)為

由式(3-14)可知,一階系統(tǒng)的單位脈沖響應是一條單調下降的指數(shù)曲線,如圖3-8所示。圖3-8一階系統(tǒng)的單位脈沖響應

當系統(tǒng)輸入信號為單位脈沖函數(shù)δ(t)時,系統(tǒng)的響應為單位脈沖響應g(t),則

由于單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導數(shù),或單位階躍函數(shù)是單位脈沖函數(shù)的積分,根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性原理,系統(tǒng)的單位脈沖響應g(t)是該系統(tǒng)單位階躍響應h(t)的導數(shù),或系統(tǒng)的單位階躍響應h(t)是單位脈沖響應g(t)的積分,即

3.2.4一階系統(tǒng)的單位斜坡響應和單位加速度響應

單位加速度信號的導數(shù)為單位斜坡信號,單位斜坡信號的導數(shù)為單位階躍信號,單位階躍信號的導數(shù)為單位脈沖信號;或者,單位脈沖信號的積分為單位階躍信號,單位階躍信號的積分為單位斜坡信號,單位斜坡信號的積分為單位加速度信號。通過上述分析和根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性原理可知,系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應,就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù);或者是,系統(tǒng)對輸入信號積分的響應,就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分。這是線性定常系統(tǒng)的一個重要特征,適用于任何階次的線性定常系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)各個典型信號及其響應之間的關系,如圖3-9所示。圖3-9各個典型信號及其響應之間的關系

3.3-二階系統(tǒng)的動態(tài)響應

3.3.1典型二階系統(tǒng)的數(shù)學模型能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。典型二階系統(tǒng)的結構圖如圖3-10所示。圖3-10典型二階系統(tǒng)的結構圖

根據(jù)式(3-22),典型二階系統(tǒng)的特征方程為

其特征根(閉環(huán)極點)為

系統(tǒng)的兩個特征根(閉環(huán)極點)完全由ξ和ωn兩個特征參數(shù)來描述。當取不同ξ時,二階系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點)情況如表3-1所示。當ξ<0時,二階系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

二階系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點)在復平面的分布情況如圖3-11所示。圖3-11二階系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點)分布

3.3.2二階系統(tǒng)的動態(tài)響應及其性能指標

1.欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應及動態(tài)性能指標

上式取拉式反變換,求得單位階躍響應為圖3-12欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

4)最大超調量σ%的計算

根據(jù)最大超調量σ%的定義,由式(3-9)得

上式表明,當二階系統(tǒng)的阻尼比為0<ξ<1時,系統(tǒng)的最大超調量σ%僅與系統(tǒng)的阻尼比ξ有關,阻尼比ξ越小,系統(tǒng)的最大超調量σ%越大。欠阻尼二階系統(tǒng)阻尼比ξ與最大超調量σ%的關系如圖3-13所示。圖3-13-欠阻尼二階系統(tǒng)阻尼比ξ與最大超調量σ%的關系

5)調節(jié)時間ts的計算

欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應為衰減振蕩過程,在到達穩(wěn)態(tài)值之前,該響應曲線是在兩條包絡線之間振蕩,如圖3-14所示。圖3-14欠阻尼二階系統(tǒng)的包絡線

如果令Δ表示實際響應與穩(wěn)態(tài)輸出之間的誤差,則由調節(jié)時間ts的定義和式(3-30)可知

則

6)振蕩次數(shù)N的計算

例3-1系統(tǒng)的結構圖如圖3-15所示,試確定系統(tǒng)的阻尼比ξ、無阻尼振蕩頻率ωn和階躍響應,然后計算單位階躍響應的性能指標:上升時間tr、峰值時間tp、超調量σ%和調節(jié)時間ts。圖3-15控制系統(tǒng)的結構圖

解由結構圖可知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

與傳遞函數(shù)的標準形式(3-22)相比較,可知

則

則單位階躍響應為

所以可以求得

如果選取誤差帶Δ=0.02,則

2.臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應及動態(tài)性能指標

當ξ=1時,二階系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點)是一對相等的負實根s1,2=-ωn,在單位階躍函數(shù)輸入作用下,系統(tǒng)輸出的拉式變換為

對上式求拉式反變換,可得臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為

上式表明,臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為穩(wěn)態(tài)值為1的無超調單調上升過程。由于ξ=1是振蕩與單調衰減過程的分界,所以稱為臨界阻尼狀態(tài)。臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應變化率為

因而可知,當t=0時,響應過程的變化率為零;當t>0時,響應過程的變化率為正;當t→∞時,響應過程的變化率趨于零,響應過程趨于1。臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖3-16所示。圖3-16臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

通過上面的分析可知,臨界阻尼二階系統(tǒng)不存在超調量,因此也就不存在峰值時間,在計算其動態(tài)性能指標時,主要計算調節(jié)時間ts,為

3.過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應及動態(tài)性能指標圖3-17過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

4.無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應圖3-18無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

例3-2系統(tǒng)的結構圖如圖3-19所示,若要求系統(tǒng)具有性能指標σ%=20%,tp=1s,試確定系統(tǒng)的參數(shù)K和τ,然后計算單位階躍響應的性能指標:上升時間tr和調節(jié)時間ts。圖3-19控制系統(tǒng)的結構圖

解由結構圖可知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

與傳遞函數(shù)的標準形式(3-22)相比較,可知

則

根據(jù)題意σ%=20%,則

所以可以求得

根據(jù)題意tp=1s,則

5.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應

3.3.3-二階系統(tǒng)特征參數(shù)與動態(tài)性能指標之間的關系

ξ和ωn是二階系統(tǒng)的特征參數(shù),決定著二階系統(tǒng)閉環(huán)根的位置,二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標主要取決于這兩個參數(shù)。將二階系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點)表

示在復平面上,可得到三條特殊的關系曲線,如圖3-20所示。圖3-20二階系統(tǒng)三條特殊的關系曲線

3.3.4二階系統(tǒng)工程最佳參數(shù)

根據(jù)前面分析,可以得出不同阻尼比ξ下系統(tǒng)的單位階躍響應曲線簇,如圖3-21所示。通過分析可以看出:

(1)阻尼比ξ越大,超調量越小,響應的平穩(wěn)性越好。反之,阻尼比ξ越小,振蕩越強,平穩(wěn)性越差。當ξ=0時,系統(tǒng)具有頻率為ωn的等幅振蕩。

(2)過阻尼狀態(tài)下,系統(tǒng)響應遲緩,過渡過程時間長,系統(tǒng)快速性差;ξ過小,響應的起始速度較快,但因振蕩強烈,衰減緩慢,所以調節(jié)時間ts亦長,快速性差。

(3)當ξ=0.707時,系統(tǒng)的超調量σ%<5%,調節(jié)時間ts也最短,即平穩(wěn)性和快速性最佳,故稱ξ=0.707為最佳阻尼比。

(4)當阻尼比ξ為常數(shù)時,ωn越大,調節(jié)時間ts就越短,快速性越好。

(5)系統(tǒng)的超調量σ%和振蕩次數(shù)N僅僅由阻尼比ξ決定,它們反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。

(6)工程實際中,二階系統(tǒng)多數(shù)設計成0<ξ<1的欠阻尼情況,并且經(jīng)驗取ξ=0.4~0.8之間。

3.3.5零點對二階系統(tǒng)動態(tài)性能的影響

假設具有零點的欠阻尼(0<ξ<1)二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

則其階躍響應為

例3-3-已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定系統(tǒng)的階躍響應,然后計算峰值時間tp、超調量σ%。

3.4高階系統(tǒng)的動態(tài)響應

3.4.1高階系統(tǒng)的階躍響應高階系統(tǒng)是指用三階或更高階微分方程描述的系統(tǒng)。控制工程中,幾乎所有的系統(tǒng)都是用高階微分方程描述的。對于高階系統(tǒng)而言,其動態(tài)性能的確定有些復雜,工程上常采用閉環(huán)主導極點的概念,將高階系統(tǒng)降為一階或二階系統(tǒng)來進行近似分析,或直接利用計算機軟件進行高階系統(tǒng)分析。

考慮一個n階系統(tǒng),其閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為

如果Φ(s)的所有極點都為實數(shù)pi,則當r(t)=1時,系統(tǒng)的輸出為

3.4.2高階系統(tǒng)的降階

1.閉環(huán)主導極點

對于穩(wěn)定的高階系統(tǒng),如果在所有的閉環(huán)極點中,距虛軸最近的極點周圍沒有閉環(huán)零點,而其他閉環(huán)極點又遠離虛軸,這樣的閉環(huán)極點在系統(tǒng)的整個時間響應過程中起著主要的決定性作用,被稱為主導極點。除閉環(huán)主導極點外,所有其他閉環(huán)極點由于離虛軸很遠,對系統(tǒng)的時間響應過程影響很小,因而統(tǒng)稱為非主導極點。

2.偶極子

如果閉環(huán)零、極點相距很近,即這對零、極點之間的距離遠小于它們本身的模時,這樣的閉環(huán)零、極點常稱為偶極子。偶極子有實數(shù)偶極子和復數(shù)偶極子之分,而復數(shù)偶極子必共軛出現(xiàn)。只要偶極子不十分接近坐標原點,它們對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響就很小,從而可以忽略它們的存在。工程上,當某極點和某零點之間的距離比它們的模值小一個數(shù)量級時,

就可認為這對零、極點為偶極子。

例3-5已知某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

請利用降階方法近似估算系統(tǒng)的階躍響應,并求峰值時間tp、超調量σ%。

偶極子的概念對控制系統(tǒng)的綜合校正是很有用的,可以有意識地在系統(tǒng)中加入適當?shù)牧泓c,以抵消對系統(tǒng)動態(tài)響應過程影響較大的不利極點,使系統(tǒng)的動態(tài)特性得以改善。閉

環(huán)傳遞函數(shù)中,如果零、極點數(shù)值上相近,則可將該零點和極點一起消掉,稱之為偶極子相消。

3.5自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

3.5.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定的充分必要條件1.穩(wěn)定性的基本概念任何系統(tǒng)在擾動作用下都會偏離原來的平衡狀態(tài),產(chǎn)生偏差。穩(wěn)定性是指當系統(tǒng)在擾動消失后,能夠由初始偏差狀態(tài)恢復到原來的平衡狀態(tài)的性能。穩(wěn)定性的概念可以通過圖3-22來說明。圖3-22凹凸面上小球的穩(wěn)定性

2.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)本身的固有特性,與外界條件無關。

考慮線性定常系統(tǒng)

設其初始條件為零,則在一個理想單位脈沖δ(t)的作用下,系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應g(t)。這相當于系統(tǒng)在擾動信號作用下,輸出信號偏離原平衡點的問題。若t→∞時,脈沖響應

即輸出增量收斂于原來的平衡點,則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

也就是說,只要滿足式(3-69),線性定常系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。而系統(tǒng)的脈沖響應g(t)是否收斂是由系統(tǒng)的極點位置決定的。只要特征方程

的全部根都具有負實部,則脈沖響應g(t)所有項的指數(shù)冪次都為負,所有項就都將收斂,這時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:閉環(huán)系統(tǒng)的所有特征根都具有負實部;或者說,閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均位于s左半平面。

3.5.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)

1.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的必要條件

勞斯判據(jù)是一種代數(shù)判據(jù),它不但能提供線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息,而且還能指出在s平面虛軸上和右半平面特征根的個數(shù)。

設控制系統(tǒng)的特征方程為

式中,s1,s2,…,sn為系統(tǒng)的特征根。

由根與系數(shù)的關系求得

從上式可知,如果所有特征根s1,s2,…,sn均具有負實部(即系統(tǒng)穩(wěn)定),首先必須滿足以下條件:

(1)特征方程的各項系數(shù)a0,a1,…,an都不為零。若有一個系數(shù)為零,則通過分析式(3-71)可知,必然會出現(xiàn)實部為零或有正有負的特征根,此時系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定(實部為零,根在虛軸上)或不穩(wěn)定(實部為正,根在s右半平面)

(2)特征方程的各項系數(shù)的符號都相同,才能滿足式(3-71)。

由此,可歸納系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為:特征方程的所有項系數(shù)都大于零,即ai>0。

2.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充分必要條件

首先根據(jù)特征方程(3-70)的系數(shù)排成勞斯表。

例3-7系統(tǒng)的特征方程為

試用勞斯判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定,請指出s右半平面根的個數(shù)。

解由題意可知,特征方程無缺項,且系數(shù)大于零,滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。該系統(tǒng)勞斯表為

由于勞斯表中的第一列出現(xiàn)小于零的情況,所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于勞斯表中的第一列系數(shù)符號改變兩次,所以系統(tǒng)有兩個根在s右半平面。

3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況

(1)勞斯表中某一行第一列元素為零,該行其余各列元素不為零或不全為零。

出現(xiàn)這種情況后,在計算勞斯表該行的下一行時,將出現(xiàn)無窮大的情況,導致后面的計算將無法繼續(xù)進行。因此,需要進行一些處理,處理的方法有兩種。

第一種方法就是用一個無窮小的正數(shù)ε來代替第一列的零元素后,繼續(xù)計算勞斯表。然后進行判斷,根據(jù)當ε→0時第一列系數(shù)的符號改變情況,得出相應的結論。

例3-8系統(tǒng)的特征方程為

試用勞斯判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定,請指出s右半平面根的個數(shù)。

由于當ε→0時第一列系數(shù)符號改變兩次,所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,有兩個根在s右半平面。

(2)勞斯表中出現(xiàn)全零行。

當出現(xiàn)這種情況時,說明特征方程中存在著一些絕對值相同但符號相異的實根或共軛虛根,或者是對稱于原點的共軛復根,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

當遇到這種情況時,可利用該全零行的上一行元素構成輔助多項式P(s),然后對輔助多項式求導,用其導數(shù)的各項系數(shù)代替全零行,使勞斯表繼續(xù)計算下去,進而應用勞斯判

據(jù)判斷不穩(wěn)定根的情況。

絕對值相同但符號相異的實根或共軛虛根,或是對稱于實軸的共軛復根,可通過求解輔助方程P(s)=0求得。輔助方程的階數(shù)應為偶數(shù),且等于絕對值相同但符號相異的根的個數(shù)。

3.5.3-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

設線性系統(tǒng)的特征方程為

以特征方程的系數(shù)組成如下行列式:

則赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)為:系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是在a0>0的情況下,上述行列式的各階主子式Δi均大于零,即

3.5.4參數(shù)對穩(wěn)定性的影響

應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)或赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)不僅可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,還可以用來確定反饋系統(tǒng)穩(wěn)定時,其開環(huán)增益或其他參數(shù)的取值范圍。

例3-11已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時增益K的取值范圍。

解根據(jù)題意,系統(tǒng)的特征方程為

例3-12已知系統(tǒng)的結構圖如圖3-23所示,請分別討論使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)K和T的取值范圍。圖3-23-系統(tǒng)的結構圖

3.5.5相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量

應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定,該判據(jù)并不能直接給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的方法;如果系統(tǒng)穩(wěn)定,該判據(jù)也不能直接指出系統(tǒng)是否具有滿意的動態(tài)性能。也就是說,通過勞斯穩(wěn)定判據(jù),只能了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定,即是否所有的特征根都在s平面的左半平面。關于特征根到虛軸的距離,通過勞斯穩(wěn)定判據(jù)是無法得知的。如果一個系統(tǒng)的具有負實部的特征根非?？拷撦S,盡管滿足穩(wěn)定條件,但動態(tài)過程的性能指標將較差,甚至會由于內部參數(shù)的變化,使特征根轉移到s平面的右半平面,導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以,研究系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性顯得很有必要。

3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

3.6.1穩(wěn)態(tài)誤差的定義及計算1.誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義誤差一般定義為被控量的期望輸出Cr(s)與實際輸出C(s)之差,即式(3-74)也稱為輸出端的誤差定義,這種定義在性能指標中經(jīng)常使用,但在實際系統(tǒng)中無法測量,一般只具有數(shù)學意義。

如果把系統(tǒng)的輸入信號R(s)作為被控量的期望輸出,把主反饋信號B(s)作為被控量的實際輸出,則誤差可表示為

式(3-75)稱為輸入端的誤差定義,這種定義在實際中可測,具有一定的物理意義,也常常被稱為控制系統(tǒng)的偏差信號圖3-24反饋控制系統(tǒng)及其等效反饋控制系統(tǒng)

上述兩種定義方法之間存在著一定的聯(lián)系,如果通過結構圖等效變換方法,把圖3-24(a)的反饋系統(tǒng)變換為其等效單位反饋系統(tǒng),如圖3-24(b)所示。R'(s)代表被控量的期望輸出,則輸出端的誤差為

而根據(jù)圖3-24(a)所示的反饋系統(tǒng),輸入端的誤差為

比較式(3-76)和式(3-77),可得輸出端的誤差與輸入端的誤差之間的關系為

本書后面的敘述中,均采用輸入端的誤差定義。如有必要計算輸出端誤差,可采用式(3-78)進行換算。當H(s)=1時,這兩種誤差的定義方法是一致的。

對誤差E(s)求拉普拉斯反變換可得其時域響應表達式為

誤差時域響應e(t)也包含穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量兩部分,對于一個穩(wěn)定的系統(tǒng),隨著時間的推移,當時間趨于無窮大時,暫態(tài)分量將逐漸消失。其穩(wěn)態(tài)分量,即系統(tǒng)平穩(wěn)以后的誤差,稱為穩(wěn)態(tài)誤差,記為ess。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差定義為穩(wěn)定系統(tǒng)誤差時域響應e(t)的終值。如果當t→∞時,e(t)的極限存在,則穩(wěn)態(tài)誤差為

2.穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法

在計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時,往往先計算出誤差函數(shù)E(s)。如果sE(s)的極點均位于s左半平面(包括坐標原點),利用拉普拉斯變換的終值定理,可得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

所以求誤差函數(shù)E(s)是非常關鍵的。

控制系統(tǒng)的結構如圖3-25所示,根據(jù)誤差的定義可分別求得給定輸入R(s)和擾動輸入N(s)下的誤差函數(shù)E(s),然后,再利用式(3-81)就可計算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。但是在應用拉普拉斯變換的終值定理,即式(3-81)計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時,要注意sE(s)的極點均位于s左半平面(包括坐標原點)。圖3-25控制系統(tǒng)的結構圖

3.6.2靜態(tài)誤差系數(shù)法計算穩(wěn)態(tài)誤差

由前面分析可知,系統(tǒng)的給定輸入穩(wěn)態(tài)誤差函數(shù)為

由上式可知,系統(tǒng)的給定輸入穩(wěn)態(tài)誤差E(s)與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)和系統(tǒng)的輸入信號R(s)密切相關。對于一個給定的系統(tǒng),當輸入信號形式一定時,系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差