遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理含解析

PAGE21-遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理（含解析）第I卷選擇題（共60分）一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?所以的虛部是，故選B.2.已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為2，則此直線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得直線的斜率和截距，由斜截式可得答案．【詳解】解：∵直線的傾斜角為45°，∴直線的斜率為k＝tan45°＝1，由斜截式可得方程為：y＝x+2，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直線的斜截式方程，屬基礎(chǔ)題．3.為了判定兩個(gè)分類變量X和Y是否有關(guān)系，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)法算的的觀測(cè)值為，又已知，，則下列說法正確的是（）A.有的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”B.有的把握認(rèn)為“X和Y沒有關(guān)系”C.有的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”D.有的把握認(rèn)為“X和Y沒有關(guān)系”【答案】A【解析】【分析】依據(jù)所給的觀測(cè)值，與所給的臨界值表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，即可得出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以有以上的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.4.圓的圓心到直線的距離為1，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】本題首先可將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程并求出圓的圓心，然后依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式即可列出方程并求出的值.【詳解】因?yàn)榭赊D(zhuǎn)化為，所以圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A心到直線的距離為1，所以，解得，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)圓方程求圓心以及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，可通過將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程來求圓的圓心，考查計(jì)算實(shí)力，是簡(jiǎn)潔題.5.據(jù)統(tǒng)計(jì)2024年“十一”黃金周哈爾濱太陽島每天接待的游客人數(shù)X聽從正態(tài)分布，則在此期間的某一天，太陽島接待的人數(shù)不少于1700的概率為（）附：，，，A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性得出，從而可求出.【詳解】解：因?yàn)閄聽從正態(tài)分布，且所以，所以，所以，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了正態(tài)分布的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.6.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的誕生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種，現(xiàn)有十二生肖的祥瑞物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜愛牛和馬，乙同學(xué)喜愛牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)祥瑞物都喜愛，假如讓三位同學(xué)選取禮物都滿足，則選法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】【分析】先分狀況甲選牛共有，甲選馬有，得出結(jié)果.【詳解】若同學(xué)甲選牛，那么同學(xué)乙只能選狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種隨意選，所以共有若同學(xué)甲選馬，那么同學(xué)乙能選牛、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種隨意選，所以共有所以共有種故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合，分狀況選擇是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.7.綻開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A.30 B.40 C.60 D.120【答案】D【解析】【分析】將看成5個(gè)因式，分3步分析的取法，由分步計(jì)數(shù)原理以及多項(xiàng)式乘法分析可得答案.【詳解】綻開式中的項(xiàng)可以看成5個(gè)因式中，其中2個(gè)取，剩下的3個(gè)因式中2個(gè)取，最終一個(gè)取，即得到.所以綻開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三項(xiàng)綻開式中指定項(xiàng)系數(shù)，以及排列組合，計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題型，本題的關(guān)鍵是理解綻開式中如何生成項(xiàng).8.若拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則（）A.4 B.6 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】分別表示出拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)建等式求解即可.【詳解】在拋物線中焦點(diǎn)坐標(biāo)為，在雙曲線中，即右焦點(diǎn)為，由題可知，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線與雙曲線共焦點(diǎn)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.9.籃子里裝有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黑球．某人從籃子中隨機(jī)取出兩個(gè)球，記事務(wù)“取出的兩個(gè)球顏色不同”，事務(wù)“取出一個(gè)紅球，一個(gè)白球”，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：事務(wù)A的選法有種，事務(wù)B的選法有，所以．故選B．考點(diǎn)：條件概率點(diǎn)評(píng)：求條件概率，只要算出事務(wù)B和事務(wù)A的數(shù)量，然后求出它們的商即可．10.從分別標(biāo)有1，2，……，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性相同的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先計(jì)算出全部狀況總數(shù)，及滿足條件的狀況數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案.【詳解】解：從分別標(biāo)有1，2，……，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，基本領(lǐng)件總數(shù)，而其中抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性相同的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性相同的概率，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查概率的求法，考查古典概型等學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.11.已知橢圓，點(diǎn)A，B分別是它的左，右頂點(diǎn).一條垂直于x軸的動(dòng)直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，又當(dāng)直線l與橢圓相切于點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)，看作P，Q兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A或點(diǎn)B，則直線AP與直線BQ的交點(diǎn)M的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，則，寫出直線和直線的方程，利用消去和即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，則，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，所以直線的方程為：直線的方程為：，所以，又，所以，即，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以直線AP與直線BQ的交點(diǎn)M的軌跡方程是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求頂點(diǎn)坐標(biāo)，考查了直線方程，考查了交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.12.已知拋物線，直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓與x軸相切，則b的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由拋物線方程與直線方程聯(lián)立得到，利用韋達(dá)定理求得圓心和弦長，再依據(jù)以AB為直徑的圓與x軸相切，由求解.【詳解】由拋物線，與直線聯(lián)立得：，由，解得，設(shè)，所以，，設(shè)圓心為，則，，因?yàn)橐訟B為直徑的圓與x軸相切，所以，即，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.第II卷非選擇題（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若圓的半徑為1，其圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.【答案】【解析】【分析】干脆求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳A心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以圓心的坐標(biāo)為，又圓的半徑為1，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)考查求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則其前n項(xiàng)和______．【答案】【解析】【分析】利用錯(cuò)位相減法可求得答案．【詳解】由得：，，得，．故答案為．【點(diǎn)睛】“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)留意以下幾點(diǎn)：①駕馭運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)留意最終一項(xiàng)的符號(hào)；③求和時(shí)留意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最終結(jié)果肯定不能遺忘等式兩邊同時(shí)除以.15.已知直線,相互垂直，則實(shí)數(shù)的值是.【答案】或【解析】【詳解】【分析】解：因?yàn)橹本€,相互垂直，

故有，解得或,所以答案為或16.中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線具有相同的焦點(diǎn)、，P為與在第一象限的交點(diǎn)，且，若雙曲線的離心率，則橢圓的離心率的范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由于P為與在第一象限的交點(diǎn)，，分別在橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)三角形中依照定義構(gòu)建關(guān)系得到，再分別由其對(duì)應(yīng)離心率公式表示并由不等式性質(zhì)求得答案.【詳解】設(shè)橢圓：與雙曲線：，因?yàn)镻為與在第一象限的交點(diǎn)，，所以焦點(diǎn)三角形是以為底邊的等腰三角形，即在橢圓中有①；同理，在雙曲線中有②，由①②可知，，因?yàn)?，且，由不等式的性質(zhì)可知，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題中求橢圓的離心率范圍問題，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.函數(shù)的最小正周期為π.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）是銳角三角形，三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，若，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由協(xié)助角公式整理原函數(shù)，再由求得原函數(shù)解析式，最終由正弦函數(shù)性質(zhì)求得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由已知關(guān)系求得角B，再由正弦定理將邊ac轉(zhuǎn)化為角AC的關(guān)系，再由三角函數(shù)求值域方式求得答案.【詳解】（1），∵，∴，∴.由正弦函數(shù)性質(zhì)令，∴.故增區(qū)間為.（2），∵，∴，∴，∴.由正弦定理得，，所以.∵銳角三角形，∴，，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換化簡(jiǎn)整理三角函數(shù)并由正弦函數(shù)性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間，還考查了利用正弦定理邊化角并求三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.18.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，.（1）若為的中點(diǎn)，求證：面；（2）若二面角為，設(shè)，試確定的值.【答案】(1)證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，交于，連接．證明．利用直線與平面平行的判定定理證明平面．

（2）以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

求出平面的法向量，平面法向量，利用二面角為，求解的值，得到答案.【詳解】（1）證明：連接，交于，連接．

∵且，四邊形為平行四邊形，且為中點(diǎn)，

又∵點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以．

∵平面，平面.

∴面.(2)，為的中點(diǎn)，∴．

∵平面平面，且平面∩平面，

∴平面．

∵，為的中點(diǎn)，∴四邊形為平行四邊形，∴．

∵,∴

即以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則則平面的法向量為設(shè)設(shè)平面的法向量為則即可取由二面角為所以化簡(jiǎn)得：，解得：或（舍）所以，則所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明和利用二面角確定點(diǎn)的位置得到參數(shù)的值，屬于中檔題.19.是指大氣中直徑小于或等于微米顆粒物，也稱為可吸入肺顆粒物.我國標(biāo)準(zhǔn)采納世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)，某試點(diǎn)城市環(huán)保局從該市市區(qū)2024年上半年每天的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)的抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如下莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）.（1）在這15天的日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，求其中位數(shù)；（2）從這15天的數(shù)據(jù)中任取2天數(shù)據(jù)，記表示抽到監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）以這15天的日均值來估計(jì)該市下一年的空氣質(zhì)量狀況，則一年（按365天計(jì)算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí).【答案】（1）45；（2）分布列見解析，；（3）219.【解析】【分析】（1）由莖葉圖從小到大找到第8個(gè)數(shù)，即為中位數(shù)；（2）由于假設(shè)記“從15天的PM2.5日均監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出2天，超標(biāo)的有6天，未超標(biāo)的有9天，聽從超幾何分布，求出分別取的概率，列出分分列，求出數(shù)學(xué)期望；（3）先計(jì)算一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率，則一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)為聽從二項(xiàng)分布，依據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求出期望．【詳解】（1）由莖葉圖可得中位數(shù)是45.（2）依據(jù)條件，聽從超幾何分布：其中，，，的可能值為，，，，所以的分布列為：012P.（3）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的概率為，一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)為，則，，∴一年中平均有219天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí).【點(diǎn)睛】本題考查了已知詳細(xì)數(shù)據(jù)求中位數(shù)，超幾何分布的概率公式，分布列，期望，二項(xiàng)分布的期望，屬于中檔題.20.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，左右焦點(diǎn)分別是和，以為圓心，3為半徑的圓與以為圓心，1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的方程.（2）設(shè)橢圓，P為橢圓C上隨意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，射線OP交橢圓E于點(diǎn)Q.①推斷是否為定值？若是定值求出該定值，若不是定值說明理由.②求面積的最大值.【答案】（1）；（2）①為定值，定值為2；②.【解析】【分析】(1)設(shè)兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為P，則，，由橢圓的定義可求出，又離心率為求出，從而可得橢圓C的方程;(2)①設(shè)P（x0，y0），，可得,將其代入橢圓的方程可得結(jié)果;②設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），將直線與橢圓E的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出弦長，同時(shí)直線與兩橢圓都有交點(diǎn)，兩個(gè)判別式大于0，到直線的距離將到直線的距離表示出來，再將面積表示出來求最值可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為P，則，，由P在橢圓上可得，則，，得，則，故橢圓方程為.（2）①橢圓方程，，則，在射線上，，，代入可得，，=2.②直線為，由①可得為的中點(diǎn)，在直線上，則到直線的距離與到直線的距離相等，則，，，聯(lián)立，，則，，=，聯(lián)立，得，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的交點(diǎn)問題，考查了設(shè)而不解，聯(lián)立方程組，根與系數(shù)的關(guān)系等基本技巧，考查了三角形的面積公式,二次函數(shù)求最值,換元法，還考查了分析實(shí)力，運(yùn)算實(shí)力，難度較大.21.已知函數(shù)，，.（1）當(dāng)時(shí)，若對(duì)隨意均有成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）設(shè)直線與曲線和曲線均相切，切點(diǎn)分別為，，其中.①求證：；②當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）對(duì)隨意均有成立，等價(jià)于，所以只要使和，對(duì)恒成立，所以構(gòu)造函數(shù)求最小值大于等于零，求其最大值，即可求出k的取值范圍；（2）①由題可知，為曲線和曲線的公切線，則兩切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)相等，且與連線斜率也相等，再結(jié)合，即可證明；②恒成立等價(jià)于，在恒成立，所以構(gòu)造函數(shù)求得其最大值為，而，代換后可求出a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由，知：，①令，對(duì)恒成立，,，，當(dāng)，，成立，當(dāng)，，，，，∴，不成立，∴.②設(shè)，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，∴.故：實(shí)數(shù)k的取值范圍是.（2）由已知：，，①由得：，由得：，故，∵，∴，∴，故：.②，在恒成立.設(shè)，，∴在為減函數(shù)，∴，，∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】此題孝琳是函數(shù)恒成立問題，綜合性強(qiáng)，對(duì)分析問題解決問題的實(shí)力要求較高，屬于難題.請(qǐng)考生在22，23題中任選一題作答，假如多做