八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義（北師大版）第六章第5講 解題技巧專題：平行四邊形中折疊、旋轉(zhuǎn)、線段最值問(wèn)題(4類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第5講解題技巧專題：平行四邊形中折疊、旋轉(zhuǎn)、線段最值問(wèn)題(4類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一平行四邊形中折疊求角度問(wèn)題】 1【考點(diǎn)二平行四邊形中折疊求線段長(zhǎng)或證明】 4【考點(diǎn)三平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】 12【考點(diǎn)四平行四邊形中求線段最值問(wèn)題】 18【考點(diǎn)一平行四邊形中折疊求角度問(wèn)題】1．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在中，將沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為．【答案】/109度【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、折疊性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得，再由折疊性質(zhì)得，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，∴，由折疊性質(zhì)得，∵，∴，故答案為：．2．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖，將先沿折疊，再沿折疊后，A點(diǎn)落在線段上的處，C點(diǎn)落在E處，連接，．若恰有，則．【答案】/度【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，跟進(jìn)中河底得出，，，求出，，根據(jù)，，得出，求出，即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，由折疊得，，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．3．（2024·吉林松原·一模）如圖，在平行四邊形中，為邊上一點(diǎn)，將沿折疊至處，與交于點(diǎn)．若，，則的大小為度．【答案】34【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)，得，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得

，，，利用三角形外角性質(zhì)，平行線性質(zhì)解答即可，本題考查了折疊性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)折疊性質(zhì)，得，，∴，∵平行四邊形，∴

，，，∴

，∴

，故答案為：34．4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，點(diǎn)，在邊上，把沿直線折疊，沿直線折疊，使點(diǎn)，落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，熟悉掌握折疊圖形邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到，，，再利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)進(jìn)行角的等量代換求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，且沿直線折疊，沿直線折疊，∴，，，∴，，∴，∴，故答案為：5．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，P是平行四邊形紙片的邊上一點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)P的直線為折痕折疊紙片，使點(diǎn)C，D落在紙片所在平面上處，折痕與邊交于點(diǎn)M；再以過(guò)點(diǎn)P的直線為折痕折疊紙片，使點(diǎn)B恰好落在邊上處，折痕與邊交于點(diǎn)N．若，則°．【答案】16【分析】本題主要折疊的性質(zhì)，掌握折疊前后的線段、角對(duì)應(yīng)相等是解題的關(guān)鍵．由折疊的性質(zhì)可求得，，再結(jié)合、、在一條直線上，可求得答案．【詳解】解：∵點(diǎn)落在紙片所在平面上處，折痕與邊交于點(diǎn)，故答案為：16．【考點(diǎn)二平行四邊形中折疊求線段長(zhǎng)或證明】1．（2024·山東青島·一模）如圖，在中，，，，點(diǎn)，分別在邊，上，沿折疊平行四邊形，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則線段的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)并正確作出輔助線．過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可推出，得出，在中，根據(jù)勾股定理求出，由折疊可知，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，，又，，在中，由勾股定理得：，由折疊可知，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，線段的長(zhǎng)度為，故答案為：．2．（2023·陜西西安·二模）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)、點(diǎn)分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，將沿折疊，使得點(diǎn)落在處，連接，點(diǎn)為中點(diǎn)，則的最小值是．【答案】/【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得，可知當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，根據(jù)折疊可知在以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑的半圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，此時(shí)取得最小值，最小值為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)的直角三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再在中，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步可得的最小值，即可求出的最小值．【詳解】解：連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中位線，，當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，在平行四邊形中，，，，，，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，根據(jù)折疊可知，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑的半圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，此時(shí)取得最小值，最小值為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：則，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，，，在中，根據(jù)勾股定理，得，的最小值為，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，線段最小值問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，找出線段最小時(shí)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．3．（23-24八年級(jí)上·山東濰坊·期末）已知：將沿對(duì)角線折疊，折到位置．(1)證明；(2)如果，B、D兩點(diǎn)間距離為，請(qǐng)?jiān)趯?duì)角線上找一點(diǎn)O，使得的值最小，并求最小值；(3)探索：線段與滿足什么關(guān)系時(shí)，點(diǎn)D、C、F在同一條直線上，請(qǐng)給出證明．【答案】(1)見解析(2)(3)當(dāng)線與互相平分時(shí)，點(diǎn)D、C、F在同一條直線上，理由見解析【分析】（1）本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明；（2）本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明；（3）本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明．【詳解】（1）解：證明：如圖1中，四邊形是平行四邊形，，，翻折得到，，，，，，；（2）連接交于點(diǎn)O，連接，點(diǎn)F與D關(guān)于對(duì)稱，，當(dāng)點(diǎn)O為與交點(diǎn)時(shí)，的值最小，最小值為線段的長(zhǎng)，即最小值為；（3）當(dāng)線段與互相平分時(shí)，點(diǎn)D、C、F在同一條直線上．理由：與互相平分，，，，，，即，翻折得到，，點(diǎn)D、C、F在同一條直線上．4．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）將紙片沿折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處．(1)求證：；(2)若的面積等于8，，試求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，解題關(guān)鍵是應(yīng)用折疊的性質(zhì)找出所需的條件．（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，由折疊可知，，，進(jìn)而得到，，，于是，以此即可通過(guò)證明，由全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）由（1）可得，由可得，進(jìn)而求出，則，代入計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）證明：四邊形為平行四邊形，，，，由折疊可知，，，，在和中，，，；（2）如圖，連接，由（1）知，，，，，即，，，．5．（22-23八年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折疊，點(diǎn)是點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖2，若點(diǎn)落在上時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如圖3．若取的中點(diǎn)F，連接，求的取值范圍【答案】(1)見解析(2)的長(zhǎng)是(3)的取值范圍是【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得由折疊得則進(jìn)而即可證明四邊形是平行四邊形；（2）由題意作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行分析求解；（3）根據(jù)題意取的中點(diǎn)T、連接進(jìn)一步得出是等邊三角形，并且分析出當(dāng)點(diǎn)F在直線的上方，且點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)的值最大，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行分析求解?！驹斀狻浚?）證明：如圖1，∵四邊形是平行四邊形，∴∴由折疊得∴∴∴∴四邊形是平行四邊形．（2）解：如圖2，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∴∵點(diǎn)落在上，∴∴∵∴∴∴∴，∴3，∵∴，∴的長(zhǎng)是．（3）解：如圖3，取的中點(diǎn)T、連接∵∴∴∴∴是等邊三角形，∴∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，T是的中點(diǎn)，∴3，∵，且，∴，∴的最小值是3；∵點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)F在直線的上方，且點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)的值最大，如圖4，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，∴，∴三點(diǎn)在同一條直線上，∴且，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴的最大值為，∴的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于中考?jí)狠S題．【考點(diǎn)三平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】1．（23-24九年級(jí)上·河南焦作·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)C在y軸上，對(duì)角線軸，，．將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第2023秒結(jié)束時(shí)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究，熟練根據(jù)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)確定旋轉(zhuǎn)后的位置是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，然后找到B點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，并按照規(guī)律解答即可．【詳解】解：中，，，軸，，，，，如圖：將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，1秒時(shí)，由旋轉(zhuǎn)角的性質(zhì)得：與x軸重合，，，，，，四邊形是平行四邊形，∴四邊形是平行四邊形，，軸，，同理可得：，則：每旋轉(zhuǎn)4秒則回到原位置，∵，∴第2023秒時(shí)，完成了505次循環(huán)，又旋轉(zhuǎn)了3次，∴當(dāng)?shù)?023秒旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．故選：B．2．（22-23八年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，在平行四邊形中，，，將平行四邊形繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離相同，進(jìn)而得出坐標(biāo)．【詳解】解：∵將平行四邊形繞O點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得平行四邊形的位置，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是：．故選：B．3．（23-24九年級(jí)上·江西宜春·期末）如圖，把平行四邊形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得平行四邊形，點(diǎn)落在邊上，若，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的度數(shù)為．【答案】/28度【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用平行四邊形和圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，由平行四邊形的性質(zhì)可知，再用等腰三角形的性質(zhì)推得，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案．【詳解】平行四邊形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得平行四邊形，，，，，，．故答案為：．4．（23-24八年級(jí)下·上海青浦·期中）如圖，在平行四邊形中，，，面積為120，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，將線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，如果點(diǎn)恰好落在直線上，那么線段的長(zhǎng)為

【答案】2或14【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，注意分類討論；由題意得；分順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及勾股定理即可求解．根據(jù)題意確定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵線段繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)恰好落在直線上，∴，∵，∴，由勾股定理得：；當(dāng)線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，∴，∴；當(dāng)線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，則在點(diǎn)P的右側(cè)，∴；綜上，的長(zhǎng)為2或14；故答案為：2或14．5．（2023·河北承德·一模）如圖，在四邊形中，，，．將沿剪下來(lái)，以為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，、與所在的直線的交點(diǎn)分別為、．(1)求證：；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，如圖2所示，求重疊部分的面積；(3)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，如圖3所示，求的長(zhǎng)；(4)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)（用含的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)題意可得，四邊形是平行四邊形，證明，即可得證；（2）根據(jù)題意得到是等腰直角三角形，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，平分，設(shè)交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）如圖所示，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則，連接，則，證明，則，設(shè)，則，在中，，勾股定理求得，即可求解；（4）設(shè)，，同（3）的方法，在中，，勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵∴四邊形是平行四邊形∴在中，∴；（2）解：∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵∴∴旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，平分，∴，如圖2，設(shè)交于點(diǎn)，∴是等腰直角三角形，∴重疊面積為（3）解：如圖所示，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則，連接，∴，則，∵，∴，∵，∴，在中，∴，∴，設(shè)，則，∴，在中，，即，解得：，∴；（4）解：設(shè)，，由（3）可得，則，設(shè)，則，∴，在中，，即，解得：，即，【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四平行四邊形中求線段最值問(wèn)題】1．（2024·山東青島·一模）如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理，利用三角形中位線定理得出，則當(dāng)時(shí)，最小，則最小，利用勾股定理求出，然后利用等面積法求出的最小值，即可求解．【詳解】解：連接，∵點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，∴，當(dāng)時(shí)，最小，則最小，∵，∴，設(shè)中邊上高為h，則，∴，∴，∴最小值為，則最小值為，故答案為：．2．（22-23八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，將直線l繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，分別交、于點(diǎn)E、F，則四邊形周長(zhǎng)的最小值是．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，求出的值，進(jìn)而求出的值，根據(jù)證明，得到，即可推出四邊形周長(zhǎng)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，即可得到四邊形周長(zhǎng)的最小值，利用垂線段最短即時(shí)，求出最小值，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，∴，，，四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，，，，，四邊形周長(zhǎng)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，即為最小值，四邊形的周長(zhǎng)最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，線段的最值問(wèn)題，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用三角形全等的性質(zhì)轉(zhuǎn)換線段之間的關(guān)系表達(dá)出周長(zhǎng)．3．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）已知點(diǎn)D與點(diǎn)，，是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則長(zhǎng)的最小值為．【答案】【分析】討論兩種情形：①是對(duì)角線，②是邊．是對(duì)角線時(shí)直線時(shí)，最?。沁厱r(shí)，，通過(guò)比較即可得出結(jié)論．【詳解】解：有兩種情況：當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，記交于點(diǎn)F，∵，設(shè)直線表達(dá)式為：，則代入點(diǎn)C得：，∴,點(diǎn)C在直線上，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)G，取中點(diǎn)H，連接，∵點(diǎn)F是平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)，∴F為中點(diǎn)，，∴為的中位線，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，最短，由可知點(diǎn)C與點(diǎn)O的水平距離和鉛錘距離均是，∴，∴當(dāng)時(shí)，∴為等腰直角三角形，∴，則，設(shè)直線表達(dá)式為：，代入得，∴，∴直線表達(dá)式為：，聯(lián)立得：，解得，∴，∴，∴最小值為；當(dāng)為平行四邊形邊時(shí)，則，綜上，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四