新人教A版必修一 函數(shù)的單調(diào)性 教案

2019-2020學年新人教A版必修一函數(shù)的單調(diào)性教案

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為了,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間〃上

的任意兩個自變量的值X\,X2

定義當X1〈用時，都有(X2),那當不〈加時，都有f(xj〉f(xj,

么就說函數(shù)f(X)在區(qū)間〃上是增那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間。上是

函數(shù)減函數(shù)

y=f(x)

圖象1^1)：fix-2)

0￡X

描述Opi~~%.—x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間，上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)(x)在這一區(qū)間具有

(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間〃叫做尸生x)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設函數(shù)y=F(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)〃滿足

(1)對于任意的xe/,都有(3)對于任意的xe/,都有？

條件f(x)WM；

(2)存在司6/,使得f(x。)=M(4)存在苞eI,使得f(x。=M

結論〃為最大值〃為最小值

概念方法微思考

1.在判斷函數(shù)的單調(diào)性時,你還知道哪些等價結論？

提示對V荀，X2^D,錯誤！〉00f(x)在〃上是增函數(shù)，減函數(shù)類似.

2.寫出對勾函數(shù)y=x+錯誤！(a〉0)的增區(qū)間.

提示(-8,一錯誤!］和［錯誤!，+8).

題組一思考辨析

1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)若定義在R上的函數(shù)/"(x),有/1(一1)"(3),則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù).(X)

(2)函數(shù)尸/(X)在［1,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8).(x)

(3)函數(shù)y=錯誤!的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,o)U(0,+8).(x)

(4)如果一個函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個函數(shù)在定義域上是增

函數(shù).(X)

(5)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.(X)

題組二教材改編

2.函數(shù)/■(x)=V—2x的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案［1,+8)(或(1,+8))

3.函數(shù)y=錯誤!在［2,3］上的最大值是.

答案2

4.若函數(shù)f{x)=/—在［2,+8)上是增函數(shù),則實數(shù)7的取值范圍是.

答案(一8,2］

解析由題意知，［2,+°°)c\_m,+8),

題組三易錯自糾

5.函數(shù)尸log［(V—4)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

2

答案(2,+8)

6.若函數(shù)/'(x)=\x-aI+1的增區(qū)間是［2,+8)，則a=.

答案2

解析?."(x)=|x—aI+1的單調(diào)遞增區(qū)間是［a,+8),

7.函數(shù)尸F(xiàn)(x)是定義在［—2,2］上的減函數(shù)，且(2a),則實數(shù)a的取值范圍

是.

答案［T,l)

解析由條件知錯誤!解得一

8.函數(shù)f(x)=錯誤!的最大值為.

答案2

解析當時，函數(shù)/1(*)=錯誤!為減函數(shù)，

所以f(x)在x=1處取得最大值,為AD=1;

當X〈1時，易知函數(shù)/'(x)=-x2+2在x=0處取得最大值，為f(0)=2。

故函數(shù)/"(x)的最大值為2。

題型分類深度剖析

------------------------------------------真題典題深度剖析重點難點多維探究-------------------------------------------

題型一確定函數(shù)的單調(diào)性

命題點1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例1(1)函數(shù)f(x)=ln(/-2X-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—8,—2)B.(—8,1)

C.(1,+°°)D.(4,+°°)

答案D

解析函數(shù)尸步一2x—8=(x—1)°—9圖象的對稱軸為直線x=l,由2x—8>0,解得

x>4或x〈一2,所以(4,+8)為函數(shù)y=f—2矛一8的一個單調(diào)遞增區(qū)間.根據(jù)復合函數(shù)

的單調(diào)性可知，函數(shù)/■(性=ln(V—2x—8)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+8).

(2)函數(shù)y=一f+21x1+3的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案［—1,0］,［1,+8)

解析由題意知，當時，y=—*2+2*+3=—(x—1)?+4;當K0時，y=—2x+3

=-(x+l”+4,

二次函數(shù)的圖象如圖.

由圖象可知，函數(shù)y=-V+2|x1+3的單調(diào)遞減區(qū)間為1―1,0］,［1,+8).

命題點2討論函數(shù)的單調(diào)性

例2判斷并證明函數(shù)f(x)錯誤！(其中l(wèi)<a<3)在［1,2］上的單調(diào)性.

解函數(shù)/(x)=ax?+錯誤！(1〈a〈3)在［1,2］上單調(diào)遞增.

證明：設IWxi〈^W2,則

廣(蒞)-=a播誤!+錯誤!—a燔誤！一錯誤！

=(xz—xi)錯誤！,

由lWxi〈AiiW2,得加一荀〉0,2〈為+田<4,

1〈荀范(4,—1〈一錯誤！〈一錯誤！。

又因為1〈a〈3,所以2〈a(荀+.)<12,

得a(覆+至)一錯誤！〉0,

從而f(茲)-f(xi)〉0,即/'(X2)〉/1(X1),

故當ae(1,3)時，f(x)在［1,2］上單調(diào)遞增.

引申探究

如何用導數(shù)法求解本例？

解/(x)=2ax—錯誤！=錯誤！，

因為1WI2,所以1WfW8,又l〈a(3,

所以2a為3—1〉0,所以f(x)>0,

所以函數(shù)f(x)=ax'+錯誤！(其中1〈a〈3)在［1,2］上是增函數(shù).

思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的方法：(1)定義法和導數(shù)法,證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導

數(shù)法；(2)復合函數(shù)法，復合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”；(3)圖象法，圖象不連續(xù)

的單調(diào)區(qū)間不能用“U”連接.

跟蹤訓練1(1)下列函數(shù)中，滿足"V屈，熱G(0,+°°)且xiWxz,(國一X2)?［f(xi)—

f〈x。］〈0”的是()

A.A(￡)=2"B.f(x)=|x—1I

C.y(x)=錯誤！一如.『(x)=ln(x+l)

答案C

解析由(XLX?)?［f(xi)—fix?)］〈0可知，f(x)在(0,+8)上是減函數(shù),A,D選項

中，f(x)為增函數(shù)；B中，f(x)=Ix-1|在(0,+8)上不單調(diào);對于/<x)=錯誤！一x,

因為y=錯誤!與尸一x在(0,+8)上單調(diào)遞減，因此f(x)在(0,+8)上是減函數(shù).

(2)函數(shù)f(x)=(a-1)x+2在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)g(x)=a1*一?的單調(diào)遞減區(qū)間是

答案(一8,2］

解析因為f(x)在R上單調(diào)遞增，所以a—1〉0,即a〉1,因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間就是

y=|x—2|的單調(diào)遞減區(qū)間(-8,21.

(3)函數(shù)fU=\x—2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案［1,2］

解析f(x)=錯誤！

畫出f(x)圖象，

由圖知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是［1,2］.

題型二函數(shù)的最值...........?自主演練

1.函數(shù)尸錯誤!的值域為.

答案［T,1)

解析由_/=錯誤!，可得了2=錯誤！。

由丁20,知錯誤！》0,解得一IWy〈1,

故所求函數(shù)的值域為［—1,1).

2.函數(shù)尸x+錯誤!的最大值為.

答案錯誤！

解析由1—可得一1W后1。

可令x=cos9,96［0,it］,

貝!J尸cos。+sin?=/sin錯誤!，9G［0,JI］,

所以一1WZ錯誤！，

故原函數(shù)的最大值為錯誤!.

3.函數(shù)y=|x+11+|x—2I的值域為.

答案［3,+8)

解析函數(shù)y=錯誤！

作出函數(shù)的圖象如圖所示.

根據(jù)圖象可知，函數(shù)尸Ix+1I+|x—2I的值域為［3,+8).

4.函數(shù)y=錯誤!的值域為.

答案{川HR且月3}

解析尸錯誤！=錯誤！=3+錯誤!，

因為錯誤！W0,所以3+錯誤!W3,

所以函數(shù)尸錯誤！的值域為{川HR且月3}.

5.函數(shù)/1(x)=錯誤!'一logz(x+2)在區(qū)間［―1,1］上的最大值為.

答案3

解析由于y=錯誤!"在［-1,1］上單調(diào)遞減，y=logz(x+2)在［—1,1］上單調(diào)

遞增，所以f(x)在［—1,1］上單調(diào)遞減，故/'(x)在［-1,1］上的最大值為『(一1)=

3.

6.若函數(shù)f(x)=V+ax+6在區(qū)間［0,1］上的最大值是弘最小值是典則此0()

A.與a有關，且與6有關B.與a有關，但與6無關

C.與a無關，且與6無關D.與a無關，但與6有關

答案B

解析方法一設荀，苞分別是函數(shù)/<x）在［0,1］上的最小值點與最大值點，

則m=一滯誤！+axi+6,〃=姓t誤！+a為+6。

.?.T!/—0=行^誤！一坪t誤！-\-a（x2—xi）,

顯然此值與a有關，與6無關.故選B.

方法二由題意可知，函數(shù)/<x）的二次項系數(shù)為固定值，則二次函數(shù)圖象的形狀一定.隨著

6的變動，相當于圖象上下移動，若6增大孑個單位,則最大值與最小值分別變?yōu)槿巳思?上

而（〃+"）—（ffl+A）—M—m,故與6無關.隨著a的變動，相當于圖象左右移動，則〃一切

的值在變化，故與a有關，故選B.

思維升華求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路

（1）單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

（2）圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.

（3）換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值.

（4）分離常數(shù)法：形如求了=錯誤?。╝c#0）的函數(shù)的值域或最值常用分離常數(shù)法求解.

（5）基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式

求出最值.

題型三函數(shù)單調(diào)性的應用

探

命題點1比較函數(shù)值的大小

例3已知函數(shù)f（x）的圖象向左平移1個單位后關于y軸對稱，當e>荀〉1時，（加一

/（歷）］-（田一劉）〈0恒成立，設a=福誤!"=六2）"=f（3）,則a",c的大小關系為（）

A.c）a〉LS>.c）b）a

C.a>c>Z?D.b>a>c

答案D

解析根據(jù)已知可得函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=l對稱，且在（1,+8）上是減函數(shù)，因

為誤！=遮誤！，且2〈錯誤!<3,所以垃a>c.

命題點2解函數(shù)不等式

例4（2018?四川成都五校聯(lián)考）設函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在（0,+8）內(nèi)是增函數(shù)，又/?（一

3）=0,則/'（X）（0的解集是（）

A.{x|—3〈x<0或x>3}

B.{x|正一3或0〈木3}

C.{x|x〈一3或x>3}

D.{xI-3〈x〈0或0〈x<3}

答案B

解析,.,/■(X)是奇函數(shù)，f(—3)=0,

.,.f(—3)=-f(3)=0,解得f(3)=0.

?函數(shù)/"(x)在(0,+°°)內(nèi)是增函數(shù)，

當0〈x<3時，f(x)<0；當x>3時，f(x)>0.

:函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，...當一3〈X〈0時，f(x)>0；

當x(—3時，f(x)<0.

則不等式f(x)<0的解集是{xI0〈x<3或x〈一3}.

命題點3求參數(shù)的取值范圍

例5(1)(2018?全國II)若f(x)=cosx—sinx在［0,a］上是減函數(shù),則a的最大值是()

A.錯誤!B。錯誤!C.錯誤!D.n

答案C

解析?；/>(X)=<205丫一5：111矛=一錯誤!5111錯誤！，

當X—錯誤！G錯誤!，即XG錯誤!時，

y=sin錯誤!單調(diào)遞增，

f(x)=一MLin錯誤!單調(diào)遞減，

.?.錯誤!是廣(x)在原點附近的單調(diào)減區(qū)間，

結合條件得［0,a］=錯誤!，

3JI,

/.a<—p,即31Kx=錯誤！。

(2)已知函數(shù)次x)=錯誤!若/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍為.

答案(1,2］

解析由題意，得/十錯誤!a—2W0,則aW2,又y=8a(x〉1)是增函數(shù)，故a>l,所

以a的取值范圍為l〈aW2。

(3)(2018?安徽滁州中學月考)已知函數(shù)f(x)=logzCax+3a)在⑵+8)上是增

函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案(一4,41

解析設g(x)=V—ax+3a,根據(jù)對數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性知,g(x)在［2,+°°)±

是增函數(shù),且晨2)>0,.,.錯誤！，一4〈aW4,

二實數(shù)a的取值范圍是(—4,4］.

思維升華函數(shù)單調(diào)性應用問題的常見類型及解題策略

(1)比較大小.

(2)解不等式.利用函數(shù)的單調(diào)性將“產(chǎn)符號脫掉，轉化為具體的不等式求解，應注意函

數(shù)的定義域.

(3)利用單調(diào)性求參數(shù).

①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較；

②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a,加上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；

③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.

跟蹤訓練2(1)如果函數(shù)/>(X)=錯誤!滿足對任意xiWxz,都有錯誤!〉0成立，那么a的

取值范圍是.

答案錯誤！

解析對任意無/也都有?*)一0對〉0,

X1-X2

所以(X)在(-8,+8)上是增函數(shù).

所以錯誤!解得錯誤！Wa〈2。

故實數(shù)a的取值范圍是錯誤!.

(2)已知函數(shù)F(x)是定義在區(qū)間[0,+8)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x

-1)〈福誤!的x的取值范圍是.

答案錯誤！

解析因為函數(shù)/1(*)是定義在區(qū)間[0,+8)上的增函數(shù)，且滿足f(2x—1)〈/錯誤!，

所以0W2x—14，解得錯誤!Wx〈錯誤!。

課時作業(yè)

葉基礎保分練

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.尸ln(x+2)B.尸一錯誤！

C.尸錯誤！D.尸葉錯誤！

答案A

解析函數(shù)尸ln(x+2)的增區(qū)間為(一2,+8),所以在(0,4-oo)上一定是增函數(shù).

2.已知函數(shù)/'(x)=、x2—2x—3,則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(一8,1]B.[3,+00)

C.(—°°,—1]D.[1,+°0)

答案B

解析設力=f—2x—3,由220,即3一2x—320,解得xW—1或x23,所以函數(shù)/l(x)

的定義域為(-8,—1]U[3,+°°).因為函數(shù)方=/—2x—3的圖象的對稱軸為x=l,所

以函數(shù)力在(一8,—1]上單調(diào)遞減，在[3,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)Mx)的單調(diào)遞增區(qū)間

為[3,+°°).

3.設偶函數(shù)/'(x)的定義域為R,當xG[O,+8)時，f(x)是增函數(shù)，則f(—2),f(m),

A-3)的大小關系是()

A.y(Jt)>I-(-3))f(一2)B./(Ji)〉f(—2)>f(-3)

c.y(Jt)(/(-3)"(—2)D./(JtXr(-2)<r(-3)

答案A

解析因為f(x)是偶函數(shù)，

所以/■(-3)=f(3),f(-2)=f(2).

又因為函數(shù)/'(x)在[0,+8)上是增函數(shù)，

所以)〉r(3)>f(2),

即f(.n)〉『(一3)〉r(-2).

4.已知函數(shù)/'(x)=錯誤！當xiWxz時，錯誤！〈0,則a的取值范圍是()

A.錯誤!B.錯誤！

C.錯誤!D。錯誤！

答案A

解析當xiWx?時，錯誤！〈0,

??"(X)是R上的減函數(shù).

=錯誤！錯誤！

；.0〈aW錯誤！。

5.設f(x)=錯誤!若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為()

A.[—1,2]B.[—1,0]

C.[1,2]D.[0,2]

答案D

解析,當啟0時，fix)=(x—a):『(。，是/^^)的最小值，；.a20.當才〉0時，f

(x)=x+」+a22+a,當且僅當x=l時取"=".要滿足f(0)是/'(x)的最小值，需2+

X

(0)=a,即a—a—2W0,解得一lWaW2。

的取值范圍是0WaW2。故選D.

6.已知函數(shù)f(x)=錯誤!則“c=—1”是“函數(shù)/■(x)在R上單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，

則需logzlNc+1,即cW—1.

由于c=-1,即cW—1,但cW—1不能得出c=-1,

所以“c=—1”是“函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.

7.已知奇函數(shù)/Xx)在R上是增函數(shù).若@=一/錯誤!"=謂誤！，c=f(2*),則a,b,c

的大小關系為.

答案a〉b}c

解析(x)在R上是奇函數(shù)，

，a=—謂誤！=福誤！—f(log25).

又f(x)在R上是增函數(shù)，

08

且logz5〉log24o1)log24=2>2,,

0,8

Alog25))Alog24.1))f(2),a>tt>Co

8.如果函數(shù)/'(x)=ax?+2x—3在區(qū)間(一8,4)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是

答案錯誤！

解析當a=0時,/~(x)=2x—3在定義域R上是單調(diào)遞增的，故在(一8,4)上單調(diào)遞增；

當aWO時，二次函數(shù)F(x)的對稱軸為x=—錯誤！，因為f(x)在(一8,4)上單調(diào)遞增，

所以a<0,且一錯誤！》4,解得一錯誤！Wa<0。

綜上,實數(shù)a的取值范圍是錯誤!.

9.記min{a,b}=錯誤!若f(x)=min{x+2,10—x}(x20),則f^x)的最大值為.

答案6

解析由題意知，f(x)=錯誤！

易知f(x)?ax=F(4)=6o

10.設函數(shù)F(x)=錯誤!若函數(shù)y=F(x)在區(qū)間(a,a+1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取

值范圍是.

答案(一8,1]U[4,+°°)

解析作函數(shù)的圖象如圖所示，

>=logjx(x>4)

尸一/+敘

(E)

由圖象可知F(x)在(a,a+1)上單調(diào)遞增，

需滿足a》4或a+lW2,

即aWl或心4.

11.已知『(x)=錯誤！(xWa).

(1)若a=-2,試證f(x)在(-8,—2)上單調(diào)遞增;

(2)若a〉0且f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

(1)證明當a=-2時，『(入)=錯誤!.

設荀〈*2〈一2,

則f(xj—f(就=錯誤!一錯誤！=錯誤!.

因為(xi+2)(用+2)>0,Xi一欠2〈0,

所以/1(xi)—F(田)<0,即/"(xi)"(X2),

所以f(x)在(-8,—2)上單調(diào)遞增.

(2)解設1〈荀〈晶

則」(荀)一/■(向=錯誤!一錯誤!

=錯誤!.

因為a>0,X2—xi>0,所以要使/■(荀)一『(濟)〉0,

只需(xi—a)(后一a)〉。恒成立，

所以aWl。綜上所述，0〈aWl.

12.(2018?河南南陽一中月考)設函數(shù)f(x)=af+6x+l(a"eR),戶(x)=錯誤！

(1)若f(—1)=0,且對任意實數(shù)x均有/1(才)20成立，求網(wǎng)x)的解析式；

(2)在(1)的條件下，當xe[—2,2]時，g(x)=f(x)—而是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)次的取值

范圍.

解(1)1)=0,b=a+\o

由f(x)20恒成立,知a>0且方程ax+bx-\-1=0中/=Z)2—4a=(a+1)2—4a=(a—1)Mo,

??Q,--1.

從而f(x)=x"+2x+1o

:.F(x)=錯誤！

(2)由(1)可知f(x)=x-\-2x-\-1,

(x)=F(x)~kx=y+(2—A)x+1,

由g(x)在[—2,2]上是單調(diào)函數(shù)，知一錯誤!W—2或一錯誤！》2,得Z—2或A26.

即實數(shù)A的取值范圍為(-8,—2]U[6,+°°).

葉技能提升練

13.已知函數(shù)/>(X)=錯誤!若/"(2—V)〉f(x),則實數(shù)x的取值范圍是()

A.(一8,—1)u(2,+°°)B.(一8,—2)U(1,+8)

C.(-1,2)D.(-2,1)

答案D

解析..?當x=0時，兩個表達式對應的函數(shù)值都為0,

函數(shù)的圖象是一條連