八年級數(shù)學(xué)下冊 講義（北師大版）第五章第04講 解題技巧專題：分式的混合運算及規(guī)律和新定義問題(7類熱點題型講練)（原卷版）

第04講解題技巧專題：分式的混合運算及規(guī)律和新定義問題(7類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一分式的混合運算問題】 1【考點二分式的混合運算錯解復(fù)原問題】 6【考點三分式的混合運算先化簡求值問題】 11【考點四分式的混合運算規(guī)律探究問題】 14【考點五分式的混合運算“倒數(shù)法”求值問題】 17【考點六分式的混合運算新定義型問題】 19【考點七分式的混合運算假分?jǐn)?shù)問題】 24【考點一分式的混合運算問題】例題：（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·河南南陽·階段練習(xí)）化簡：(1)；(2)．2．（22-23八年級上·山東淄博·階段練習(xí)）分式的計算：(1)；(2)．3．（23-24八年級上·山東聊城·期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(7)；(8)．【考點二分式的混合運算錯解復(fù)原問題】例題：（23-24八年級上·河南商丘·期末）以下是某同學(xué)化簡分式的部分運算過程：解：原式①②③……解：(1)上面的運算過程中第步出現(xiàn)了錯誤；(2)選擇一個你喜歡的x的值代入求值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·貴州遵義·一模）以下是小明化簡分式的過程．解：原式第一步第二步第三步第四步(1)小明的解答過程在第______步開始出錯；(2)請寫出正確的解答過程．2．（2023·貴州遵義·一模）下列是某同學(xué)化簡分式的部分過程：解：原式第一步；第二步；第三步；(1)上面的化簡過程從第______步開始出現(xiàn)錯誤；(2)請你寫出完整的解答過程．3．（23-24八年級上·河南商丘·期末）下面是亮亮進行分式化簡的過程：解：原式

第一步

第二步

第三步

第四步

第五步．

第六步(1)第二步的依據(jù)是______；(2)亮亮從第______步開始出現(xiàn)錯誤，該步錯誤的原因是______；(3)請寫出正確的化簡過程；(4)在分式化簡的過程中，還需要注意哪些事項？請你給其他同學(xué)提一條建議．4．（23-24八年級上·寧夏固原·期末）下面是某分式化簡過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．……第一步……第二步……第三步……第四步任務(wù)一：填空①以上化簡步驟中，第______步是通分，通分的依據(jù)是______．②第______步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是______．任務(wù)二：直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果．【考點三分式的混合運算先化簡求值問題】例題：（23-24八年級上·四川廣元·期末）先化簡，再求值：，其中．【變式訓(xùn)練】1．（2024·新疆克孜勒蘇·二模）先化簡再求值：，其中．2．（23-24八年級上·遼寧鐵嶺·期末）先化簡，再從四個數(shù)中，選取一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)進行求值．3．（23-24八年級上·山東德州·期末）先化簡，再求值：，其中．4．（23-24八年級上·黑龍江佳木斯·期末）先化簡，再求值，，其中滿足．【考點四分式的混合運算規(guī)律探究問題】例題：（2023七年級上·福建·專題練習(xí)）觀察下列計算，，，，(1)第5個式子是；第個式子是．(2)從計算結(jié)果中找規(guī)律，利用規(guī)律計算．(3)計算．【變式訓(xùn)練】1．（22-23九年級上·安徽·開學(xué)考試）觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：_________；(2)寫出你猜想的第個等式：_________用含的等式表示），并證明．2．（2023·安徽合肥·三模）觀察以下等式：第1個等式：，第2－個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：__________________；(2)寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．3．（2023·安徽·一模）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：________________(2)寫出你猜想的第n個等式：________________（用含n的等式表示），并證明．【考點五分式的混合運算“倒數(shù)法”求值問題】例題：（23-24八年級下·河南南陽·階段練習(xí)）閱讀與理解閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)．在解決某些分式問題時，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運用約分化簡，以達到計算目的．例：若，求代數(shù)式的值．解：∵，∴，∴，∴．任務(wù)：已知．(1)求的值．(2)求的值．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·云南昆明·期末）閱讀下面的解題過程：已知，求的值．解：由知，所以，即．因此，所以的值為．該題的解法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解決下面的問題：已知，求的值．【考點六分式的混合運算新定義型問題】例題：（23-24八年級上·山東德州·期末）定義：若分式P與分式Q的差等于它們的積，即，則稱分式P與分式Q互為“關(guān)聯(lián)分式”．如與，因為，所以與互為“關(guān)聯(lián)分式”，其中一個分式是另外一個分式的“關(guān)聯(lián)分式”．(1)請通過計算判斷分式是不是分式的“關(guān)聯(lián)分式”．(2)求分式的“關(guān)聯(lián)分式”．【變式訓(xùn)練】1．（22-23八年級下·福建福州·開學(xué)考試）定義：如果兩個分式A與B的差為1，則稱A是B的“最友好分式”，如分式，則A是B的“最友好分式”．(1)已知分式，請判斷C是否為D的“最友好分式”，并說明理由；(2)已知分式，且E是F的“最友好分式”．①求P（用含x的式子表示）；②若為定值，求m與n之間的數(shù)量關(guān)系．2．（23-24八年級上·河南信陽·期末）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，那么稱這個分式為“和諧分式”．如：，則是“和諧分式”．(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是（填序號）；①；②；③．(2)將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式；(3)應(yīng)用：先化簡，并回答：a取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)？3．（23-24八年級上·江西宜春·期末）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，那么稱這個分式為“美好分式”，如：，則是“美好分式”．(1)下列分式中，屬于“美好分式”的是______；（只填序號）①；

②；

③；

④．(2)將“美好分式”化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式；(3)判斷的結(jié)果是否為“美好分式”，并說明理由．【考點七分式的混合運算假分?jǐn)?shù)問題】例題：（23-24八年級下·河南南陽·階段練習(xí)）閱讀下列材料：通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）如：；解決下列問題：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)如果x為整數(shù)，分式的值為整數(shù)，求所有符合條件的x的值．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)．如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；，這樣的分式就是真分式．類似地，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．如：．解決下列問題：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)將假分式化為帶分式；(3)求所有符合條件的整數(shù)x的值，使得的值為整數(shù)．2．（23-24八年級上·云南昆明·期末）著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則．【閱讀材料】在處理分?jǐn)?shù)和分式的問題時，有時由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實際運算時難度較大，這時，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個整數(shù)（整式）與一個真分?jǐn)?shù)（分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時頗為有效．將分式分離常數(shù)可類比假分?jǐn)?shù)