天津市河西區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE15-天津市河西區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若向量，向量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，則，代入運(yùn)算即可得解.【詳解】解:因?yàn)橄蛄?，向量，則,則,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2.設(shè)是橢圓上的一動點(diǎn)，則到該橢圓的兩個焦點(diǎn)的距離之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓的定義即可得解.【詳解】解：設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，由橢圓的定義有：，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義，屬基礎(chǔ)題.3.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求拋物線的準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解：由拋物線的方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)式可得，即拋物線的準(zhǔn)線方程是：，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，重點(diǎn)考查了拋物線的準(zhǔn)線方程，屬基礎(chǔ)題.4.中心在坐標(biāo)原心、焦點(diǎn)在x軸，且長軸長為18、焦距為12的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)條件，求得a、b、c的值，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】由題可得，，故，，又焦點(diǎn)在軸上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，留意焦點(diǎn)的位置，屬于基礎(chǔ)題．5.如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，若，則可表示為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】,故本題正確答案為6.已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為A. B. C. D.【答案】D【解析】由e==2得4==1+,∴=3.∴雙曲線的漸近線方程為y=±x,拋物線x2=2py的焦點(diǎn)是（0,）,它到直線y=±x的距離d=2==,∴p=8.∴拋物線方程為x2=16y.故選D.7.若兩個向量,則平面的一個法向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)平面ABC的法向量為，依據(jù)數(shù)量積等于0，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)平面ABC的法向量為，則，即，令，則，即平面ABC的一個法向量為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面的法向量的求解，其中解答中依據(jù)法向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量垂直，列出關(guān)于的方程組求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出點(diǎn)坐標(biāo)，作關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)，利用連點(diǎn)之間相對最短得出為的最小值．【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，∵，∴到準(zhǔn)線的距離為，故點(diǎn)縱坐標(biāo)為，把代入拋物線方程可得．不妨設(shè)在第一象限，則，點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為，連接，則，于是故的最小值為．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的簡潔性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9.設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線的左頂點(diǎn)，為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于兩點(diǎn)，且滿意，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出雙曲線漸近線方程，然后求出，再利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由雙曲線方程為，則其漸近線方程為，聯(lián)立，解得或，即，又，則，，則，解得，即，即，即，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線漸近線方程的求法，重點(diǎn)考查了雙曲線的離心率，屬中檔題.二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，多空題只答對一空得3分，共30分.10.若向量，向量，且，則_____，_____.【答案】(1).1(2).-2【解析】【分析】由題意可得，再求解即可.【詳解】解：由向量，向量，且，則，解得：，故答案為：1，-2.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.11.若雙曲線上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是.【答案】10【解析】試題分析：由雙曲線方程可知，由定義得考點(diǎn)：雙曲線定義點(diǎn)評：雙曲線上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的肯定值等于12.若方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】由橢圓的幾何性質(zhì)可得，再解不等式組即可得解.【詳解】解：由方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，則，解得：，即，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.13.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為______.【答案】【解析】【分析】先求出向量與所成角的余弦值，再求異面直線與所成角的余弦值即可.【詳解】解：由，，，則,,則向量與所成角的余弦值為,則異面直線與所成角的余弦值為,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了空間向量的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.14.已知過點(diǎn)M（1，0）的直線AB與拋物線y2=2x交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA，OB的斜率之和為1，則直線AB方程為______．【答案】2x+y-2=0【解析】【分析】設(shè)直線AB的方程并代入拋物線方程，依據(jù)韋達(dá)定理以及斜率公式，可得的值，進(jìn)而得到直線的方程．【詳解】依題意可設(shè)直線AB的方程為：x=ty+1，代入y2=2x得，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1y2=-2，y1+y2=2t，所以，∴，解得，∴直線AB的方程為：x=+1，即2x+y-2=0．故答案為2x+y-2=0．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線方程的求解，其中設(shè)出直線的方程，代入拋物線的方程，利用韋達(dá)定理以及斜率公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解實(shí)力，屬于中檔試題．15.在空間直角坐標(biāo)系中，，，且，則的最小值是________，最大值是__________.【答案】(1).0(2).8【解析】【分析】先利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算可得，再利用橢圓的參數(shù)方程求最值即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，即，設(shè)，則，又，則，故答案為：0，8.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了橢圓的參數(shù)方程，屬中檔題.三.解答題：本大題共3小題，共34分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）求雙曲線的實(shí)軸長，離心率，焦點(diǎn)到漸近線的距離.【答案】（1）；（2）實(shí)軸長2，離心率為，距離為【解析】【分析】（1）由共漸近線雙曲線方程的求法求解即可；（2）由雙曲線方程及點(diǎn)到直線距離求解即可.【詳解】解：（1）解：在雙曲線中，，，則漸近線方程為，∵雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，，∴方程可化為，又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，代入方程，，解得，，∴雙曲線的方程為.（2）解；由（1）知雙曲線中，，，，∴實(shí)軸長，離心率為，設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為，一條漸近線方程為，，即焦點(diǎn)到漸近線的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查了共漸近線雙曲線方程的求法，重點(diǎn)考查了點(diǎn)到直線的距離，屬基礎(chǔ)題.17.如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若點(diǎn)在線段（不包含端點(diǎn)）上，且直線平面，求線段的長.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸的空間直角坐標(biāo)系，再標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量的應(yīng)用即可得證；（2）求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，再利用數(shù)量積公式求解即可；（3）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使平面，由求解即可.【詳解】證明：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，則，，，設(shè)是平面的一個法向量，則由，得，取，得.，，又平面，平面.（2）解：由（1）知是平面的一個法向量，又是平面的一個法向量.設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，,故二面角的平面角的余弦值為.（3）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使平面，設(shè)，則，，，，由得，解得，，則.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了運(yùn)算實(shí)力，屬中檔題.18.已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的動直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：設(shè)出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點(diǎn)軸時，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長公式求得，由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時.所以點(diǎn)到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時取等號，滿意所以的面積最大時直線的