第六章統(tǒng)計全章總結(jié)提升課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第六章統(tǒng)計全章總結(jié)提升北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

易錯易混·銜接高考網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升專題一抽樣的基本方法1.抽樣方法有:簡單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣.一般地,當(dāng)總體是由差異明顯的幾個層組成時選用分層隨機(jī)抽樣,否則考慮用簡單隨機(jī)抽樣.選用簡單隨機(jī)抽樣時,當(dāng)總體容量較小時,采用抽簽法;當(dāng)總體容量較大、樣本容量較小時,采用隨機(jī)數(shù)法.2.抽樣方法的選擇與分層隨機(jī)抽樣中的計算是?？疾榈闹R點,提升數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).【例1—1】

某中學(xué)組織“黨史知識競賽”活動,已知該校共有高中學(xué)生2700人,用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個容量為45的樣本參加活動,其中高一年級抽取了16人,則該校高一年級學(xué)生人數(shù)為(

)A.1680 B.1020 C.960 D.720C解析

設(shè)高一學(xué)生有x人,則

,解得x=960,所以該校高一年級學(xué)生人數(shù)為960.【例1—2】假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的袋裝牛奶的蛋白質(zhì)含量,現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗,利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時,先將800袋牛奶按000,001,…,799進(jìn)行編號,如果從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀,則得到的第4個樣本個體的編號是

.(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行至第9行)

844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954068解析

由隨機(jī)數(shù)表可以看出前4個樣本的個體的編號是331,572,455,068.于是第4個樣本個體的編號是068.規(guī)律方法

應(yīng)用各種抽樣方法抽樣時要注意以下問題:(1)利用抽簽法時要注意把號簽放在不透明的容器中且攪拌均勻;(2)利用隨機(jī)數(shù)法時注意編號位數(shù)要一致;(3)在分層隨機(jī)抽樣中,若在某一層抽到的個體數(shù)不是整數(shù),應(yīng)在該層剔除部分個體,使抽取個體數(shù)為整數(shù).變式訓(xùn)練1某校為了了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況,采用分層隨機(jī)抽樣的方法從高一1000人、高二1200人、高三n人中抽取81人進(jìn)行問卷調(diào)查,已知高二被抽取的人數(shù)為30,那么n=(

)A.860 B.720

C.1020 D.1040D專題二用樣本的頻率分布估計總體分布1.頻率分布直方圖的構(gòu)成及特征

2.掌握頻率分布直方圖的畫法及其應(yīng)用,重點提升數(shù)據(jù)分析與邏輯推理的核心素養(yǎng).【例2—1】

[2024遼寧月考]某校開展了形式靈活的學(xué)習(xí)活動,統(tǒng)計了全校教師在一周內(nèi)學(xué)習(xí)的累計時長(單位:小時),根據(jù)時長數(shù)據(jù)得到下面的頻率分布直方圖,則a=

;估計該校教師學(xué)習(xí)累計時長的平均值為

.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).

0.100

9.6解析

由題圖可知,2a=1-2×(0.025+0.050×2+0.075+0.200)=0.200,所以a=0.100,該校教師學(xué)習(xí)累計時長的平均值的估計值為

=4×0.025×2+6×0.050×2+8×0.100×2+10×0.200×2+12×0.075×2+14×0.050×2=9.6.【例2—2】從某中學(xué)參加2024年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽的500名同學(xué)中,隨機(jī)抽取若干名同學(xué),將他們的成績制成頻率分布表,下面給出了此表中部分?jǐn)?shù)據(jù).分組頻數(shù)頻率[70,80)

0.08[80,90)

0.10[90,100)

③[100,110)16①[110,120)

0.08[120,130)②0.04[130,140]

0.02合計50

(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),分別計算①,②,③處的數(shù)值;(2)補(bǔ)全在區(qū)間[70,140]上的頻率分布直方圖;(3)若成績不低于110分的同學(xué)能參加決賽,那么可以估計該校大約有多少學(xué)生能參加決賽?解

(1)由表中數(shù)據(jù)知,隨機(jī)抽取了50人,所以①為

=0.32,②為50×0.04=2,③為1-0.08-0.1-0.32-0.08-0.04-0.02=0.36.(2)經(jīng)計算,頻率分布表為分組頻數(shù)頻率[70,80)40.080.008[80,90)50.100.010[90,100)180.360.036[100,110)160.320.032[110,120)40.080.008[120,130)20.040.004[130,140]10.020.002合計5010.100根據(jù)頻率分布表可補(bǔ)全頻率分布直方圖:(3)在隨機(jī)抽取的50名同學(xué)中有4+2+1=7(名)同學(xué)成績不低于110分,可以去參加決賽,故估計參加預(yù)賽的同學(xué)中能參加決賽的人數(shù)大概為規(guī)律方法

與頻率分布直方圖有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù),求其他數(shù)據(jù),可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)系,利用頻率和等于1可求出其他數(shù)據(jù).(2)已知頻率分布直方圖,求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù),可利用圖形及某范圍結(jié)合求解.★變式訓(xùn)練2(1)[2024云南昆明模擬]某大學(xué)有男生2000名.為了解該校男生的身體體重情況,隨機(jī)抽查了該校100名男生的體重,并將這100名男生的體重(單位:kg)分成以下六組:[54,58),[58,62),[62,66),[66,70),[70,74),[74,78],繪制成如圖的頻率分布直方圖,則該校體重在區(qū)間[70,78]上的男生大約有

人.

240解析

由頻率分布直方圖可知,該校體重在區(qū)間[70,78]上的男生的人數(shù)為2

000×(0.02+0.01)×4=240.(2)對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,隨機(jī)抽取M名學(xué)生,得到這M名學(xué)生分別參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù),根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻率分布表和頻率分布直方圖,如圖所示:分組頻數(shù)頻率[10,15)100.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.05合計M1.00①求表中M,p及圖中a的值;②若該校高三學(xué)生有240人,試估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)的人數(shù).②因為該校高三學(xué)生有240人,分組[10,15)的頻率是0.25,所以估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)的人數(shù)為240×0.25=60.專題三用樣本估計總體的數(shù)字特征1.為了從整體上更好地把握總體規(guī)律,我們還可以通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)估計總體的集中趨勢,通過樣本數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差估計總體的離散程度.2.掌握各個數(shù)字特征的意義及應(yīng)用,重點提升數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).【例3】

某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次測試成績中隨機(jī)抽取8次,數(shù)據(jù)如下(單位:分):甲9582888193798478乙8375808090859295(1)請你分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù).(2)現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽,從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪名工人更合適?請說明理由.①從平均數(shù)看,甲、乙均為85分,平均水平相同;②從中位數(shù)看,乙的中位數(shù)大于甲,乙的成績好于甲;③從方差來看,因為

,所以甲的成績較穩(wěn)定;④從數(shù)據(jù)特點看,獲得85分以上(含85分)的次數(shù),甲有3次,而乙有4次,故乙的成績好些;⑤從數(shù)據(jù)的變化趨勢看,乙后幾次的成績均高于甲,且呈上升趨勢,因此乙更具潛力.綜上分析可知,甲的成績雖然比乙穩(wěn)定,但從中位數(shù)、獲得好成績的次數(shù)及發(fā)展勢頭等方面分析,乙具有明顯優(yōu)勢,所以應(yīng)派乙參賽更有望取得好成績.規(guī)律方法

用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征應(yīng)注意的問題(1)中位數(shù)用來描述數(shù)據(jù)的中心位置,眾數(shù)體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的最大集中點,平均數(shù)反映樣本數(shù)據(jù)的總體水平.(2)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大,數(shù)據(jù)的離散程度較大;標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小,數(shù)據(jù)的離散程度較小.變式訓(xùn)練3某工廠甲、乙兩個車間包裝同一種產(chǎn)品,在自動包裝傳送帶上每隔一小時抽一包產(chǎn)品,稱其質(zhì)量(單位:克)是否合格,分別記錄抽查數(shù)據(jù),獲得質(zhì)量數(shù)據(jù)如下.甲:107,111,111,113,114,122乙:108,109,110,112,115,124(1)寫出甲的眾數(shù)和乙的中位數(shù);(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),計算甲、乙兩個車間產(chǎn)品質(zhì)量的平均數(shù)與方差,并說明哪個車間的產(chǎn)品的質(zhì)量相對穩(wěn)定.解

(1)甲的眾數(shù)是111,乙的中位數(shù)是111.專題四樣本的百分位數(shù)1.一般地,當(dāng)總體是連續(xù)變量時,總體的p(0<p<1)分位數(shù)是這樣一個值:總體數(shù)據(jù)中的任意一個數(shù)小于或等于它的可能性為p.可以用樣本數(shù)據(jù)的百分位數(shù)估計總體的百分位數(shù).2.掌握百分位數(shù)的計算及應(yīng)用,重點提升數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).【例4—1】

[2024河北廊坊期末]某學(xué)校高三12個班級某次朗誦比賽的得分情況如表,則75%分位數(shù)是

.

班級得分99.29.49.69.810頻數(shù)1224129.7解析

將12個班級的得分按照從小到大排序為9,9.2,9.2,9.4,9.4,9.6,9.6,9.6,9.6,9.8,10,10.因為12×75%=9,可得75%分位數(shù)是★【例4—2】一家保險公司決定對推銷員實行目標(biāo)管理,即給推銷員確定一個具體的銷售目標(biāo).確定的銷售目標(biāo)是否合適,直接影響到公司的經(jīng)濟(jì)效益.如果目標(biāo)定得過高,多數(shù)推銷員完不成任務(wù),會使推銷員失去信心;如果目標(biāo)定得太低,將不利于挖掘推銷員的工作潛力.下面一組數(shù)據(jù)是部分推銷員的月銷售額(單位:千元).19.58

16.11

16.45

20.45

20.24

21.6622.45 18.22 12.34

19.35 20.55 17.4518.78 17.96 19.91

18.12 14.65 14.7816.78 18.78 18.29 18.51 17.86 19.5819.21 18.55 16.34 15.54 17.55 14.8918.94 17.43 17.14

18.02 19.98 17.8817.32 19.35 15.45

19.58 13.45 21.3414.00 18.42 23.00

17.52 18.51 17.1624.56 25.14請根據(jù)這組樣本數(shù)據(jù)提出使65%的職工能夠完成銷售指標(biāo)的建議.解

將這50個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,可得:12.3413.45

14.00

14.65

14.78

14.89

15.45

15.54

16.1116.34

16.45

16.78

17.14

17.16

17.32

17.43

17.4517.52

17.55

17.86

17.88

17.96

18.02

18.12

18.2218.29

18.42

18.51

18.51

18.55

18.78

18.78

18.9419.21

19.35

19.35

19.58

19.58

19.58

19.91

19.9820.24

20.45

20.55

21.34

21.66

22.45

23.00

24.5625.1465%的職工能夠完成銷售指標(biāo),那么35%的職工不能完成銷售指標(biāo).由50×(1-65%)=17.5可知這組數(shù)據(jù)的35%分位數(shù)為第18項數(shù)為17.52.故為使65%的職工能夠完成銷售指標(biāo),該保險公司可將月銷售額定為17.52千元.規(guī)律方法

計算一組n個數(shù)據(jù)的p分位數(shù)的一般步驟:第1步,按從小到大排列原始數(shù)據(jù);第2步,計算i=np;第3步,若i不是整數(shù),大于i的最小整數(shù)為j,則p分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則p分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).★變式訓(xùn)練4(1)某校高一年級學(xué)生打算利用周六休息時間做義工,為了了解高一年級學(xué)生做義工時長的情況,隨機(jī)抽取了高一年級100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,將收集到的做義工時間(單位:小時)數(shù)據(jù)(時間均在[0,6]內(nèi))分成6組:[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6],制成如下頻率分布直方圖.已知該時間數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為3.5,則m,n的值分別為(

)A.0.3,0.35 B.0.4,0.25C.0.35,0.3 D.0.35,0.25C解析

由頻率分布直方圖可得,0.05+0.15+m+n+0.11+0.04=1,即m+n=0.65.①因為時間數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為3.5,所以0.05+0.15+m+(3.5-3)n=0.7,即m+0.5n=0.5.②由①②可得,m=0.35,n=0.3.(2)[2024上海崇明期末]為了解某校高三年級男生的體重,從該校高三年級男生中抽取17名,測得他們的體重數(shù)據(jù)如下(按從小到大的順序排列,單位:kg)56

56

57

58

59

59

61

63

64

65

66

68

69

70

73

74

83據(jù)此估計該校高三年級男生體重的75%分位數(shù)為

kg.

69解析

17×0.75=12.75,數(shù)據(jù)從小到大第13個數(shù)是69,所以75%分位數(shù)為69.易錯易混·銜接高考1234561.[2024貴州黔東南開學(xué)]有一組樣本數(shù)據(jù)都在區(qū)間[1,21]內(nèi),將其制成如圖所示的頻率分布直方圖,估計該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)(

)A.10 C.10.58 D.12B解析

由題意,該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)約為(3×0.02+7×0.08+11×0.09+15×0.02+19×0.04)×4=2.67×4=10.68.1234562.[2024安徽蒙城期末]某城市美食節(jié)期間,依據(jù)小王與小張該月1日至7日每日送外賣的單數(shù)(單位:單)數(shù)據(jù),整理并繪制的折線圖(如圖),小王與小張兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為,標(biāo)準(zhǔn)差分別為s王,s張,則(

)C解析

根據(jù)題意,由折線圖可得,小王的總體外賣單數(shù)要好于小張的外賣單數(shù),且小張的每日外賣單數(shù)波動較大,小王的每日外賣單數(shù)較穩(wěn)定,則有1234561234563.[2024江蘇清河期末](多選題)某校1500名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的競賽成績(單位:分),成績的頻率分布直方圖如圖所示,則(

)A.頻率分布直方圖中a的值為0.005B.估計這40名學(xué)生的競賽成績的60%分位數(shù)為75C.估計這40名學(xué)生的競賽成績的眾數(shù)為80D.估計總體中成績落在[60,70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為225AD123456解析

由10×(2a+3a+7a+6a+2a)=1,可得a=0.005,故A正確;前三個矩形的面積和為10×(2a+3a+7a)=0.6,所以這40名學(xué)生的競賽成績的60%分位數(shù)為80,故B錯誤;由成績的頻率分布直方圖易知,這40名學(xué)生的競賽成績的眾數(shù)為75,故C錯誤;總體中成績落在[60,70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為3a×10×1

500=225,故D正確.1234564.[2023新高考Ⅰ,9](多選題)有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,則(

)A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于x1,x2,…,x6的平均數(shù)B.x2,x3,x4,x5的中位