1.1《菱形的性質(zhì)與判定》北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊教案（第1課時）

第一章特殊的平行四邊形1.1菱形的性質(zhì)與判定第1課時一、教學(xué)目標(biāo)1．理解菱形的概念，了解它與平行四邊形之間的關(guān)系. 2．經(jīng)歷菱形性質(zhì)定理的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展合情推理能力.3．能夠用綜合法證明菱形的性質(zhì)定理，進(jìn)一步發(fā)展演繹推理能力.4．體會探索與證明過程中所蘊含的抽象、推理等數(shù)學(xué)思想.二、教學(xué)重點及難點重點：菱形性質(zhì)的探索與證明．難點：引導(dǎo)學(xué)生探究菱形的性質(zhì)，并利用菱形的性質(zhì)解決實際問題．三、教學(xué)用具多媒體課件、直尺或三角板.四、相關(guān)資《平行四邊形性質(zhì)》動畫，《生活中的菱形》動畫，《生活中的菱形》圖片，《折紙》動畫，《菱形對稱性》動畫，《（1）證明》動畫，《（2）證明》動畫，《四邊形到平行四邊形再到菱形的變化》動畫.五、教學(xué)過程【復(fù)習(xí)引入】我們學(xué)習(xí)了平行四邊形，那么什么樣的四邊形是平行四邊形呢？它有哪些性質(zhì)呢？師生活動：教師出示問題，學(xué)生回答．兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．教師引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個方面思考、總結(jié)平行四邊形的性質(zhì)：從對稱性看：平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點；從邊看：對邊平行且相等；從角看：對角相等，相鄰的兩個角互補；從對角線看：對角線互相平分．設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)旨在通過提問，復(fù)習(xí)并梳理平行四邊形的性質(zhì)，為菱形性質(zhì)的學(xué)習(xí)做鋪墊．【探究新知】下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形，觀察這些平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征嗎？師生活動：教師出示圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、總結(jié)出菱形的定義．有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．師：你能舉出一些生活中菱形的例子嗎？設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)使用了教科書的引入，先讓學(xué)生觀察，然后通過測量比較，發(fā)現(xiàn)鄰邊相等的特征，從而引出菱形的定義．想一想菱形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有哪些特殊性質(zhì)呢？與同伴交流.設(shè)計意圖：從菱形與平行四邊形的關(guān)系入手，思考菱形的性質(zhì).菱形是特殊的平行四邊形，因此具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).通過對平行四邊形性質(zhì)的回顧，結(jié)合菱形的形狀特征，讓學(xué)生感悟到菱形的一些特殊性質(zhì)，為下面的探索、證明菱形的特殊性質(zhì)做鋪墊.做一做用菱形紙片折一折，回答下列問題：（1）菱形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關(guān)系？（2）菱形中有哪些相等的線段？師生活動：教師出示問題，引導(dǎo)學(xué)生完成“做一做”．通過對折，我們發(fā)現(xiàn)菱形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線就是它的對稱軸，對稱軸之間互相垂直．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．通過對折，可以發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論：從邊看：四邊相等，即AB=BC=CD=DA；從角看：對角線平分每對內(nèi)角，即∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA；從對角線看：對角線互相垂直，即AC⊥BD；從三角形形狀看：等腰三角形有△ABC，△ADC，△BAD，△BCD；直角三角形有△OAB，△OCB，△OCD，△OAD．設(shè)計意圖：平行四邊形的許多性質(zhì)都與它的中心對稱性有關(guān)，而菱形不僅是中心對稱圖形，而且還是軸對稱圖形．因此，菱形的特殊性質(zhì)與它的軸對稱性有關(guān)．通過折紙活動，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)鄰邊的關(guān)系、對角線的關(guān)系，甚至對角線與內(nèi)角的關(guān)系，從而加深學(xué)生對菱形特性的認(rèn)識．教師：通過折紙活動，同學(xué)們已經(jīng)對菱形的性質(zhì)有了初步的理解，下面我們要對菱形的性質(zhì)進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明．已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD,對角線AC與BD相交于點O．求證：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD．師生共同分析：①菱形不僅對邊相等，而且鄰邊也相等，這樣就可以證明菱形的四條邊都相等了．②因為菱形是平行四邊形，所以點O是對角線AC與BD的中點；又因為在菱形中可以得到等腰三角形，這樣就可以利用“三線合一”來證明結(jié)論了．學(xué)生活動：寫出證明過程，進(jìn)行組內(nèi)交流對比，優(yōu)化證明方法，掌握相關(guān)定理．證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的對邊相等）．又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD．（2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形．又∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OD（菱形的對角線互相平分）．在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，∴AO⊥BD，即AC⊥BD．教師活動：展示學(xué)生的證明過程，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)狞c評和鼓勵，優(yōu)化學(xué)生的證明方法，提高學(xué)生的邏輯證明能力，最后強調(diào)“菱形的四條邊都相等”“菱形的對角線互相垂直”，讓學(xué)生形成牢固記憶，留下深刻印象．板書：定理菱形的四條邊相等定理菱形的對角線互相垂直設(shè)計意圖：學(xué)生通過折紙可以猜想到菱形的相關(guān)性質(zhì)，教師在參與學(xué)生活動的過程中，應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的口述論證過程，并根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平加以引導(dǎo)，盡量減少學(xué)生推理論證過程中的困難．學(xué)生經(jīng)過了折紙這一操作活動后，再經(jīng)過邏輯證明，把操作層面的感知上升到了理性認(rèn)識，充分了解了菱形的本質(zhì)特征．本環(huán)節(jié)讓學(xué)生進(jìn)行猜想、探究和證明，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．同時，操作活動得到的結(jié)論與邏輯推理相結(jié)合，是對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行探索活動的自然延續(xù)，實現(xiàn)了從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的升華．【典例精析】例如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長AB和對角線AC的長．師生共同分析：①因為菱形的鄰邊相等，且一個內(nèi)角是60°，這樣就可以得到等邊△ABD；又因為BD=6，所以菱形的邊長也是6．②由菱形的對角線互相垂直，可以得到直角△AOB；由菱形的對角線互相平分，可以得到OB=3，這樣根據(jù)勾股定理就可以求出OA的長度；最后根據(jù)菱形的對角線互相平分，即AC=2OA，求出AC的長．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD（菱形的四條邊都相等），AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），OB=OD=BD=×6=3（菱形的對角線互相平分）．在等腰三角形ABD中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形．∴AB=BD=6．在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2．∴．∴AC=2OA=（菱形的對角線互相平分）．設(shè)計意圖：通過認(rèn)識概念、探究性質(zhì)、證明結(jié)論、應(yīng)用結(jié)論這幾個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生掌握菱形的概念及其性質(zhì)．注意引導(dǎo)學(xué)生將推理的過程寫清楚，不能只關(guān)注計算結(jié)果.【課堂練習(xí)】1．已知菱形的周長為40cm，兩條對角線的長度之比為3︰4，那么對角線的長分別為（）．A．3cm，8cmB．3cm，4cmC．12cm，16cmD．24cm，32cm參考答案C．2．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E，連接DF，則∠CDF等于（）．A．50°B．60°C．70°D．80°參考答案B．解析：連接BF，因為EF垂直平分AB，所以AF=BF．易證△BCF≌△DCF．所以BF=DF．所以AF=BF=DF．因此∠ADF=∠FAD=40°．而∠ADC=180°－80°=100°，所以∠CDF=60°．3．如圖，在菱形ABCD中，若∠B=60°，點E、F分別在AB、AD上，且BE=AF，則∠AEC＋∠AFC的度數(shù)等于_________．參考答案180°．解析：連接AC．在菱形ABCD中，∵∠B=60°，∠BAD=120°，∴．∴BC=AC．又∵BE=AF，∴△BCE≌△ACF．∴∠BEC=∠AFC．又∵∠BEC＋∠AEC=180°，∴∠AEC＋∠AFC=180°．4．如圖，已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM＋PN的最小值是_________．參考答案5．解析：作M關(guān)于BD的對稱點，設(shè)其為Q，連接NQ，交BD于點P，連接PM，此時PM＋PN的值最小．5．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O．已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的長．師生活動：老師先找?guī)酌麑W(xué)生板演，然后分析，最后師生共同寫出規(guī)范的解題過程．分析：從題意可知AC與BD互相垂直，所以△AOB是直角三角形；又因為AB=5cm，AO=4cm，這樣就可以運用勾股定理求出OB；又因為菱形的對角線互相平分，所以BD是OB的兩倍，這樣就可以很方便地求出BD的長．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直）．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO2+BO2=AB2．∴．∵四邊形ABCD是菱形，∴BD=2OB=2×3=6（菱形的對角線互相平分）．所以，BD的長是6cm．設(shè)計意圖：學(xué)生通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解和掌握了菱形的性質(zhì)，對前面所學(xué)知識進(jìn)行了更加深入地認(rèn)識，同時提高了學(xué)生的邏輯推理能力，培養(yǎng)了學(xué)生的主動探索能力，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．六、課堂小結(jié)本節(jié)課我們探討了菱形的定義和性質(zhì)，下面我們來共同總結(jié)一下：1．菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2．菱形的性質(zhì)：①菱形是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在的直線；②菱形的四