遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2025屆高三數(shù)學上學期期末考試試題理含解析

PAGE21-遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2025屆高三數(shù)學上學期期末考試試題理（含解析）第I卷選擇題（共60分）一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部是（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】因為,所以的虛部是，故選B.2.已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為2，則此直線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得直線的斜率和截距，由斜截式可得答案．【詳解】解：∵直線的傾斜角為45°，∴直線的斜率為k＝tan45°＝1，由斜截式可得方程為：y＝x+2，故選D．【點睛】本題考查直線的斜截式方程，屬基礎題．3.為了判定兩個分類變量X和Y是否有關系，應用獨立性檢驗法算的的觀測值為，又已知，，則下列說法正確的是（）A.有的把握認為“X和Y有關系”B.有的把握認為“X和Y沒有關系”C.有的把握認為“X和Y有關系”D.有的把握認為“X和Y沒有關系”【答案】A【解析】【分析】依據(jù)所給的觀測值，與所給的臨界值表中的數(shù)據(jù)進行比較，即可得出結論.【詳解】解：因為，所以，所以有以上的把握認為“X和Y有關系”，故選：A【點睛】此題考查了獨立性檢驗的應用問題，屬于基礎題.4.圓的圓心到直線的距離為1，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】本題首先可將圓的方程化為標準方程并求出圓的圓心，然后依據(jù)點到直線距離公式即可列出方程并求出的值.【詳解】因為可轉化為，所以圓的圓心為，半徑為，因為圓心到直線的距離為1，所以，解得，故選：B【點睛】本題考查依據(jù)圓方程求圓心以及點到直線距離公式的應用，可通過將圓的方程化為標準方程來求圓的圓心，考查計算實力，是簡潔題.5.據(jù)統(tǒng)計2024年“十一”黃金周哈爾濱太陽島每天接待的游客人數(shù)X聽從正態(tài)分布，則在此期間的某一天，太陽島接待的人數(shù)不少于1700的概率為（）附：，，，A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布的對稱性得出，從而可求出.【詳解】解：因為X聽從正態(tài)分布，且所以，所以，所以，故選：D【點睛】此題考查了正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題.6.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的誕生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種，現(xiàn)有十二生肖的祥瑞物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜愛牛和馬，乙同學喜愛牛、狗和羊，丙同學哪個祥瑞物都喜愛，假如讓三位同學選取禮物都滿足，則選法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】【分析】先分狀況甲選牛共有，甲選馬有，得出結果.【詳解】若同學甲選牛，那么同學乙只能選狗和羊中的一種，丙同學可以從剩下的10種隨意選，所以共有若同學甲選馬，那么同學乙能選牛、狗和羊中的一種，丙同學可以從剩下的10種隨意選，所以共有所以共有種故選B【點睛】本題主要考查了排列組合，分狀況選擇是解題的關鍵，屬于較為基礎題.7.綻開式中項的系數(shù)為（）A.30 B.40 C.60 D.120【答案】D【解析】【分析】將看成5個因式，分3步分析的取法，由分步計數(shù)原理以及多項式乘法分析可得答案.【詳解】綻開式中的項可以看成5個因式中，其中2個取，剩下的3個因式中2個取，最終一個取，即得到.所以綻開式中項的系數(shù)為.故選：D【點睛】本題考查三項綻開式中指定項系數(shù)，以及排列組合，計數(shù)原理，屬于基礎題型，本題的關鍵是理解綻開式中如何生成項.8.若拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點，則（）A.4 B.6 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】分別表示出拋物線的焦點與雙曲線的右焦點，進而構建等式求解即可.【詳解】在拋物線中焦點坐標為，在雙曲線中，即右焦點為，由題可知，故選：D【點睛】本題考查由拋物線與雙曲線共焦點求參數(shù)，屬于基礎題.9.籃子里裝有2個紅球，3個白球和4個黑球．某人從籃子中隨機取出兩個球，記事務“取出的兩個球顏色不同”，事務“取出一個紅球，一個白球”，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：事務A的選法有種，事務B的選法有，所以．故選B．考點：條件概率點評：求條件概率，只要算出事務B和事務A的數(shù)量，然后求出它們的商即可．10.從分別標有1，2，……，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先計算出全部狀況總數(shù)，及滿足條件的狀況數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案.【詳解】解：從分別標有1，2，……，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，基本領件總數(shù)，而其中抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性相同的基本領件個數(shù)，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性相同的概率，故選：B【點睛】此題考查概率的求法，考查古典概型等學問，考查運算求解實力，屬于基礎題.11.已知橢圓，點A，B分別是它的左，右頂點.一條垂直于x軸的動直線l與橢圓相交于P，Q兩點，又當直線l與橢圓相切于點A或點B時，看作P，Q兩點重合于點A或點B，則直線AP與直線BQ的交點M的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設，則，寫出直線和直線的方程，利用消去和即可得到結果.【詳解】設，則，則，因為，，當時，所以直線的方程為：直線的方程為：，所以，又，所以，即，當時，也符合上式，所以直線AP與直線BQ的交點M的軌跡方程是.故選：B.【點睛】本題考查了由橢圓的標準方程求頂點坐標，考查了直線方程，考查了交軌法求動點的軌跡方程，屬于基礎題.12.已知拋物線，直線與拋物線C交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓與x軸相切，則b的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由拋物線方程與直線方程聯(lián)立得到，利用韋達定理求得圓心和弦長，再依據(jù)以AB為直徑的圓與x軸相切，由求解.【詳解】由拋物線，與直線聯(lián)立得：，由，解得，設，所以，，設圓心為，則，，因為以AB為直徑的圓與x軸相切，所以，即，解得.故選：D【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系以及直線與圓的位置關系，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.第II卷非選擇題（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若圓的半徑為1，其圓心與點關于直線對稱，則圓的標準方程為__________.【答案】【解析】【分析】干脆求出點關于直線的對稱點，即可求出圓的標準方程.【詳解】因為圓心與點關于直線對稱，所以圓心的坐標為，又圓的半徑為1，所以圓的標準方程為.故答案為：【點睛】本題主要考查圓的標準方程，同時考查求點關于直線的對稱點，屬于基礎題.14.已知數(shù)列的通項公式為，則其前n項和______．【答案】【解析】【分析】利用錯位相減法可求得答案．【詳解】由得：，，得，．故答案為．【點睛】“錯位相減法”求數(shù)列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應留意以下幾點：①駕馭運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；②相減時留意最終一項的符號；③求和時留意項數(shù)別出錯；④最終結果肯定不能遺忘等式兩邊同時除以.15.已知直線,相互垂直，則實數(shù)的值是.【答案】或【解析】【詳解】【分析】解：因為直線,相互垂直，

故有，解得或,所以答案為或16.中心在原點的橢圓與雙曲線具有相同的焦點、，P為與在第一象限的交點，且，若雙曲線的離心率，則橢圓的離心率的范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由于P為與在第一象限的交點，，分別在橢圓與雙曲線的焦點三角形中依照定義構建關系得到，再分別由其對應離心率公式表示并由不等式性質求得答案.【詳解】設橢圓：與雙曲線：，因為P為與在第一象限的交點，，所以焦點三角形是以為底邊的等腰三角形，即在橢圓中有①；同理，在雙曲線中有②，由①②可知，，因為，且，由不等式的性質可知，.故答案為：【點睛】本題考查橢圓與雙曲線共焦點問題中求橢圓的離心率范圍問題，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.函數(shù)的最小正周期為π.（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）是銳角三角形，三個內角A，B，C對應邊分別為a，b，c，若，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由協(xié)助角公式整理原函數(shù)，再由求得原函數(shù)解析式，最終由正弦函數(shù)性質求得單調遞增區(qū)間；（2）由已知關系求得角B，再由正弦定理將邊ac轉化為角AC的關系，再由三角函數(shù)求值域方式求得答案.【詳解】（1），∵，∴，∴.由正弦函數(shù)性質令，∴.故增區(qū)間為.（2），∵，∴，∴，∴.由正弦定理得，，所以.∵銳角三角形，∴，，∴，∴，∴【點睛】本題考查三角恒等變換化簡整理三角函數(shù)并由正弦函數(shù)性質求單調區(qū)間，還考查了利用正弦定理邊化角并求三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點，，，.（1）若為的中點，求證：面；（2）若二面角為，設，試確定的值.【答案】(1)證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，交于，連接．證明．利用直線與平面平行的判定定理證明平面．

（2）以為原點,分別為軸建立空間直角坐標系．

求出平面的法向量，平面法向量，利用二面角為，求解的值，得到答案.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接．

∵且，四邊形為平行四邊形，且為中點，

又∵點是棱的中點，所以．

∵平面，平面.

∴面.(2)，為的中點，∴．

∵平面平面，且平面∩平面，

∴平面．

∵，為的中點，∴四邊形為平行四邊形，∴．

∵,∴

即以為原點,分別為軸建立空間直角坐標系.則則平面的法向量為設設平面的法向量為則即可取由二面角為所以化簡得：，解得：或（舍）所以，則所以.【點睛】本題考查直線與平面平行的證明和利用二面角確定點的位置得到參數(shù)的值，屬于中檔題.19.是指大氣中直徑小于或等于微米顆粒物，也稱為可吸入肺顆粒物.我國標準采納世衛(wèi)組織設定的最寬限值，即日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標，某試點城市環(huán)保局從該市市區(qū)2024年上半年每天的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如下莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）.（1）在這15天的日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，求其中位數(shù)；（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取2天數(shù)據(jù)，記表示抽到監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望；（3）以這15天的日均值來估計該市下一年的空氣質量狀況，則一年（按365天計算）中平均有多少天的空氣質量達到一級或二級.【答案】（1）45；（2）分布列見解析，；（3）219.【解析】【分析】（1）由莖葉圖從小到大找到第8個數(shù)，即為中位數(shù)；（2）由于假設記“從15天的PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出2天，超標的有6天，未超標的有9天，聽從超幾何分布，求出分別取的概率，列出分分列，求出數(shù)學期望；（3）先計算一年中每天空氣質量達到一級或二級的概率，則一年中空氣質量達到一級或二級的天數(shù)為聽從二項分布，依據(jù)二項分布的期望公式求出期望．【詳解】（1）由莖葉圖可得中位數(shù)是45.（2）依據(jù)條件，聽從超幾何分布：其中，，，的可能值為，，，，所以的分布列為：012P.（3）依題意可知，一年中每天空氣質量達到一級或二級的概率為，一年中空氣質量達到一級或二級的天數(shù)為，則，，∴一年中平均有219天的空氣質量達到一級或二級.【點睛】本題考查了已知詳細數(shù)據(jù)求中位數(shù)，超幾何分布的概率公式，分布列，期望，二項分布的期望，屬于中檔題.20.平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，左右焦點分別是和，以為圓心，3為半徑的圓與以為圓心，1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程.（2）設橢圓，P為橢圓C上隨意一點，過點P的直線交橢圓E于A、B兩點，射線OP交橢圓E于點Q.①推斷是否為定值？若是定值求出該定值，若不是定值說明理由.②求面積的最大值.【答案】（1）；（2）①為定值，定值為2；②.【解析】【分析】(1)設兩圓的一個交點為P，則，，由橢圓的定義可求出，又離心率為求出，從而可得橢圓C的方程;(2)①設P（x0，y0），，可得,將其代入橢圓的方程可得結果;②設A（x1，y1），B（x2，y2），將直線與橢圓E的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關系表示出弦長，同時直線與兩橢圓都有交點，兩個判別式大于0，到直線的距離將到直線的距離表示出來，再將面積表示出來求最值可求得結果.【詳解】（1）設兩圓的一個交點為P，則，，由P在橢圓上可得，則，，得，則，故橢圓方程為.（2）①橢圓方程，，則，在射線上，，，代入可得，，=2.②直線為，由①可得為的中點，在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等，則，，，聯(lián)立，，則，，=，聯(lián)立，得，∴，∴，，當時，面積的最大值為.【點睛】本題考查了利用求橢圓的標準方程，考查了直線與橢圓的交點問題，考查了設而不解，聯(lián)立方程組，根與系數(shù)的關系等基本技巧，考查了三角形的面積公式,二次函數(shù)求最值,換元法，還考查了分析實力，運算實力，難度較大.21.已知函數(shù)，，.（1）當時，若對隨意均有成立，求實數(shù)k的取值范圍；（2）設直線與曲線和曲線均相切，切點分別為，，其中.①求證：；②當時，關于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）對隨意均有成立，等價于，所以只要使和，對恒成立，所以構造函數(shù)求最小值大于等于零，求其最大值，即可求出k的取值范圍；（2）①由題可知，為曲線和曲線的公切線，則兩切點處導數(shù)相等，且與連線斜率也相等，再結合，即可證明；②恒成立等價于，在恒成立，所以構造函數(shù)求得其最大值為，而，代換后可求出a的取值范圍.【詳解】（1）當時，，由，知：，①令，對恒成立，,，，當，，成立，當，，，，，∴，不成立，∴.②設，∴，當時，；當時，，∴，∴.故：實數(shù)k的取值范圍是.（2）由已知：，，①由得：，由得：，故，∵，∴，∴，故：.②，在恒成立.設，，∴在為減函數(shù)，∴，，∵，∴，∴.【點睛】此題孝琳是函數(shù)恒成立問題，綜合性強，對分析問題解決問題的實力要求較高，屬于難題.請考生在22，23題中任選一題作答，假如多做