第3章 連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析

信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)——多媒體教學(xué)課件長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣學(xué)院電子信息工程系X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院第3章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)q3.1信號(hào)的正交分解q3.2周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉級(jí)數(shù)q3.3周期函數(shù)信號(hào)的頻譜q3.4非周期信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換q3.5傅里葉變換的性質(zhì)q3.6周期信號(hào)的傅里葉變換q3.7連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣定理q3.8連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析q3.9相關(guān)函數(shù)與能譜密度函數(shù)X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析時(shí)域分析是以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激信號(hào)之和，即yf(t)=f(t)*h(t)。本章將以正弦信號(hào)和虛指數(shù)信號(hào)ejw

t為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率，故稱為頻域分析。3.1

信號(hào)的正交分解3.1.1

矢量的正交分解1.

正交矢量q兩個(gè)矢量V

與V

的點(diǎn)積：V

·

V

=

V

V

cos121212定義：V

與V

正交是指其點(diǎn)積(內(nèi)積)為0，即12兩矢量的夾角為90ooT2V

·

V

=

V

V

cos(90

)

=

0

或

V

·

V

=

V

V

=

01211212X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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信號(hào)的正交分解2.

矢量的分解由兩兩正交的矢量組成的矢量集合，稱為正交矢量集。如在三維空間中，矢量V1=（2，0，0）、V

=（0，2，0）和V

=（0，0，2)23所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集。并且是一個(gè)完備正交矢量集。三維空間中的任意一個(gè)矢量

V均可精確地表示為

{V1,V2,V3}

的線性組合：V=

c

V

+c

V

+c

V1

12

23

3V

·

VjV其中

Cj

==

cos(

)

j

=

1,2,3qjV

·

V

Vjjj例如，矢量V=(2，5，8)可以表示為

V=V

+

2.5V

+4V123X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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信號(hào)的正交分解推廣：對(duì)于n維矢量空間，由

n個(gè)互相正交的矢量組成一個(gè)n維的完備正交矢量集{V

,V

……V

}，其中的任一矢量

V都可1

2n表示為n?V

=

c

V

+

c

V

+

...+

c

V

+

...+

c

V

=

c

V1

12

2r

rn

ni

ii=1式中

V

·

V

=

0

(i

1

j)

，加權(quán)系數(shù)

c

的計(jì)算方法如前。iji3.1.2

信號(hào)的正交分解1.

正交函數(shù)定義1：在(t

,

t

)區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)

f

(t)和

f

(t)，設(shè)均為復(fù)函1

212數(shù)，若滿足t2兩信號(hào)的內(nèi)積為0òt*f

(t)

f

(t)dt

=

0121則稱信號(hào)

f

(t)和

f

(t)在區(qū)間(t

,t

)內(nèi)正交。121

2X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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信號(hào)的正交分解2.

信號(hào)的正交分解定義2：設(shè)有一函數(shù)集{

g

(t),g

(t),…,g

(t)}，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)12n間(t

,

t

)內(nèi)滿足12ì

0,

i

1

jt2ò*g

(t)g

(t)dt

=íijKi

1

0,

i

=

jt1?則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t

,t

)的正交函數(shù)集。12定義3：如果在正交函數(shù)集{

g

(t),g

(t),….g

(t)}之外，不存在12n其他的非零函數(shù)

f(t)滿足t2ò*f

(t)g

(t)dt

=

0

(i

=

1,

2,?

,n）it1則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集{1,cos(n

t),sin(n

t)，n=1,2,…}

和虛指數(shù)函數(shù)集{ejnwt，n=0,±1,±2,…}是兩組典型的在區(qū)間(t

,t

+T)上的完備正交函數(shù)集(T=2p

w

)

。00通常，一個(gè)完備正交函數(shù)集包括無(wú)窮多個(gè)正交函數(shù)。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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信號(hào)的正交分解定理3.1

設(shè){

g

(t)|

i=1,2,…,n}在

(t

,t

)區(qū)間上是關(guān)于某一類i1

2信號(hào)的完備正交函數(shù)集，則這一類信號(hào)中的任何一個(gè)信號(hào)

f(t)都可以精確地表示為{

g

(t)}的線性組合，即in?f

(t)

=

c

g

(t)

t

?

(t

,t

)i

i1

2i=1tò2*f

(t)g

(t)dtit式中

ci

為加權(quán)函數(shù)，且ci

=1t2ò2g

(t)

dtit1定理3.2

根據(jù)函數(shù)的正交性，由定理3.1可得信號(hào)的能量為：ttf

(t)

2

dt

=?c

g

(t)

dt2ò2ò2i

it1t1i物理意義：f(t)

的能量等于各個(gè)分量的能量之和，即能量守恒。定理3.2有時(shí)也稱為帕斯瓦爾定理（Parsval定理）。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3.2

連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)本節(jié)討論周期信號(hào)的正交分解形式：三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)和指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。3.2.1

三角形式的傅里葉級(jí)數(shù){sin(nw

t),

cos(nw

t)

|

n

=

0,1,

2,…}可以證明三角函數(shù)集00在區(qū)間(t

,

t

+T)上是一個(gè)完備正交函數(shù)集，其中T=2p/000t

+Tò0cos(nw

t)×sin(mw

t)dt

=

0因?yàn)?0t0ì

0

n

1

mì

0

n

1

m?t

+T?t

+Tòt0wwsin(n

t)×sin(m

t)dt

=òt0wwí

Tcos(n

t)×cos(m

t)dt

=00í

Tn

=

m00n

=

m?00??

2?

2oo當(dāng)n=0時(shí)，cos

0

=

1,sin

0

=

0

，上述正交函數(shù)集可具體寫為：{1,

cos(w

t),

cos(2w

t),…,

sin(w

t),

sin(2w

t),…}0000X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.2

連續(xù)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)任何的周期為T的周期信號(hào)

f(t)，當(dāng)滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，根據(jù)定理3.1，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)形式：a￥?f

(t)

=

0

+

[a

cos(nw

t)

+

b

sin(nw

t)]

(3.2.5)n0n02n=12p稱為基波角頻率，a

,b

稱為傅里葉系數(shù)

。式中w0

=nnT——周期信號(hào)

f(t)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式22t

+Tt

+T0ò0wòwf

(t)

sin(n

t)dtan

=f

(t)cos(n

t)dt

，b

=其中0n0TTtt002t

+Tò0f(t)當(dāng)n=0時(shí)，a0

=f

(t)dt

，為

的直流分量。Tt0易知，a

是

n

的偶函數(shù)，b

是

n的奇函數(shù)。nn計(jì)算

a

和

b

時(shí)，t

可任取，一般取0或-T/2。nn0X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.2

連續(xù)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)將(3.2.5)式中的同頻率項(xiàng)合并，可改寫為a02￥A02￥??f

(t)

=

+

[a

cos(nw

t)

+

b

sin(nw

t)]

=+

A

cos(nw

t

+j

)n0n0n0nn=1n=1上式表明，周期信號(hào)可分解為直流分量和許多諧波分量之和。u

A

/2為直流分量；(式中A

=a

)000u

A

cos(

t+j

)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期101信號(hào)

f(t)的角頻率相同；u

A

cos(2

t+j

)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；202u

一般而言，A

cos(n

t+j

)稱為

n次諧波。n0nì?2n2nA

=

a

+bjì

a

=

A

cosnnnní?bnaní振幅An、相位jn與函數(shù)

a

、b

的jn

=

-

arctanjb

=

-

A

sin?nnn?n關(guān)系n可見

A

是

n的偶函數(shù)，

j

是

n

的奇函數(shù)。nnX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)

3.2

連續(xù)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)例3.2.1

求如圖所示信號(hào)

f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。f

(t)TTE-222T3T443TTtO--44E-2f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為：(a

=

0,b

=

0)0nn-

1演示2Ep1?f

(t)

=[

(-

1)

cos(nw

t)]20nn為正奇數(shù)2Ep11=

[cos(w

t)-

cos(

3w

t)+

cos(

5w

t)

-

......]00035其中

w0

=

2p

TX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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3.2

連續(xù)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)結(jié)論：1.

f(t)為偶函數(shù)——對(duì)稱于縱坐標(biāo)TT22òf

(t)

cos(nw

t)d

t

b

=òwf

(t)

sin(n

t)d

tan

=22T0nT0TT--22bn

=0，展開式中只有直流分量和余弦分量。2.

f(t)為奇函數(shù)——對(duì)稱于原點(diǎn)an

=0，展開式為正弦級(jí)數(shù)。3.2.2

指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。可由正交指數(shù)函數(shù)集得到，也可從三角形式推出：利用

cost=(ejt

+e–jt)/2X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.2

連續(xù)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)jnw

t容易證明：指數(shù)函數(shù)集{

e

,n

為整數(shù)}在區(qū)間(t

,

t

+T)上為正交函數(shù)集。證明如下：000t

+Tt

+Tt

+Twjm

t

*wjn

tw-jm

twj(n-

m)

tw0òt0jn

tò0ò0e

(e

)

dt

=

e

e

dt

=

edt0000tt000j(n-

m)w

tj(n-

m)w

tì

0

,m

1

nee0

00

0j(n-

m)w

Tj(n-

m)2p=[e-

1]

=[e-

1]

=0íj(n

-

m)w02pj(n

-

m)w0T

,m

=

n?式中

T

=

，m、n

為整數(shù)。w0任意函數(shù)

f(t)都可在區(qū)間(t

,

t

+T)內(nèi)用此正交函數(shù)集表示：00￥L+

=

F

eL

?jw

tj2w

t-

jw

t-

j2w

tjnw0tf

(t)

=F

+

F

e

+

F

e

+

+

F

e

+

F

e0000012-

1-

2nn=-

￥t

+T*ò0(jnw

t0)f

(t)

edtdt1t

+T其中

Fn

為加權(quán)系數(shù)(也稱為復(fù)振幅)tò0-

jnw

tf

(t)e

dtFn

==00t

+T*wjn

t

(e

jn

tw)tò0e000Tt0——周期信號(hào)

f(t)的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.2

連續(xù)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)

f(t)的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)與三角形式傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系：A0An21jjjjnF0

=,

|

Fn

|=,

F

=|

F

|

e

=

A

ennnn22a

,

A

,

F兩種傅里葉級(jí)數(shù)中的系數(shù)關(guān)于n的偶函數(shù)：nnnb

,

jnn的奇函數(shù)：n3.3.3

周期信號(hào)的功率周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為1￥A02￥1T2??ò222nP=f

(t)

dt

=

|

F

|

=

(

)

+

AnT2n=10n=-

￥即直流分量和各次諧波分量在1W電阻上消耗的平均功率之和。稱上式為

帕斯瓦爾(Parseval)等式X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3.3

周期函數(shù)信號(hào)的頻譜3.3.1

周期信號(hào)頻譜的概念：從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即將A

~

和j

~

的關(guān)系分別畫在以

為橫軸的平面上得到nn的兩個(gè)圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閚≥0，即=n

0≥0，所以稱這種頻譜為單邊頻譜。也可畫|F

|~

和j

~

的關(guān)系，稱為雙邊頻譜。若F

為實(shí)nnn數(shù)，也可直接畫Fn。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.3

周期函數(shù)信號(hào)的頻譜1

?p

2p

?

1

?p

p

?例：周期信號(hào)

f(t)=

1-

cos

t-+

sin

t

-?÷?÷24

3

43

6è

?è?試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率w0，畫出它的單邊頻譜圖，并求

f(t)的平均功率。解：首先應(yīng)用三角級(jí)數(shù)公式改寫

f(t)的表達(dá)式，即1

?p

2p?

1

?p

p

p

?f

(t)

=

1+

cos

t

-

+p

+

cos

t

-

-?÷?÷24

343

6

2èè??顯然1是該信號(hào)的直流分量。1

?p

p

?1

?p2

?pcos

t+

的周期T

=8，

cos

t-的周期T2=6?÷?÷124

343

3è?è?所以

f(t)的周期

T=24，基波角頻率

0=2π/T=

π/12221

?1

?

1

?1

?

37根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為

P=

1++=?

÷?

÷2

2

2

432è

?

è

?X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.3

周期函數(shù)信號(hào)的頻譜1

?p

p

?cos

t

+p/4]

/[p/12]=

3次諧波分量；÷

是

f(t)的[?24

3?è1

?p

2p

?cos

t

-f(t)的[p/3]

/[p/12]=

4次諧波分量；÷

是?43

3è?畫出

f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下jnAp02312pppp1431264pppp2p3-12643X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.3

周期函數(shù)信號(hào)的頻譜3.3.2

周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)舉例：如圖所示，有一幅度為E，脈沖寬度為t

的周期矩形脈沖，其周期為T。求其頻譜。tt-2

2Tt2p1ET-

jnw

t-

jnw

tw解：

òòF

=f

(t)e

dt

=e

dt

(

=

)2200tnT0TT--22nw0tnw0t2nw0tsin()sin-jn

twtEtE

e2E02===2tT

-

j

nw0T

nw0T-22sin

x令

Sa(x)

=(抽樣函數(shù)）xX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.3

周期函數(shù)信號(hào)的頻譜tnw

tEF

=

Sa(0),n=0,±1，±2，…nT2Fn

為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖。nw

t2mpnw0

=(m為整數(shù))=

p

，故零點(diǎn)為0

m由t2EtT2pt4pt2pt-特點(diǎn)：

(1)離散性，由不連續(xù)的譜線組成；(2)諧波性，譜線位置是基頻w0的整數(shù)倍；(3)收斂性，雖有起伏，但總趨勢(shì)減小，即|Fn|→0X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.3

周期函數(shù)信號(hào)的頻譜Et演示T2pt4pt2p-t頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：u

T一定，t

變小，此時(shí)w0

(譜線間隔)不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：w1/w0

=(2p/t)/(2p/T)=T/t

增多。u

t

一定，T增大，間隔w0

減小，頻譜變密，幅度減小。如果周期T無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），則譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。周期矩形脈沖的主要能量集中在頻率

0到2p/t

內(nèi)，故常將2p這段頻率范圍稱為其頻帶寬度，記為

Bw

=(rad/s)tX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3.4

非周期信號(hào)的連續(xù)傅里葉變換3.4.1

傅里葉變換非周期信號(hào)

f(t)可看成是周期

T→∞

時(shí)的周期信號(hào)。前面已指出當(dāng)周期

T→∞時(shí)，譜線間隔w0趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度|Fn|→0，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。由指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)公式：￥T1?òf

(t)=Fnej

nw0t=jn

t-

w其中

Fn2f

(t)e

dt0TT-n=-￥2Fp2

FTò===f

t-

jnw

t0tn

F

Tn2

(

)e

d因此(單位頻率上的頻譜)nw0T1/

T-2X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.4

非周期信號(hào)的連續(xù)傅里葉變換2

FpTò-

wjn

tF(

j

)

limw

=FnT=limn=lim2f

t(

)e

dt令0w0TT

?

￥T

?

￥T

?

￥-2￥Fn?f

(t)

lim=ejnw0t

w0改寫wT

?

￥n=-￥0考慮到：T→∞，w0

→無(wú)窮小，記為dw

；￥?￥ò?nw0

→w

(由離散量變?yōu)檫B續(xù)量)，-￥n=-￥￥ò-

jwt=

F[

f

(t)]w

=F(

j

)f

(t)e

d

t于是，-￥￥1òf

(t)=F(

j

)e

d

=wjwtw-w1F

[F(

j

)]2p-￥F(jw)稱為

f(t)的傅里葉正變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜。f(t)稱為F(jw)的傅里葉反變換或原函數(shù)。f(t)與

F(jw)的對(duì)于關(guān)系可以簡(jiǎn)記為：

f

(t)

F(

j

)?wX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.4

非周期信號(hào)的連續(xù)傅里葉變換說(shuō)明：(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。可證明，信號(hào)

f(t)的傅里葉變換存在的充分條件(但不是必要條件)是：￥òf

(t)dt

<

￥(絕對(duì)可積)-￥(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分12p￥￥òòF(0)

=

f

(t)dtf

(0)=w

wF(

j

)d-￥-￥3.4.2

非周期信號(hào)的頻譜函數(shù)F(jw)一般是復(fù)函數(shù)，可寫為F(jw)=|

F(jw)|e

j

=R(

)+jX(

)j(w)ww習(xí)慣上將|F(jw)|~w的關(guān)系曲線稱為

f(t)的幅度頻譜（但|F(jw)|并不是幅度），j

(w)~w的關(guān)系曲線稱為相位頻譜。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.4

非周期信號(hào)的連續(xù)傅里葉變換重要結(jié)論：u

若

f(t)為

t

的實(shí)偶函數(shù)，即

f(t)=f(-t)

時(shí)，則

f(t)的頻譜函數(shù)

F(jw

)為w

的實(shí)偶函數(shù)；u

若

f(t)為

t

的實(shí)奇函數(shù)，即

f(t)=-f(-t)

時(shí)，則

f(t)的頻譜函數(shù)F(jw)為w

的虛函數(shù)，且為w的奇函數(shù)。3.4.3

典型信號(hào)的傅里葉變換gt

(t)ìt1￡tt?

1

,

t==

e（

+

-

e（

-t

)2t

)1.

單位門函數(shù)

gt

(t)í22?0

,其他?t-t2t

2Owtwt-

jjt-ee22￥òòw

=F(

j

)gt

(t)e-

jwt

dt=e-

wj

tdt

=2tF(jw)-

wj-￥-t22

sin(wt

/

2)wt=

t

Sa(

)=w22pt2pt-wt4pt4ptwO-g

(t)

?

t

Sa(

)簡(jiǎn)記為：t2gt

(t)X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.4

非周期信號(hào)的連續(xù)傅里葉變換ata2.單邊指數(shù)函數(shù)

f(t)=e–

(t)，實(shí)數(shù)

>0(

w)|F

j

|1a11e

(t)-ate

?a2+

w2a

+

jww0e-ate(t)11￥òw

=F(

j

)-a

t

-

jw

te

e

d

t=

-e-

a

+

jw

t

￥()=a

+

wj0ja

+

w0t

aa?

?3.雙邊指數(shù)函數(shù)

f(t)=e–

,

>0(

w)F

j2a2a+

w-a

te

?a22w0e-a

t112a+w0￥òò0F(

j

)w

=e

e

dat-

wjtt+-a

t

-

jw

te

e

dt=+=a

-

jw

a

+

jw

a22-￥X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.4

非周期信號(hào)的連續(xù)傅里葉變換4.沖激函數(shù)

d

(t)、d

′(t)￥òd

?

d(t)(t)e

dt

1-

jw

t=-￥￥dòd

?

d'(t)-

jw

t'(t)e

d

t=

-e-

jw

tj=

wt=0dt-￥5.直流信號(hào)

1有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1,e(t)等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。可構(gòu)造一函數(shù)序列{

fn(t)}逼近

f

(t)，即f

(t)

=

lim

f

(t)nn?

￥而

f

(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且{

f

(t)}的傅里葉變換所形成的序nn列{Fn(jw)}是極限收斂的。則可定義

f(t)的傅里葉變換F

(jw)為F(

jw)

=

lim

F

(

jw)nn?

￥這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.4

非周期信號(hào)的連續(xù)傅里葉變換2a-a

tf

(t)

=

e

?

F

(

jw)

=(a

>

0)構(gòu)造aaa2+

w2lim

f

(t)

=

1

=

f

(t)=?因?yàn)閍d

(

)a

?

00,

w

1

02+

waì所以

F(

jw)

=

lim

F

(

jw)

=

lim=íaa22￥

w

=,0a

?

0a

?

0?2a+

w2wawa￥￥òòl(fā)imdw

lim=d=lim

2

arctan￥-￥=

2p又a22(

)2a

?

0

-￥a

?

0

-￥

1+

w

aa

?

0因此，

1

?

2pd

(w)另一種求法：

d

(t)

?1

代入反變換定義式，有12p12p￥￥òò-￥e

djw

t

w

=

dw

w(t)

將

→t，t→-

，則-

jw

t=

d

-we

dt

(

)-￥再根據(jù)傅里葉變換定義式，得￥ò?-

jw

t=

pd

-w

=

pd

we

dt

2

(

)

2

(

)1-￥X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.4

非周期信號(hào)的連續(xù)傅里葉變換ì

-1,

t

<

0sgn(t)

=

ísgn(t)6.符號(hào)函數(shù)(

w)|F

j

|1,

t

>

0?22jw2wsgn(t)

?w0sgn(t)ì

1,

t

>

0e(t)

=7.階躍函數(shù)íX(

)w0,

t

<

0?e

(t)1pd

(w)w1jwe(t)

?

pd

(w)+w01w-1

1e(t)

=

+

sgn(t)，故得e(t)因?yàn)?

2常用信號(hào)的傅里葉變換公式見教材103頁(yè)1F

[e(t)]

=

pd

(w)+jwX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3.5

傅里葉變換的性質(zhì)￥òw

=F(

j

)f

(t)e-

jw

t

dt信號(hào)的時(shí)域描述和頻域描述是相互聯(lián)系的，如右圖。由于它們-￥一是一一對(duì)應(yīng)的，引起

F(jw)的改變。下面分析它們的關(guān)聯(lián)性質(zhì)。f(t)的改變必會(huì)一對(duì)應(yīng)1￥ò1.線性性質(zhì)f

(t)=F(

jw)ejw

tdw2p

-￥如果

f

(t)

?

F

(jw)，

f

(t)

?

F

(jw)1122af

(t)+bf

(t)

?

aF

(jω)+bF

(jω)則1212演示2.時(shí)移性質(zhì)如果

f(t)

?F(jw),則有f

(t

t

)

e

F(

j

)-

?

-

jw

tw00物理意義：在時(shí)域中信號(hào)右移

t

，其頻域函數(shù)的幅度不變，而各頻率分0量的相位比原來(lái)

f(t)的各頻率分量的相位滯后了w

t

，即時(shí)域延遲→頻域0相位滯后。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.5

傅里葉變換的性質(zhì)例1：求如圖所示的信號(hào)

f(t)的頻譜

F(jw)=?=-解:

因?yàn)?/p>

f

(t)

=f

(t)

–

g

(t)，已知公式

f

(t)=1?

2pd(w)

，g

(t)

?

2Sa(w)1212∴

F(jw)

=2pd(w)

-2Sa(w)例2：求下圖中的信號(hào)

f(t)的頻譜

F(jw)=?=+解:

∵

f

(t)

=g

(t-

5)

,

f

(t)

=

g

(t-

5)1622-

?w-

j5w-

?g

(t

5)

6

Sa(3

)ew-

j5w

，g

(t

5)

2

Sa(

)e由時(shí)移性質(zhì)得26\F(

jw)

=

[6

Sa(3

)

2

Sa(

)]e

j5w

+w-wX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.5

傅里葉變換的性質(zhì)3.頻移性質(zhì)如果

f(t)

?F(jw),則有

f

(t)ejw0t?w

-

w

w)]

(

為常數(shù))F[

j(00物理意義：在無(wú)線電領(lǐng)域中，諸如調(diào)制、混頻、同步解調(diào)等都需要進(jìn)行頻譜的搬移。而頻譜搬移的基本原理就是將信號(hào)

f(t)乘以正弦載波信號(hào)，即11jw0t--

jw0tw

=cos

t(ejw0t

+

-

jw

t)ew

=sin

t(ee)由00022

j1f

(t)

cosw

t

?

{F[

j(w

-w

)]+

F[

j(w

+

w

)]}容易導(dǎo)出調(diào)制定理：00021f

(t)sinw0t

?{F[

j(w

-w

)]-

F[

j(w

+w

)]}002

j思考：ej3t

、cosw

t、sinw

t

的頻譜函數(shù)分別是什么？004.尺度變換性質(zhì)如果

f(t)?

F(jw),則有1

?

w

?|

a

|

è

a

?f

(at)

?F

j(常數(shù)a≠0)?

÷物理意義：將信號(hào)

f(t)在時(shí)間軸上壓縮

1/a，則其對(duì)應(yīng)的頻譜在

軸上要擴(kuò)展

a倍，同時(shí)頻譜的幅度也減少到原來(lái)的

1/|a|

。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.5

傅里葉變換的性質(zhì)f

(-t)

?

F

(-

jw)若取

a=

-1,那么（時(shí)域倒置定理）5.

對(duì)稱性質(zhì)(

)F(

jt)

?

2p

f

-w如果

f(t)

?

F(jw),則有物理意義：利用對(duì)稱性，可以方便地求某些信號(hào)的頻譜，特別是有些直接由定義無(wú)法求解的信號(hào)，往往利用對(duì)稱性很容易求得。(

)?

pd

w1

2d

?例如：由

(t)

1得wtt

tg

(t)

?

t

Sa(

)t?

p

w由得

Sa(

)

2

g

(

)t2t2例3：已知

f(t)

?

F(jw),

求信號(hào)

f(at-b)的頻譜函數(shù)。1w?F(

j

)解：先用尺度變換性質(zhì)，有：

f

(at)|

a

|a再用時(shí)移性質(zhì)，從而有：bb1w-

j

wf

(at

-

b)

=

f

[a(t-

)]

?F(

j

)eaa|

a

|aX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.5

傅里葉變換的性質(zhì)1jt

-1-

p

-w

e

wf

(t)

=?

F(

jw)

=

?

2

e

(

)例4：11-t

e

?e

(t)e

(t)-a

e

?a

>(

0)

，得t解：由1+

jwa

+

wj12

e

(

)?

pwe

-w利用對(duì)稱性，得jt

+112

e

(

)?

p

-w

e

w--再由時(shí)域倒置，得-

jt

+

11+1

tpe-|w|?

F(

jw)

=

?2a例5：

f

(t)

=22+w-a|t|?e-|t|

?e，令

=1，則解：由a2+

w2212+1

t1+?

p

-|w

|2

e?

pe-|w|對(duì)稱性，即221

t1￠j2pd

(w)-

jp

sgn(w)例6：

f

(t)

=

t

+

?

F(

jw)

=

?tX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.5

傅里葉變換的性質(zhì)6.

時(shí)域卷積性質(zhì)若

f

(t)

?

F

(jw)，

f

(t)

?

F

(jw),1122則

f

(t)*f

(t)

?

F

(jw)F

(jw)1212物理意義：該性質(zhì)將系統(tǒng)分析中的時(shí)域方法與頻域方法緊密聯(lián)系在一起。7.

頻域卷積性質(zhì)若

f1(t)?

F

(jw)，

f2(t)?

F

(jw),1212p則

f

(t)f

(t)

?

F

(jw)*F

(jw)12122?sint

?è

t

?解：由于是?F(

j

)

?w

=

pL

(w)F(jω)例7：?÷4πwtg

(t)

?

t

Sa(

)?

wg

(t)

2

Sa(

)，得t22ω-2

022

Sa(t)

?

2p

g

(-w),

Sa(t)

?

p

g

(w)222?sint

?1p=Sa2(t)?[

g

(

)]*[

g

(

)]

g

(

)*

g

(

)

(

)p

w

p

w

=

w

=

pL

ww?÷222242p2è

t

?X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.5

傅里葉變換的性質(zhì)8.

時(shí)域微分和積分性質(zhì)如果

f(t)

?

F(jw),則有dn

f

(t)?

w(

j

)

F(

j

),nf

(t)w

這里

滿足

±￥

=f

(

)

0ndtF(

jw)jwt￥òò-￥f

(x)d

x

?

p

F(0)d

(w)+,

這里F(0)

=

f

(t)dt-￥10.

頻域微分和積分性質(zhì)dn-n?F(

j

)w如果

f(t)

?

F(jw),則有

(

jt)

f

(t)wndf

(t)-

jt12pw￥òò-￥p

f

(0)d

(t)

+?

F(

jx)d

x,

這里

f

(0)

=F(

jw)dw-￥例題：教材109頁(yè)

例3.5、例3.7例8：已知信號(hào)

f(t)如圖所示，

其頻譜函￥ò數(shù)為F(jw),求F(

jw)dw

=

?

2p

E-￥X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.5

傅里葉變換的性質(zhì)12.

帕斯瓦爾定理

(Parsvaltheory)如果

f(t)

?

F(jw),則12p￥￥ò2òF(

jw)

2

dwE

=

f

(t)

dt

=-￥-￥sin

5tp

tf

(t)

=

2

cos(100t)例9：求信號(hào)的能量。解：由

t

t

?

p

wSa(

t

2)

2

g

(

)t

=，令

1

0，得到tsin

5t

5=

Sa(5t)

?5

2pg

(w)

=

g

(w)ptpp1010101又因?yàn)?/p>

f

(t)

cosw

t

?

{F[

j(w

-w

)]+

F[

j(w

+

w

)]}0002sin

5t?

g

(w

-100)

+

g

(w

+

100)則

2

cos(100t)pt101012p12p12p10p￥-95105ò2ò

ò-10595E

=F(

jw)

dw

=

[

1dw

+

1dw]

=

(10

+

10)

=-￥X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3.6

周期信號(hào)的傅里葉變換1.

時(shí)域與頻域的周期性及連續(xù)性的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)域信號(hào)周期(非周期)連續(xù)(離散)頻域頻譜離散(連續(xù))非周期(周期)2.

一般周期信號(hào)的傅里葉變換￥T1?，其中=Fn

ejnw0tòfT

(t)=-

jnw

t設(shè)Fnf

(t)e

d

t20TTT-n=-￥2e2

(

n

)jnw0t

?

pd

w

-

w因?yàn)?￥￥??fT

(t)=Fnejnw0t

?w

=

pF

(

j

)

2d

w

-

wF

(

n

)Tn0n=-￥n=-￥X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.6

周期信號(hào)的傅里葉變換￥?d

(t)

=

d

(t

-

nT)例1：周期為T的單位沖激周期函數(shù)的頻譜。Tn=-￥T11ò解：

=d(t)e

dt=-

jnw

tF20因此得到nTTTT-22p￥￥??dT

(t)

?d

(w

-

nw

)

=

w

d

(w

-

nw

)

=

w

d

(w)0000

w0Tn=-￥n=

-￥(

)w0（a）周期脈沖信號(hào)(b)

周期脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3.7

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣定理連續(xù)信號(hào)抽樣信號(hào)數(shù)字信號(hào)s(t)抽

樣量化編碼f

(t)fs(t)f

(k)fS(t)f(t)抽樣脈沖s(t)連續(xù)信號(hào)數(shù)字化原理圖抽樣器的電路模型所謂“抽樣”就是利用抽樣脈沖序列

s(t)從連續(xù)信號(hào)

f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過(guò)程。這樣得到的離散信號(hào)稱為“抽樣信號(hào)”。“抽樣”也稱為“采樣”或“取樣”。f

(t)′f

(t)

f

(t)s(t)=ss(t)抽樣器的數(shù)學(xué)模型要解決的問題：u

fs(t)是否保留了

f(t)的全部信息？u

在什么條件下，可以從

fs(t)中無(wú)失真地恢復(fù)出原信號(hào)

f(t)

？抽樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架起了一座橋梁，它論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用其離散樣本值表示。長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院X信號(hào)與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號(hào)的抽樣定理3.7.1

信號(hào)的時(shí)域抽樣定理1.

理想抽樣（沖激抽樣）若s(t)是周期為T的沖激函數(shù)序列d

(t)，s則稱為理想抽樣。即Ts￥?s(t)

=

d

(t)

=

d

(t

-

nT

)d(t)TssTsn=-￥其中Ts

稱為抽樣周期或采樣間隔。用沖激序列dTs(t)對(duì)某連續(xù)信號(hào)

f(t)

進(jìn)行取樣，得抽樣信號(hào)￥?抽樣f

(t)

=

f

(t)d

(t)

=

f

(nT

)d

(t

-

nT

)sTsssn=-￥下面分析

f

(t)是否包含了

f(t)的所有信息：s￥?已知

d

(t)

?

wd

(w

-

nws

)Tssn=-￥ws

=

2p

T其中稱為抽樣角頻率。sX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號(hào)的抽樣定理(

w)抽樣信號(hào)fs(t)的頻譜為F

j演示sA￥1?(

)é

(

)ùF

j

w

-

nwTsF

jw

=??ssTn=-￥s-ww

w

w-ws分析討論：(

)mms(

)ww(1)F

jw

是以

為周期的連續(xù)頻譜，是

F

j

的等幅周期ss性延拓；1(

)(

)ww

=F

j

包含了原信號(hào)的全部信息，(2)

當(dāng)

n=0時(shí)

，F(xiàn)s

j幅度相差Ts倍；Ts2

f

,則w

=

p(3)

若

f(t)為頻帶有限信號(hào)，設(shè)其最高角頻率為mm12

時(shí)，即Tw

3

w￡u

當(dāng)，頻譜沒有混疊現(xiàn)象，利用低sms2

fm(

)wf(t)的最高頻率通濾波器，可從

F

j

中恢復(fù)原信號(hào)；s1u

當(dāng)ws

<

2w構(gòu)原信號(hào)。時(shí)，即(

)，

w

發(fā)生混疊，將難以再重F

jTs

>ms2

fmX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號(hào)的抽樣定理2.

原信號(hào)的恢復(fù)（信號(hào)重構(gòu)）①

頻域恢復(fù)演示當(dāng)采樣間隔T

≤

1/(2f

)時(shí)，將抽樣信號(hào)通過(guò)下面的截止角sm頻率為w

(w

<w

<w

-w

)的理想低通濾波器，即可恢復(fù)原信號(hào)。cmcsmìT

,

w

w<-1wcp?Fsc(

)(

)wSa

tcH(

jw)

=

í=h

t

Ts?

0,

w

>

w?c(

)經(jīng)濾波后，取出的頻譜為

F(

jw)

=

F

jw

H(

jw)s②

時(shí)域恢復(fù)(

)￥wp?(

)[

f

(nT

)

(t

nT

)]*

[T

Sa(

t)]d

-f

t

=

f

(t)*h

t

=w由csssscn=-￥w￥?{

}f

(nT

)

Sa[w

(t

-

nT

)]f

(t)

=

Tsc得pscsn=

-￥上式表明，f(t)可以由無(wú)窮多個(gè)位于抽樣點(diǎn)的Sa函數(shù)線性組合而成，只要知道各采樣點(diǎn)的樣值

f(nTs)，就可唯一地確定出原信號(hào)

f(t)。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號(hào)的抽樣定理3.

實(shí)際抽樣（矩形抽樣）在工程實(shí)際中，s(t)是周期為Ts

脈沖寬度為

的矩形脈沖序列P

(t)，這種抽樣稱為矩形抽樣。即p

(t)TsTs￥?1s(t)

=

P

(t)

=

g

(t

-

nT

)Tsts......n=-￥f

(t)

=

f

(t)P

(t)得采樣信號(hào)sTstoTst其頻譜函數(shù)為12p(

)é

(

)ù(

)

éTsùF

jw

=

F

f

t

P

(t)

=

F

jw

*F

P

(t)?s???sTìüé?w

t

?ù￥n12p2pt?(

)(

)d

w

-

nw=

F

jw

*Saê

?ísy÷úsTè

2

???t?n=-￥st￥ì

?nw

t

?ü?é

(

-

)ùs=F

j

w

nw

yí

Sas?÷

??Tè

2

??tn=-￥sX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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連續(xù)信號(hào)的抽樣定理矩形抽樣信號(hào)的頻譜(

)F

jwf(t)1oo-w

wwwwttmm(

)P

jwTsp

(t)Tstws1.........2πtt

o-wso

wsTs(

)F

jw(

)sf

ttsTs...oowTst-wwmssX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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連續(xù)信號(hào)的抽樣定理(

w)F

j分析討論：tsTs(

)F

jw(

)w(1)F

jw

同樣是以

為周期對(duì)ss的延拓，但該周期延拓不是等幅的（幅度包絡(luò)為Sa

函數(shù)）；wmw-wswst(

)(

)ww

=F

j

包含了原信號(hào)的全部信息，(2)

當(dāng)

n=0時(shí)

，F(xiàn)s

j幅度相差

/Ts倍；Tsw(3)

對(duì)于最高頻率為

的頻帶有限信號(hào)

f(t)，同樣有m1(

)F

jwu

當(dāng)w

3

w

時(shí)，即

￡

，頻譜無(wú)混疊，可從2Tsssm中恢復(fù)原信號(hào)；2

fm1u

當(dāng)ws

<

2w時(shí)，即

T

>

，F(xiàn)

j

出現(xiàn)混疊；(

)swms2

fm(4)

脈沖寬度

的變化會(huì)改變周期延拓的頻譜峰值包絡(luò)，但(

)w不影響

F

j

的本質(zhì)特征。sX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

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連續(xù)信號(hào)的抽樣定理4.

時(shí)域抽樣定理一個(gè)帶限信號(hào)

f(t)，若其頻譜在區(qū)間(-w

,

w

)以外為0，則mmf(t)可由它在均勻間隔T

上的抽樣值唯一確定，只要T≤1/(2f

)ssm注意：為恢復(fù)原信號(hào)，必須滿足兩個(gè)條件：（1）

f(t)必須是頻帶有限信號(hào)；（2）采樣頻率不能太低，必須

f≥2f

，或者說(shuō)，采樣間隔不sm能太大，必須T≤1/(2f

)；否則將發(fā)生混疊。sm通常把最低允許的采樣頻率

f

=2f

稱為奈奎斯特(Nyquist)sm頻率，最大允許的采樣間隔T

=1/(2f

)稱為奈奎斯特間隔。sm3.7.3

頻域抽樣定理一個(gè)在時(shí)域區(qū)間(-tm,tm)以外為0的時(shí)限信號(hào)

f(t)的頻譜函數(shù)F(jw)，可由其在均勻頻率間隔

f

[f

≤1/(2t

)]上的樣值F

(jnw

)ssmss唯一地確定。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號(hào)的抽樣定理注意，對(duì)于某些特殊的信號(hào)(比如純正弦信號(hào))，僅僅以f

=2f

進(jìn)行取樣，所sm得的取樣信號(hào)并不能完全保留其幅度和相位信息。思考題：(1)

根據(jù)時(shí)域抽樣定理，對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行抽樣時(shí)，只要求采樣頻率

f

3

2f

。但在工程應(yīng)用中，采樣頻率常設(shè)為

f

3

(3~5)f

，smsm為什么？實(shí)際濾波F(

j

)wF(

jw)wF(

j

)AoAA理想濾波wmwwmww(2)

若連續(xù)時(shí)間信號(hào)

f

(t)

的最高頻率

fm

未知，如何確定抽樣間隔

T？采用試探法：取較大的T，從抽樣信號(hào)頻譜可發(fā)現(xiàn)有混疊；逐漸減小T，當(dāng)前后2次抽樣信號(hào)的第0周期頻譜之間沒有變化時(shí)，即可確定采樣間隔。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)3.7

連續(xù)信號(hào)的抽樣定理sint(

)g

t

=練習(xí)題：已知實(shí)信號(hào)

f(t)的最高頻率為

fm

(Hz)，而試計(jì)算下列各信號(hào)的奈奎斯特頻率。t①

f(2t)②

g(t)③

f(t)*g(2t)④

f(2t)g(2t)解：根據(jù)

信號(hào)時(shí)域與頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系

及

抽樣定理

得：①

f(2t)的奈奎斯特頻率為

4fm

(Hz)；1②

g(t)的奈奎斯特頻率為

(Hz)；p2p③

f(t)*g(2t)的奈奎斯特頻率為

min(2

f

,

)

(Hz)；m2+④

f(2t)g(2t)的奈奎斯特頻率為

4f(Hz)。m

pX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第3章

連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析3.8

連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和，即12p￥ò=F(

j

)e

dwwjwt基本信號(hào)為

ejwtf

(t)-￥3.8.1

基本信號(hào)

ejwt

激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)虛指數(shù)信號(hào)ejwt時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)為￥￥òò-￥=jwt=h(

)e

d

etj