4.4數(shù)學歸納法課件高二上學期數(shù)學人教A版選擇性

第四章數(shù)列4.4*數(shù)學歸納法人教A版

數(shù)學選擇性必修第二冊課程標準1.了解數(shù)學歸納法的原理.2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.基礎落實·必備知識一遍過關(guān)知識點數(shù)學歸納法的定義一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進行:歸納奠基

→證明當n取第一個值n0

(n0∈N*)時命題成立初始值n0的值要結(jié)合題意而定,不要理所當然認為是1歸納遞推→以“當n=k(k∈N*,k≥n0)時命題成立”為條件,推出“當

時命題也成立”只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學歸納法.n=k+1思考辨析利用數(shù)學歸納法證明在進行第二步時,推證n=k+1時一定要用n=k時的假設嗎?提示

一定要用,因為第二步是證明了一種遞推關(guān)系的成立.自主診斷1.用數(shù)學歸納法證明等式1+2+3+…+(2n-1)+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)的過程中,由n=k遞推到n=k+1時,左邊增加的項數(shù)為

.

2k解析

左邊增加的項為(2k+1)+(2k+2)+…+(2k+2k),共2k項.即當n=k+1時,等式也成立.由①②知,對于n∈N*等式成立.重難探究·能力素養(yǎng)速提升重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一對數(shù)學歸納法原理的理解【例1】

(1)用數(shù)學歸納法證明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)時,初始值n0應等于

.

6解析

由題意,得當n=1時,21<(1+1)2;當n=2時,22<(2+1)2;當n=3時,23<(3+1)2;當n=4時,24<(4+1)2;當n=5時,25<(5+1)2;當n=6時,26>(6+1)2,所以用數(shù)學歸納法證明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)時,初始值n0應等于6.(2)用數(shù)學歸納法證明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的過程如下:①當n=1時,左邊=1,右邊=21-1=1,等式成立.②假設當n=k(k∈N*)時等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,則當n=k+1時,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以當n=k+1時等式也成立.由此可知對于任何n∈N*,等式都成立.上述證明,錯誤是

.

未用歸納假設解析

本題在由n=k成立證明n=k+1成立時,應用了等比數(shù)列的求和公式,而未用上歸納假設,這與數(shù)學歸納法的要求不符.規(guī)律方法

數(shù)學歸納法的三個注意點(1)驗證是基礎:找準起點,奠基要穩(wěn),有些問題中驗證的初始值不一定是1.(2)遞推是關(guān)鍵:數(shù)學歸納法的實質(zhì)在于遞推,要正確分析式子中項數(shù)的變化,弄清式子兩邊的構(gòu)成規(guī)律.(3)利用假設是核心:在第二步證明n=k+1時,一定要利用歸納假設.B探究點二用數(shù)學歸納法證明等式【例2】

[蘇教版教材習題]用數(shù)學歸納法證明(1-x)(1+x+x2+…+xn-1)=1-xn.證明

(1)當n=1時,左邊=1-x,右邊=1-x,等式成立.(2)假設當n=k(k∈N*)時,等式成立,即(1-x)(1+x+x2+…+xk-1)=1-xk.那么,當n=k+1時,(1-x)(1+x+x2+…+xk-1+xk)=(1-x)(1+x+x2+…+xk-1)+xk(1-x)=1-xk+xk(1-x)=1-xk+xk-xk+1=1-xk+1.所以當n=k+1時等式也成立.由此可知,對于任何n∈N*,等式都成立.規(guī)律方法

用數(shù)學歸納法證明等式的方法

變式訓練2[北師大版教材例題]用數(shù)學歸納法證明:首項為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn=na1+.這就是說,當n=k+1時等式也成立.根據(jù)①和②,可知等式對任意正整數(shù)n都成立.探究點三用數(shù)學歸納法證明不等式【例3】

[北師大版教材例題]用數(shù)學歸納法證明:(1+α)n≥1+nα(其中α>-1,n∈N*).證明

(1)當n=1時,左邊=1+α,右邊=1+α,命題成立.(2)假設當n=k(k≥1)時,命題成立,即(1+α)k≥1+kα.那么,當n=k+1時,因為α>-1,所以1+α>0.根據(jù)假設知,(1+α)k≥1+kα,所以(1+α)k+1=(1+α)k(1+α)≥(1+kα)·(1+α)=1+(k+1)α+kα2.因為kα2≥0,所以1+(k+1)α+kα2≥1+(k+1)α.從而(1+α)k+1≥1+(k+1)α.這表明,當n=k+1時命題也成立.根據(jù)(1)和(2),該命題對于任意正整數(shù)n都成立.規(guī)律方法

用數(shù)學歸納法證明不等式的四個關(guān)鍵點

探究點四歸納—猜想—證明【例4】

將正整數(shù)進行如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),……分別計算各組包含的正整數(shù)的和,如下:S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,……(1)求S7的值;(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,試猜測S1+S3+…+S2n-1的結(jié)果,并用數(shù)學歸納法證明.解(1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;猜測S1+S3+…+S2n-1=n4.證明如下:記Mn=S1+S3+…+S2n-1.①當n=1時,猜想成立.②假設當n=k(k∈N*,k≥1)時,猜想成立,即Mk=S1+S3+…+S2k-1=k4.Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以當n=k+1時猜想也成立.由①②,可知對任意n∈N*,猜想都成立.規(guī)律方法

“歸納—猜想—證明”的基本步驟

探究點五數(shù)學歸納法在證明整除問題中的應用【例5】

用數(shù)學歸納法證明:23n-1(n∈N*)能被7整除.證明(1)當n=1時,23×1-1=8-1=7,能被7整除.(2)假設當n=k(k∈N*)時,23k-1能被7整除,那么當n=k+1時,23(k+1)-1=8×23k-1=8×23k-8+7=8(23k-1)+7,因為23k-1能被7整除,所以8(23k-1)+7能被7整除,所以當n=k+1時,命題也成立.由(1)(2)可知,23n-1(n∈N*)能被7整除.規(guī)律方法

使用數(shù)學歸納法證明整除問題常用的方法:將n=k+1時的式子分成兩部分,一部分應用歸納假設,另一部分通過變形處理,確定其能夠被某個數(shù)整除.常用的變形技巧是加減同一個數(shù)以方便能夠提取公因式.變式訓練4[北師大版教材習題]用數(shù)學歸納法證明:x2n-y2n能被x+y整除(n∈N*).證明①當n=1時,x2-y2=(x+y)(x-y).故x2-y2能被x+y整除,命題成立.②假設當n=k(k≥1)時,x2k-y2k能被x+y整除.那么,當n=k+1時,x2k+2-y2k+2=x2x2k-y2y2k.○*把x2k=(xk+yk)(xk-yk)+y2k,代入○*得x2k+2-y2k+2=x2(xk+yk)·(xk-yk)+x2y2k-y2y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2),由假設知x2k-y2k能被x+y整除,x2-y2能被x+y整除,故x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除.所以當n=k+1時,命題成立.綜上,對于n∈N*,原命題成立.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)數(shù)學歸納法的概念.(2)增加或減少項的個數(shù)問題.(3)用數(shù)學歸納法證明等式、不等式、整除問題.(4)歸納—猜想—證明.2.方法歸納:代入法檢驗,數(shù)學歸納法.3.常見誤區(qū):(1)對n0取值的問題易出錯;(2)增加或減少的項數(shù)易出錯;(3)從n=k到n=k+1時,注意兩邊項數(shù)的變化.重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標1231.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,第一步當n=1時,左邊的代數(shù)式是(

)A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4+5C1232.用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,從“n=k”到“n=k+1”,左邊需增添的代數(shù)式是(

)A.(2k+1)+(2k+2)B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3)D.(2k+2)+(2k+4)C解析

當n=k時,左邊共有2k+1個連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以當n=k+1時,左邊共有2k+3個連續(xù)自然數(shù)相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左邊需增添的代數(shù)式是(2k+2)+(2k+3).故選C.1233.用數(shù)學歸納法證明“5n-2n(n∈N*)能被3整除”的過程中,n=k+1時,為了使用假設,應將5k+1-2k+1變形為(

)A.