高中卷04平均值不等式與柯西不等式

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書高中卷第二版平均值不等式與柯西不等式李勝宏邊紅平編著(1)華東師范大學(xué)出版社數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書（第二版）編委會馮志剛第53屆IMO中國隊(duì)副領(lǐng)隊(duì)、上海中學(xué)特級教師葛軍博士、中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級教練、南京師范大學(xué)副教授江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究會副理事長冷崗松國家集訓(xùn)隊(duì)教練、上海大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師李勝宏第44屆IMO中國隊(duì)領(lǐng)隊(duì)、浙江大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師李偉固中國數(shù)學(xué)奧林匹克委員會委員、國家集訓(xùn)隊(duì)教練北京大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師劉詩雄華南師范大學(xué)中山附屬中小學(xué)長、中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師倪明華東師范大學(xué)出版社教輔分社社長、編審單第30、31屆IMO中國隊(duì)領(lǐng)隊(duì)、南京師范大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師吳建平中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會主任、中國數(shù)學(xué)奧林匹克委員會副主席熊第46、49、51中國數(shù)學(xué)奧林匹克委員會委員、華東師范大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師余紅兵中國數(shù)學(xué)奧林匹克委員會委員、國家集訓(xùn)隊(duì)教練蘇州大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師朱華偉中國教誨數(shù)學(xué)學(xué)會常務(wù)副理事長、國家集訓(xùn)隊(duì)教練廣州大學(xué)軟件所所長、研究員數(shù)學(xué)比賽像其他比賽活動一樣,是青少年學(xué)生的一種智力比賽.在類似的以基礎(chǔ)科學(xué)為比賽內(nèi)容的智力比賽活動中,數(shù)學(xué)比賽的歷史最悠久、國際性強(qiáng),影響也最大.我國于1956年開始舉行數(shù)學(xué)比賽,當(dāng)初最有威望的聞名數(shù)學(xué)家華羅庚、蘇步青、江澤涵等都積極參加領(lǐng)導(dǎo)和組織比賽活動,并組織出版了一系列青少年數(shù)學(xué)讀物,鼓勵了一大批青年學(xué)生立志從事科學(xué)事業(yè).我國于1986年起參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克,多次獲得團(tuán)體總分第一,并于1990年在北京勝利地舉辦了第31屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克,這標(biāo)志著我國數(shù)學(xué)比賽水平在國際上居率先地位,為各國科學(xué)家與教誨家所矚目.我國數(shù)學(xué)比賽活動表明,凡是開展好的地區(qū)和單位,都能大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,有利于培養(yǎng)發(fā)明性思維,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.這項(xiàng)比賽活動,將健康的競爭機(jī)制引進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,有利于選拔人才.由數(shù)學(xué)比賽選拔的優(yōu)勝者,既有踏實(shí)廣泛的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),又有刻苦鉆研、科學(xué)的學(xué)習(xí)主意,其中的不少青年學(xué)生未來會成為出色的科學(xué)工作者.在美國,數(shù)學(xué)比賽的優(yōu)勝者中后來成名如米爾諾(J.W.Milnor)、芒福德(D.B.Mumford)、奎倫(D.Quillen)等都是菲爾茲數(shù)學(xué)獎的獲得者;在波蘭,聞名數(shù)論專家辛哲爾(A.Schinzel)學(xué)生時代是一位數(shù)學(xué)比賽優(yōu)勝者;在匈牙利,聞名數(shù)學(xué)家費(fèi)葉爾(L.Fejér)、里斯(M.Riesz)、舍貴(G.Szeg?)、哈爾(A.Haar)、拉多(T.Radó)等都曾是數(shù)學(xué)比賽獲獎?wù)?匈牙利是開展數(shù)學(xué)比賽活動最早的國家,產(chǎn)生了同它的人口不成比例的許多大數(shù)學(xué)家!在開展數(shù)學(xué)比賽的活動同時,各小學(xué)能加強(qiáng)聯(lián)系,彼此交流數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),從這種意義上來說,數(shù)學(xué)比賽可能成為數(shù)學(xué)課程改革的“催化劑”,成為培養(yǎng)優(yōu)秀人才的有力措施.不過,應(yīng)該注重在數(shù)學(xué)比賽活動中,注重普及與提高相結(jié)合,而且要以普及為主,使比賽具有廣泛的群眾基礎(chǔ),否則難以持久.固然,現(xiàn)在有些人過于擔(dān)心數(shù)學(xué)比賽的成績,組織和參加都具有很強(qiáng)的功利目的,過分?jǐn)U大數(shù)學(xué)比賽的作用,這些都是不準(zhǔn)確的,違抗了開展數(shù)學(xué)競賽活動的本意.這些缺點(diǎn)有其深層次的社會緣故,需要逐步加以克服,不必因?yàn)橛心承┤秉c(diǎn),就一定這項(xiàng)活動.我十分歡喜看到這套《數(shù)學(xué)奧林匹克小叢書》的正式出版.這套書,規(guī)模大、專題細(xì).據(jù)我所知,這樣的叢書還不多見.這套書不僅對數(shù)學(xué)比賽中浮上的常用主意作了闡述,而且對照賽題作了精到的分析解答,不少出自作者自己的研究所得,是一套很好的數(shù)學(xué)比賽專題教程,也是中小學(xué)生和教師的參考書.這套小叢書的作者都是數(shù)學(xué)比賽教學(xué)和研究人員,不少是國家集訓(xùn)隊(duì)的教練和國家隊(duì)的領(lǐng)隊(duì).他們?yōu)槲覈_展數(shù)學(xué)比賽的活動和我國學(xué)生在IMO上取得成績、為國爭光作出了貢獻(xiàn),為這套書盡早面世付出了艱辛的勞動.華東師大出版社在出版《奧數(shù)教程》和《走向IMO》等比賽圖書基礎(chǔ)上,策劃組織了這套叢書,花了不少心血.我異常謝謝作者們和編輯們在這方面所做的工作,并衷心祝福我國的數(shù)學(xué)比賽活動開展得越來越好.王藝王元,聞名數(shù)學(xué)家,中國科學(xué)院院士,曾任中國數(shù)學(xué)會理事長、中國數(shù)學(xué)奧林匹克委員會主席.1平均值不等式及其證實(shí)0011.1平均值不等式0011.2平均值不等式的證實(shí)002習(xí)題10142平均值不等式的應(yīng)用0172.1平均值不等式在不等式證實(shí)中的應(yīng)用0172.2平均值不等式在求極值中的應(yīng)用0372.3平均值不等式在幾何不等式中的應(yīng)用0462.4平均值不等式的變形及應(yīng)用0552.5帶參數(shù)的平均值不等式064習(xí)題20703柯西不等式及其證實(shí)0743.1柯西不等式及其證實(shí)0743.2柯西不等式的變形和推廣083習(xí)題30864柯西不等式的應(yīng)用0884.1柯西不等式在證實(shí)不等式中的應(yīng)用0884.2柯西不等式在解方程組和求極值中的應(yīng)用1044.3柯西不等式在證實(shí)分式不等式中的應(yīng)用1174.4柯西不等式在組合計(jì)數(shù)預(yù)計(jì)中的應(yīng)用1294.5帶參數(shù)的柯西不等式1354.6利用平均值不等式與柯西不等式解題139習(xí)題4152習(xí)題解答155參考文獻(xiàn)183平均值不等式是最基本的重要不等式之一,在不等式理論研究和證實(shí)中占有重要的位置.平均值不等式的證實(shí)有許多種主意.這里,我們選了部分具有代表意義的證實(shí)主意,其中用來證實(shí)平均值不等式的許多結(jié)論,其本身又具有重要的意義.異常是,在許多比賽的書籍中,都有專門的章節(jié)推薦和討論,如數(shù)學(xué)歸納法、變量替換、恒等變形和分析綜合主意等,這些也是證實(shí)不等式的常用主意和技巧.希翼大家能仔細(xì)思量和好好控制,認(rèn)識不等式的證實(shí).1.1平均值不等式對隨意非負(fù)實(shí)數(shù)a、ba于是,得a普通地,假設(shè)a1,a2,?A幾何平均值記為G算術(shù)平均值與幾何平均值之間有如下的關(guān)系a即A當(dāng)且僅當(dāng)a1=上述不等式稱為平均值不等式,或簡稱為均值不等式.平均值不等式的表達(dá)形式容易,容易記住,但它的證實(shí)和應(yīng)用異常靈便、廣泛,有多種不同的主意.為使大家理解和控制,這里我們挑選了其中的幾種典型的證實(shí)主意.固然,有些主意是幾個知識點(diǎn)的結(jié)合,很難將它們歸類,有些大體相同或相似,但挑選的變量不同,或處理的方式不同,導(dǎo)致證實(shí)的難易不同,所以,我們將它們看作是不同的主意.1.2平均值不等式的證實(shí)證法一(歸納法)(1)當(dāng)n=2(2)假設(shè)對n=k(正整數(shù)k≥2)時命題成立,即對于ai>a那么,當(dāng)n=k+A關(guān)于a1,a2,?,ak+1是對稱的,隨意對調(diào)ai與aji≠j,即將ai寫成aj,ajA即A對k個正數(shù)a2,a而a于是A兩邊乘以Ak+A從而,有Ak+直接驗(yàn)證可知,當(dāng)且僅當(dāng)所有的ai說明這里,利用了證實(shí)與正整數(shù)有關(guān)的命題的常用主意,即數(shù)學(xué)歸納法.數(shù)學(xué)歸納法證題技巧的應(yīng)用,可以說是五彩繽紛,千姿百態(tài).應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,除了需要驗(yàn)證當(dāng)n=1或n=n0(這里n0為某個固定的正整數(shù))外,其關(guān)鍵是要在n=k時成立的假設(shè)之下,導(dǎo)出當(dāng)證法二(歸納法,與證法一的不同處理)(1)當(dāng)n=2(2)假設(shè)對n=k(正整數(shù)k≥2)時命題成立,即對于ai>a那么,當(dāng)n=ka(1)=(2)≥(3)≥(4)=(5)=(6)=(7)于是Ak+不難看出,當(dāng)且僅當(dāng)所有的ai說明在這個證實(shí)中,為了利用歸納假設(shè),將(1)寫成(2)的形式.由歸納假設(shè),從(2)得到(3),因?yàn)楫?dāng)n=2證法三(歸納法,另一種處理方式)(1)當(dāng)n=2時,已知結(jié)論成立.(2)假設(shè)對n=k(正整數(shù)k≥2)時命題成立,即對于aa那么,當(dāng)n=kA=≥所以Ak+12k≥說明在上面的證實(shí)中,將Ak+1表示為Ak+1證法四(歸納法和變換)在證實(shí)原命題之前,首先令y其中Gn=na1ay即在條件y1y2?yn=我們用歸納法證實(shí)上述不等式.(1)當(dāng)n=1時,y(2)假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立,則對于n=k+1,因?yàn)閥1y2?yn=1yi>0,那么y于是y≥=≥不難看出,當(dāng)且僅當(dāng)y1=y2=?故當(dāng)n=k說明通過變量替換,將原問題化為一個與正整數(shù)有關(guān)的形式容易的不等式,在證實(shí)中運(yùn)用了我們比較認(rèn)識的手段和技巧.證法五(歸納法和二項(xiàng)展開式)(1)當(dāng)n=2(2)假設(shè)對n=k(正整數(shù)k≥2)時命題成立,即對于ai>a那么,當(dāng)n=k+1時,不妨假設(shè)a從而,得A(8)=(9)≥(10)=(11)=(12)所以Ak+不難看出,當(dāng)且僅當(dāng)所有的ai說明在證實(shí)過程中,考慮Ak+1k+1證法六(倒向歸納法)倒向歸納法,也稱“留空回填”法.基本思想是先對天然數(shù)的一個子列nm證實(shí)命題成立,然后再回過來證實(shí){n首先證實(shí)當(dāng)n=2m(m為正整數(shù))時,平均值不等式成立.為此,對當(dāng)m=1時,顯然有a假設(shè)m=k時命題成立,則當(dāng)m2=≤≤=所以對于具有n=2m形式的正整數(shù)n,平均值不等式成立,即對無窮多個正整數(shù)現(xiàn)假設(shè)n=k+1時,平均值不等式成立.當(dāng)n=k時,k所以Gk≤Ak,也就是說當(dāng)綜上可知,對一切正整數(shù)n,平均值不等式成立.不難看出,當(dāng)且僅當(dāng)所有的ai證法七(利用排序不等式)為了利用與上面不同的主意證實(shí)平均值不等式,我們首先推薦和證實(shí)另一個重要的結(jié)論,即排序不等式.引理1(排序不等式)設(shè)兩個實(shí)數(shù)組a1,a2,?a則a≥≥其中j1,j2,?,jn是1,2,?,n的一個羅列,并且等號同時成立的充足必要條件是a1=a2=?=an或b1a也就是說,jn≠n時,調(diào)換A中bn與bjn的位置,其余都不動,則得到anbn項(xiàng),并使A變?yōu)锳1,且A1≥A.用同樣的主意,可以再得到an繼續(xù)這個過程,至多經(jīng)過n?1次調(diào)換,得aa同樣可以證實(shí)A≥a顯然當(dāng)a1=a2=?=an或b1=b2=?=bn時,兩個等號同時成立.反之,倘若a1,a2,?,a現(xiàn)在,利用引理1證實(shí)平均值不等式.令yk=y≤=所以An≥顯然當(dāng)a1=a2=?=an時,An=Gn.倘若a1,a2,G故當(dāng)An=Gn時必有注(1)我們可以類似于證法四,由Gn=y則y1yy下面利用排序不等式證實(shí)這個不等式.任取x1>0,再取x2>0,使得y1=x1x2,再取x3>y由引理1,得y當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=?=xn(2)排序不等式是一個重要的基本的不等式,可以利用排序不等式直接證實(shí)許多其他有關(guān)的不等式.例如:契比雪夫不等式設(shè)a1,a2,?,an當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=?證實(shí)顯然n===故命題成立.證法八(調(diào)節(jié)法)(1)首先,倘若a1=a2=?=an,那么必有An=Gn.下設(shè)這些數(shù)不全等,不妨設(shè)a1=mina1,a2b=則Gn≤(2)倘若b1=b2=?=bn,則命題成立.若不全等,則必有最大和最小者,而且它們都不等于An,模仿上面作法,可以得到c1,c2,?,cn,這組數(shù)中,有兩個數(shù)為An,且An2=c1+c2+?+cnn=b1A從而得An≥Gn,且只要a1,注調(diào)節(jié)法是證實(shí)不等式或求最值的一種有效主意,異常是對那些當(dāng)變量相等時取等號或取到最值的有關(guān)問題.證法九(歸納法和輔助命題)為了證實(shí)平均值不等式,需要證實(shí)一個引理.引理2假設(shè)x、y為正實(shí)數(shù),nx證實(shí)因?yàn)閤、y與xx于是x===≥故引理2成立.現(xiàn)在,我們利用引理2和數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)平均值不等式.(1)當(dāng)n=2(2)假設(shè)對n=k(正整數(shù)k≥2)時命題成立,即對于ai>a那么,當(dāng)n=k+1時,為了利用引理2,令a1aa=≥=不難看出,當(dāng)且僅當(dāng)所有的ai說明(1)值得注重的是,像引理2這樣的結(jié)論及其證實(shí),為我們證實(shí)和解決普通的不等式問題提供了主意和技巧.前面,我們利用數(shù)學(xué)歸納法與不同的處理方式,證實(shí)了平均值不等式,固然,還可以用其他的主意來證實(shí).(2)我們也可以用排序不等式證實(shí)引理1.證法十(構(gòu)造數(shù)列)令fn=na1+a2+?+是單調(diào)增強(qiáng)的,即f那么,由f2≥0,得到現(xiàn)在,證實(shí)fn同證法九,設(shè)a1af=?==≥這表明fn+另外,因?yàn)閒2≥0,則對隨意f不難看出,當(dāng)且僅當(dāng)所有的ai證法十一(利用輔助命題)為了證實(shí)平均值不等式,首先證實(shí)另一個不等式,即引理3倘若xk≥0,且x當(dāng)且僅當(dāng)x1=證實(shí)因?yàn)閤k≥x所以x≥即x當(dāng)且僅當(dāng)xk=所以x現(xiàn)在利用引理3證實(shí)平均值不等式.不妨假設(shè)an≥an?1Ak≥Ak?1A即An≥Gn.當(dāng)且僅當(dāng)A1=A2引理4倘若函數(shù)fx:f(13)那么f(14)其中xi∈a,b,且至少有一對i,證實(shí)對n用歸納法.當(dāng)n=1設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立.對于nA并記B則f≥≥+所以f我們稱滿意(13)式的函數(shù)為凹函數(shù)(可以證實(shí),倘若函數(shù)f二階可導(dǎo),則當(dāng)f′′x<0時,f為凹函數(shù)).異常的,不難驗(yàn)證函數(shù)fx=lnx在(0f從而ln由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,得a故命題成立.下面驗(yàn)證lnx為凹函數(shù).對隨意x,y,x≠yln等價于ln由函數(shù)的單調(diào)性,等價于x這個可以由x?y另外,由凹函數(shù)主意,設(shè)p>0,q>0,且1p+1q=1,1即x等號成立的充足須要條件是x=y這個不等式稱為Young不等式.注引理4中的不等式(14),稱為Jensen不等式,它的普通形式為設(shè)y=fx,x∈a,b為凹函數(shù),則對1其中pi>0i=1在這部分,我們利用不同的主意證實(shí)了平均值不等式成立.在證實(shí)過程中,利用了各種技巧和主意.習(xí)題11已知a>0,b>02設(shè)a,b,c>03已知0<a,b,c<1,并且c4設(shè)a,b,c∈R+,且ab5正實(shí)數(shù)x、y、z滿意xyzz6設(shè)a1,a2,?17設(shè)a,b,c為正數(shù),且a8已知x,y,z∈R+8339設(shè)x1,x2,?,x+10設(shè)a,b,c>0aII已知a,b,c為正實(shí)數(shù),且a12設(shè)a,b∈R,1a13設(shè)a,b∈R+,求證:a+1a14設(shè)x1,x2∈R,且x12+x15設(shè)a、b116設(shè)x1,x2x17設(shè)a、b、c為正實(shí)數(shù),且118設(shè)x、y、z為正實(shí)數(shù),且x19設(shè)a、b、c為正實(shí)數(shù),滿意a20設(shè)a、b、c、da21設(shè)n為給定的天然數(shù),n≥3,對于n個給定的實(shí)數(shù)a1,a2,?,a時,m的最大值.0162.1平均值不等式在不等式證實(shí)中的應(yīng)用下面舉例說明平均值不等式在證實(shí)各種比賽問題中的應(yīng)用.在證實(shí)過程中,應(yīng)用靈便,具有較高的技巧性.例1設(shè)fx=aa2?1af證實(shí)當(dāng)n≥2f=≥當(dāng)且僅當(dāng)a=1例2設(shè)x>0,證實(shí):2證實(shí)由該不等式的形狀,很容易想到平均值不等式.由平均值不等式,得2又12所以2例3設(shè)ai>0,i=1,2證實(shí)因?yàn)閷﹄S意的i,2故2注此題也可以用歸納法證實(shí).當(dāng)n=1時,則a1=1,顯然成立.假定當(dāng)n=k時成立,那么,對于n=k+1,因?yàn)閍1a2?aka2于是,為了證實(shí)命題,只要證實(shí)2(15)便可.因?yàn)?等價于4等價于a等價于a由假設(shè)最后不等式成立,故命題成立.注這里,選取ak>1,a例4設(shè)a>b>0,求證:證實(shí)因?yàn)閍b?2=≥即命題成立.注為了消去a,將2a3寫成兩項(xiàng),12例5設(shè)a,bc證實(shí)由平均值不等式,得c≥=即命題成立.例6設(shè)x+y6證實(shí)由x+y+z=0及其對稱性,不妨假設(shè)x,y≥0,x由A3≥x≥≥所以x例7設(shè)a1,1證實(shí)因?yàn)镚n≤1≤=因?yàn)閚!=所以C從而命題成立.例8設(shè)k,n為正整數(shù),且1≤k≤n,aia并決定等號成立的充要條件.證實(shí)令a=aa又因?yàn)閍于是只需證實(shí)k再由平均值不等式,得k從而不等式成立.不難看出,當(dāng)k=n且a例9設(shè)ai>k證實(shí)因?yàn)閚n?n==≥故命題成立.注應(yīng)用平均值不等式時,通常要將乘冪看作連乘積,偶爾還要巧妙地添上數(shù)1.例10設(shè)ai>0,bi>01證實(shí)由已知條件和平均值不等式,得ab又1≥從而1≥≥故命題成立.注此題證實(shí)的關(guān)鍵是將1ai寫成1例11假設(shè)a、b、ca證實(shí)倘若a+b?c,b+c?a,c+a?b中有負(fù)數(shù),不妨設(shè)若a+ba同理可得bc將三式相乘,即得到我們要證實(shí)的問題,故命題成立.注通過對部分變量應(yīng)用平均值不等式,而且輪換使用,從而得到結(jié)論的證實(shí).例12假設(shè)正數(shù)a、b、c滿意1+a1+證實(shí)由假設(shè)得1再由平均值不等式,得a當(dāng)且僅當(dāng)a=b8由此,得a所以,abc≤1,當(dāng)且僅當(dāng)例13設(shè)n為正整數(shù),證實(shí):n證實(shí)只證實(shí)不等式的左邊,不等式的右邊可同樣處理.令A(yù)=1A由平均值不等式,得A=≥從而得1不難看出,當(dāng)n=1例14設(shè)ai>0,i=1a證實(shí)一令xi=11+aim,則a于是?≥=故命題成立.證實(shí)二令aim=tan2αi其結(jié)論等價于tan即由平均值不等式,得sin≥普通地,sin≥將它們相乘,得sin故命題成立.例15設(shè)a,b,c∈Ra證實(shí)原不等式a等價于因?yàn)閍2+b2+c2=1x≤=故不等式成立.注因?yàn)榉肿又蚢2+b2+c2=例16設(shè)a1,a2,?,a1證實(shí)因?yàn)閍1,a2,?,a1≥=于是a==≥又因?yàn)閚=1a注對于該不等式的證實(shí),首先要充足理解a1,a2,?,an是1,2,例17設(shè)a,ba證實(shí)容易看出,倘若我們能證實(shí)aa2+8a等價于a再由平均值不等式,得a≥于是a從而a同理可得b于是a注這是一個IMO試題,有多種不同的證實(shí)主意,后面將再次碰到.這里的指數(shù)43是這樣得到的.取x設(shè)a上式等價于a???因?yàn)閎只需2即a因?yàn)閍所以只需a顯然取x=43例18已知正整數(shù)n≥2,實(shí)數(shù)aia并且a1求證:i=1證實(shí)當(dāng)n=2a由假設(shè)得a1?a2≤b當(dāng)n≥3時,不妨設(shè)b1b2?bn=1倘若a1≤i下設(shè)a1>1+=1==≤所以,當(dāng)a1?當(dāng)a1?n即an>又由a1a2?ana于是?2b即b2<b即b而bbb所以b例19給定n≥2,n∈Z+,求所有m∈Z+,使得對aia解取x=an由此得到m≥n?1.現(xiàn)在,假設(shè)n=a1m+a2++≥=所以a于是,只要證實(shí)m即m由假設(shè)以及平均值不等式,得1所以原不等式成立.故對所有滿意m≥n?1的例20設(shè)nn≥2是整數(shù),a證實(shí)先證對于正實(shí)數(shù)xi,∏實(shí)際上,由平均值不等式,得33所以3即∏令n,則a將它們相乘,則∏故a例21設(shè)a,b,c>0,a+b+ci證實(shí)將問題普通化.考慮表達(dá)式i=1則含aiba因此,共有CniCn?ij項(xiàng)求和(取axt2的i個因式,從剩余的n由對稱性知,含xi2的項(xiàng)數(shù)為常數(shù),即為含x因此,當(dāng)求和后的項(xiàng)是所有的乘積時,對某個p有x1x注對于本題,不必求出p.事實(shí)上,p回到原題,由代數(shù)一幾何均值不等式得a故i=1例22已知x,y,z∈R+∪{0},且x+y+z=x==≤(16)===由此得到x(17)由式(16)知,當(dāng)x=y=z或x=y,z=.0或y又x+yx時,式(17)取等號.運(yùn)用常見不等式α令α=21=≤=(18)結(jié)合式(17)得x(19)由式(18)取等號的條件知,當(dāng)α?xí)r,式(19)等號成立.故x,y,z=1,1,0例23已知a、b、ca證實(shí)原式??≥下面舉行換元.令x故原式?????由均值不等式即知結(jié)論成立.例24設(shè)正實(shí)數(shù)x1,x2,?,xn證實(shí)用反證法.假設(shè)i(20)則對隨意的kk∈1==≥=即對1≤k1取積得k則k=1nxk<所以,假設(shè)不成立,必有i例25設(shè)x,y,z1求xyz解記u=62≤=≤=故4即2所以,u≤32.依此可知,x時取得.因此,所求最大值為2764例26設(shè)x,yx證實(shí)欲證的不等式等價于x?+>因?yàn)閥z+x(21)不妨設(shè)x≥y≥z,記fx,y,事實(shí)上,f=?==而x0,所以fx,又f=≥從而(21)式得證,原命題得證.注本題所用的主意叫調(diào)節(jié)法,在各級比賽中偶爾浮上時,因難度大而得分率極低.此題的解答由第50屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克金牌獲得者鄭志偉給出.例27設(shè)x、y、z為非負(fù)實(shí)數(shù),且x證實(shí)不妨設(shè)x≥y當(dāng)x≥12時,則x當(dāng)x<12時,則1又由平均值不等式,得1從而x例28設(shè)n為正整數(shù),x1,x2,?,z令M=maxz1M證實(shí)令X=maxx1,x2,?,xM于是M由平均值不等式得到原不等式成立.為了證實(shí)上述不等式,我們將證實(shí):對隨意r>0,左邊大于r的項(xiàng)數(shù)不小于右邊相應(yīng)的項(xiàng)數(shù),那么,對每個k,左邊第k個最大的項(xiàng)大于或等于右邊第k個最大的項(xiàng),這樣就證實(shí)了上述不等式成立.倘若r≥1,則右邊沒有項(xiàng)大于r,所以只考慮r令A(yù)=xi∣xi>r,1≤i≤因?yàn)閤i>r,yjA但是,因?yàn)樘热鬉=i1,i2,?,ia,i1<i2<?<ia,B=j1,j2,?,jb,j1<j2<?<jb,則a+b?1個數(shù)i1+j注在證實(shí)的過程中,其實(shí)平均值不等式的作用是較小的.本題的證實(shí)有一定的難度,是因?yàn)橄襁@樣證實(shí)不等式的主意和處理技巧并不多見.此解答由第51屆IMO金牌獲得者李嘉倫給出.2.2平均值不等式在求極值中的應(yīng)用不等式在求極值中起著重要的作用,在利用平均值不等式求極值的過程中,要注重“縮”或“放”的結(jié)果是否為常數(shù)(通常是和與積),同時必須指出等號成立的條件.例1設(shè)a,ba的最小值.解法一令x=a+2b+c,y=a+b+a==≥取a=3故最小值為?17+解法二不妨設(shè)a+ba===≥=取a=3故最小值為?17+例2設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)a和d,正數(shù)b和c,滿意條件b+c≥a+d,求bc+d+ca+b的最小值.解不妨設(shè)a+b≥c+db==等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a=2+1,b=2?1,c例3設(shè)2x>3y>0解因?yàn)?x>3y>02≤所以2=≥等號成立當(dāng)且僅當(dāng)3y=2x?3因此,2x3+32x例4若x、y、z是正實(shí)數(shù),求xyz1+x==≤=當(dāng)且僅當(dāng)x=3同理可得,z當(dāng)且僅當(dāng)z=15所以,x≤==≤=當(dāng)且僅當(dāng)x=35,y=125,z=6時,上式取得最大值解a2a≥=從形式上預(yù)測,須證實(shí)ka3?c4b+b4c≥223?b4+c4a4+b4+令a=46,b=下面證實(shí)當(dāng)k=1424時,等價于證實(shí)a4+因?yàn)閎9+c9?b5c由加權(quán)平均值不等式,得:a≥=a≥=三式相加,收拾后即得a故原左式≥223?a4a4+b例6已知兩兩不同的正整數(shù)a,bn求n的最小值.解若a,b2≥≥==>所以n≥48.設(shè)a,b,c,d,e,f,g2≥≥=>因?yàn)間≥8,所以,2倘若g≥9,則2假設(shè)n=30,則g=8.于是,a,b,c,d,e,f,g,h是集合{1,2,3,4,5,6,7,8}例7(1)倘若a,ba并指出等號何時成立;(2)對于哪些正整數(shù)k,不等式a對所有實(shí)數(shù)a,b,c,d證實(shí)(1)給定不等式變形為a按照算術(shù)一幾何平均值不等式,得a≥=因?yàn)樗阈g(shù)一幾何平均值不等式當(dāng)a時等號成立.而最后的不等式,當(dāng)偶數(shù)個變量為負(fù)時等號成立.因此,等號成立的情形是a??之一;(2)注重到,當(dāng)k是奇數(shù)時,因?yàn)榻^對值充足大的負(fù)值a,b,c,d的選取得出了絕對值充足大的負(fù)值a當(dāng)k=2時,取a=b=c=d對充足大的正數(shù)r的選取也得出絕對值隨意大的負(fù)值.因此,Mk這樣的數(shù)不存在.當(dāng)k是偶數(shù),且k≥4時,取a=b=同(1)得a即ak+等號成立的條件與(1)相同.故此時Mk的最大值為4?例8設(shè)a,b,c∈R+,滿意a+解因?yàn)閍,b,c>0,且a同理可得bac由平均值不等式,得a推出abc≥33a=≥≥等號成立的充要條件是a=b=c=3例9對滿意abc=1的正實(shí)數(shù)a的最大值.解因?yàn)楸磉_(dá)式關(guān)于a、b、c是對稱的,當(dāng)a下面我們證實(shí)最大值為1,即證實(shí)對隨意滿意abc=1的實(shí)數(shù)a首先,我們將非齊次的式子轉(zhuǎn)換為齊次式,即對正實(shí)數(shù)x、y、z,令a=xy,x令u=x?y+z,v=y?z+u≤同理,vw≤y,wu例10設(shè)a、b、a求k的最大值.解因?yàn)楫?dāng)a=b=c時,由6≥3ka令fa,不妨假設(shè)a≤b≤ca則f=等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a=0或a再證實(shí)fa,f因?yàn)閍所以f≥==≥從而f故k的最大值為2.注此解答由第48屆IMO金牌選手付雷給出.例11對a,ba的最小值.解由平均值不等式,得a≥=于是a≥==≥當(dāng)a=b2.3平均值不等式在幾何不等式中的應(yīng)用對于幾何中浮上的不等式證實(shí),常用的主意有:幾何主意、代數(shù)主意和三角主意,固然,我們不能將它們截然地分開,常常是要綜合地運(yùn)用各種知識.倘若采用代數(shù)主意證實(shí)幾何命題,那么,靈便運(yùn)用平均值不等式和柯西不等式,對解決問題將有極大的協(xié)助.例1對于隨意一個△ABC,記其面積為S,周長為l,P、Q、R依次為A證實(shí)記BC=a,CA=b,Ax在△ABC、ap兩式消去1?cosp=(22)注重到4同理,4t?8代人式(22)得p同理,bq3記M為所證不等式左邊.則M≥(23)又a≥b由切比雪夫不等式及均值不等式得a≥≥==(24)由式(23)、(24)得M例2設(shè)a、b、AB其中,“∑”表示輪換對稱和.證實(shí):AB≥證實(shí)設(shè)a=yBAA≥下面證實(shí)上式中每個根號內(nèi)的數(shù)都大于或等于1.只需證第一個根號內(nèi)的數(shù)大于或等于1,即1??+≥(25)由冪平均不等式得x由均值不等式得3x=+=相加即得式(25)成立.5證實(shí)因?yàn)閍==所以,欲證的不等式等價于5構(gòu)造函數(shù)f一方面,f所以,f另一方面,因?yàn)閍,b,c是三角形三邊長,所以0<a,bf≤=所以,5≤=從而,欲證不等式成立.例4設(shè)P是銳角△ABC內(nèi)的隨意一點(diǎn),直線AP、BP、CP分離交△1證實(shí)如圖,連結(jié)A1BC1B,并記∠∠CB在四邊形PBAPP再在△A1P(26)同理可得P(27)P(28)由(26)、(27)、(28)聯(lián)立方程組解得222于是2≥同理22將以上三個不等式相乘,得2≥故1例5設(shè)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),D,E,F分離為P到BC,CA,解記△ABC的三個內(nèi)角為A,B,C,其對邊為a,b,設(shè)PD=x,PE=y,PF=z從而有ax+a即x上式等號當(dāng)且僅當(dāng)ax=by=cz時成立.這就是說,S1=S2=S3例6設(shè)a,b,c為三角形的三條邊的長度,δ當(dāng)且僅當(dāng)a=b證實(shí)由海倫公式,原不等式等價于p等價于p由平均值不等式,得p此式當(dāng)且僅當(dāng)p?a=p?b例7設(shè)Ta,Tb,Tca證實(shí)設(shè)AE=Ta,D為AB因?yàn)锽E=T再由平均值不等式,得Ta≥同理可得Tb≥T再由cos得到命題成立.例8設(shè)P為△ABC內(nèi)部或邊界上一點(diǎn),點(diǎn)P到三邊的距離分離為P證實(shí)設(shè)PA=x,PB=y,PC=z,D=≥從而z=D同理可得x于是x≥等號成立當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形,且P為△ABC的中央.例9設(shè)ABCDEF是凸六邊形,且AB//ED,R證實(shí)過點(diǎn)A作BC的垂線,記該垂線夾在平行線EF、BC之間線段的長度為h,設(shè)AB、BB因?yàn)锳所以∠2同理可得22所以2≥分兩種情況研究:(1)當(dāng)a=dA則2≥≥所以R(2)當(dāng)a≠d時,不妨設(shè)aF連DE1,連BA1延伸交DE1∠且sina利用平均值不等式,得2≥再由排序不等式,得A從而2綜合(1)、(2)知命題成立.2.4平均值不等式的變形及應(yīng)用對于平均值不等式,有各種不同的變形和推廣,因?yàn)檫@些問題可以包括在命題的證實(shí)和研究中,這里就不展開研究了.對隨意正數(shù)a1,i從而i令Hn=n1a1+1a2+?+1和平均值.因?yàn)閤1+x2+?n即Hn≤對隨意實(shí)數(shù)a1,n故得到a令Qn=a12+a22+?+an均值.所以,對隨意實(shí)數(shù)a1,于是,對隨意正實(shí)數(shù)a1,H且等式成立的充足須要條件是a1=例1設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),且滿意a1證實(shí)由算術(shù)平均值大于或等于幾何平均值及算術(shù)平均值大于或等于調(diào)和平均值可得1≥≥=例2已知正實(shí)數(shù)a、ba證實(shí):a≤證實(shí)由Q2≥2≥=同理,2再由Q3≥aobzerotic≥所以2≥=于是,原不等式成立.例3設(shè)正實(shí)數(shù)x、y、z滿意x證實(shí)因?yàn)?xyx故x例4設(shè)a,b3證實(shí)首先兩次應(yīng)用G2≤a=≤=≤即再由A4≤a故原不等式成立.例5設(shè)xi≥1i∏證實(shí)原不等式等價于∏這個不等式可以由下面的事實(shí)推出.由平均值不等式,得∏≤=以及∑1從而可知命題成立.例6設(shè)xi∈0,π2,i=1,3證實(shí)因?yàn)閟in2xcos則對1≤icos從而i故命題成立.例7設(shè)ai∈R+,iM的最小值.解由M=≥=所以M≥n2n?1,當(dāng)且僅當(dāng)a于是M的最小值為n2n例8已知a,b,c∈R+a證實(shí)令x=a0a于是,原問題化為證實(shí)x由H3≤A3,并注重到x+y9因?yàn)镚3≥x所以x又由1==所以1由A3≥x于是x進(jìn)一步,設(shè)a1,a2,?M為a1,a2,?對于Mr對α>β,則M∑等號成立的充要條件是a1=異常當(dāng)α>1∑例9給定正整數(shù)k,當(dāng)xk+yk+z解由假設(shè)和冪平均不等式,得x所以x當(dāng)x=y=z=3例10設(shè)三角形三邊長分離為a、b、c,面積為a證實(shí)當(dāng)n=1時,a+b+c假設(shè)當(dāng)n=ka則當(dāng)n=ka其中ai∈得a從而a即當(dāng)n=k因?yàn)槠胀ǖ膬缙骄坏仁皆诒荣愔泻苌俑∩?這里就不展開研究了.等式或不等式的變形,是證實(shí)數(shù)知識題和運(yùn)算中常使用的主意和技巧.前面我們推薦了平均值不等式的證實(shí)和應(yīng)用,但對于某些問題,通過變形處理可能比運(yùn)用基本定理來證實(shí)更容易,下面我們以一個例子來說明,希翼讀者能有所體味和了解.例11設(shè)a,b,c2證實(shí)一通過變形直接證實(shí).不妨假設(shè)a+b1即a兩邊同乘以3,得3消除分子的二次項(xiàng),得8因?yàn)?x28≤故命題成立.證實(shí)二對一個n個變量的函數(shù)f,定義它的對稱和s這里σ是1,2,?,n的所有的羅列,sym表示對稱求和.例如,將x1,x2sss則8其中B>0A下面證實(shí)A>0由加權(quán)平均值不等式,得4得s于是s再由平均值不等式,得a從而s或者s回顧Schur不等式,a=或者s是?≥綜上可得A>0注此題還有多種不同的證實(shí)主意,感興趣的讀者不妨自己試試.2.5帶參數(shù)的平均值不等式引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù),是解決不等式問題的重要技巧.普通地,當(dāng)ai>0,λi1例1設(shè)a,bf的最大值.解倘若假設(shè)f的最大值為M,則a因此,要建立一個上面形式的不等式,并找一組a,b設(shè)α,βα將上面三式相加,得α≥令α2=12α+β=1β+γ2=122即f又當(dāng)a=d=1,b=c=2例2求出最大的正數(shù)λ,使得對于滿意x2+y2+z2=1λ解因?yàn)?≥且當(dāng)y=22,x=2λ2λ2+1,z=22故λ的最大值為2.例3已知α,β1求函數(shù)u=α解對于隨意正實(shí)數(shù)a,bx==≥=當(dāng)且僅當(dāng)b亦即xab令α=a1且x從而α所以,u的最大值為αβγ注(1)倘若1α2+k+1β2+k+1這是因?yàn)?α化簡收拾后α(2)若k1k2α2+k1k2k+k2事實(shí)上,只須令x′=k1x,y′=k2y,z′=k3f≤當(dāng)且僅當(dāng)α2=消除x,得2α4解方程,得α2=14a4所以當(dāng)x=2f例5設(shè)x,y,z∈Rf的最小值.解將原式變形為f對于w∈0,1,令?w=選一參數(shù)a,并利用G9≤a≤=取a=88因?yàn)?w>?于是f當(dāng)x=y故fx,y,z注這里挑選a=8,是為了消除變量w例6求最小的正整數(shù)k,使得對滿意0≤a≤1的所有a和所有正整數(shù)a解先設(shè)法消除參數(shù)a,然后求k的最小值.由平均值不等式,得n所以a當(dāng)且僅當(dāng)a=k1?an于是我們要求出最小的正整數(shù)k,使得對任何正整數(shù)n都有k當(dāng)k=1時,取n=1,上式為當(dāng)k=2時,取n=1,則當(dāng)k=3時,取n=3,則因此k≥4.下面證實(shí)k4當(dāng)n=1,2當(dāng)n≥4n≤=故k的最小值為4.注在第一次利用平均值不等式時,引進(jìn)參數(shù)α=kn,消除習(xí)題21已知0<a<1,0<b<12設(shè)a,b,c∈R+∑其中,“∑”表示輪換對稱和.3設(shè)ai∈a4設(shè)a1,a2,?,ana5設(shè)ai,i其中i=1nai=Q證實(shí):G?H7設(shè)a1,a2,?n?25設(shè)x1x9已知5n個實(shí)數(shù)riR求證:i=110求證:1?111設(shè)a,d≥0,b,c>012對隨意正數(shù)a1,a2,?,an,13求乘積x2y2z2u在條件x14設(shè)a1,a的最小值.IS設(shè)正實(shí)數(shù)a1,a2,?i的最小值.16設(shè)a>0,x求x1x17設(shè)n≥2,x1,x2,?,xn18證實(shí):對隨意邊長為a、b、c,且面積為a10證實(shí):倘若AD、BE與CF是△ABC的角平分線,則20設(shè)△ABC的外接圓K的半徑為R,內(nèi)角平分線分離交圓K于A′,B′,C′,證實(shí):16Q3≥27R4P21設(shè)△ABC的三邊長為a、b、c,現(xiàn)將AB、AC分離延伸a單位長度,將BC、BA分離延伸b單位長度.CA,CB分離22設(shè)等腰梯形的最大邊長為13,周長為28.(1)設(shè)梯形的面積為27,求它的邊長;(2)這種梯形的面積能否等于27.001?2在所有周長一定的三角形中,求內(nèi)切圓半徑最大的三角形.24在△ABC中,三條邊長分離為a、b、125設(shè)n≥2,求乘積x1x2?xn在條件26求最小正數(shù)λ,使得對于任一三角形的三邊長a、b、c,只要有ac+27對每個正整數(shù)n,求證:j28設(shè)A、Bsin29設(shè)α、βcsc并求等號成立的條件.30設(shè)x,y,z≥0x31對ai∈R+i=1,lim12設(shè)xi∈Ri=1(1)n?1(2)xi?33求最大的實(shí)數(shù)λ,使得當(dāng)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式fx=x3+ax2+c的所有根都是非負(fù)實(shí)數(shù)時,只要x≥0,就有fx≥λx?a3,并求等號成立的條件.前面我們推薦了平均值不等式及其在不等式證實(shí)中的一些應(yīng)用,同時,也推薦了證實(shí)不等式的一些主意和技巧.但是,任何一個結(jié)論的使用,都有它的局限性,平均值不等式也是如此.在不等式的3.1柯西不等式及其證實(shí)設(shè)a1,a2,?,aa當(dāng)且僅當(dāng)a1b1=a2b2=?柯西不等式的證實(shí)主意無數(shù),這里我們挑選其中一些容易和具有一定技巧的證實(shí).證法一不妨假設(shè)An=i=1ni則原不等式等價于x即2又等價于x這個不等式顯然成立,且等號成立的充要條件為xi=yi(ib證法二(比值法)按上述證實(shí)主意和記號,不妨假設(shè)An≠0,Cn≠0i由于=且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)ia由第一個條件表明aibi≥0,i=1,2,?,n,即ai與bi因?yàn)閍i與bi證法三(比值法,類似證法二)令A(yù)n=a1A=≥所以A即B等號成立當(dāng)且僅當(dāng)aib注(1)這兩個證實(shí)主意比較容易,但是對于不等式的證實(shí)來講,怎樣人手是十分重要的.比值法是證實(shí)不等式的一種常用、基本的主意.(2)上述兩種主意也稱為標(biāo)準(zhǔn)化主意,這個主意可以簡化許多不等式的證實(shí).在前面我們也使用過.如為了證實(shí)Gn≤An,令條件y1y2?yn=證法四(歸納法)眾所周知,歸納法是證實(shí)不等式的一種強(qiáng)有力和常用的主意,這里,利用歸納法證實(shí)一個更強(qiáng)的結(jié)論,即i(1)當(dāng)n=2a≤=且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1b(2)假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立,那么對于ni=≥≥所以對一切的n命題成立.不難得到等號成立的充足須要條件.證法五(歸納與綜合法)(1)當(dāng)n=2a≤=且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1b(2)假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立.對于n=k+1,令A(yù)B因?yàn)槲覀円C實(shí)a≤等價于證實(shí)B???由歸納假設(shè),上述不等式成立,且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a1b1=a2b2=證法六(歸納法和平均值不等式)(1)當(dāng)n=2a≤=即命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立.對于n=a=+由平均值不等式,得2≤由歸納假設(shè),得a=≤+=結(jié)合平均值不等式等號成立的條件,不難得到柯西不等式等號成立的充要條件,故命題成立.注(1)在上述的證實(shí)中,我們反復(fù)利用了平均值不等式.(2)上述幾種證實(shí)均用歸納法,因?yàn)樽C實(shí)過程中,對表達(dá)式的處理的不同,所以難易程度也就不同.證法七(利用排序不等式)因?yàn)閕則aa有兩行相同,共n2另一方面,有亂序aa兩行,共n2i由引理1,得i當(dāng)且僅當(dāng)a1b證法八(利用參數(shù)平均值不等式)因?yàn)閷∈Ra令m2=a從而i故i=注利用含參數(shù)的基本不等式來證實(shí)不等式,具有較高的靈便性和技巧,為了讓大家認(rèn)識這種證實(shí)主意,后面,我們將專門推薦.證法九(利用行列式性質(zhì))S====又S==所以2=即S≥0證法十(利用拉格朗日恒等式)對a1,a2,?i不難看出命題成立.注實(shí)際上,證法十是證法九的一種異常情況,但在證實(shí)不等式中,拉格朗日恒等式往往作為已知的結(jié)果使用,此外,拉格朗日恒等式也可以用其他主意來證實(shí).證法十一(內(nèi)積法)令α=a1,a2,?0于是i由t的隨意性,得4故命題成立.證法十二(向量法)令α=a1,a2cos從而α由α?β=a1b1+a2b2+?注內(nèi)積法和向量法有著密切的聯(lián)系,內(nèi)積亦稱為點(diǎn)積,其定義為:對任意兩個向量α,βα容易驗(yàn)證,對隨意向量α≠0α在證法十一中,就是利用了這個性質(zhì).證法十三(構(gòu)造單調(diào)數(shù)列)構(gòu)造數(shù)列SnS則SS??b=??=+即Sn+1≤Sn,所以數(shù)列Sn單調(diào)減少,從而對一切證法十四(二次函數(shù)的判別式)令A(yù)n=a12+a22+?+an2,因?yàn)锳n>0,fxB等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1b用類似的主意,可以證實(shí)下列不等式:設(shè)ai,bi∈R,滿意aa證實(shí)按上述記號,不妨設(shè)An>0,考慮函數(shù)gx=Anx2+2Bnx+Cn=a1x+b12?B等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a1b證法十五(凹函數(shù)主意)令A(yù)n=a12+a22+?+an1??于是i?不難得到,等式成立的充要條件是a1b另外,倘若令x=a3.2柯西不等式的變形和推廣變形1設(shè)ai∈i等號成立的充足須要條件是ai=變形2設(shè)ai,i等號成立的充足須要條件是b1=柯西不等式的推廣為赫爾德(Holder)不等式,即赫爾德不等式設(shè)ai>0,bi>i等號成立的充足須要條件是aip證實(shí)由Young不等式,得i≤等號成立的充足須要條件是a即aip赫爾德不等式也可以變形為i等號成立的充足須要條件是ai=λbii=1,2證實(shí)當(dāng)m>0i≤=故i當(dāng)m<?1時,?m+1>0,對于數(shù)組b1,i即i等號成立當(dāng)且僅當(dāng)aibimm+1m+1由赫爾德不等式可以推出另一個重要的不等式,即閔可夫斯基不等式對ai,i當(dāng)且僅當(dāng)a1b證實(shí)由赫爾德不等式,得i≤所以i不難知,當(dāng)且僅當(dāng)a1b關(guān)于柯西不等式的復(fù)數(shù)形式,就不在這里研究了.習(xí)題33設(shè)a,b,c∈R2設(shè)a,b,c,d13已知a,bi4已知a,b,c∈R15設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿意aa6已知x、y、z1?x,y,z∈x8設(shè)a,b,c∈R+∑其中,“∑”表示輪換對稱和.9設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c>0,且滿意a10設(shè)a,b,c∈R111設(shè)a1,a2312已知a、b、c913設(shè)ai∈114設(shè)ai,bi,ci15設(shè)nn≥416設(shè)a1,a2i17設(shè)a、b、ca18設(shè)n是大于1的天然數(shù),求證:C4.1柯西不等式在證實(shí)不等式中的應(yīng)用運(yùn)用柯西不等式,證實(shí)其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù),并按照柯西不等式形式舉行探索,巧妙選取兩組數(shù).例1已知a,b,c∈R36證實(shí)由柯西不等式,得1≥所以1例2設(shè)a,b,c∈R+a證實(shí)由柯西不等式,得a≤=故命題成立.例3設(shè)ai>0i=1a證實(shí)令an+i≤=于是i注在證實(shí)過程中,注重條件的利用和不等式的變形.例4設(shè)a、b、c是正實(shí)數(shù),且滿意aa證實(shí)注重到1同理,1?b故原不等式等價于2化簡后得4≥即a從而要證1a+而1a+例5設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿意a1證實(shí)用符號∑表示循環(huán)和,即證實(shí):∑(29)由柯西不等式得∑又?∑a及a則∑≥==故∑a2所以,∑(30)式(30)兩邊乘以-1,再加3,再除以2即得式(29).例6已知x,y,z>0x證實(shí)因?yàn)閍所以a在b>0a利用上式及柯西不等式,可知x=++=≥==例7設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)a1,a2,?,a(1)i=1(2)i=1(3)i=1求證:對隨意1≤k≤n,都有證實(shí)對隨意1≤kk≤=≤從而ak≤1010+k2.同理有例8設(shè)ai∈R+i=1,2i求rii解令xi=0,則再令xi=2ai于是令xi=ri,則推出i即i=1i等號成立充要條件是ri=從而i=1i經(jīng)驗(yàn)證,ri=上面的條件可以改為普通的形式:i其中m>1利用赫爾得不等式,得r例9設(shè)xi,i證實(shí)令a=i=1nxi,a即a求和,得a故?i=本例倘若用向量主意證實(shí),會更容易.例10設(shè)ai∈R+1證實(shí)令i=1n1aii所以i=1i≤于是1≥故命題成立.注此題的證實(shí)主意較多,不妨自己試一試.例11設(shè)n為正整數(shù),x1≤x2(1)i,j(2)第(1)小題等號成立的充要條件是x1,證實(shí)(1)不失普通性,可設(shè)i=1i由柯西不等式,得i=另一方面,i從而i(2)倘若等號成立,則對某個k,xi=k2i?n?1,則xx將每個xi減去x1+xn2,就有x例12證實(shí):滿意條件(1)a1+(2)a的整數(shù)惟獨(dú)a1,證實(shí)設(shè)a1,a2a結(jié)合a12+a22+?+an2當(dāng)i=1nai2=n3時,由柯西不等式取等號得a1=a2=?=an當(dāng)i=1nai=i于是bi2只能是0或者1,且b12,b22,?,bn2中至多有一個為1.倘若都為零,則ai=n,i=例13證實(shí):關(guān)于兩個三角形的匹竇不等式a這里a、b、證實(shí)由柯西不等式,得16≤=所以a注在證實(shí)過程中,常常舉行一些恒等的變形.例14設(shè)a、ba證實(shí)顯然存在正數(shù)x、y、z使得a=同樣處理b2ca=原不等式等價于x由柯西不等式,得x則x于是原不等式成立,且當(dāng)a=b例15設(shè)xi>8證實(shí)注重到不等式的右邊≥2x1yx令ui=xiyi?zx等價于x由柯西不等式,得x==≥=從而原不等式成立,且等號成立的充足須要條件為x1=x2,y注.該例題也可以直接用柯西不等式證實(shí),關(guān)于它的推廣,可以參見引文或練習(xí).例16設(shè)ai,∑證實(shí)兩次利用柯西不等式,得左邊≤≤故命題成立.例17設(shè)ta、tb、tc分離是△A∑證實(shí)不難求得ta2=bcba則∑所以原不等式成立.例18設(shè)a、b、c、d為正實(shí)數(shù),滿意ab+cda≤證實(shí)令α=aα≤a=同理可得β將它們相加,并利用xi2α===故命題成立.例19給定正整數(shù)n≥2,設(shè)正整數(shù)aii=1,2,?,n滿意a1<i證實(shí)當(dāng)x2≥a1a1?i≤當(dāng)x2<i≤對于正整數(shù)a1<a2<?2=≤同理2≤所以i+≤故命題成立.例20設(shè)x∈01證實(shí)因?yàn)?=1=所以由柯西不等式,得1=-=-≥=≥例21設(shè)a1,a2,?,an是一個有無窮項(xiàng)的實(shí)數(shù)列,對于所有正整數(shù)i,存在一個實(shí)數(shù)c,使得0≤ai≤c,且a證實(shí)對于n≥2,設(shè)σ1,σ2,?,0則ca≥由柯西不等式,得1σ對所有正整數(shù)n≥2c≥=≥故c≥1例22設(shè)a、b2證實(shí)在第二章中,我們用了兩種不同的主意證實(shí)了這個不等式,這里,用柯西不等式給出另一種新的證實(shí).由柯西不等式,得2=于是2a22倘若4a≥2≤同理可得aa三式相加,得2≤=≤當(dāng)上述假設(shè)不成立時,不妨設(shè)4a<2由柯西不等式,得b于是2同理可得2所以2綜上可知原不等式成立.當(dāng)且僅當(dāng)a=b對于三種不同的證實(shí)主意,希翼大家能好好理解.例23設(shè)ai>0,且i證實(shí)由柯西不等式,得1≥≥HOSTORIAN所以i利用變形的赫爾得不等式可以證實(shí)下列不等式.例24證實(shí):對正實(shí)數(shù)a、ba證實(shí)由變形的柯西不等式,左邊所以要證實(shí)原不等式,只需要證實(shí)∑等價于∑等價于∑等價于∑易知該不等式成立,故原不等式成立.注前面,我們用平均值不等式證實(shí)了這個不等式,讀者還可以用其他主意證實(shí).4.2柯西不等式在解方程組和求極值中的應(yīng)用應(yīng)用柯西不等式中等號成立的條件,通過不等式夾逼,求出方程組中各個未知數(shù)的值,從而進(jìn)一步求出有關(guān)代數(shù)式的值.極值問題往往是關(guān)于對稱式的問題.先按照條件,在各個未知元相等時的值得出極值,然后證實(shí)相應(yīng)的不等式.例1求方程組a(31)(32)(33)(34)的實(shí)數(shù)解.解首先,注重到?jīng)]有一個變量等于零.不失普通性,假設(shè)b=0,由(31)得a=0,由(34)得d=0第二,注重到bc,cd,da,按照算術(shù)一幾何平均值不等式,有b即3因此a2=從而a≤1類似地,有b≤1由此得b+c同樣地,有cda由31×321因?yàn)?個小于或等于1的表達(dá)式的積等于1,那么,這4個表達(dá)式一定都等于1.從而唯一的可能是每個變量取它的最大的可能值.因此a=b例2已知實(shí)數(shù)x、yx的所有實(shí)數(shù)解x,y解由x、yy由柯西一施瓦茲不等式得xy≥?≥結(jié)合題設(shè)等式得x(35)當(dāng)x+2λ(36)時,式(35)等號成立.設(shè)w=xx又w??則x(37)當(dāng)w?(38)時,式(37)等號成立.由式(35),(37)得x由方程組(36)與式(38)得2將λ=1y所以,所求唯一實(shí)數(shù)解為x例3n是一個正整數(shù),a1,a2,?,an,b1,解由柯西不等式知a≥且a所以a且當(dāng)a1=所以a12a1+b例4已知x、y、x求xx2解令x=1x預(yù)測最小值為?12只須證:x?(39)注重到zx+若x+y?1=0故x+y于是,z=x代人不等式(39)得x≥(40)由柯西不等式得式(40)左邊≥=于是,只須證4≥?由Δ=3y2?8y+從而,預(yù)測成立,即xx2+1+y例5設(shè)a、ba求a+b解由柯西不等式,得25上述不等式等號成立,得a于是k2x2+y2a例6設(shè)實(shí)數(shù)a、ba求e的最大值.解將條件改寫為8由此得到一個包含e的不等式.由柯西不等式,得a將條件代人并兩邊平方,得8645從此得到0≤e≤165,當(dāng)a=b=c=設(shè)n≥3為正整數(shù),a、b為給定的實(shí)數(shù),實(shí)數(shù)xx則當(dāng)b<a2n+1當(dāng)b=a2n+1當(dāng)b>a2n+1a其中δ為二次方程n+1例7設(shè)x≥0,y≥0w的最小值.解由柯西不等式,得w-≥所以w利用柯西等式成立的條件,得x=kla,y=kmb,z=kncw例8對滿意a+b=1的正實(shí)數(shù)a的最小值.解當(dāng)a=ba下面證實(shí)a從而最小值為252令x=ax于是1=由柯西不等式,得1a+1從而命題成立.例9設(shè)n和k是給定的正整數(shù)k<n,已知正實(shí)數(shù)a1,a2M取最小值.解通過對n=1M令a=a1+a2M≥=且當(dāng)a即ak+1=?=例10設(shè)2n個實(shí)數(shù)a1,a2,a的最大值.解當(dāng)n=1時,a2?a1當(dāng)n≥2時,設(shè)x1=1,且ak=由柯西不等式,得a=≤-=當(dāng)aa時,上述不等式等號成立,所求最大值為n2n例11設(shè)xi≥0i求x1+解由x取x1=1,x2=?=xn=i等價于i令ti=yi+yi+1+增,則xi=iyi=x所以由i=1x≤=等號成立當(dāng)且僅當(dāng)t11=t22?1=?=tnn?n?1及x12+x22+?例12設(shè)x、y1的最小值.解因?yàn)閤,y,z>?1≥=其中a=1由柯西不等式,得a≥=≥且當(dāng)a=b故所求的最小值為2.例13設(shè)S=a1,a2,?,an,aa的最小值.解法一不妨設(shè)a1<a2<?<an.記Ti=ak=≥=由柯西不等式,得k于是?k=當(dāng)a1,k故a1+a2+?解法二記b1=1,b2=2首先容易證實(shí)下面的結(jié)論.引理設(shè)x,y∈R+,則x?利用上述引理,得i≥=++≥且當(dāng)ai=bi,1≤i≤n例14設(shè)n>3為給定的正整數(shù),實(shí)數(shù)x1,x2,?i的最小值,并研究等號成立的條件.解令ti=i由柯西不等式,得i==≤=所以最小值大于或等于1.由柯西不等式成立的條件,得t即t再令t1=x記x1=x因?yàn)閤2>x1,所以又因?yàn)閠j=c故最小值為1,且當(dāng)且僅當(dāng)x1=a,xk注這個題目的表達(dá)形式看起來很復(fù)雜,但通過變量代換后,可以發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)之間的關(guān)系,借助于柯西不等式,預(yù)計(jì)出它的下界.4.3柯西不等式在證實(shí)分式不等式中的應(yīng)用在各種不等式中,分式不等式的問題因?yàn)樽陨淼奶攸c(diǎn),證實(shí)它們需要有較靈便的技巧和主意.對于分式型的不等式,通常運(yùn)用柯西不等式的一些變形.例1設(shè)a1,a證實(shí)由柯西不等式,得a≥=故a例2已知正數(shù)a1,a2,?i證實(shí)因?yàn)閕由柯西不等式,得i所以i故i例3設(shè)ai,bi,i≥i證實(shí)由柯西不等式,得i因?yàn)閕=12故命題成立.例4設(shè)P1,P2,?,P1證實(shí)由柯西不等式,得P1所以1≥=≥=>例5設(shè)正數(shù)xi滿意i=i證實(shí)由柯西不等式,得i以及i所以i≥≥=又由柯西不等式,得i故命題成立例6設(shè)a、b、c1證實(shí)由假設(shè)我們有1+a2,由柯西不等式,得11≥于是1≥===≥當(dāng)且僅當(dāng)a=b例7正數(shù)a,b,c滿意(a)11+(b)cna證實(shí)(a)首先來證實(shí)1??這是顯然的.同理有11+所以11+(b)不妨設(shè)a≥b≥c,那么cc所以c≥而顯然有an?1+bn?即證?這由柯西不等式可知是顯然的.所以c≥證畢.例8證實(shí):對隨意滿意x+y+z=0x證實(shí)注重到xx+2由柯西不等式,我們有2所以∑例9已知正數(shù)a1,a2,?,aa證實(shí)由柯西不等式,知對于正數(shù)x1,1又a1+i=≤=由已知得a于是,對隨意的j∈{aa其中,i=1故?i=即i則i故i例10設(shè)n≥2,a1,a2a證實(shí):maxa1證實(shí)不妨設(shè)m要證M≤4當(dāng)n=2m等價于4即4而4故M≤4當(dāng)n≥3n=≥故n于是M從而2同n=2的情形可得M例11設(shè)f其中x,y,z≥0,且x解先證f≤17,當(dāng)且僅當(dāng)f(41)由柯西不等式∑因?yàn)椤茝亩苀fmax=17,當(dāng)且僅當(dāng)再證f≥0,當(dāng)x事實(shí)上,f=++=++≥故fmin=0,當(dāng)另證:設(shè)z=min{x,yf下設(shè)x,y≥z>0∑(42)注重到1于是(42)等價于z=即2(43)而由柯西不等式,可得x≥=即(43)成立,從而f≥0,故fmin=0例12設(shè)x,y,z∈R+x證實(shí)左邊≥∑x又?∑x所以,左邊≥19例13設(shè)x,y,zx證實(shí)左邊=≥=x==所以∑故原不等式成立.例14設(shè)x1,x2,?x證實(shí)由柯西不等式,得x≤對k≥2x=≤=對于k=1x所以i從而x故命題成立.例15已知xi∈R+i≥i證實(shí)令yi=1n?1+xi,則xi=1i對固定i,由柯西不等式,得i≥>對i求和,得i因?yàn)閕故i4.4柯西不等式在組合計(jì)數(shù)預(yù)計(jì)中的應(yīng)用在研究組合,異常是組合計(jì)數(shù)問題時,常常需要由給定的條件,對一些不等式舉行預(yù)計(jì).倘若能靈便地應(yīng)用,柯西不等式在解決這些問題中能發(fā)揮很好的作用.例1將1650個學(xué)生排成22行,75列的方陣,已知隨意給定的兩列處于同一行的兩個人中,性別相同的學(xué)生不超過11對,證實(shí):男生的人數(shù)不超過928.解設(shè)第i行的男生數(shù)為xi,則女生數(shù)為75?i于是i即i=1i因此i=1i故男生的人數(shù)不超過928.例2在一群數(shù)學(xué)家中,每一個人都有一些朋友(關(guān)系是互相的).證實(shí):存在一個數(shù)學(xué)家他所有的朋友的平均值不小于這群人的朋友的平均數(shù).證實(shí)記M為這群數(shù)學(xué)家的集合,n=M,Fm表示數(shù)學(xué)家m的朋友的集合,fm表示數(shù)學(xué)家m的朋友數(shù)fm=1我們用反證法來證實(shí)這個命題,倘若不存在這樣的數(shù)學(xué)家m0.則對隨意的m0n對一切m0n這與柯西不等式矛盾,故命題成立.例3設(shè)空間中有2nn≥2個點(diǎn),其中任何4點(diǎn)都不共面.在它們之間隨意銜接N條線段,這些線段都至少構(gòu)成一個三角形.求解將2n個已知點(diǎn)均分為A和BA現(xiàn)將每對點(diǎn)Ai和Bi之間都銜接一條線段AiBi,而同組的隨意兩點(diǎn)之間不連線,則共有n2條線段.這時,2n個已知點(diǎn)中的任何3點(diǎn)中至少有兩點(diǎn)屬于同一組,兩者之間沒有連線.因而這n2條線段不能構(gòu)成任何三角形.這表明N的最小值必大于n2.因?yàn)?n個點(diǎn)之間連有n2+1條線段,平均每點(diǎn)引出n條線段還多,故可以預(yù)測有一條線段的兩個端點(diǎn)引出的線段之和不小于設(shè)從A1,A2,?,A2n引出的線段條數(shù)分離為a1,a2,?,a2n,且對于任一線段i另一方面,顯然有故由柯西不等式,得i即i于是矛盾,從而證實(shí)了必有一條線段,從它的兩端點(diǎn)引出的線段數(shù)之和不小于2n+1.不妨設(shè)A1A2是一條這樣的線段,從而又有Akk≥3例4在m×m方格紙中,至少要挑出多少個小方格,才干使得這些小方格中存在四個小方格,它們的解所求的最小值為m21+4m?3?1+1.設(shè)最多能挑出ki設(shè)第i行的ki個小方格位于這行的第j1,j2,?,jki列,1≤j1<j2<?<jki≤m.倘若第r行的第jp,jq列的兩個方格已經(jīng)挑出,則隨意的第ss≠r行的jp,i即1由i=1mki=i所以k2m≤mm?因此,至少要挑出m21例5設(shè)A1,A2,?,A30是集{1,2,?A證實(shí)不妨設(shè)每個Ai的元素都為660個(否則去除一些元素),我們作一個集合、元素的關(guān)系表:表中每一行(除最上面的一行)表示30個集合,表的n列(最左面一列除外)表示2003個元素1,2,?,2003.倘若i∈Aj(i=1,2,?,2003,1≤j≤30),則在i所在的列與Aj因?yàn)槊總€元素j屬于Cmj2個交集j由柯西不等式,得j所以,必有i≠jA=故Ai∩例6給定平面上的n個相異點(diǎn).證實(shí):其中距離為單位長的點(diǎn)對少于2n3證實(shí)對于平面上的點(diǎn)集P1,P2,?,Pn,令ai為與PA設(shè)Ci是以點(diǎn)Pi因?yàn)槊繉A至多有2個交點(diǎn),故所有的Ci2個交點(diǎn).點(diǎn)Pi作為Cj的交點(diǎn)浮上Cn由柯西不等式,得j于是j從而A故命題成立.例7在三維空間中給定一點(diǎn)O以及由總長度為1988的若干條線段組成的有限集A,證實(shí):存在一個平面與集A不相交且到點(diǎn)O的距離不超過574.證實(shí)以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,并將所給的線段分離向3條坐標(biāo)軸投影.設(shè)A中共有n條線段且它們在3條軸上的投影長分離為x記x=∑x=≤=不妨設(shè)x=minx從而在x軸上的區(qū)間[?574,574]內(nèi)必有一點(diǎn)不在n條給定線段的投影上,過這點(diǎn)作與例8設(shè)Oxyz是空間直角坐標(biāo)系,S是空間中一個有限點(diǎn)集,Sx,Sy,Sz分離是S中所有點(diǎn)在OS說明所謂一個點(diǎn)在一個平面上的正投影是指由點(diǎn)向平面所作垂線的垂足.證實(shí)設(shè)共有n個平行于Oxy平面的平面上有S中的點(diǎn),這些平面分離記為M1,M2,?,Mn.對于平面Mi,1≤i≤n,設(shè)它與Ozx,Ozy平面分離交于直線設(shè)Mi上的點(diǎn)在lx,ly上的正投影的集合分離為Ai和Bi,記ai=Ai從而由柯西不等式,得S≥=≥得證.4.5帶參數(shù)的柯西不等式倘若ai,i例1已知正實(shí)數(shù)a、ba且d≤1.d證實(shí)設(shè)參數(shù)λ>1d≤=≤由已知條件知c2=a+b3a?bλ所以,命題得證.例2設(shè)p,qp的最小值.解由柯西不等式,得p當(dāng)且僅當(dāng)psinxtan又?≤≤當(dāng)且僅當(dāng)tanx=a2b2成立.故m且m從而m即m令m=pp當(dāng)且僅當(dāng)tanx=注這里,在兩次利用柯西不等式時,引進(jìn)了參數(shù)n、m例3(1)設(shè)3個正實(shí)數(shù)a、ba求證:a、b(2)設(shè)n個正實(shí)數(shù)a1,a求證:這些數(shù)中隨意3個一定是某個三角形的3條邊長.證實(shí)(1)不妨設(shè)a≥ba分解因式,得a所以b+c?a>0,即b(2)在a1,a2,?n<=≤令1λ2+n?3a由(1)知,a1,例4設(shè)a=a1,a2,?,ai成立的隨意實(shí)數(shù)序列.求證:i其中A=i證實(shí)對隨意實(shí)數(shù)λ,由柯西不等式,得i從而i即對隨意實(shí)數(shù)λ,有A于是Δ故命題成立.注該不等式的證實(shí),也可通過構(gòu)造一個新的序列yiy則yi滿意ii從而命題成立.4.6利用平均值不等式與柯西不等式解題例1設(shè)a,b,c為實(shí)數(shù),滿意3證實(shí)由平均值不等式,得3再由柯西不等式,得a≤=從而a+2例2求x的最大值.解由柯西不等式,得x再由平均值不等式,得x若x=1x于是所求的最大值為1.例3設(shè)a,b,c為正數(shù),且滿意1證實(shí)由柯西不等式,得1≥所以由平均值不等式,得1≥≥例4設(shè)xi,i=1,2,?i證實(shí)當(dāng)m=1i因?yàn)閕由柯西不等式,得i即i所以i于是命題成立.當(dāng)m≥2i再由冪平均值不等式,得1因?yàn)閕=1i例5設(shè)實(shí)數(shù)xi滿意xii證實(shí)由柯西不等式,得i因此欲證原不等式只要證實(shí)n即證n即i由平均值不等式知上述不等式成立,故原命題成立.例6已知正數(shù)xi滿意i=1ni證實(shí)由柯西不等式,得i即i再由平均值不等式,得n由此得到i例7設(shè)x,y,z≥0x解設(shè)S=x1?yz+S所以設(shè)xyz≠0,使得x所以因?yàn)?==≥由平均值不等式,得x≤≤再由柯西不等式,得S故命題成立.例8設(shè)a,b∑證實(shí)由柯西不等式及均值不等式有5≥≥所以∑只需要證實(shí)6等價于a+bb+cc+a例9已知數(shù)列an滿意a1>0M證實(shí)因?yàn)镸我們需證aa11因?yàn)閍==≤≤=1≤≤=≤=a==≤==+≤=1≤====+≤=因此,Mn+注當(dāng)x,y>0時,x+y=maxx,例10已知正實(shí)數(shù)x、y、z滿意x證實(shí)證法1注重到x==≥同理,yz以上三式相加得x≥=從而,只需證實(shí)x不失普通性,設(shè)x≥yx且y=≥=(44)事實(shí)上,由y可知式(44)非負(fù).從而,題中不等式成立.證法2按照柯西不等式得x2≥和y2≥以上兩式相加得x2≥≥從而,只需證實(shí)2≥按照均值不等式得y≥即y同理,zx以上三式相加得2≥從而,題中不等式成立.例11設(shè)正整數(shù)n≥2.求常數(shù)Cn的最大值,使得對于所有滿意xi∈0,1i=1,2,?i(45)解首先,取xi=n于是,Cn≤1n?1.下面證實(shí)由1?xi+1?xj取和得n?1k=1n故?==≤==≤=從而,原不等式成立.因此,Cn的最大值為1n例12給定整數(shù)n≥2和正實(shí)數(shù)a,正實(shí)數(shù)x1,x2,?,xni恒成立,其中S=x解首先考慮a≥1的情況,令xi=yiS≥=于是i(46)當(dāng)a=1i且當(dāng)x1=x2=?=xn=下面假設(shè)a>1.令zi=yiy==(47)由柯西不等式i而i故i(48)結(jié)合46、47i≤=當(dāng)x1=i故M=n下面考慮a<1的情況:對任何常數(shù)λf在區(qū)間0,+∞上鄭重單調(diào)遞增,故fa<f1,即i當(dāng)x1=x2=?lim==故M=1M習(xí)題4I記知非負(fù)實(shí)數(shù)a1,a2,?,aa2設(shè)x,y,z∈RM的最小值,其中,“∑”表示輪換對稱和.3設(shè)x、y、x證實(shí):1x2+y條件.4設(shè)設(shè)x,y,z∑其中,“∑”表示輪換對稱和.5設(shè)a,b,c>0a6已知λ為正實(shí)數(shù).求λ的最大值,使得對于所有滿意條件u的正實(shí)數(shù)u、vu7設(shè)x1,x2,?,xx(8)設(shè)x,y,z,wx當(dāng)且僅當(dāng)xcosα(2)已知0<a1<a2<?<an,對于a1,a2,?,an的隨意羅列10設(shè)復(fù)數(shù)zk=xk+iyk,k=1,2,?,nr11設(shè)An=A12對滿意1≤r≤s≤tw的最小值.13設(shè)ai>0,bin14設(shè)12≤p≤1,i15已給天然數(shù)n≥2,求最小正數(shù)λ,使得對隨意正數(shù)a1,a2,?,an,及0i就有i16已給兩個大于1的天然數(shù)n和m,求所有的天然數(shù)l,使得對隨意正數(shù)a1,a2k其中,Sk=17設(shè)u、v是正實(shí)數(shù),對于給定的正整數(shù)n,求:u、v滿意的充足須要條件,使得存在實(shí)數(shù)i當(dāng)這些數(shù)存在時,求a118設(shè)m個互不相同的正偶數(shù)與n個互不相同的正奇數(shù)之和為1987,對所有這樣的m與n,319設(shè)xi∈Ri=1,2,?,n且i20設(shè)s,t,u,v∈0,π2221證實(shí):A其中,A1、B1、C1分離為22a1,a2,a3,a223設(shè)a、b、cb習(xí)題1-1.1=a+2b=2.由均值不等式得a+1bb3.設(shè)A=a1?a2,則A2=12?2a21?a24.證法1注重到1a+1b+1c≥1+6a+b+c?1a+1b證法2考慮如下兩種情形.(1)當(dāng)a+b+c≥3時,因?yàn)?a(2)當(dāng)a+b+c<3時,則5.注重到x2?xy+y2x2+xy+y2≥6.因?yàn)閍1+a2+?+an=1,所以由均值不等式可得1+ai=a1+a2+7