函數(shù)的應(yīng)用(一)34數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)決定蘋果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)

函數(shù)的應(yīng)用(一)

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng):決定蘋果的最佳出售時(shí)間點(diǎn)函數(shù)一二知識點(diǎn)一、函數(shù)模型1.思考(1)在函數(shù)建模中,怎樣確立兩個(gè)變量是哪種函數(shù)關(guān)系提示:通常需要先畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像來確定兩個(gè)變量的關(guān)系,選擇函數(shù)類型.(2)函數(shù)模型在實(shí)際應(yīng)用中,函數(shù)的自變量有什么特點(diǎn)提示:在實(shí)際應(yīng)用中,函數(shù)的自變量x往往具有實(shí)際意義,如x表示長度時(shí),x≥0;x表示件數(shù)時(shí),x≥0,且x∈Z等.在解答時(shí),必須要考慮這些實(shí)際意義.一二(3)已知某商場經(jīng)營一批進(jìn)價(jià)為12元/個(gè)的小商品,在4天的試銷中,對此商品的銷售單價(jià)x(元)與相應(yīng)的日銷售量y(個(gè))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),其數(shù)據(jù)如下表:你能否找到一種函數(shù),使它反映y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系若能,寫出函數(shù)解析式.一二提示:觀察x,y的數(shù)據(jù),可大體看到y(tǒng)與x是一次函數(shù)關(guān)系,令y=kx+b(k≠0).因?yàn)楫?dāng)x=16時(shí),y=42,當(dāng)x=20時(shí),y=30,即y=-3x+90.顯然當(dāng)x=24時(shí),y=18;當(dāng)x=28時(shí),y=6.對照數(shù)據(jù),可以看出y=-3x+90即為所求的函數(shù)解析式.考慮到x的實(shí)際意義及y的取整性,所以y=-3x+90,x∈{1,2,3,…,30}.一二2.填空(1)一次函數(shù)模型解析式:y=kx+b(k≠0).(2)二次函數(shù)模型①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);②頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k).(3)分段函數(shù)模型有些實(shí)際問題,在事物的某個(gè)階段對應(yīng)的變化規(guī)律不盡相同,此時(shí)我們可以選擇利用分段函數(shù)模型來刻畫它,由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式,因此分段函數(shù)在研究條件變化的實(shí)際問題中,或者在某一特定條件下的實(shí)際問題中具有廣泛的應(yīng)用.一二歸納提高1.在求其解析式時(shí),應(yīng)先確定分“段”,即函數(shù)分成幾段,并抓住“分界點(diǎn)”,確保分界點(diǎn)“不重,不漏”.2.在求函數(shù)值時(shí),先確定自變量的值所屬的區(qū)間,再代入;同樣,已知函數(shù)值,求解自變量的值時(shí),就是解方程的過程,即每段都令y取已知函數(shù)值,解出相應(yīng)x的值,再判斷是否屬于所在區(qū)間.一二知識點(diǎn)二、解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟1.思考對教材例3中的“客房問題”你有什么體會在現(xiàn)實(shí)問題中,有沒有與它類似的問題如果有,請舉例說明.提示:“客房問題”反映的規(guī)律性在實(shí)際生活中有很多典例,實(shí)際歸結(jié)到最后,“客房問題”是一個(gè)二次函數(shù)模型的具體應(yīng)用,在現(xiàn)實(shí)生活中的“調(diào)價(jià)問題”與其類似,其模型為:當(dāng)某類商品在銷售價(jià)格為b元時(shí),可售出a件,現(xiàn)欲提價(jià),若單價(jià)每提高m元,則銷售量平均減少n件,求提高多少元時(shí)銷售的總收入最高設(shè)將商品售價(jià)提高x個(gè)m元,則總收入為y=(b+xm)·(a-xn)=-mnx2+(am-bn)x+ab.它是一個(gè)自變量為自然數(shù)的二次函數(shù),且其二次項(xiàng)系數(shù)小于零,根據(jù)二次函數(shù)的知識知它有最大值.一二2.做一做某家報(bào)刊銷售點(diǎn)從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份0.35元,賣出的價(jià)格是每份0.50元,賣不掉的報(bào)紙還可以以每份0.08元的價(jià)格退回報(bào)社,在一個(gè)月(30天)里有20天每天可以賣出報(bào)紙400份,其余10天每天只能賣出250份.若每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量相同,則每天應(yīng)該從報(bào)社買進(jìn)多少份報(bào)紙,才能使每月所獲得的利潤最大并計(jì)算該銷售點(diǎn)一個(gè)月最多可賺多少元解:設(shè)每天應(yīng)從報(bào)社買x份報(bào)紙,由題意知250≤x≤400,設(shè)每月賺y元,根據(jù)題意得y=0.5x·20+0.5×250×10+(x-250)×0.08×10-0.35x·30=0.3x+1050,x∈[250,400].因?yàn)閥=0.3x+1050是定義域上的增函數(shù),所以當(dāng)x=400時(shí),ymax=120+1050=1170(元).答:每天應(yīng)該從報(bào)社買進(jìn)400份報(bào)紙,才能使每月所獲得的利潤最大,每月最多可賺1170元.探究一探究二探究三思維辨析一次函數(shù)模型的應(yīng)用例1(1)某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(套)之間的關(guān)系為y=6x+30000.而出廠價(jià)格為每套12元,要使該廠不虧本,至少日生產(chǎn)文具盒()A.2000套 B.3000套C.4000套 D.5000套(2)商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價(jià)為每個(gè)20元,茶杯每個(gè)5元,該商店推出兩種優(yōu)惠辦法:①買一個(gè)茶壺贈一個(gè)茶杯;②按總價(jià)的92%付款.某顧客需購買茶壺4個(gè),茶杯若干個(gè)(不少于4個(gè)),若購買茶杯x(個(gè)),付款y(元),分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)解析式,并討論該顧客買同樣多的茶杯時(shí),兩種辦法哪一種更優(yōu)惠當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析(1)解析:因利潤z=12x-(6x+30

000),所以z=6x-30

000,由z≥0解得x≥5

000,故至少日生產(chǎn)文具盒5

000套.答案:D(2)解:由優(yōu)惠辦法①可得函數(shù)解析式為y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).由優(yōu)惠辦法②可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),令y1-y2=0,得x=34.所以,當(dāng)購買34個(gè)茶杯時(shí),兩種辦法付款相同;當(dāng)4≤x<34時(shí),y1<y2,即優(yōu)惠辦法①更省錢;當(dāng)x>34時(shí),y1>y2,優(yōu)惠辦法②更省錢.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟1.一次函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用:一次函數(shù)模型應(yīng)用時(shí),本著“問什么,設(shè)什么,列什么”這一原則.2.一次函數(shù)的最值求解:一次函數(shù)求最值,常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答時(shí),注意系數(shù)a的正負(fù),也可以結(jié)合函數(shù)圖像或其單調(diào)性來求最值.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練1若一根蠟燭長20cm,點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm,則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖像表示為圖中的(

)

解析:蠟燭剩下的長度隨時(shí)間增加而縮短,根據(jù)實(shí)際意義不可能是D,更不可能是A,C.故選B.答案:B當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析二次函數(shù)模型的應(yīng)用例2某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果,假設(shè)每箱售價(jià)不得低于50元且不得高于55元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價(jià)格銷售,平均每天銷售90箱,價(jià)格每提高1元,平均每天少銷售3箱.(1)求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價(jià)x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)當(dāng)每箱蘋果的售價(jià)為多少元時(shí),可以獲得最大利潤最大利潤是多少當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析分析:本題中平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價(jià)x(元/箱)是一個(gè)一次函數(shù)關(guān)系,雖然x∈[50,55],x∈N,但仍可把問題看成一次函數(shù)模型的應(yīng)用問題;平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價(jià)x(元/箱)是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系,可看成是一個(gè)二次函數(shù)模型的應(yīng)用題.解:(1)根據(jù)題意,得y=90-3(x-50),化簡,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).(2)因?yàn)樵撆l(fā)商平均每天的銷售利潤=平均每天的銷售量×每箱銷售利潤.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9

600(50≤x≤55,x∈N).(3)因?yàn)閣=-3x2+360x-9

600=-3(x-60)2+1

200,所以當(dāng)x<60時(shí),w隨x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以當(dāng)x=55時(shí),w有最大值,最大值為1

125.所以當(dāng)每箱蘋果的售價(jià)為55元時(shí),可以獲得最大利潤,且最大利潤為1

125元.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.在根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式后,可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值,從而解決實(shí)際問題中的最值問題.二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖像來解答.2.對于本題要清楚平均每天的銷售利潤=平均每天的銷售量×每箱銷售利潤.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練2有A,B兩城相距100km,在A,B兩城之間距A城xkm的D地建一核電站給這兩城供電.為保證城市安全,核電站與城市距離不得少于10km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比,比例系數(shù)λ=0.25.若A城供電量為20億度/月,B城供電量為10億度/月.(1)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù),并求定義域;(2)核電站建在距A城多遠(yuǎn)時(shí),才能使供電費(fèi)用最小當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析分段函數(shù)模型的應(yīng)用例3WAP上網(wǎng)每月使用量在500min以下(包括500min),按30元計(jì)費(fèi);超過500min的部分按0.15元/min計(jì)費(fèi).假如上網(wǎng)時(shí)間過短(小于60min)使用量在1min以下不計(jì)費(fèi),在1min以上(包括1min)按0.5元/min計(jì)費(fèi).WAP上網(wǎng)不收通話費(fèi)和漫游費(fèi).(1)寫出上網(wǎng)時(shí)間xmin與所付費(fèi)用y元之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)12月份小王WAP上網(wǎng)使用量為20h,要付多少錢(3)小王10月份付了90元的WAP上網(wǎng)費(fèi),那么他上網(wǎng)的時(shí)間是多少分析:由于上網(wǎng)時(shí)間不同,收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不同,因此對所付費(fèi)用作分段討論,以確定付費(fèi)標(biāo)準(zhǔn),建立函數(shù)關(guān)系式,解決付費(fèi)與上網(wǎng)時(shí)間的問題.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析解:(1)設(shè)上網(wǎng)時(shí)間為x

min,由已知條件所付費(fèi)用y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為(2)當(dāng)x=20×60=1

200(min)時(shí),x>500,應(yīng)付y=30+0.15×(1

200-500)=135(元).(3)90元已超過30元,所以上網(wǎng)時(shí)間超過500

min,由解析式可得上網(wǎng)時(shí)間為900

min.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析反思感悟分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1.在刻畫實(shí)際問題中,變量之間的關(guān)系因自變量x取值范圍的不同,對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系不能用同一個(gè)解析式表示時(shí),常用分段函數(shù)建立函數(shù)模型解決問題.2.分段函數(shù)是指自變量在不同的范圍內(nèi)有著不同對應(yīng)法則的函數(shù).求解分段函數(shù)的最值問題時(shí)應(yīng)注意:分段函數(shù)的最大值是各段函數(shù)最大值中較大的一個(gè),分段函數(shù)的最小值是各段函數(shù)最小值中較小的一個(gè).當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析延伸探究為支持福利事業(yè),解決殘疾人就業(yè)問題,銀行決定給某福利企業(yè)免息貸款46.8萬元,用于經(jīng)營某種商品.已知該種商品的進(jìn)價(jià)為每件40元,每月銷售量q(單位:百件)與銷售價(jià)p(單位:元/件)之間滿足關(guān)系式:該企業(yè)職工每人每月工資為1200元,其他經(jīng)營性費(fèi)用為每月13200元.(1)如果暫時(shí)不考慮還貸的前提下,當(dāng)銷售價(jià)p為52元/件,每月剛好收支平衡,求該企業(yè)的職工人數(shù);(2)若該企業(yè)只有20名職工,在保證職工工資及其他經(jīng)營性支出外,剩余的利潤都用來償還貸款,試問最早幾年后還清貸款當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析解:(1)設(shè)該企業(yè)職工人數(shù)為t,依題意當(dāng)p=52時(shí),q=36,則(52-40)×36×100=1

200t+13

200,∴t=25.即該企業(yè)有25名職工.(2)設(shè)每個(gè)月的利潤為f(p),則f(p)=∵當(dāng)p=55時(shí),[(-2p+140)(p-40)]max=450,當(dāng)p=61時(shí),[(-p+82)(p-40)]max=441,∵450>441,∴當(dāng)p=55時(shí),能更早還清貸款,又(100×450-1

200×20-13

200)×12=93

600,∴當(dāng)定價(jià)為55元時(shí),最早5年后能還清貸款.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析因忽視實(shí)際問題中x的范圍而致誤典例如圖所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(a>b),在AB,AD,CB,CD上分別截取AE=AH=CF=CG=x(x>0),設(shè)四邊形EFGH的面積為y.(1)寫出四邊形EFGH的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)求當(dāng)x為何值時(shí),y取得最大值,最大值是多少當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤出錯(cuò)的原因是什么你如何訂正你怎么防范提示:錯(cuò)解過程中一是沒注意實(shí)際問題中x的取值范圍,二是求函數(shù)最值時(shí)沒有討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系,但從根本上錯(cuò)誤的根源是第(1)問中沒有明確定義域.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析防范措施1.對實(shí)際問題中的函數(shù)解析式一定要注意自變量x要受實(shí)際問題的約束,養(yǎng)成遇到實(shí)際問題“定義域優(yōu)先”的習(xí)慣.2.有時(shí)一個(gè)小細(xì)節(jié)的失誤,會導(dǎo)致嚴(yán)重錯(cuò)誤的產(chǎn)生.因此解決實(shí)際問題時(shí),要充分考慮問題的背景、實(shí)際意義、隱含條件等.當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練某企業(yè)實(shí)行裁員增效.已知現(xiàn)有員工a人,每人每年可創(chuàng)純收益(已扣工資等)1萬元,據(jù)評估,在生產(chǎn)條件不變的條件下,每裁員一人,則留崗人員每人每年可多創(chuàng)收0.01萬元,但每年需付給每位下崗工人0.4萬元生活費(fèi),并且企業(yè)正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有員工的,設(shè)該企業(yè)裁員x人后年純收益為y萬元.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并指出x的取值范圍;(2)當(dāng)140<a≤280時(shí),該企業(yè)應(yīng)裁員多少人,才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益(注:在保證能取得最大經(jīng)濟(jì)效益的情況下,能少裁員,應(yīng)盡量少裁)當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測1.一個(gè)等腰三角形的周長是20,則底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù),其解析式為(

)A.y=20-2x(x≤10) B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10) D.y=20-2x(5<x<10)答案:D探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測2.某生產(chǎn)廠家的生產(chǎn)總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(件)之間的關(guān)系式為y=x2-80x,若每件產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元,則該廠獲得最大利潤時(shí),生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為(

).或53解析:因?yàn)槔麧?收入-成本,當(dāng)產(chǎn)量為x件時(shí)(x∈N),利潤f(x)=25x-(x2-80x),所以x=52或x=53時(shí),f(x)有最大值.答案:D探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測3.某商店進(jìn)貨單價(jià)為45元,若按50元一個(gè)銷售,能賣出50個(gè);若銷售單價(jià)每漲1元,其銷售量就減少2個(gè),為了獲得最大利潤,此商品的最佳售價(jià)應(yīng)為每個(gè)

元.

解析:設(shè)漲價(jià)x元,銷售的利潤為y元,則y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250=-2(x-10)2+450,所以當(dāng)x=10,即銷售價(jià)為60元時(shí),y取得最大值.答案:60探究一探究二探究三思維辨析當(dāng)堂檢測4.已知直