2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題05 圓的綜合（5題型+解題模板+技巧精講）（原卷版）

壓軸題05圓的綜合目錄TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u題型一切線的判定題型二圓中求線段長度題型三圓中的最值問題題型四圓中的陰影部分面積題型五圓中的比值（相似）問題題型解讀：圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題的形式出現(xiàn)，解答題居多且分值較大，難度較高．多考查切線的性質(zhì)與判定、圓中求線段長度問題和圓中最值問題，一般會用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換等相關(guān)知識點，以及數(shù)形結(jié)合、整體代入等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①切線的判定；②計算線段長及證明線段比例關(guān)系；③求三角函數(shù)值；④利用“輔助圓”求最值.右圖為圓的綜合問題中各題型的考查熱度.下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題型的考查熱度.題型一切線的判定解題模板：技巧：有切點，連半徑，證垂直（根據(jù)題意，可以證角為90°，如已有90°角，可以嘗試證平行）沒切點，作垂直，證半徑（通常為證全等，也可以通過計算得到與半徑相等）【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點恰使，求證：直線與相切．

【變式1-1】（2023-遼寧-中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，平分交于點E，過點E作，交的延長線于點F．

求證：與相切；【變式1-2】（2023-遼寧-中考真題）如圖，是的直徑，點在上，，點在線段的延長線上，且．

(1)求證：EF與相切；(2)若，求的長．【變式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真題）如圖，為的直徑，E為上一點，點C為的中點，過點C作，交的延長線于點D，延長交的延長線于點F．

(1)求證：是的切線；題型二圓中求線段長度解題模板：【例2】（2023-西藏-中考真題）如圖，已知為的直徑，點C為圓上一點，垂直于過點C的直線，交于點E，垂足為點D，平分．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【變式2-1】（2023-內(nèi)蒙古-中考真題）如圖，是⊙的直徑，為⊙上的一點，點是的中點，連接，過點的直線垂直于的延長線于點，交的延長線于點．(1)求證：為⊙的切線；(2)若，，求的長．【變式2-2】（2023-遼寧大連-中考真題）如圖1，在中，為的直徑，點為上一點，為的平分線交于點，連接交于點E．

(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，過點A作的切線交延長線于點，過點作交于點．若，，求的長．【變式2-3】（2023-湖北恩施-中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，點O為的中點，連接交于點E，與相切于點D．(1)求證：是的切線；(2)延長交于點G，連接交于點F，若，求的長．題型三圓中的最值問題解題模板：技巧精講：輔助圓模型【例3】（2023-湖南長沙-三模）如圖1：在中，為直徑，C是上一點，.過O分別作于點H，于點D，點E、F分別在線段上運動（不含端點），且保持．

(1)______；四邊形是______（填矩形/菱形/正方形）；______；(2)當(dāng)F和D不重合時，求證：；(3)①在圖1中，是的外接圓，設(shè)面積為S，求S的最小值，并說明理由；②如圖2：若Q是線段上一動點，且，，是四邊形的外接圓，則當(dāng)n為何值時，的面積最小？最小值為多少？請直接寫出答案．【變式3-1】（2023-安徽-模擬預(yù)測）如圖，半圓的直徑，弦，連接．(1)求證：；(2)當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的度數(shù)．【變式3-2】（2023-四川-中考真題）如圖1，已知線段，，線段繞點在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接，以為邊在上方作，且．

(1)若，以為邊在上方作，且，，連接，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，在(1)的條件下，若，，，求的長；(3)如圖3，若，，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求此時的值．【變式3-3】（2023-陜西西安-模擬預(yù)測）【問題情境】如圖，在中，，，，則的外接圓的半徑值為______；【問題解決】如圖，點為正方形內(nèi)一點，且，若，求的最小值；【問題解決】如圖，正方形是一個邊長為的書展區(qū)域設(shè)計圖，為大門，點在邊上，，點是正方形內(nèi)設(shè)立的一個活動治安點，到、的張角為，即，點、為另兩個固定治安點，現(xiàn)需在展覽區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個補水供給點，使得到、、三個治安點的距離和最小，試求的最小值．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，）

題型四圓中的陰影部分面積技巧精講：【例4】（2024-西藏拉薩-一模）如圖，等腰的頂點A，C在上，邊經(jīng)過圓心0且與交于D點，.(1)求證：是的切線；(2)若，求陰影部分的面積【變式4-1】（2023-陜西西安-一模）如圖，正六邊形內(nèi)接于．(1)若P是上的動點，連接，，求的度數(shù)；(2)已知的面積為，求的面積．【變式4-2】（2023-浙江衢州-中考真題）如圖，在中，為邊上一點，連結(jié)．以為半徑的半圓與邊相切于點，交邊于點．(1)求證：．(2)若．①求半圓的半徑．②求圖中陰影部分的面積．【變式4-3】（2023-遼寧阜新-中考真題）如圖，是的直徑，點C，D是上異側(cè)的兩點，，交的延長線于點E，且平分．

(1)求證：是的切線．(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【變式4-4】（2023-山東棗莊-中考真題）如圖，為的直徑，點C是的中點，過點C做射線的垂線，垂足為E．

(1)求證：是切線；(2)若，求的長；(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積（用含有的式子表示）．題型五圓中的比值（相似）問題技巧精講：【例5】（2024-陜西西安-模擬預(yù)測）如圖，為的直徑，點D為上一點，過點B作切線交延長線于點C，平分，交于F．(1)求證：；(2)若半徑為2，，求的長度．【變式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如圖，是的直徑，點，在上，平分，交于點，連接．

(1)求證：．(2)當(dāng)，且時，求線段的長．(3)點為線段上一點，且平分，若，，求的長．【變式5-2】（2024-陜西西安-一模）如圖，是的直徑與相切于點C，與的延長線交于點D，連接，點E在線段上，過點E作的垂線交的延長線于點F，交于點G．(1)求證：；(2)若，點E為的中點，求的長．【變式5-3】（2024-陜西西安-一模）如圖，是的直徑，點在直徑上（與不重合），且，連接，與交于點，在上取一點，使與相切．(1)求證：；(2)若是的中點，，求的長．一、解答題1．（2024-云南-模擬預(yù)測）如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線是的直徑，過點作的垂線交的延長線于點，為的中點，連接，，與交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．2．（2024-湖北黃岡-模擬預(yù)測）如圖，平分，與⊙O相切于點，延長交于點，過點作，垂足為．(1)求證：是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為4，，求的長．3．（2024-江蘇淮安-模擬預(yù)測）如圖，已知直線l與相離，于點A，交于點P，點B是上一點，連接并延長，交直線l于點C，使得．(1)判斷直線與的位置關(guān)系并說明理由；(2)求線段的長．4．（2024-四川涼山-模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點P是延長線上一點，且與相切于點A，弦于點F，過D點作于點E．

(1)求證：；(2)若，，求的半徑和的長．5．（2024-四川涼山-模擬預(yù)測）如圖，在中，，以為直徑的交于點D，E為的中點，連接并延長交的延長線于點F．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求長．6．（2024-山東泰安-一模）如圖，是的兩條直徑，過點C的的切線交的延長線于點E，連接．(1)求證：；(2)若B是的中點，，求的半徑．7．（2024-福建南平-一模）如圖1，點是的邊上一點．，，是的外接圓，點在上（不與點，點重合），且．

(1)求證：是直角三角形；(2)如圖2，若是⊙的直徑，且，折線是由折線繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．①當(dāng)時，求的面積；②求證：點，，三點共線．8．（2023-四川甘孜-中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交邊于點D，過點C作的切線，交的延長線于點E．

(1)求證：；(2)若，，求的半徑．9．（2023-湖北黃石-中考真題）如圖，為的直徑，和相交于點F，平分，點C在上，且，交于點P．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)已知，求的值．10．（2023-遼寧鞍山-中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點D作，交的延長線于點F，交的延長線于點E，連接．若．

(1)求證：為的切線．(2)若，，求的半徑．11．（2023-湖南湘西-中考真題）如圖，點D，E在以為直徑的上，的平分線交于點B，連接，，，過點E作，垂足為H，交于點F．

(1)求證：；(2)若，求的長．12．（2023-遼寧沈陽-中考真題）如圖，是的直徑，點是上的一點（點不與點，重合），連接、，點是上的一點，，交的延長線于點，且．

(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，，則的長為______．13．（2023-黑龍江大慶-中考真題）如圖，是的直徑，點是圓上的一點，于點，交于點，連接，若平分，過點作于點，交于點，延長，交于點．

(1)求證：