八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 講義（北師大版）第六章第01講 平行四邊形的性質(zhì)(9類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第01講平行四邊形的性質(zhì)(9類熱點(diǎn)題型講練)1．理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理；2．會(huì)應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)定理解決相關(guān)的幾何證明和計(jì)算問題.知識(shí)點(diǎn)01平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形.平行四邊形用“?”表示，平行四邊形ABCD表示為“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”知識(shí)點(diǎn)02平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)：邊、角、對角線，有時(shí)會(huì)涉及對稱性.如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形：性質(zhì)1（邊）：=1\*GB3①對邊相等；=2\*GB3②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC性質(zhì)2（角）：對角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC性質(zhì)3（對角線）：對角線相互平分，即：AO=OC，BO=OD注：=1\*GB3①平行四邊形僅對角線相互平分，對角線不相等，即AC≠BD；=2\*GB3②平行四邊形對角相等，但對角線不平分角，即∠DAO≠∠BAO.性質(zhì)4（對稱性）：平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.題型01平行四邊形的性質(zhì)【例題】（23-24八年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）有下列說法：①平行四邊形具有四邊形的所有性質(zhì)；②平行四邊形是中心對稱圖形；③平行四邊形的任一條對角線可把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形；④平行四邊形的兩條對角線把平行四邊形分成4個(gè)面積相等的小三角形.其中正確說法的序號(hào)是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得到答案．【詳解】解：平行四邊形具有四邊形的所有性質(zhì)，故①正確，平行四邊形是中心對稱圖形，故②正確，平行四邊形的任意一條對角線可把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形，故③正確，平行四邊形的兩條對角線把平行四邊形分成4個(gè)面積相等的小三角形，故④正確，故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（22-23九年級(jí)上·黑龍江七臺(tái)河·期末）下面關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)描述正確的是（）A．平行四邊形的對稱中心是對角線的交點(diǎn)B．平行四邊形的對稱軸是對角線所在直線C．平行四邊形不是中心對稱圖形D．平行四邊形既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形【答案】A【分析】本題考查了中心對稱圖形、軸對稱圖形、軸對稱的性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合中心對稱圖形以及軸對稱圖形的定義解答即可．【詳解】解：A．平行四邊形的對稱中心是對角線的交點(diǎn)，說法正確，故本選項(xiàng)符合題意；B．平行四邊形不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C．平行四邊形是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D．平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）平行四邊形具有而一般四邊形不具有的性質(zhì)是（

）A．外角和等于 B．對角線互相平分C．內(nèi)角和等于 D．有兩條對角線【答案】B【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)求解，即可求得答案．【詳解】解：平行四邊形具有的性質(zhì)：對邊平行且相等，對角相等，鄰角互補(bǔ)，對角線互相平分；一般四邊形具有：外角和等于，內(nèi)角和為，有兩條對角線．平行四邊形具有而一般四邊形不具有的性質(zhì)是：對角線互相平分．故選：B．題型02利用平行四邊形的性質(zhì)求角度【例題】（23-24八年級(jí)下·吉林·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，則的度數(shù)是．【答案】/100度【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到鄰角互補(bǔ)，得到，再根據(jù)平行四邊形對角相等，即可得解．【詳解】解：∵平行四邊形中，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，連接若，則的度數(shù)為．【答案】/30度【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形和內(nèi)角和定理等知識(shí)；關(guān)鍵是掌握平行四邊形對邊平行，對角相等．由平行四邊形的性質(zhì)得出，，得出，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，平分，，，，．故答案為：．2．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，四邊形是平行四邊形，，平分且交于點(diǎn)，且交于點(diǎn)，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：平分，，，四邊形是平行四邊形，，，，，故答案為：．題型03利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長【例題】（23-24八年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，已知，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，，據(jù)此求出、的長，利用勾股定理求出的長即可．找到平行四邊形中的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵，，，∴，，∴在中，，∴的長為．故選：A．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·遼寧大連·階段練習(xí)）在中，，對角線交于點(diǎn)O，，則的長是（

）

A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．由平行四邊形的性質(zhì)可得，，證明是直角三角形，且，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，，∵，即，∴是直角三角形，且，∴，故選：A．2．（23-24八年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）在中，，平分交于點(diǎn)E，平分交于點(diǎn)F，且，則的長為（）A．4 B．6 C．6或8 D．4或6【答案】D【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)平行加角平分線，得到均為等腰三角形，分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴，如圖①，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)：，∴；

如圖②，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，∴

綜上：或；故選D．題型04利用平行四邊形的性質(zhì)求面積【例題】（23-24八年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）如圖，的對角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O，且點(diǎn)E，H在邊上，點(diǎn)G，F(xiàn)在邊上，則陰影部分的面積與的面積比值是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行四邊形的對稱性，將陰影部分的面積進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得和關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，即可，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴和關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，∴，∴，∴陰影部分的面積與的面積比值是．故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，直線過平行四邊形對角線的交點(diǎn)O，分別交于E、F，若平行四邊形的面積是12，則與的面積之和為．【答案】3【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，先由平行四邊形的性質(zhì)得到，進(jìn)而可證明得到，則．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：3．2．（22-23八年級(jí)下·遼寧撫順·期中）如圖，在中，P是邊上一點(diǎn)．已知，，則的面積是cm2．

【答案】12【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得，則，得，即可得出結(jié)論．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型05利用平行四邊形的性質(zhì)求坐標(biāo)【例題】（23-24八年級(jí)下·福建廈門·階段練習(xí)）在中，對角線，相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可知點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D分別關(guān)于原點(diǎn)O對稱，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)求出a、b的值，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】解：∵在中，對角線，相交于點(diǎn)，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C，點(diǎn)B與點(diǎn)D分別關(guān)于原點(diǎn)O對稱，∴，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若?的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、、，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形的關(guān)系，正確建立坐標(biāo)系畫出平行四邊形是解題關(guān)鍵．根據(jù)圖形，得出C點(diǎn)橫縱坐標(biāo)即可得出答案．【詳解】解：設(shè)，四邊形是平行四邊形，，且．，即．，即．，，．故答案為：．2．（23-24八年級(jí)下·四川廣元·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系里，，若以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【答案】或或【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握①數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，②分類討論方法的運(yùn)用．根據(jù)題意畫出符合條件的三種情況，根據(jù)圖形結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，A、B、C的坐標(biāo)求出即可．【詳解】解：如圖，如圖有三種情況：①平行四邊形，∵，∴，∴，則D的坐標(biāo)是；②平行四邊形，∵，∴，∴，則D的坐標(biāo)是；③平行四邊形，∵，∴的縱坐標(biāo)是，橫坐標(biāo)是，則D的坐標(biāo)是，故答案為或或．題型06利用平行四邊形的性質(zhì)得結(jié)論（多結(jié)論問題）【例題】（23-24八年級(jí)下·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AE平分，交BC于點(diǎn)E，且，連接，下列結(jié)論①；②；③；④；其中成立的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可證明為等邊三角形，由，可判斷①，由，，得，故②正確，設(shè)，則，對，運(yùn)用勾股定理即可判斷③，利用三角形中線的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積可求解判斷④．【詳解】解：四邊形為平行四邊形，，，，，，，，平分，，為等邊三角形，，，，，，，故①正確；∵，，∴，故②正確；，，，設(shè)，則，在中，，∴，∴在中，，∴，∴，故③正確；，，是的中點(diǎn)，，，，，，故④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，連接，，，下列結(jié)論：①；②為等腰直角三角形；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①延長交于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和即可得到；②先證明，得，又有，可得，即可得到為等腰直角三角形；③過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，證明，再根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)，可得成立；④過點(diǎn)作于，根據(jù)勾股定理即可證明，可知結(jié)論不成立．【詳解】解：①延長交于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故①正確；在中，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵∴為等腰直角三角形，故②正確；∵，∴，則為等腰直角三角形，∴，過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，則，∵，，∴，∵，∴，∴，，，則為等腰直角三角形，∴，由等腰直角三角形可知，，∴，故③正確；由勾股定理可知，，則，過點(diǎn)作于，則，∵，∴，∴，則，，∴，故④不正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵正確添加輔助線構(gòu)造全等三角形和直角三角形．2．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對角線，交于點(diǎn)，，，，直線過點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連，的周長等于，下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）；；；．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】D【分析】由的周長等于，可得，即得到，根據(jù)等腰三角形三線合一得到，即可判斷；過點(diǎn)作，交與，證明，得到，同理可得，，，再由三角形的面積即可判斷；過點(diǎn)于，交于，可得，即可判斷；過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，由平行線可得，進(jìn)而可得，得到，由勾股定理可得，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，求出進(jìn)而可得的長，即可判斷；正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的周長等于，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，，∴，即，∴，∴，∴為等腰三角形，∵，∴，即，∴，故正確；過點(diǎn)作于M，交與，∵，∴，，，在和中，，∴，∴，同理可得，，∴，∵，，∴，故正確；過點(diǎn)作于，交于，∵，∴，∴，∵，∴，故正確；過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，則，∵，，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，在中，，∴，解得，∴，∵，∴，故正確；∴說法正確的個(gè)數(shù)有個(gè)，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．題型07利用平行四邊形的性質(zhì)求折疊問題【例題】（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E為平行四邊形中邊上一點(diǎn)，將沿折疊至處，，，則的大小為．【答案】/30度【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及折疊的性質(zhì)，分別求出的度數(shù)，互補(bǔ)求出的度數(shù)，利用進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵平行四邊形，∴，∴，∴，∵折疊，∴，∴；故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，在中，將沿折疊后，點(diǎn)恰好落在的延長線上的點(diǎn)處．若，則為．【答案】4【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含的直角三角形．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．由折疊的性質(zhì)與題意可得，，由，可知，則，，進(jìn)而可求的值．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：4．2．（2023·江蘇泰州·一模）如圖，在中，，，、分別是邊、上一點(diǎn)，且，將沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則的長為．【答案】【分析】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．設(shè)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，由平行四邊形的性質(zhì)得，，，則，由折疊得，，，所以，而，則，所以是等邊三角形，則，所以，即可推導(dǎo)出，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，由折疊得，，，，，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，故答案為：．題型08利用平行四邊形的性質(zhì)求動(dòng)點(diǎn)問題【例題】（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖1，平行四邊形中，對角線，點(diǎn)M沿方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)，，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則平行四邊形的面積是（

）A．20 B．10 C．15 D．12【答案】D【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象的性質(zhì)，結(jié)合圖象分析題意是解題關(guān)鍵．由圖2得，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C處時(shí)，，即，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，，即，在中，利用勾股定理求出，再用平行四邊形面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：由圖2得，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C處時(shí)，，即，∴，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，，即，在中，，即，∴，∴，∴的面積是．故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)從四條邊都相等的的頂點(diǎn)出發(fā)，沿以的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，圖是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積隨時(shí)間變化的關(guān)系圖象，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題綜合考查了性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，勾股定理，解答過程中要注意函數(shù)圖象變化與動(dòng)點(diǎn)位置之間的關(guān)系．通過分析圖象，點(diǎn)從點(diǎn)到用，此時(shí)，的面積為，依此可求的高，再由圖象可知，，應(yīng)用兩次勾股定理分別求和．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)∵的四條邊都相等，∴．由圖象可知，點(diǎn)由點(diǎn)到點(diǎn)用時(shí)為，的面積為．，，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)，用時(shí)為，中，，的四條邊都相等，，中，，解得：故選：C．2．（23-24九年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，厘米，厘米，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒厘米的速度，沿在平行四邊形的邊上勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，的面積為平方厘米，下列圖中表示與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象問題,涉及平行四邊形性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、三角形面積公式等知識(shí)．由平行四邊形性質(zhì)得到厘米，點(diǎn)速度為每秒厘米，則點(diǎn)在上時(shí)，時(shí)間滿足的取值范圍為，觀察符合題意的、、的圖象，即點(diǎn)在處時(shí)，的面積各不相同，求得此時(shí)的面積，即可找到正確選項(xiàng)．判斷出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)的時(shí)間及此時(shí)的面積是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，厘米，厘米，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒厘米的速度，點(diǎn)走完所用的時(shí)間為：秒，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，；故排除；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)處，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：，，，厘米，厘米，厘米，平方厘米，故選：B．題型09利用平行四邊形的性質(zhì)證明【例題】（23-24八年級(jí)下·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是內(nèi)一點(diǎn)，且．(1)寫出圖中與相等的角，并證明；(2)求證：(3)用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)，見解析(2)見解析(3)，見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，由垂直的定義得，然后根據(jù)等式的性質(zhì)可得；（2）延長交于點(diǎn)F．由平行四邊形的性質(zhì)得，求出可得，然后根據(jù)證明即可證明結(jié)論成立；（3）由可得，進(jìn)而可證，然后由勾股定理得，從而可得．【詳解】（1）．證明：四邊形ABCD是平行四邊形，．，．．即．（2）如圖，延長交于點(diǎn)F．四邊形ABCD是平行四邊形，．．．，．在中，．．，．．，．（3）．由（2）可得，，．在中，，由勾股定理可得，，，，．．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形中，、分別平分、，交分別于點(diǎn)、．已知平行四邊形的周長為．(1)求證：；(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查平行四邊形，全等三角形，角平分線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，即可．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，則，，，則，根據(jù)、分別平分、，全等三角形的判定和性質(zhì)，即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，則；根據(jù)平行四邊形的周長，則，根據(jù)，即可．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，∵、分別平分、，∴，，∴，在和中，，∴，∴．（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵是的角平分線，，∴，∵平行四邊形的周長為，∴，∵，∴．2．（23-24八年級(jí)下·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F，，連接．

(1)求證：平分；(2)若點(diǎn)E為中點(diǎn)，求證：；(3)若，，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)168【分析】（1）根據(jù)得到，根據(jù)得到，即可證明，問題得證；（2）證明，即可得到，根據(jù)即可證明；（3）過點(diǎn)E作于M，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出方程，解得，進(jìn)而得到，即可求出．【詳解】（1）證明：證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）證明：∵點(diǎn)E為中點(diǎn)，，∵，，∴，，∵，∴；（3）解：如圖，過點(diǎn)E作于M，設(shè)，則．根據(jù)勾股定理得，解得，，．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟知相關(guān)知識(shí)并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．一、單選題1．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，若，，則的長（

）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】C【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，由平行和角平分線可得，即可得到，最后根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】∵，，，∴，，，∴，∵的平分線交于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，故選：C．2．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，在中，，，于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由平行四邊形可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，故選：．3．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將平行四邊形沿折疊，得到四邊形，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則的長度為（

）A． B．4 C． D．3【答案】C【分析】如圖，作于K，過E點(diǎn)作于P．可得，可得點(diǎn)E到的距離是，證明；可得，設(shè)，則，，由勾股定理得，再求解即可．【詳解】解：如圖，作于K，過E點(diǎn)作于P．∵，，∴，，∵C到的距離和E到的距離都是平行線、間的距離，∴點(diǎn)E到的距離是，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，由折疊可知，，，，∴，，，∴，在和中，，∴；∴，∵，，∴，∴，設(shè)，則，∴，由折疊可知，，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，解得，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．4．（23-24八年級(jí)下·江蘇·周測）在中，，平分交邊于點(diǎn)E，平分交邊于點(diǎn)F，若點(diǎn)E與點(diǎn)F的距離為2，則的長為（）A．2 B．5 C．2或5 D．3或5【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由平分，得到，等量代換得到，根據(jù)等腰三角形的判定得到，同理，根據(jù)已知條件得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．【詳解】解：①如圖1，在中，∵，∴，∵平分交邊于點(diǎn)E，平分交邊于點(diǎn)F，∴，∴，∴，，∴，∴；②如圖2：在中，∵，∴，∵平分交邊于點(diǎn)E，平分交邊于點(diǎn)F，∴，∴，∴，∵，，∴；綜上所述：的長為3或5，故選：D．5．（23-24八年級(jí)下·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，P是內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接、、、，得到、、、，設(shè)它們的面積分別是、、、，給出如下結(jié)論：①，②若，則，③若，則的面積為10；④．其中正確的（）A．①③ B．②③ C．①② D．②④【答案】A【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到，，設(shè)點(diǎn)到、、、的距離分別為，然后利用三角形的面積公式列式整理判斷即可得到答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，設(shè)點(diǎn)到、、、的距離分別為分別為平行四邊形的邊和邊的高則，又，，故①正確；根據(jù)只能判斷，不能判斷，即不能得出，故②錯(cuò)誤；根據(jù)，能得出的面積為，故③正確；由題意只能得到無法得到，故④錯(cuò)誤；故選：A．二、填空題6．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，則．【答案】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和題意，可以計(jì)算出和的度數(shù)，然后即可計(jì)算出的度數(shù)．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，故答案為：．7．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形中以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交、于、，分別以點(diǎn)、為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長，與交于點(diǎn)，若，，，則的長為．【答案】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理．利用基本作圖得到平分，則，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，，接著證明得到，所以，然后利用勾股定理的逆證明證明為直角三角形，，則，最后利用勾股定理可計(jì)算出的長．【詳解】解：由作法得平分，，四邊形為平行四邊形，∴，，，，，，，在中，，，，，為直角三角形，，∵，，在中，．故答案為：．8．（23-24八年級(jí)下·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖，平行四邊形的對角線和相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交和于點(diǎn)，且，那么圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)．過點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得，證明，進(jìn)而可得陰影部分面積等于平行四邊形面積的一半，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∵平行四邊形的對角線和相交于點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴∴同理：∴陰影部分面積面積,故答案為：．9．（23-24八年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，已知，，將沿翻折至，使點(diǎn)落在平行四邊形所在的平面內(nèi)，連接．若是直角三角形，則的長為．【答案】或【分析】根據(jù)平行四邊形中，，要使是直角三角形，則，，畫出圖形，分類討論，即可．【詳解】當(dāng)，，延長交于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵沿翻折至，∴，，∴，，∴，在中，，設(shè)，∴，∴，解得：，∴，∴；當(dāng)時(shí)，設(shè)交于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵沿翻折至，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，設(shè)，∴，∴，∴解得：，∴．綜上所述，當(dāng)?shù)拈L為或時(shí)，是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形、直角三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半，即可．10．（2024八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，E是的中點(diǎn)，已知，，，，點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L為時(shí)，以點(diǎn)P，A，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．【答案】1或9【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的判定，根據(jù)四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出，，，，根據(jù)平行四邊形的判定得出當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況進(jìn)行討論即可得出答案．【詳解】解：∵，，，，∴，，，，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，；綜上所述，當(dāng)?shù)拈L為1或9時(shí)，以點(diǎn)P，A，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，故答案為：1或9．三、解答題11．（23-24八年級(jí)下·重慶巴南·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，對角線和交于O點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)在對角線上，，平分．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，然后可得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出，最后利用平行線的性質(zhì)得出答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，證明，可得，求出，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；（2）∵，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∴．12．（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知是中心對稱圖形，點(diǎn)是平面上一點(diǎn)，請僅用無刻度直尺畫出點(diǎn)關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)E在的邊上；(2)如圖2，點(diǎn)E在外．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查中心對稱圖形、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握中心對稱圖形、平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）連接，交于點(diǎn)，再連接并延長，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；（2）連接，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，再連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)即為所求；（2）解：如圖2，點(diǎn)即為所求．13．（23-24八年級(jí)上·湖南長沙·期末）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，且，F(xiàn)為線段上一點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，，，求．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)及等角的補(bǔ)角相等即可證明；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，由（1）所證及，即可證明；（3）由（2）及已知得，，進(jìn)而得；即可得；證明，則；過E作于G，分別在中由勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴；∵，，∴；（2）證明：∵四邊形是平行四邊形∴，∴，由（1）知：，∵，∴；（3）解：∵，∴；∵，∴，∵，∴；∵，∴，∴；∵四邊形是平行四邊形∴，∴，∴；∵，∴，∴；如圖，過E作于G，則，∴，；在中，，由勾股定理得，在中，，由勾股定理得．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，題目不難，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是關(guān)鍵．14．（23-24八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在中，分別平分，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，證明；(3)過點(diǎn)作，垂足為．若的周長為，求的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)84【分析】本