第5章 離散信號與系統(tǒng)的時域分析

信號與系統(tǒng)第5章

離散信號與系統(tǒng)的時域分析第5章

離散信號與系統(tǒng)的時域分析5.1

離散時間基本信號5.2

卷積和5.3

離散系統(tǒng)的基本概念5.4

離散系統(tǒng)的響應X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)第5章

離散信號與系統(tǒng)的時域分析本章在進一步介紹離散時間信號和離散時間系統(tǒng)概念的基礎上，討論LTI離散時間系統(tǒng)的時域分析方法。本章主要內容u離散時間基本信號的介紹u離散卷積和的定義及性質u離散時間系統(tǒng)的基本概念u離散時間系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應學習方法：注意離散系統(tǒng)分析方法與連續(xù)系統(tǒng)分析方法的聯(lián)系、區(qū)別、對比。兩者有并行的相似性，但也存在一些重要差異。和連續(xù)信號與系統(tǒng)時域分析對照，溫故而知新。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院第5章

離散信號與系統(tǒng)的時域分析信號與系統(tǒng)5.1

離散時間基本信號f(t)⑴

模擬信號：時間和幅值均連續(xù)的信號，現(xiàn)實中的信號均為模擬信號。⑵

連續(xù)時間信號：時間連續(xù)的信號（函數(shù)值可連續(xù)也可不連續(xù)），有時不嚴格區(qū)分模擬信號與連續(xù)時間信號的概念，統(tǒng)稱為連續(xù)信號。tOf(k)⑶

離散時間信號（序列）：只在離散的時間點上有定義的信號，通常由模擬或連續(xù)時間信號經(jīng)取樣得到，簡稱離散信號。k⑷

數(shù)字信號：時間離散、幅度可量化的離散時間O

21

3信號。思考：序列只在特定離散點取得樣值，意味著可能丟失原連續(xù)信號的部分信息！取樣間隔越小，丟失的信息量越少，那么取樣間隔要小到何種程度，才能保留原信號的全部信息？（取樣定理）X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.1離散時間基本信號信號與系統(tǒng)等間隔T取樣省略T連續(xù)

f(t)?

?

?

???

f(kT)?

?

??

離散

f(k)

k

=0,±1,±2,...離散信號的表示方法有以下幾種：(3)

圖形表示(1)

表達式形式ì

2

,k

3

0kf

(k)4f

(k)

=í0,k

<

0?線段的長短表示各序列值的大小(2)

序列表示ìü2......f

(k)

=

...,0,0,

1

,2,4,8,...íy1?k=0?t(4)

數(shù)據(jù)表格形式1-

2

-

O

1

2ktk0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7u(tk)

1.2

1.4

1.3

1.7

1.1

1.9

1.8一個離散信號可以表示一個其自變量本來就是離散的現(xiàn)象，例如在有關人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)、年犯罪率統(tǒng)計、銀行存款利息計算、每天股票市場指數(shù)變化等等。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.1離散時間基本信號序列的三種類型信號與系統(tǒng)f

(k)單邊序列：...序列的非零值點具有起點或終點，即f

(k)

=

0,k

<

k0

,右單邊序列f

(k)

=

0,k

>

k0

,左單邊序列ìkOí?f

(k)......雙邊序列：在

-

￥

￡

k

￡

￥

內，f

(k)都可能

1

0kOf

(k)有限長序列：1

0,k1

￡

k

￡

k2=

0,其它kìf

(k)í?Ok1k2kX長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.1離散時間基本信號信號與系統(tǒng)離散時間信號的運算f

(k)

=

f

(k)

+

f

(k)1．相加：2．相乘：12f

(k)

=

f

(k)×f

(k)12f

(k)

=

af1(k)f

(k)

=

f1(k

-

m)

右移位3．數(shù)乘：4．移位：f

(k)

=

f1(k

+

m)

左移位f

(k)f

(0)f

(1)f

(k

-

1)f

(0)f

(-

1)f

(-

1)f

(1)f

(3)f

(3)231

1-

o31-

o

1

2

4kkf

(2)f

(2)X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.1離散時間基本信號信號與系統(tǒng)￥?f

(k)

=

f1(-k)f

(k)

=

f

(n)5．反折：6．差分：7．累加：1n=-

￥前向差分：Df

(k)

=

f

(k+1)

-

f

(k)后向差分：?f

(k)

=

f

(k)

-

f

(k-

1)采用較多?f

(k)

=

Df

(k

-

1)k?

?(

)

(

)

(

)f

k

?

f

ak

,

或

f

k

?

f8．展縮：?

÷aè

?注意：有時需去除某些點或補足相應的零值。在離散時間信號處理中經(jīng)常會涉及類似的展縮運算（稱為抽取（下/減采樣）與插值（上/增采樣））。￥?2E=

f

(k)9．序列的能量：k=-￥X長沙理工大學

電氣與信息工程學院信號與系統(tǒng)序列的展縮f

(k)例：已知f

(k)波形，請畫出6k?

?54321f

(2k),

f

波形。?

÷2è

?O

1

2

3

4

5

6k?k

?2è

?f

(2k)f?

÷642654321O

1

2

3

4

5

6O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12kk插值（上/增采樣）抽?。ㄏ?減采樣）X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.1離散時間基本信號信號與系統(tǒng)5.1.2

離散時間基本信號d

(k)1.單位脈沖序列與單位階躍序列0,k

1

01ìd

(k)

=(1)單位脈沖序列í1,k

=

0?k-

1

O

10,k

1

k0ìd

(k

-

1)(k

k

)d

±

=時移性抽樣性í?01,k

=

k?10f

(k)d

(k)

=

f

(0)d

(k)O

1

k注意：d(

)與單位沖激信號d(

)的區(qū)別d

用面積

(強度)表示，(

?

，幅度為￥

)(t)t

0;d

在

=

取有限值(不是面積)。(k)

k

0X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.1離散時間基本信號信號與系統(tǒng)利用單位序列表示任意離散時間信號f

(k)ìü??(

)f

k

=

1,1.5,0,-

3,íy????t1.5k=02=

d

(

+

)+

d

(

)-

d

(

-

)k

1

1.5

k

3

k

2-

1o134ke(k)-

31...1

k

3

00

k

<

0ìe(k)

=(2)單位階躍序列í?O-11

2

3ke(k)可以看作是無數(shù)個單位脈沖序列之和:￥?e(k)

=d

(k)

+d

(k-

1)

+d

(k

-

2)

+d

(k

-

3)

+…

=

d

(k-

n)n=0d

(k)

=

e(k)

-

e(k-

1)k

與

k

是差和關系，不是微商關系。d

(

)

e

(

)X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.1離散時間基本信號信號與系統(tǒng)(

)(W

j

)ü0f

k

=

Asin

k

+2．正弦序列統(tǒng)稱為正弦序列y(

)(W

j

)0余弦序列：f

k

=

Acos

k

+t(W

)sin

kW0

:正弦序列的數(shù)字角頻率2π0sin(w0t)AO當W

＝

,

則序列每隔10個010點重復一次正弦包絡的數(shù)值。1510k正弦序列是否一定是周期的？-

A(

)

(W

j

)若離散正弦序列

f

k

=

sin

k

+

是周期序列，則滿足0(

)

(

)f

k

+

N

=

f

k，N

稱為序列的周期（任意正整數(shù)）。(

)WjW

j

(

)即

f

k

+

N

=

sin[

(k+

N

)

+

]

=

sin(

k

+

)

=

f

k00W0

N

=

2p

m（m為整數(shù)）欲使上式成立，則應有X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.1離散時間基本信號信號與系統(tǒng)2p

N

T=

=

為有理數(shù)時，正弦序列才是周期序列。W

m

T只有當0s其中，Ts

和

T

分別是采樣周期和正弦序列的周期。下列信號是否為周期序列，若是，求周期。4p2(1)

sin(

0.2p

k);

(2)

sin(

k);

(3)

sin(

k)115（1）W0

=

0.2p，

則有：sin(0.2p

k)12p

2pNmsin(w0t)==

10

=W

0.2p100o15k所以N

=

10

，即周期為

10。（2p

中

有10個W0）-1X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.1離散時間基本信號信號與系統(tǒng)4π2πW011

11

N（2）W

=

，

則有：=

2π

=

=

,

所以周期

N

=11

。0114π

2

m4psin(

k)113

4

59

101

26

7

81122k一個周期2p（3）

=

5p

是無理數(shù)，W0所以為非周期的序列。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.1離散時間基本信號信號與系統(tǒng)離散信號

sin(W

k

+j

)與連續(xù)信號

sin(w

t

+j

)

的關系與區(qū)別：00(

)

(w

j

)f

t

=

sin

t

+0離散采樣點

kT（T為抽樣周期）上的正弦值ss(

)

(wj

)f

kT

=

sin

kT

+s0s令

Ω

=

w

T，離散正弦信號00

s(

)

(W

j

)f

k

=

sin

k

+0ì

ω

單位：弧度

/

秒，連續(xù)域的模擬角頻率?0區(qū)別:íΩ0

單位：弧度

，離散域的數(shù)字角頻率??X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.1離散時間基本信號信號與系統(tǒng)3．指數(shù)序列（1）單邊實指數(shù)序列

f

(k)=

a

(k)keake

(k)ake

(k)a

>

10

<

a

<

111-

1

O123344-

1

O1234kkkake

(k)ake

(k)a<

-1-

1

<

a<

011-

1

O12-

1

O12

34kX長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.1離散時間基本信號信號與系統(tǒng)（2）復指數(shù)序列(

)(

)

(

)W0

0=jW0k=W

+A[cos

k

j

sin

k

]f

k

Aejarg?é

f

(k)ù?(

)

(

)f

k

=

f

k

e復序列用極坐標表示：f

(k)

=

Aarg

é

f

(k)ù=

W

k?

?復指數(shù)序列：4．Z

序列0(

)f

k

=

z，

其中z為復數(shù)k若令

z

=

z

ejW，

則有=

z

k

ejWk

=

z

k

(cosWk+

jsin

Wk)f

(k)=

zkZ

序列可以看成是復指數(shù)序列。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院第5章

離散信號與系統(tǒng)的時域分析信號與系統(tǒng)5.2

卷積和5.2.1

卷積和的定義￥?(

)(

)

(

)2f

k

=

f

(k)*

f

(k)

=

f

m

f

k

-

m121m=-

￥為f

(k)與f

(k)的卷積和運算，簡稱卷積和；12注意：求和是在虛設的變量

m下進行的，

m為求和變量，k為參變量。結果仍為k

的函數(shù)。若f1

(k)為因果序列，￥?f

(k)*

f

(k)

f

(k)

(k)*

f

(k)=e=

(

)

(

-

)f

i

f

k

i121212i=0若f

(k)、f

(k)均為因果序列，12k?f

(k)*

f

(k)

=

f

(k)e(k)*

f

(k)e(k)

=

f

(i)

f

(k-

i)121212i=0X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.2

卷積和信號與系統(tǒng)在求卷積和時經(jīng)常用到的幾個重要關系式：ìNa

=1??N

-

11-

aN??n(1)有限項求和公式：

a

=對任意復數(shù)

a

1

1í??1-

an=02pj()0a

=

e?N?￥1?an

=(2)若|a|<1，則(3)若|a|<1，則1-

an=0￥a?nan

=(1-

a)2n=0X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.2

卷積和信號與系統(tǒng)離散卷積和的計算方法：可用于求無限長序列的卷積和1.解析式法2.圖解法主要適合于求有限長序列的卷積和3.矩陣計算法4.對位相乘求和法5.利用性質

可用于求無限長序列的卷積和實際應用中序列的長度往往都是有限的！X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.2

卷積和信號與系統(tǒng)例5.1

f

(k)=a

ke

(k),

f

(k)=bk

e

(k)，求

f

(k)*f

(k)。1212解：因為

f

(k)

和

f

(k)均為因果信號，故12m￥kka?

????m

k-

mkf

(k)*

f

(k)

=

f

(m)

f

(k

-

m)

=

a

b

=

b?

÷1212bè

?m=-

￥m=0m=0根據(jù)有限項求和公式可得ì1-

(a

b)k+1解析式法k?

ba

1

b,k

>

0?

1-

a

bf

(k)*

f

(k)

=í??12bk

(k

+1)

a

=

b,k

>

00k

<

0?e

(k)*e

(k)

=

(k

+1)e

(k)同理可求得：1-

ak+1ke

(

)*e

(

)

=ke

(

)a

k

k1-

aX長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.2

卷積和信號與系統(tǒng)5.2.2

卷積和的圖解機理（圖解法）￥?由卷積和的定義：

f

(k)

=

f

(i)

f

(k

-

i)12i=-￥卷積過程可分解為四步：（1）換元：

k

換為

i

，得

f

(i)，

f

(i)，畫出圖形；12（2）翻轉：由

f

(i)

反轉得

f

(–i)；22（3）平移：

將f

(–i)平移

|k|得到

f

(k–i)，若k>0，右移，22若k<0，左移；（4）乘積：

f

(i)f

(k–

i)；12（5）求和：

i

從

–∞到∞對乘積項求和。注意：k

為參變量。演示下面舉例說明。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.2

卷積和信號與系統(tǒng)f1(

i

)22例：f

(k)、

f

(k)如圖所示，已知121.5-11.5f(k)=f

(k)*f

(k)，求f(2)=？112ii￥013-2-2?=-f

(i)

f

(2

i)解：f

(2)12f2(

i

)i=-￥f2(–i

)f2(2–i)1（1）換元（2）

f

(i)反轉得

f

(–

i)-1012322（3）

f

(–i)右移2得

f

(2–i)22（4）

f

(i)乘

f

(2–i)12（5）求和，得

f(2)=

4.5X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.2

卷積和信號與系統(tǒng)5.2.3

卷積和的矩陣計算法若有兩個序列

f

(k)和

f

(k)，試求

f(k)=f

(k)*f

(k)。1212X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.2

卷積和信號與系統(tǒng)(2)對位相乘求和法ìüìü????已知

f

(k)

=

3,

4,

0

,

6,

0

，f

(k)

=

0,

2

,

1,

5,

0

，í?yíy12??????t?tk=0k=0求：y(k)=

f

(k)*

f

(k)1

2f1(k)f2(k)3，

4，

0，

62，

1

，

5×

————————15，20，

0，

30步驟：①兩序列右對齊（注意去掉為0的值）②逐個樣值對應相乘但不進位3，

4，

0，

66，

8，

0，

12+

————————————6，11，19，32，6，30③同列乘積值相加（注意k

=0的點）所以

y(k)={

6，11，19，32，6，30}↑k=0X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.2

卷積和信號與系統(tǒng)說明：有限長序列卷積和

y(k)的非零元素個數(shù)(

)設

y

k

=

f

(k)*

f

(k)12f1(k)f2

(k)y(k)LA個非零元素如果：LB個非零元素L

=

L

+

L

-

1個非零元素那么：如果：ABf

(k)序列非零區(qū)間：k

￡

k

￡

k，112f

(k)序列非零區(qū)間：k

￡

k

￡

k234y(k)序列非零區(qū)間：(k

+

k

)￡

k

￡(k

+

k

)那么：1324X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.2

卷積和信號與系統(tǒng)5.2.4

離散卷積和的性質性質1系統(tǒng)級聯(lián)f

(k)*

f

(k)

=

f

(k)*

f

(k)(1)交換律1221[](2)結合律

f

(k)*

f

(k)*

f

(k)

=

f

(k)*

f

(k)*

f

(k)123123[](3)分配律

f

(k)*

f

(k)+

f

(k)

=

f

(k)*

f

(k)+

f

(k)*

f

(k)1231213(

)

d

(

)

d

(

)

(

)性質2

f

k

*

k

=

k

*

f

k

=f

(k)系統(tǒng)并聯(lián)性質3

時移性質則

f

(k

-

k

)*

f

(k

-

k

)

=

y(k

-

k

-

k

)

=

f

(k

-

k

)*

f

(k

-

k

)1122121221性質4

取樣特性f

(k)*d

(k

-

k

)

=

f

(k-

k

)

=

f

(k

-

k

)*d

(k)000卷積和不存在微分、積分性質。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.2

卷積和信號與系統(tǒng)例5.4

已知序列

f1

(k)

=

2-

(k+1)

(k

+1)

和

f

(k)

=

(k

-

2)

，ee2試計算卷積和

f

(k)*

f

(k)

。121-

ak+1解：由keee，令

a=1/2，則(k)a

(k)*

(k)

=1-

ak-

kee

(

)

ee-

ke2

(k)*

(k)

=12(k)*

(k)

=

(2

-

2

)

(k)設

g(k)

=

2-

k

e(k)*e(k)

，由時移性質，可得-

(k+1)ee(k

+1)*

(k

-

2)

=

g(k

+1-

2)

=

g(k

-

1)f

(k)*

f

(k)

=

212-

(k-

1)e-

ke=[2

-

2

]

(k

-

1)

=

2(1-

2

)

(k

-

1)性質5

篩選特性

f

(k)d

(k)

=

f

(0)

d

(k)f

(k)d

(k

-

k

)

=

f

(k

)

d

(k

-

k

)000常用序列的卷積和公式見教材222頁。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院第5章

離散信號與系統(tǒng)的時域分析信號與系統(tǒng)5.3

離散系統(tǒng)的基本概念定義：激勵、響應均為離散時間信號的系統(tǒng)，稱為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)的輸入輸出關系可y(k)f

(k)離散系統(tǒng)表示為

y(k)

=

T[

f

(k)]圖5.9

離散系統(tǒng)的輸入輸出模型f

(k)

?

y(k)簡寫為符號“T”和“→”表示系統(tǒng)對輸入信號的變換作用。1.

離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量離散時間系統(tǒng)在k0時刻的狀態(tài)是指滿足如下條件的數(shù)目最少的一組數(shù)據(jù){x

(k

),x

(k

),…,x

(k

)}。

這組數(shù)據(jù)連同k

～k上1

02

0n

00的輸入

f(k)就可以惟一地確定

k

時刻的輸出

y(k)，而不需具體知道

k

0以前的輸入情況。n

稱為離散系統(tǒng)的階數(shù)。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.3

離散系統(tǒng)的基本概念信號與系統(tǒng)在實際工作過程中，系統(tǒng)的狀態(tài){x

(k

),x

(k

),…,x

(k

)}隨1

02

0n

0k0不同而變化。把描述系統(tǒng)狀態(tài)變化的變量稱作狀態(tài)變量，它是一組序列信號，記為{x

(k),x

(k),…,x

(k)}。12n2.

離散時間系統(tǒng)的響應設

k0為初始觀察時刻，則可將系統(tǒng)的輸入?yún)^(qū)分為兩部分，稱

k

以前的輸入為歷史輸入信號，稱

k

及

k

以后的輸入為當前000輸入信號或簡稱輸入信號。u僅由

k0時刻的初始狀態(tài)或歷史輸入信號引起的響應稱作零輸入響應，記為yx(k)；u僅由當前輸入信號引起的響應稱作零狀態(tài)響應，記為yf(k)。u將y

(k)

、

y

(k)之和

稱作系統(tǒng)的完全響應，記為y(k)。xfX長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.3

離散系統(tǒng)的基本概念信號與系統(tǒng)3.

離散時間系統(tǒng)的分類線性系統(tǒng)時變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)因果系統(tǒng)非線性系統(tǒng)非因果系統(tǒng)若

f

(k

)

?

y

(k

),

f

(k

)?

y

(k

)線性系統(tǒng)：1122則

af

(k)+bf

(k)

?

ay

(k)+by

(k)1212時不變系統(tǒng)：

若

f

(k)

?

y(k)則

f

(k

-

m

)

?

y(k

-

m

)00因果系統(tǒng)：若k

<

0時，f

(k)

=

0；那么k

<

0時，y(k)

=

0X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.3

離散系統(tǒng)的基本概念信號與系統(tǒng)例如，有三個離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關系如下，判斷其線性性和時變性：系統(tǒng)

1

y(k)=kf(k)系統(tǒng)

2

y(k)=|f(k)|線性時變系統(tǒng)；非線性時不變系統(tǒng)；系統(tǒng)

3

y(k)=2f(k)+3f(k-1)

線性時不變系統(tǒng)。4.

離散系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)學模型一個n階線性時不變離散時間系統(tǒng)，若其輸入為f(k)，全響應為y(k)，那么，描述該系統(tǒng)輸入輸出關系的數(shù)學模型是

n階線性常系數(shù)差分方程：y(k)

+

a

y(k

-

1)

+L+

a

y(k

-

n)n-

10=

b

f

(k)

+

b

f

(k

-

1)

+L+

b

f

(k

-

m)mm-

10式中，a

(i=0,

1,…,n-1)，b

(j=0,

1,…,

m)均為常數(shù)。ijX長沙理工大學

電氣與信息工程學院第5章

離散信號與系統(tǒng)的時域分析信號與系統(tǒng)5.4

離散時間系統(tǒng)的響應線性常系數(shù)差分方程的解法1.迭代法2.時域經(jīng)典法：齊次解+特解3.零輸入響應

+

零狀態(tài)響應(利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應)時域法4.z變換法?

反變換?

y(k)變換域法5.4.1

離散系統(tǒng)的零輸入響應

yx(k)輸入信號

f(k)為零，就可得到求解零輸入響應

yx(k)

的差分方程[即

f(k)=0時，

y(k)=yx(k)]，其一般形式為y

(k)

+

a

y

(k

-

1)

+L+

a

y

(k

-

n)

=

0xn-

1

x0

x時域求解法從略。X長沙理工大學

電氣與信息工程學院5.4

離散時間系統(tǒng)的響應信號與系統(tǒng)5.4.2

離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應

yf

(k)系統(tǒng)在初始觀察時刻k0時的狀態(tài)或者歷史輸入為零時，僅由k≥k0時加入的輸入所引起的響應，稱為零狀態(tài)響應。其滿足的差分方程為y

(