第3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

第3章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析3.1自動控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)3.2一階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)3.3二階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)3.4高階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)3.5自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

3.1自動控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)

評價(jià)控制系統(tǒng)性能好壞的指標(biāo)主要有動態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。而要獲得控制系統(tǒng)的性能指標(biāo),往往要對系統(tǒng)施加輸入信號用以研究控制系統(tǒng)的性能。由于在大多數(shù)情況下,控制系統(tǒng)的輸入是無法確定的,所以為了便于分析和設(shè)計(jì),往往選擇一些典型輸入信號來進(jìn)行分析。常用的典型輸入信號有:階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、脈沖函數(shù)、加速度函數(shù)和正弦函數(shù)。

3.1.1自動控制系統(tǒng)的典型輸入信號

1.階躍函數(shù)

階躍函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式(3-1)中,R為常數(shù)。r(t)表示一個(gè)在t=0時(shí)出現(xiàn)的幅值為R的階躍變化函數(shù),如圖3-1(a)所示。在實(shí)際系統(tǒng)中,當(dāng)R=1時(shí),稱為單位階躍函數(shù),用1(t)表示。幅值為R的階躍函數(shù)用R·1(t)表示。在任意時(shí)刻t0出現(xiàn)的階躍函數(shù)用R·1(t-t0)表示。圖3-1階躍函數(shù)和斜坡函數(shù)

2.斜坡函數(shù)

斜坡函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式(3-2)中,R為常數(shù)。r(t)表示一個(gè)從t=0時(shí)刻開始,以恒定速率R隨時(shí)間而變化的函)數(shù),如圖3-1(b)所示。當(dāng)R=1時(shí),稱為單位斜坡函數(shù)。因?yàn)閐r(t)/dt=R,所以斜坡函數(shù)代表勻速變化的信號,斜坡函數(shù)也稱為等速度函數(shù)。斜坡函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于階躍函數(shù),同時(shí),階躍函數(shù)的積分等于斜坡函數(shù)。

3.脈沖函數(shù)

脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式(3-3)中,A為脈沖函數(shù)的面積,即面積A表示脈沖函數(shù)的強(qiáng)度,脈沖函數(shù)如圖3-2(a)所示。

A=1,h→0時(shí)的脈沖函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù),記為δ(t),如圖3-2(b)所示,其表達(dá)式為

即圖3-2脈沖函數(shù)和單位脈沖函數(shù)

4.加速度函數(shù)

加速度函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式(3-5)中,R為常數(shù)。r(t)表示一個(gè)從t=0時(shí)刻開始,以恒定加速度R隨時(shí)間而變化的函數(shù),如圖3-3(a)所示。當(dāng)R=1時(shí),稱為單位加速度函數(shù)。加速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于斜坡函數(shù),同時(shí),斜坡函數(shù)的積分等于加速度函數(shù)。

加速度函數(shù)、斜坡函數(shù)、階躍函數(shù)、脈沖函數(shù)之間的關(guān)系為

或

5.正弦函數(shù)

正弦函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式(3-7)中,A為正弦函數(shù)的振幅,ω=2πf為正弦函數(shù)的角頻率,正弦函數(shù)如圖3-3(b)所示。圖3-3-加速度函數(shù)和正弦函數(shù)

3.1.2自動控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)

對于一個(gè)控制系統(tǒng)而言,在階躍輸入信號作用下,系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)可能有四種形式,分別為衰減振蕩過程、非周期衰減過程、發(fā)散振蕩過程和等幅振蕩過程,各響應(yīng)形式如圖3-4所示。其中衰減振蕩過程和非周期衰減過程屬于穩(wěn)定的過程,發(fā)散振蕩過程屬于不穩(wěn)定過程,等幅振蕩過程屬于臨界穩(wěn)定過程。圖3-4控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)過程

1.穩(wěn)態(tài)性能

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是指當(dāng)t→∞時(shí)系統(tǒng)的輸出狀態(tài),通常采用穩(wěn)態(tài)誤差ess來衡量。穩(wěn)態(tài)誤差ess是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的指標(biāo),其定義為:在輸入信號作用下,當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí),系統(tǒng)輸出響應(yīng)的期望值與實(shí)際值之差,即

穩(wěn)態(tài)誤差ess反映了系統(tǒng)跟蹤輸入信號的能力,是評價(jià)穩(wěn)定系統(tǒng)準(zhǔn)確性的性能指標(biāo),是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。

2.動態(tài)性能(暫態(tài)性能)

穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍輸入信號下,其動態(tài)過程隨時(shí)間t變化狀況的指標(biāo),稱為動態(tài)性能指標(biāo)。為了便于分析和比較,假定系統(tǒng)在單位階躍信號作用前處于靜止?fàn)顟B(tài),而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零。

1)階躍響應(yīng)曲線為衰減振蕩過程

單位階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程的響應(yīng)曲線如圖3-5所示,其動態(tài)性能指標(biāo)通常如下。

圖3-5衰減振蕩過程

(1)延遲時(shí)間td:指系統(tǒng)輸出響應(yīng)從零時(shí)刻首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值一半所需的時(shí)間。

(2)上升時(shí)間tr:指系統(tǒng)響應(yīng)從零時(shí)刻首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間,即單位階躍響應(yīng)曲線從t=0開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需要的時(shí)間。

(3)峰值時(shí)間tp:指系統(tǒng)響應(yīng)從零時(shí)刻到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間,即單位階躍響應(yīng)曲線從t=0開始上升到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。

(4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts:指系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值范圍±Δ%誤差帶內(nèi)不再超出的最短時(shí)間。

(5)最大超調(diào)量σ%:指系統(tǒng)響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值之比的百分?jǐn)?shù),即

(6)振蕩次數(shù)N:指在調(diào)整時(shí)間ts內(nèi)響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。

述幾個(gè)動態(tài)性能指標(biāo)基本上可以體現(xiàn)系統(tǒng)動態(tài)過程的特征。通常用上升時(shí)間tr或峰值時(shí)間tp來評價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度,用最大超調(diào)量σ%和振蕩次數(shù)N來評價(jià)系統(tǒng)的阻尼特性或相對穩(wěn)定性,用調(diào)節(jié)時(shí)間ts來評價(jià)系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性。

2)階躍響應(yīng)曲線為非周期穩(wěn)態(tài)過程

單位階躍響應(yīng)為非周期衰減過程的響應(yīng)曲線如圖3-6所示。圖3-6非周期穩(wěn)態(tài)過程

3.2一階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)

3.2.1一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng),稱為一階系統(tǒng),其微分方程為相應(yīng)的傳遞函數(shù)形式為式中,T為一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。

3.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍信號時(shí),即r(t)=1(t),可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)h(t)為

由式(3-12)可知,一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條初始值為零,以指數(shù)規(guī)律上升到終值的曲線,為非周期響應(yīng),如圖3-7所示。圖3-7一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

根據(jù)式(3-12)和圖3-7可知,時(shí)間常數(shù)T是表示一階系統(tǒng)響應(yīng)的唯一特征參數(shù),可用來度量系統(tǒng)的輸出值。當(dāng)t=T,2T,3T,4T時(shí),h(t)數(shù)值分別為

另外,當(dāng)對一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),即對式(3-12)求導(dǎo)時(shí),可發(fā)現(xiàn)

所以一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)初始斜率為時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。

根據(jù)3.1節(jié)中動態(tài)性能指標(biāo)的定義,可得到一階系統(tǒng)的主要性能指標(biāo)如下。

3.2.3-一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

當(dāng)一階系統(tǒng)的輸入信號為單位脈沖信號,即r(t)=δ(t),R(s)=1時(shí),可得一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)為

由式(3-14)可知,一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一條單調(diào)下降的指數(shù)曲線,如圖3-8所示。圖3-8一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為單位脈沖函數(shù)δ(t)時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)為單位脈沖響應(yīng)g(t),則

由于單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù),或單位階躍函數(shù)是單位脈沖函數(shù)的積分,根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性原理,系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)是該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)h(t)的導(dǎo)數(shù),或系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)h(t)是單位脈沖響應(yīng)g(t)的積分,即

3.2.4一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)和單位加速度響應(yīng)

單位加速度信號的導(dǎo)數(shù)為單位斜坡信號,單位斜坡信號的導(dǎo)數(shù)為單位階躍信號,單位階躍信號的導(dǎo)數(shù)為單位脈沖信號;或者,單位脈沖信號的積分為單位階躍信號,單位階躍信號的積分為單位斜坡信號,單位斜坡信號的積分為單位加速度信號。通過上述分析和根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性原理可知,系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng),就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù);或者是,系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng),就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分。這是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特征,適用于任何階次的線性定常系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)各個(gè)典型信號及其響應(yīng)之間的關(guān)系,如圖3-9所示。圖3-9各個(gè)典型信號及其響應(yīng)之間的關(guān)系

3.3-二階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)

3.3.1典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-10所示。圖3-10典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)式(3-22),典型二階系統(tǒng)的特征方程為

其特征根(閉環(huán)極點(diǎn))為

系統(tǒng)的兩個(gè)特征根(閉環(huán)極點(diǎn))完全由ξ和ωn兩個(gè)特征參數(shù)來描述。當(dāng)取不同ξ時(shí),二階系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點(diǎn))情況如表3-1所示。當(dāng)ξ<0時(shí),二階系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

二階系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點(diǎn))在復(fù)平面的分布情況如圖3-11所示。圖3-11二階系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點(diǎn))分布

3.3.2二階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)及其性能指標(biāo)

1.欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及動態(tài)性能指標(biāo)

上式取拉式反變換,求得單位階躍響應(yīng)為圖3-12欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

4)最大超調(diào)量σ%的計(jì)算

根據(jù)最大超調(diào)量σ%的定義,由式(3-9)得

上式表明,當(dāng)二階系統(tǒng)的阻尼比為0<ξ<1時(shí),系統(tǒng)的最大超調(diào)量σ%僅與系統(tǒng)的阻尼比ξ有關(guān),阻尼比ξ越小,系統(tǒng)的最大超調(diào)量σ%越大。欠阻尼二階系統(tǒng)阻尼比ξ與最大超調(diào)量σ%的關(guān)系如圖3-13所示。圖3-13-欠阻尼二階系統(tǒng)阻尼比ξ與最大超調(diào)量σ%的關(guān)系

5)調(diào)節(jié)時(shí)間ts的計(jì)算

欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程,在到達(dá)穩(wěn)態(tài)值之前,該響應(yīng)曲線是在兩條包絡(luò)線之間振蕩,如圖3-14所示。圖3-14欠阻尼二階系統(tǒng)的包絡(luò)線

如果令Δ表示實(shí)際響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)輸出之間的誤差,則由調(diào)節(jié)時(shí)間ts的定義和式(3-30)可知

則

6)振蕩次數(shù)N的計(jì)算

例3-1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-15所示,試確定系統(tǒng)的阻尼比ξ、無阻尼振蕩頻率ωn和階躍響應(yīng),然后計(jì)算單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo):上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、超調(diào)量σ%和調(diào)節(jié)時(shí)間ts。圖3-15控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

解由結(jié)構(gòu)圖可知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

與傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式(3-22)相比較,可知

則

則單位階躍響應(yīng)為

所以可以求得

如果選取誤差帶Δ=0.02,則

2.臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及動態(tài)性能指標(biāo)

當(dāng)ξ=1時(shí),二階系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點(diǎn))是一對相等的負(fù)實(shí)根s1,2=-ωn,在單位階躍函數(shù)輸入作用下,系統(tǒng)輸出的拉式變換為

對上式求拉式反變換,可得臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

上式表明,臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)單調(diào)上升過程。由于ξ=1是振蕩與單調(diào)衰減過程的分界,所以稱為臨界阻尼狀態(tài)。臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)變化率為

因而可知,當(dāng)t=0時(shí),響應(yīng)過程的變化率為零;當(dāng)t>0時(shí),響應(yīng)過程的變化率為正;當(dāng)t→∞時(shí),響應(yīng)過程的變化率趨于零,響應(yīng)過程趨于1。臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-16所示。圖3-16臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

通過上面的分析可知,臨界阻尼二階系統(tǒng)不存在超調(diào)量,因此也就不存在峰值時(shí)間,在計(jì)算其動態(tài)性能指標(biāo)時(shí),主要計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間ts,為

3.過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及動態(tài)性能指標(biāo)圖3-17過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

4.無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖3-18無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

例3-2系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-19所示,若要求系統(tǒng)具有性能指標(biāo)σ%=20%,tp=1s,試確定系統(tǒng)的參數(shù)K和τ,然后計(jì)算單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo):上升時(shí)間tr和調(diào)節(jié)時(shí)間ts。圖3-19控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

解由結(jié)構(gòu)圖可知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

與傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式(3-22)相比較,可知

則

根據(jù)題意σ%=20%,則

所以可以求得

根據(jù)題意tp=1s,則

5.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

3.3.3-二階系統(tǒng)特征參數(shù)與動態(tài)性能指標(biāo)之間的關(guān)系

ξ和ωn是二階系統(tǒng)的特征參數(shù),決定著二階系統(tǒng)閉環(huán)根的位置,二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)主要取決于這兩個(gè)參數(shù)。將二階系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點(diǎn))表

示在復(fù)平面上,可得到三條特殊的關(guān)系曲線,如圖3-20所示。圖3-20二階系統(tǒng)三條特殊的關(guān)系曲線

3.3.4二階系統(tǒng)工程最佳參數(shù)

根據(jù)前面分析,可以得出不同阻尼比ξ下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線簇,如圖3-21所示。通過分析可以看出:

(1)阻尼比ξ越大,超調(diào)量越小,響應(yīng)的平穩(wěn)性越好。反之,阻尼比ξ越小,振蕩越強(qiáng),平穩(wěn)性越差。當(dāng)ξ=0時(shí),系統(tǒng)具有頻率為ωn的等幅振蕩。

(2)過阻尼狀態(tài)下,系統(tǒng)響應(yīng)遲緩,過渡過程時(shí)間長,系統(tǒng)快速性差;ξ過小,響應(yīng)的起始速度較快,但因振蕩強(qiáng)烈,衰減緩慢,所以調(diào)節(jié)時(shí)間ts亦長,快速性差。

(3)當(dāng)ξ=0.707時(shí),系統(tǒng)的超調(diào)量σ%<5%,調(diào)節(jié)時(shí)間ts也最短,即平穩(wěn)性和快速性最佳,故稱ξ=0.707為最佳阻尼比。

(4)當(dāng)阻尼比ξ為常數(shù)時(shí),ωn越大,調(diào)節(jié)時(shí)間ts就越短,快速性越好。

(5)系統(tǒng)的超調(diào)量σ%和振蕩次數(shù)N僅僅由阻尼比ξ決定,它們反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。

(6)工程實(shí)際中,二階系統(tǒng)多數(shù)設(shè)計(jì)成0<ξ<1的欠阻尼情況,并且經(jīng)驗(yàn)取ξ=0.4~0.8之間。

3.3.5零點(diǎn)對二階系統(tǒng)動態(tài)性能的影響

假設(shè)具有零點(diǎn)的欠阻尼(0<ξ<1)二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

則其階躍響應(yīng)為

例3-3-已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試確定系統(tǒng)的階躍響應(yīng),然后計(jì)算峰值時(shí)間tp、超調(diào)量σ%。

3.4高階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)

3.4.1高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)是指用三階或更高階微分方程描述的系統(tǒng)?？刂乒こ讨?幾乎所有的系統(tǒng)都是用高階微分方程描述的。對于高階系統(tǒng)而言,其動態(tài)性能的確定有些復(fù)雜,工程上常采用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念,將高階系統(tǒng)降為一階或二階系統(tǒng)來進(jìn)行近似分析,或直接利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行高階系統(tǒng)分析。

考慮一個(gè)n階系統(tǒng),其閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為

如果Φ(s)的所有極點(diǎn)都為實(shí)數(shù)pi,則當(dāng)r(t)=1時(shí),系統(tǒng)的輸出為

3.4.2高階系統(tǒng)的降階

1.閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)

對于穩(wěn)定的高階系統(tǒng),如果在所有的閉環(huán)極點(diǎn)中,距虛軸最近的極點(diǎn)周圍沒有閉環(huán)零點(diǎn),而其他閉環(huán)極點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸,這樣的閉環(huán)極點(diǎn)在系統(tǒng)的整個(gè)時(shí)間響應(yīng)過程中起著主要的決定性作用,被稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。除閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)外,所有其他閉環(huán)極點(diǎn)由于離虛軸很遠(yuǎn),對系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)過程影響很小,因而統(tǒng)稱為非主導(dǎo)極點(diǎn)。

2.偶極子

如果閉環(huán)零、極點(diǎn)相距很近,即這對零、極點(diǎn)之間的距離遠(yuǎn)小于它們本身的模時(shí),這樣的閉環(huán)零、極點(diǎn)常稱為偶極子。偶極子有實(shí)數(shù)偶極子和復(fù)數(shù)偶極子之分,而復(fù)數(shù)偶極子必共軛出現(xiàn)。只要偶極子不十分接近坐標(biāo)原點(diǎn),它們對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響就很小,從而可以忽略它們的存在。工程上,當(dāng)某極點(diǎn)和某零點(diǎn)之間的距離比它們的模值小一個(gè)數(shù)量級時(shí),

就可認(rèn)為這對零、極點(diǎn)為偶極子。

例3-5已知某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

請利用降階方法近似估算系統(tǒng)的階躍響應(yīng),并求峰值時(shí)間tp、超調(diào)量σ%。

偶極子的概念對控制系統(tǒng)的綜合校正是很有用的,可以有意識地在系統(tǒng)中加入適當(dāng)?shù)牧泓c(diǎn),以抵消對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)過程影響較大的不利極點(diǎn),使系統(tǒng)的動態(tài)特性得以改善。閉

環(huán)傳遞函數(shù)中,如果零、極點(diǎn)數(shù)值上相近,則可將該零點(diǎn)和極點(diǎn)一起消掉,稱之為偶極子相消。

3.5自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

3.5.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定的充分必要條件1.穩(wěn)定性的基本概念任何系統(tǒng)在擾動作用下都會偏離原來的平衡狀態(tài),產(chǎn)生偏差。穩(wěn)定性是指當(dāng)系統(tǒng)在擾動消失后,能夠由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)的性能。穩(wěn)定性的概念可以通過圖3-22來說明。圖3-22凹凸面上小球的穩(wěn)定性

2.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)本身的固有特性,與外界條件無關(guān)。

考慮線性定常系統(tǒng)

設(shè)其初始條件為零,則在一個(gè)理想單位脈沖δ(t)的作用下,系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應(yīng)g(t)。這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動信號作用下,輸出信號偏離原平衡點(diǎn)的問題。若t→∞時(shí),脈沖響應(yīng)

即輸出增量收斂于原來的平衡點(diǎn),則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

也就是說,只要滿足式(3-69),線性定常系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。而系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)g(t)是否收斂是由系統(tǒng)的極點(diǎn)位置決定的。只要特征方程

的全部根都具有負(fù)實(shí)部,則脈沖響應(yīng)g(t)所有項(xiàng)的指數(shù)冪次都為負(fù),所有項(xiàng)就都將收斂,這時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:閉環(huán)系統(tǒng)的所有特征根都具有負(fù)實(shí)部;或者說,閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于s左半平面。

3.5.2勞斯穩(wěn)定判據(jù)

1.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的必要條件

勞斯判據(jù)是一種代數(shù)判據(jù),它不但能提供線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息,而且還能指出在s平面虛軸上和右半平面特征根的個(gè)數(shù)。

設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程為

式中,s1,s2,…,sn為系統(tǒng)的特征根。

由根與系數(shù)的關(guān)系求得

從上式可知,如果所有特征根s1,s2,…,sn均具有負(fù)實(shí)部(即系統(tǒng)穩(wěn)定),首先必須滿足以下條件:

(1)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)a0,a1,…,an都不為零。若有一個(gè)系數(shù)為零,則通過分析式(3-71)可知,必然會出現(xiàn)實(shí)部為零或有正有負(fù)的特征根,此時(shí)系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定(實(shí)部為零,根在虛軸上)或不穩(wěn)定(實(shí)部為正,根在s右半平面)

(2)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號都相同,才能滿足式(3-71)。

由此,可歸納系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件為:特征方程的所有項(xiàng)系數(shù)都大于零,即ai>0。

2.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充分必要條件

首先根據(jù)特征方程(3-70)的系數(shù)排成勞斯表。

例3-7系統(tǒng)的特征方程為

試用勞斯判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定,請指出s右半平面根的個(gè)數(shù)。

解由題意可知,特征方程無缺項(xiàng),且系數(shù)大于零,滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。該系統(tǒng)勞斯表為

由于勞斯表中的第一列出現(xiàn)小于零的情況,所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于勞斯表中的第一列系數(shù)符號改變兩次,所以系統(tǒng)有兩個(gè)根在s右半平面。

3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況

(1)勞斯表中某一行第一列元素為零,該行其余各列元素不為零或不全為零。

出現(xiàn)這種情況后,在計(jì)算勞斯表該行的下一行時(shí),將出現(xiàn)無窮大的情況,導(dǎo)致后面的計(jì)算將無法繼續(xù)進(jìn)行。因此,需要進(jìn)行一些處理,處理的方法有兩種。

第一種方法就是用一個(gè)無窮小的正數(shù)ε來代替第一列的零元素后,繼續(xù)計(jì)算勞斯表。然后進(jìn)行判斷,根據(jù)當(dāng)ε→0時(shí)第一列系數(shù)的符號改變情況,得出相應(yīng)的結(jié)論。

例3-8系統(tǒng)的特征方程為

試用勞斯判據(jù)判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定,請指出s右半平面根的個(gè)數(shù)。

由于當(dāng)ε→0時(shí)第一列系數(shù)符號改變兩次,所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,有兩個(gè)根在s右半平面。

(2)勞斯表中出現(xiàn)全零行。

當(dāng)出現(xiàn)這種情況時(shí),說明特征方程中存在著一些絕對值相同但符號相異的實(shí)根或共軛虛根,或者是對稱于原點(diǎn)的共軛復(fù)根,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

當(dāng)遇到這種情況時(shí),可利用該全零行的上一行元素構(gòu)成輔助多項(xiàng)式P(s),然后對輔助多項(xiàng)式求導(dǎo),用其導(dǎo)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)代替全零行,使勞斯表繼續(xù)計(jì)算下去,進(jìn)而應(yīng)用勞斯判

據(jù)判斷不穩(wěn)定根的情況。

絕對值相同但符號相異的實(shí)根或共軛虛根,或是對稱于實(shí)軸的共軛復(fù)根,可通過求解輔助方程P(s)=0求得。輔助方程的階數(shù)應(yīng)為偶數(shù),且等于絕對值相同但符號相異的根的個(gè)數(shù)。

3.5.3-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為

以特征方程的系數(shù)組成如下行列式:

則赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)為:系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是在a0>0的情況下,上述行列式的各階主子式Δi均大于零,即

3.5.4參數(shù)對穩(wěn)定性的影響

應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)或赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)不僅可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,還可以用來確定反饋系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),其開環(huán)增益或其他參數(shù)的取值范圍。

例3-11已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)增益K的取值范圍。

解根據(jù)題意,系統(tǒng)的特征方程為

例3-12已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-23所示,請分別討論使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)K和T的取值范圍。圖3-23-系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

3.5.5相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量

應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定,該判據(jù)并不能直接給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的方法;如果系統(tǒng)穩(wěn)定,該判據(jù)也不能直接指出系統(tǒng)是否具有滿意的動態(tài)性能。也就是說,通過勞斯穩(wěn)定判據(jù),只能了解系統(tǒng)是否穩(wěn)定,即是否所有的特征根都在s平面的左半平面。關(guān)于特征根到虛軸的距離,通過勞斯穩(wěn)定判據(jù)是無法得知的。如果一個(gè)系統(tǒng)的具有負(fù)實(shí)部的特征根非?？拷撦S,盡管滿足穩(wěn)定條件,但動態(tài)過程的性能指標(biāo)將較差,甚至?xí)捎趦?nèi)部參數(shù)的變化,使特征根轉(zhuǎn)移到s平面的右半平面,導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以,研究系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性顯得很有必要。

3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

3.6.1穩(wěn)態(tài)誤差的定義及計(jì)算1.誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義誤差一般定義為被控量的期望輸出Cr(s)與實(shí)際輸出C(s)之差,即式(3-74)也稱為輸出端的誤差定義,這種定義在性能指標(biāo)中經(jīng)常使用,但在實(shí)際系統(tǒng)中無法測量,一般只具有數(shù)學(xué)意義。

如果把系統(tǒng)的輸入信號R(s)作為被控量的期望輸出,把主反饋信號B(s)作為被控量的實(shí)際輸出,則誤差可表示為

式(3-75)稱為輸入端的誤差定義,這種定義在實(shí)際中可測,具有一定的物理意義,也常常被稱為控制系統(tǒng)的偏差信號圖3-24反饋控制系統(tǒng)及其等效反饋控制系統(tǒng)

上述兩種定義方法之間存在著一定的聯(lián)系,如果通過結(jié)構(gòu)圖等效變換方法,把圖3-24(a)的反饋系統(tǒng)變換為其等效單位反饋系統(tǒng),如圖3-24(b)所示。R'(s)代表被控量的期望輸出,則輸出端的誤差為

而根據(jù)圖3-24(a)所示的反饋系統(tǒng),輸入端的誤差為

比較式(3-76)和式(3-77),可得輸出端的誤差與輸入端的誤差之間的關(guān)系為

本書后面的敘述中,均采用輸入端的誤差定義。如有必要計(jì)算輸出端誤差,可采用式(3-78)進(jìn)行換算。當(dāng)H(s)=1時(shí),這兩種誤差的定義方法是一致的。

對誤差E(s)求拉普拉斯反變換可得其時(shí)域響應(yīng)表達(dá)式為

誤差時(shí)域響應(yīng)e(t)也包含穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量兩部分,對于一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng),隨著時(shí)間的推移,當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí),暫態(tài)分量將逐漸消失。其穩(wěn)態(tài)分量,即系統(tǒng)平穩(wěn)以后的誤差,稱為穩(wěn)態(tài)誤差,記為ess。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差定義為穩(wěn)定系統(tǒng)誤差時(shí)域響應(yīng)e(t)的終值。如果當(dāng)t→∞時(shí),e(t)的極限存在,則穩(wěn)態(tài)誤差為

2.穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算方法

在計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí),往往先計(jì)算出誤差函數(shù)E(s)。如果sE(s)的極點(diǎn)均位于s左半平面(包括坐標(biāo)原點(diǎn)),利用拉普拉斯變換的終值定理,可得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

所以求誤差函數(shù)E(s)是非常關(guān)鍵的。

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3-25所示,根據(jù)誤差的定義可分別求得給定輸入R(s)和擾動輸入N(s)下的誤差函數(shù)E(s),然后,再利用式(3-81)就可計(jì)算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。但是在應(yīng)用拉普拉斯變換的終值定理,即式(3-81)計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí),要注意sE(s)的極點(diǎn)均位于s左半平面(包括坐標(biāo)原點(diǎn))。圖3-25控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

3.6.2靜態(tài)誤差系數(shù)法計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差

由前面分析可知,系統(tǒng)的給定輸入穩(wěn)態(tài)誤差函數(shù)為

由上式可知,系統(tǒng)的給定輸入穩(wěn)態(tài)誤差E(s)與系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)和系統(tǒng)的輸入信號R(s)密切相關(guān)。對于一個(gè)給定的系統(tǒng),當(dāng)輸入信號形式一定時(shí),系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差