數(shù)林外傳系列典藏版19幾何極值問(wèn)題（待校對(duì)）

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯1引言1.1幾何極值問(wèn)題的意義和基本解法求極值的問(wèn)題在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中是常見(jiàn)的,我們將其中具有實(shí)際幾何意義的問(wèn)題統(tǒng)稱為幾何極值問(wèn)題.例如下面我們認(rèn)識(shí)的問(wèn)題(見(jiàn)《極值問(wèn)題的初等解法》例5.3)就屬于幾何極值問(wèn)題.例1.1求底邊長(zhǎng)度和項(xiàng)角大小固定的面積最大的三角形.這個(gè)問(wèn)題意味著要求在由一條底邊為a,且其對(duì)角為α(這里a>0,α∈(0,π)是常數(shù))的三角形組成的集合中找出一個(gè)成員(角形),使得它的面積最大.普通地,設(shè)T是由某些幾何圖形組成的集合,對(duì)于每個(gè)t∈T,定義幾何量f(因?yàn)樗ct有關(guān),所以記作f=f(t)),那么與此相關(guān)的幾何極值問(wèn)題,就是要求出f0=固然,這樣的成員t0可能不止一個(gè),也可能不存在.另外,上面兩個(gè)式子偶爾f0=我們注重到,倘若去掉幾何極值問(wèn)題（“實(shí)際”）的幾何背景，那么就可得到一個(gè)平時(shí)（“抽象”)的極值問(wèn)題.例如,對(duì)于上面的例子,若三角形的三條邊長(zhǎng)是a,b,c,它們的對(duì)角分離是α,β,γ,S于是問(wèn)題歸結(jié)為在β+f的最大值.這是一個(gè)關(guān)于函數(shù)f(β,γ)的帶約束條件的極值問(wèn)題.同時(shí),這個(gè)極值問(wèn)題為幾何極值問(wèn)題的特征在于它的實(shí)際幾何背景.在一些情形下,問(wèn)題中的幾何條件蘊(yùn)含某種極值性質(zhì),從而直接給出問(wèn)題的解,這導(dǎo)致問(wèn)題的“幾何解法”.在多數(shù)情形下,需要應(yīng)用幾何推理和計(jì)算以及其他的論證,建立問(wèn)題的“數(shù)學(xué)模型”,借助求極值的普通性主意及其他的論證,建立問(wèn)題的“數(shù)學(xué)模型”,借助求極值的普通性主意合應(yīng)用其他一些概念(例如復(fù)數(shù)、向量以及坐標(biāo)等)和技巧得出問(wèn)題的解,但大體上,初等主意不外乎“幾何解法”和“代數(shù)解法”兩題的解,本書(shū)常常應(yīng)用的代數(shù)類型解法的數(shù)學(xué)工具,主要有下列幾種(1)算術(shù)一幾何平均不等式.(2)二次三項(xiàng)式的極值性質(zhì).(3)有實(shí)根的一元二次方程判別式非負(fù)(4)三角函數(shù)的單調(diào)性.下面通過(guò)解例1.1往返顧幾何極值問(wèn)題的兩種基本解法解解法1(幾何解法)當(dāng)三角形底邊BC(=a)固定,頂角A大小(α)也固定時(shí),頂點(diǎn)A位于以BC為弦含圓周角為α的弓形弧上(圖1.1)(這樣的弧有兩條,關(guān)于BC對(duì)稱,但給出相同的三角形集合).當(dāng)A位于弓形弧的最高點(diǎn)(即弧的中點(diǎn))時(shí),△ABC底邊上的高的長(zhǎng)度最大,并且得到具有最大面積的三角形(S圖1.1解法2(代數(shù)解法)只需求函數(shù)f(β,γ)=sin?f(=\frac{1}{2}(\cos(\beta-\gamma)-\cos(\pi-\alpha))=\frac{1}{2}(\cos(\beta-\gamma)+\cos\alpha).]并且α是定值,所以當(dāng)初cos?(β-f于是當(dāng)初β=γ,即在等腰三角形的情形下面積最大S下面給出一個(gè)立體幾何極值問(wèn)題.例1.2設(shè)直線a在平面α上,直線b垂直于平面α,垂足T不在直線a上;還設(shè)M,N是直線a上的兩個(gè)定點(diǎn),△T0MN是銳角三角形.設(shè)T是直線b上的隨意解解法1(幾何解法)如圖1.2所示,設(shè)T是直線b上隨意一個(gè)與T0互異的點(diǎn).我們得到△T0MN和△TMN(前者在平面α上,后者除邊MN外,在平面α之外).作△T0MN的高T0H點(diǎn)H是垂足.因?yàn)椤鱐0MN是銳角三角形,所以H在線段MN上.銜接在△TMN所在平面上,在TH上取點(diǎn)T0'使得HT0'=HT0(圖1.3).那么△T0'MN?△T0MN,解法2(代數(shù)解法)如圖1.2所示,設(shè)MH=ttan?∠因?yàn)閔>h0,所以tan?∠MTH<tan?∠MT0H.注重∠MTH∈(0,π/2),由正切函數(shù)的單調(diào)性推出∠MTH<∠MT0H.類似地,∠圖1.3注1由上面的解法1可知,當(dāng)頂點(diǎn)T在直線b上變動(dòng)時(shí),在得到的△TMN中,△T0MN面積最小.固然,這也可由第3章例3.1的推論得到.此外,若△TMN所在的平面與平面α的夾角是θ,那么△T0MN是△TMN在平面α上的(正)投影,并且T0H=普通地(應(yīng)用極限主意),可以證實(shí)(圖1.4):若平面α與α0間的夾角是θ(θ<π/2),平面α上的圖形D的面積是S,并且它在平面α0上的(正)投影下面給出一個(gè)容易的例子,它可用幾乎所有常見(jiàn)的主意來(lái)解,例1.3證實(shí):內(nèi)接于已知圓的矩形中以正方形面積最大證實(shí)只考慮初等主意.設(shè)圓的直徑是d,在證法2～5中用x表示矩形的一條邊長(zhǎng)圖1.4因?yàn)槿魣A周角為直角,則所對(duì)弦為圓的直徑,所以矩形被它的一條對(duì)角線分為兩個(gè)全等的直角三角形,由例1.1可知,J最大.因此當(dāng)矩形兩鄰邊相等,即它為正方形時(shí),面積最大.易知最大面積等于2?d證法2如證法1所證,短形的每條對(duì)角線是圓的一條直徑,所以矩形面積S=xd2S所以當(dāng)d2/2-x2=0,即x=(2/2)d時(shí)證法3因?yàn)閐2,d2-x2非負(fù)S并且當(dāng)且僅當(dāng)初x2=d2-x2證法4由證法2可知S2=-x4+d2x2.令x2=u證法5由證法2可知S2=-x4+du因?yàn)榉匠逃袑?shí)根,所以判別式-d22-4S2?0,于是0<S?d2/證法6設(shè)矩形一條邊與一條對(duì)角線的夾角為θ,則矩形面和S=(dcos?θ)(dsin?θ)=d2/2證法7已知隨意四邊形的面積等于其兩條對(duì)角線之長(zhǎng)(e和f)與它們的夾角(?)的正弦的乘積之半.它的證實(shí)如下:四邊形被它的兩條對(duì)角線分成四個(gè)互不重疊的三角形.設(shè)對(duì)角線交點(diǎn)分離將兩條對(duì)角線分為長(zhǎng)是e1,e2和f112將它們相加即得公式另一種證實(shí)主意:過(guò)四邊形每條對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)作另一條對(duì)角線的平行線,形成一個(gè)平行四邊形,其面積等于四邊形面積的兩倍.然后應(yīng)用平行四邊形面積公式.應(yīng)用上述公式,可知矩形面積S可見(jiàn)當(dāng)?=π/2,即對(duì)角線互相垂直(即矩形成為正方形)時(shí),證法8建立直角坐標(biāo)系(圖1.6),圓心O為原點(diǎn),矩形兩邊長(zhǎng)為x,y.x下求S=xy的極值.約束條件是點(diǎn)(x,y)屬于第一象限中半徑為d/2的圓弧.當(dāng)S>0變化時(shí),給出一族雙曲線(限中的那個(gè)分支)的交點(diǎn),那么它的坐標(biāo)是(S,S),此點(diǎn)與它在兩坐標(biāo)軸上的投影以及點(diǎn)O是一個(gè)正方形(稱陪同正方形)的四個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)正方形的面積恰等于S.雙曲線上任一點(diǎn)的兩坐標(biāo)之積者等于陪同正方形的面積.因此為求S的最大值,當(dāng)點(diǎn)τ沿l向O臨近時(shí),陪同正方形面積單調(diào)遞減.當(dāng)它達(dá)到上述圓弧時(shí),即位于τ0位置,雙曲線與圓弧相切,記相應(yīng)的陪同正方形面積為S0.當(dāng)點(diǎn)τ繼續(xù)向O臨近時(shí),其位置τ1位于圓弧在第一象限中形成的扇形中(此時(shí)雙曲線與圓弧相交),陪同正方形面積顯然小于S0.因此τ0給出S因?yàn)棣?的坐標(biāo)是S0,S0,它也在圓弧上S由此解得S0=d2/2.或者x將y=S/xx曲線相切等價(jià)于上述方程有等根,即判別式-d22-其中輻角α∈(0,π).矩形面積可表示為抽(圖1.7).那么頂點(diǎn)A和C的坐標(biāo)分離為(d/2,0)和(-d/2,0),頂點(diǎn)B和D的坐標(biāo)分離為(x,y)和(-x,-yS其中|x|<d/2,0<y?d/2.因?yàn)镾法10應(yīng)用復(fù)數(shù).坐標(biāo)系同證法9(圖1.7).頂點(diǎn)A,B的復(fù)數(shù)表示分離是頂點(diǎn)A,C以及B,D分離關(guān)于O中央對(duì)稱,所以頂點(diǎn)Cz由此可推出所要的結(jié)論.理解.不涉及斜圓錐和斜圓柱S(△?)表示三角形的面積練習(xí)題1值的面積最大的三角形1.3求兩邊長(zhǎng)度為定值的面積最大的三角形。S==2上述證決8應(yīng)用了一個(gè)常用的極值問(wèn)題解碞原則,的比請(qǐng)參見(jiàn)《極值問(wèn)題的初等解法》第6節(jié),以及該書(shū)例9.11的解法1.不同之處是那里考慮的是一次函數(shù)(平行直線族),這里研究了二次函數(shù)(雙曲線族).異常地,在此引人陪同正方形是為了便于直觀在后文中，將給出更多類型的幾何極值問(wèn)題和解法技巧。1.2某些術(shù)語(yǔ)和符號(hào)的約定正圓錐體(也稱直圓錐體)簡(jiǎn)稱圓錐.直圓杜體簡(jiǎn)稱圓柱.本書(shū)若無(wú)異常說(shuō)明,符號(hào)S(?)表示括號(hào)內(nèi)平面圖形的面積,1.1求底邊長(zhǎng)度和頂角大小為定值的周長(zhǎng)最大的三角形1.2求底邊與其上的高之和為定值并且一個(gè)底角大小也為定2平面幾何極值問(wèn)題在本章中,首先回顧某些與平面極值問(wèn)題有關(guān)的圖形極值性質(zhì)和定值性質(zhì)以及(平面)軌跡,然后給出幾種類型極值問(wèn)題的例子.2.1平面圖形的極值性質(zhì)、定值性質(zhì)和軌跡2.1.1極值性質(zhì)舉例如下:(1)兩點(diǎn)間的連線以銜接它們的線段為最短(2)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)間的距離,不小于由這點(diǎn)所作直線的垂線段之長(zhǎng).(3)分離位于兩條互相平行的直線上的兩點(diǎn)之間的距離,不小于兩平行線間的距離.(4)在圓中,直徑是最長(zhǎng)的弦.(5)在梢圓上的各點(diǎn)中,以縱軸與橢圓的交點(diǎn)與橫軸的距離最大(對(duì)于與縱軸的距離,情形類似)2.1.2常見(jiàn)的平面圖形的“定值性質(zhì)”（1）若兩直線平行,則其中任何一條直線上所有點(diǎn)與另一條直線的距離是定值(2)過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)作弦,被定點(diǎn)所分兩線段之積是定值.(3)圓的固定引形弧所含圓周角的大小是定值;也就是說(shuō),弓形弧上任一點(diǎn)對(duì)弓形弦的視角是定值.(4)橢圓上任一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和是定值.2.1.3軌跡由(平面上)所有具有性質(zhì)P的點(diǎn)組成的集合稱作具有性質(zhì)P的點(diǎn)的(平面)軌跡;它也可定義為(平面上)具有性質(zhì)P的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的軌道(平面圖形).為確認(rèn)某個(gè)(平面)圖形是具有性質(zhì)P的點(diǎn)的軌跡,必須證實(shí)這個(gè)圖形上的任一點(diǎn)具有性質(zhì)P,并且任一個(gè)具有性質(zhì)P的點(diǎn)都在這個(gè)圖形上.常見(jiàn)的平面軌跡,舉例如下:(1)與一個(gè)定點(diǎn)的距離保持定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心定長(zhǎng)為半徑的圓(周).(2)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離保持相等的點(diǎn)的軌跡是銜接兩定點(diǎn)所得線段的垂直平分線.(3)與兩條相交定直線的距離保持相等的點(diǎn)的軌跡是兩條定直線形成的兩組對(duì)頂角的(兩條)角平分線(圖2.1)(4)與一條定直線的距離保持定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是兩條與定直線平行的直線,它們分列于定直線兩側(cè),并且與定直線的距離等于定長(zhǎng)(簡(jiǎn)稱“雙軌平行線”,見(jiàn)圖2.2)圖2.1圖2.2(5)與兩條互相平行的定直線的距離保持相等的點(diǎn)的軌跡是一條與定直線平行的直線,它位于兩條定直線形成的帶形中,并且分離與定直線組成的兩組平行線間的距離相等(簡(jiǎn)稱“正中平行線”,見(jiàn)圖2.3)(6)對(duì)于一條定線段的視角是定值的點(diǎn)的軌跡是兩條以定線段為弦的弓形弧,它們關(guān)于定線段所在直線對(duì)稱,所含的圓周角等于定值(簡(jiǎn)稱“雙引形弧”，見(jiàn)圖2.4)圖2.4(7)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓,其焦點(diǎn)是兩個(gè)定點(diǎn),長(zhǎng)軸等于定長(zhǎng)2a,短軸等于2b=2a2-c2注1以點(diǎn)P為頂點(diǎn)、兩邊經(jīng)過(guò)A,B的∠APB稱為點(diǎn)P對(duì)于線段AB的視角.如圖2.5所示,位于弓形內(nèi)部的點(diǎn)對(duì)于弓形弦AB的視角大于弓形弧所含圓周角,位于弓形外部(與弓形弧同在直線e的一側(cè))的點(diǎn)對(duì)于弓形弦AB的視角小于弓形弧所含圓周角.異常地,若直線a與弓形弧切于點(diǎn)M,那么對(duì)于a上任何其他點(diǎn)M圖2.5注2橢圓內(nèi)部的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)距離之和小于長(zhǎng)軸,橢圓外部的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)距離之和大于長(zhǎng)軸.在解幾何極值問(wèn)題時(shí)，常常應(yīng)用上面.3小節(jié)中的事實(shí).例如,例1.1的解法1及練習(xí)題1.1的解法2應(yīng)用了軌跡(6)練習(xí)題1.3的解法1應(yīng)用了軌跡(1).后文中將會(huì)看到它們的其他應(yīng)用.異常地,在幾何解法中,要著重發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造具有極值性質(zhì)的幾何元素,例如,從具有定值性質(zhì)的元素中或具有異常性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡中尋找具有極值性質(zhì)的幾何元素.2.2與視角有關(guān)的一些平面極值問(wèn)題例2.1給定一個(gè)由⊙O的弧MSN和弦MN組成的弓形,平面兒何角θ0圖2.7解過(guò)點(diǎn)A,B作圓與經(jīng)定的P就是所求的點(diǎn)(圖2.6).事實(shí)上,若J是弧MsN上隨意異于P的點(diǎn),銜接JA和JB,并設(shè)JA與所作圓交于I,那么由圓周角定理可知∠AIB=∠P,由三角形外角性質(zhì)可知∠J<∠AIB,因此∠J圖2.6例2.2設(shè)A,B是⊙O內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn).求圓(周)上對(duì)于線段解過(guò)點(diǎn)A,B作圓與給定圓相(內(nèi))切.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A,B的圓的中央都在AB的垂直平分線上,點(diǎn)A和B都在⊙O內(nèi)部,所以過(guò)點(diǎn)A,B的圓或內(nèi)含于⊙O,或與⊙O內(nèi)切,或與⊙O相交.可見(jiàn)上述的圓有兩個(gè)(圖2.7),記為⊙S1,⊙S2.設(shè)⊙S1和⊙S2與⊙O的切點(diǎn)分離是P和P'.分離記P,P'對(duì)于AB的視角為θ,θ'.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B的直線將⊙O(指圓周)分為兩部分.由例2.1可知,對(duì)于含點(diǎn)(a)(b)若此圓與⊙O內(nèi)切(圖2.8(a)),則切點(diǎn)P對(duì)于AB不妨設(shè)上述⊙S1,⊙S2中⊙S1較小(即半徑較小),它與⊙O的切點(diǎn)P給出視角θ.因?yàn)榇藘蓤A圓心都在AB的垂直平分線上,所以若以直線AB為對(duì)稱軸,較大圓⊙S2中由AB和弧AP'B組成的弓形的對(duì)稱像必將包含較小圓⊙S1的由AB和弧APB組成的弓形.由此可見(jiàn)θ'<θ.或者:在以兩圓圓心S1,S2以及點(diǎn)A為頂點(diǎn)的三角形中,由圓周角和圓心角的關(guān)系可知注為進(jìn)一步了解最大視角θ0∈(0,π)的大小,考慮以AB為直徑的⊙K(((c)π/2,容易驗(yàn)證⊙O上除P以外的點(diǎn)對(duì)于AB的視角都小于π/2,于是(⊙O上的點(diǎn)對(duì)于AB的若此圓與⊙O相交(圖2.8(b)),則兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)于AB的視角等于π/2,并且容易驗(yàn)證⊙O中介于兩個(gè)交點(diǎn)間的弧上任何一點(diǎn)對(duì)于AB的視角大于π/2,⊙O上其他的點(diǎn)對(duì)于AB的視角都小于π/2于是給出最大視角的點(diǎn)P落在這條弧上,并且θ0是鈍角.注重,若此圓與⊙O相離,即它內(nèi)含于⊙O((圖2.8(c)),解法2過(guò)點(diǎn)P作直徑MN和另外隨意一條弦AB(圖2.10).那么直徑MN是過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦,并且PM?PN是定值(因?yàn)镻是定點(diǎn)).設(shè)R是AB的中點(diǎn).令圓的半徑等于r,OP=a(定值).記(l2.3與弦長(zhǎng)有關(guān)的一些極值問(wèn)題例2.3設(shè)P是⊙O中的一個(gè)定點(diǎn).求圓的經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的弦的長(zhǎng)度的最大值和最小值解解法1顯然過(guò)點(diǎn)P的直徑是最長(zhǎng)弦,過(guò)點(diǎn)P作垂直于OP的弦AB,以及另一條隨意弦CD(圖2.9).過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥CD(點(diǎn)Q是垂足).那么AB=2r2-OP2,CD=2r2-OQ2(其中r是圓的半徑).由直角三角形OPQ可知OP>OQ,所以AB<CD.因?yàn)镃D是隨意的,所以AB是最短弦.當(dāng)PR=0,即點(diǎn)P,R重合時(shí)(于是P是AB的中點(diǎn),從而AB與OP垂直),l2圖2.10解法3由解法2(圖2.10)可知AP?PB=PM?PN=r2-a2是定值,由算術(shù)一幾何平均不等式,當(dāng)初AP=PB,AP與PB之和AP+例2.4設(shè)A,B是⊙O內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn).求圓(周)上的點(diǎn)K,使得∠AKB的兩邊與⊙解設(shè)圓的半徑是R,例2.2中得到的圓上對(duì)AB視角最大的點(diǎn)是P,最大視角是θ0.所求最大弦長(zhǎng)MN記為l0.倘若θ0是銳角,那么由圖2.11(a)(其中MQ是圓的直徑)可知l0=MN圖2.11倘若θ0=π/2,那么顯然MN是圓的直徑,因此l0=2R倘若θ0是鈍角,那么由圖2.11(b)(其中MQ是圓的直徑)可知MN=2Rsin?Q=2Rsin?2π-θ0=2Rsin?θ0<2R.但由例2.2的注可知,此時(shí)圓上存在兩點(diǎn)(記作例2.5給定兩個(gè)同心圓,公共中央是O.設(shè)P是小圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)(異于點(diǎn)O).求過(guò)點(diǎn)P作直線被圓環(huán)截得的線段的最大值.解易見(jiàn)過(guò)點(diǎn)P所作直線被圓環(huán)截得的兩條線段相等.解法1設(shè)大圓半徑為r1,小圓半徑為r2.過(guò)點(diǎn)P作大圓的兩條弦AB和TS(圖2.12),其中AB⊥OP,則P是AB的中點(diǎn).設(shè)Q是TS的中點(diǎn)l=類似地,TS被同心圓截得的線段之長(zhǎng)l2因?yàn)镺P是直角三角形OPQ的斜邊,所以O(shè)P>OQr1注重r12-r22>0,即得l1>l2.解法2過(guò)點(diǎn)P作大圓的弦TS,被小圓截得弦UV(圖2.13)那么由相交弦定理可知(對(duì)于大圓)TP.PS是定值(記為c1,易見(jiàn)c1=r12-OP2),(對(duì)于小圓)UP?PV是定值(記為c2由此可知y是定值.由此得到UV上式右邊是y的單調(diào)減函數(shù),因此當(dāng)且僅當(dāng)UV最小時(shí),y最大.依例2.3,當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線與OP垂直時(shí)被圓環(huán)截得的線段最長(zhǎng).例2.6兩定圓⊙O,⊙P相交于點(diǎn)A,B,解所作直線與每個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn),A是其中之一,因?yàn)橐笞畲笾?所以圖2.14中的線段MN(與兩圓的另一交點(diǎn)在A同側(cè))應(yīng)予排除,只需考慮圖2.15的情形(與兩圓的另一交點(diǎn)在A兩側(cè)圖2.15解法1過(guò)點(diǎn)A作兩圓的截線MN,過(guò)點(diǎn)O,P分離作MN的垂線,過(guò)點(diǎn)P作PQ平行于MN((MN其中θ=∠OPQ(MN與連心線OP的夾角).因?yàn)棣取蔥0,π/2),所以當(dāng)θ=0,即截線解法2過(guò)點(diǎn)A作兩圓的截線MN與AB垂直,并且任作另一條截線M'N'(圖2.16).由圓周角定理可知△BMN與MN因?yàn)椤螹AB是直角,所以BM是⊙O的直徑,若M'N'不與AB垂直、則BM'<BM,從而M'N'<MN.千是當(dāng)解法3過(guò)點(diǎn)A作兩圓的隨意截線MN,銜接MB,NB(圖2.17).那么∠M=α,∠N=β都是定值.AN所以AN圖2.16圖2.17類似地,由△ABMAM于是MN==(cot?=(cot?β因?yàn)棣?β是定值,所以當(dāng)?=π/2,即截線MN與AB垂直(也就是MN與連心線OP2.4關(guān)于三角形的面積、周長(zhǎng)和邊長(zhǎng)等的極值問(wèn)題例2.7求周長(zhǎng)固定的面積最大的三角形解這個(gè)問(wèn)題意味著要求在由周長(zhǎng)為常數(shù)l的三角形組成的集合中找出一個(gè)成員(即三角形),使得它的面積最大解法1用a,b,c表示三角形的三條邊長(zhǎng),令s=(a+b+c)/2=l/2Δ(的最大值.我們只需考慮f的最大值.因?yàn)?(是常數(shù),所以由算術(shù)一幾何平均不等式得到f當(dāng)且僅當(dāng)2(s-a)=2(s-b)=2(s-c),解法2(i)設(shè)△ABC是所求的三角形,其周長(zhǎng)AB+BC+CA=l,面積等于S0用反證法.設(shè)AB≠AC.以BC為底邊作△A0BC,使得點(diǎn)A0,A在BC同側(cè),并且A0B=A0C=(l-圖2.18情形1設(shè)△A0BC的面積等于S0.那么它與△ABC有相等的面積和公共底邊BC,因而兩者在BC邊上的高相等.過(guò)A0作直線e平行于BC,那么點(diǎn)A落在直線e上(軌跡(4)),并且不與A0重合.作B關(guān)于e的對(duì)稱點(diǎn)B'.那么∠1=∠2=∠AAB+因此△ABC的周長(zhǎng)大于△A0BC的周長(zhǎng)情形2設(shè)△A0BC的面積小于S0.那么點(diǎn)A與BC的距離大于點(diǎn)A0與BC的距離,因此點(diǎn)A位于直線e的上方.倘若B,A0,A共線(圖2.19),那么顯然AB+AC>A0B+A0C,從而△ABC的周長(zhǎng)大于△A0BC的周長(zhǎng)(=l),得到矛盾.倘若B,A0,A不共線,圖2.19圖2.20(ii)依步驟(i)中的斷言還可推出BC=CA(視AB為底邊),因此,若△ABC是所求的三角形,那么它一定是周長(zhǎng)為l的正三角形.因?yàn)橹荛L(zhǎng)為l的正三角形確實(shí)屬于我們所考察的三角形集合,因Δ注上面解法2步驟(i)中的斷言也可用下列主意證實(shí):令F是周長(zhǎng)為l的三角形組成的集合,設(shè)△ABC是集合F中面積最大的三角形,固定BC.令F'是周長(zhǎng)為l并且一條邊長(zhǎng)等于角形的集合.那么F'?F,并且△ABC也是集合F'的一個(gè)成員，于是也是F'中面積最大的三角形.F'的任何一個(gè)成員(不妨記為△PBC)的頂點(diǎn)P與點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離之和等于l-BC(是定值),因此點(diǎn)P位于一個(gè)以B,C為焦點(diǎn)的橢圓上(軌跡(7)).當(dāng)頂點(diǎn)P位于橢圓的最高點(diǎn)時(shí),△例2.8設(shè)△ABC的面積保持不變,何時(shí)其周長(zhǎng)最小(并加以證實(shí)解解法1設(shè)三角形三邊長(zhǎng)為a,b,c,用sS固定.為了得到它的上界(它與s有關(guān),從而由此得到s的下界),應(yīng)用算術(shù)-幾何平均不等式.因?yàn)?等式成立的條件)s惟獨(dú)零解,所以通常主意失效.我們引人待定常數(shù)k,考虛k此時(shí)ks+(s-a)+(ks解出a=b=c=(1-k)s,可見(jiàn)k應(yīng)3(1-k)s=2s30由此求出常數(shù)k=1/3.于是由算術(shù)-kS=\frac{s{4}}{3{4}},]s當(dāng)且僅當(dāng)初a=b=cl因此邊長(zhǎng)為(2427解法2令F是面積為S的三角形組成的集合,設(shè)△ABC是集合F中周長(zhǎng)最小的三角形.固定BC(記其長(zhǎng)為a).令F'是面積為S并且一條邊長(zhǎng)等于BC的三角形的集合.那么F'?F,并且△ABC也是集合F'F'的任何一個(gè)成員(不妨記為△PBC)在公共底邊BC上的高相等,所以頂點(diǎn)P位于與BC平行且距離為2S/a的直線e上(固然,這樣的直線e有兩條,但它們產(chǎn)生的三角形集合是一樣的).類似于例2.7的解法2(圖2.18)可以證實(shí):當(dāng)初PB=PC,△PBC周長(zhǎng)最小,三角形.因?yàn)槊娣e為S的正三角形確實(shí)是F的成員,所以它就是所求的三角形.由S=(3/4)a例2.9已知三角形的一個(gè)頂角以及構(gòu)成頂角的兩條邊長(zhǎng)之和保持為定值,求其底邊長(zhǎng)的最小值(并證實(shí))解解法1記△ABC的三邊BC=a,AC=b,AB=a因?yàn)?,l是定值,所以當(dāng)b-l/2=0,即b=c=l/2(等婹三角形)時(shí),第三邊(a2=l,^{2}-2bc(1+\cos\phi),]應(yīng)用bc?(b+c)/2=l/2解法2設(shè)△A0BC符合要求條件,即∠BA0C=?,A0B+A0C=l.再設(shè)A0B=A0C=l/2(圖2.21),將BA首先,設(shè)△1是隨意一個(gè)符合要求條件的三角形,它的一個(gè)頂角等于?,其兩邊之和等于l,但其中一條長(zhǎng)度c'>l/2(固然c'<l,于是另一條長(zhǎng)度b'=l-c'<l/2.在線段BD上取點(diǎn)A1,使得BA1=c',那么BA0<BAA于是△A1BC1全等于△1,從而B(niǎo)C1等于△1的第三邊(底邊),第二,設(shè)△2是隨意另一個(gè)符合要求的條件的三角形,它的一個(gè)頂角等于?,其兩邊之和等于l,但其中一條長(zhǎng)度c''<l/2,于是另一條長(zhǎng)度b''=l-c''>l/2(固然b''<l,那么可以類似地構(gòu)造△A2BC2,如圖2.21所示,其中BC2等于△2的第三邊(底邊).斜線,BC是t解解法1考慮隨意一個(gè)三角形ABC,其頂角∠A=2α及底邊BC上的高AI=h都是定值,但AB≠AC.再設(shè)△A0B0C0是等腰三角形,∠A0=2α,底邊如圖2.22(a)所示,若固定線段BC,則點(diǎn)A位于以BC為弦并且含角為2α的弓形弧上(軌跡(6)).取弓形弧的最高點(diǎn)A',因?yàn)锳B≠AC,所以點(diǎn)A'與A互異,于是A'到BC的距離A'P大于△ABC的高h(yuǎn).因?yàn)椤鰽'BC和△A0B0C0是頂角相等的等腰三角形,并且兩者的高AP>A0I0(=圖2.22S△于是上述結(jié)論得證解法2以幾何主意為主,需區(qū)別兩種情形研究.情形1設(shè)∠B和∠C都是銳角.代數(shù)主意(圖2.23)記∠BAI=β,∠CAI=γ,那么β≠γAB以及A圖2.23于是S因?yàn)閔2sin?2α2cos?β所以當(dāng)γ=β(即等腰三角形的情形)時(shí),三角形面積最小S這也可直接由等腰三角形A0S幾何主意(圖2.24)不妨認(rèn)為∠BAI<α,那么∠CAI>α.因?yàn)楦逜0I0與AI相等,所以可以移動(dòng)△A0B0C0,使得A0I0與AI重合,直線B0C0與直線BC∠圖2.24從而AC>AB,于是可在線段AC上取點(diǎn)D使得AD=∠=∠以及AB'=AC',因?yàn)橥瞥觥鰽BB'?△AC'D,S>因此等腰△A0情形2設(shè)∠C是鈍角.此時(shí)代數(shù)主意失效,下面只給出幾何如圖2.25(a)所示,設(shè)AE是△ABC的頂角A的角平分線,AI是邊BC上的高.在BC延伸線上取點(diǎn)D和F,使得CI=ID,DF=EC.那么△AEC?△AFD,因此△ABD和△AEF的S由此推出S兩邊同加S(△AECS圖2.25現(xiàn)將△AEC和△ADF沿相等的兩邊AC,AD拼接,如圖2.25AC所以可將△A0B0C0(圖S由此及式(2.10.1)得到S(△ABC)>注在情形2的推理中也可不應(yīng)用情形1的結(jié)論.因?yàn)锳E平分∠BAC,所以BE:EC=AB:AC.又因?yàn)椤螦CB是鈍角,S從而得到式(2.10.1).例2.11設(shè)矩形KLMN含在△ABC中,其中∠B和∠C是銳角,K,N是邊BC的內(nèi)點(diǎn).證實(shí):若KLMN具有最大面積,則L證實(shí)證法1顯然,為了KLMN有盡可能大的面積,L,M應(yīng)該分離是AB,AC的內(nèi)點(diǎn)(圖2.26).設(shè)BC=a,MN=x,作邊BC上的高于是內(nèi)接矩形KLMN的面積S因?yàn)閍,h是定值f的最大值.上式是x的二次三項(xiàng)式,可知當(dāng)初x=h/2,f取得最大值,從而推出題中的結(jié)論(也可應(yīng)用算術(shù)圖2206證法2設(shè)PQSR是隨意一個(gè)內(nèi)接矩形,頂點(diǎn)P,Q分離在邊AB,AC上PQ將二式相乘,得到PQ其中PQ?PR=S(S注重BC?AH及AB2都是定值,所以只需求乘積AP?BP的最大值.因?yàn)锳P+BP=AB是定值,所以當(dāng)例2.12求內(nèi)切圓半徑r為定值的直角三角形面積的最小值.解解法1如圖2.27所示,設(shè)內(nèi)切圓與三角形三邊的切點(diǎn)分離為D,E,F.記AD=AE=x,BD2圖2.27后一式是根據(jù)下列面積關(guān)系推出的S=由上述關(guān)系式得到x因此x,z的兩個(gè)實(shí)根,從而方程的判別式S由此推出或者S?(3+22)rS<r2,將此S值代人二次方程,方程有形式z因此對(duì)應(yīng)的x=y=(1+解法2記三角形三邊為BC=a,AC=b,AB=cS因?yàn)閍+=(2+\sqrt{2})\sqrt{ab}=(2+\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}\sqrt{S},]所以S從而S?(2+1)2r2,由此推出Smin=(3+22)r22.5與橢圓有關(guān)的一些極值問(wèn)題例2.13設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸和半短軸分離為a,(1)設(shè)其內(nèi)接矩形的兩條邊分離平行于橢圓的長(zhǎng)軸和短軸.決定面積最大的內(nèi)接矩形的位置(并證實(shí))(2)求其內(nèi)接三角形面積的最大值(3)求其內(nèi)接四邊形面積的最大值.解在直角坐標(biāo)系下,梢圓方程為x(1)解法1設(shè)矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)是Ax0,y0,B-xS為求其最大值,考慮S因?yàn)橛煞匠?2.13.1)可知b2x02+aS其中當(dāng)b2x02=a2y02=b2x或者:因?yàn)橛蓹E圓方程可知y02S2平面兒伿極值問(wèn)題解法2設(shè)內(nèi)接矩形在第一象限中的頂點(diǎn)是A(x,y),S因此當(dāng)初2θ=π/2,S取最大值解法3設(shè)內(nèi)接矩形在第一象限中的頂點(diǎn)是A(x橢圓(2.13.1)變?yōu)閳Ax橢圓內(nèi)接矩形(面積為4xy)變?yōu)榇藞A的內(nèi)接矩形(其兩邊分離平行于坐標(biāo)軸).并且頂點(diǎn)A(x,y)變?yōu)辄c(diǎn)x于是S由例1.3可知圓的內(nèi)接矩形為正方形時(shí)面積最大,此時(shí)頂點(diǎn)A'x',y'的兩個(gè)坐標(biāo)相等,即x'=y';并且由方程(2.13.3)可知橢圓內(nèi)接矩形長(zhǎng)短邊之比等于a:b)時(shí),SS(2)設(shè)梢圓內(nèi)接三角形的面積是S,頂點(diǎn)是Ax1,y1,Bx2,y2和Cx3,S于是S因?yàn)榘霃綖閞的圓的內(nèi)接三角形以正三角形面積最大(此最大面積等于(33/4)r2S3. 類似于本題(2).在變換(2.13.2)下橢圓(2.13.1)的內(nèi)接四邊形變換為圓(2.13.3)的內(nèi)接四邊形.后者以邊長(zhǎng)為2a的正方形的面積最大(見(jiàn)練習(xí)題1.7(2)于是由變換(2.13.4)得到糊圓(2.13.1)的內(nèi)接矩形,邊長(zhǎng)為2a和(b/注可以證實(shí):若梢圓(2.13.1)包含的矩形的兩邊不分離平行于橢圓的兩軸,則其面積不可能達(dá)到最大值2ab,因此實(shí)際上本題(1)中關(guān)于內(nèi)接矩形兩邊分離例2.14給定梢圓x2/4+y2=1,以及一個(gè)中央位于點(diǎn)(1,0)解圓的方程是(設(shè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)是Px0,x消去y0,為此由上述第一個(gè)方程解出yr又由橢圓方程可知它的定義域是-2?r0?2.因此當(dāng)初x0=4/3∈[-2,2],rmin=2/3=6/3,并且y0=±5/3r可知當(dāng)初x0=-2,rmax=3,并且y0=0.依rmax練習(xí)題22.1(1)設(shè)P是⊙O外的一個(gè)定點(diǎn).求點(diǎn)P(2)設(shè)⊙O1和⊙O2是兩個(gè)互相外離的圓,P1和P2分離是⊙O(3)設(shè)⊙O內(nèi)含于⊙O1,但二圓不是同心圓,求⊙O1上的點(diǎn)S和S1,使得由點(diǎn)S所作的2.2(1)設(shè)A,B是定圓O外兩個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)P在圓(周)上移動(dòng).分離決定點(diǎn)P的位置,使得(2)設(shè)M,N是定圓O的弦AB的延伸線上兩個(gè)定點(diǎn)(羅列順序是A,O,B,M,2.3(1)設(shè)M,N是直線l同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)P在l上移動(dòng)決定點(diǎn)P的位置,使得(2)給定△ABC.在∠A的平分線上分離求點(diǎn)P和Q,分離使得|∠PBA(3)給定△ABC.在∠A的平分線AD(此處D是角平分線與⊙P交于點(diǎn)M和N(點(diǎn)A位于點(diǎn)M,N(5)兩個(gè)互相外切的⊙O和⊙P位于單位正方形ABCD內(nèi),并且⊙O與邊AB,AD相切,⊙2.10(1)已知三角形的一個(gè)頂角以及它的兩條邊長(zhǎng)之和保持為定值,求其面積的最大值.(2)求內(nèi)角和周長(zhǎng)一定的平行四邊形的面積的最大值.(3)過(guò)正方形ABCD的邊AB上隨意一點(diǎn)P作正方形的兩條對(duì)角線的平行線,分離交BC,AD于點(diǎn)Q,R.求點(diǎn)(4)過(guò)△ABC的邊BC上隨意一點(diǎn)P作另兩邊的平行線,分離交AC,AB于點(diǎn)Q,R.求點(diǎn)P的位置,使得△PQR有最大面積.(5)過(guò)銳角△ABC的邊BC上隨意一點(diǎn)P作另兩邊的垂線,分離交AC(6)過(guò)平行四邊形ABCD的邊AB上隨意一點(diǎn)P作平行四邊形的兩條對(duì)角線的平行線，分離交BC,AD于點(diǎn)Q,R.求點(diǎn)2.11(1)設(shè)三角形底邊長(zhǎng)為a,另兩邊之和為e,求底邊中線的最小長(zhǎng)度和三角形的最大面積.(2)設(shè)△ABC的頂角A(3)設(shè)三角形的一個(gè)頂角及其對(duì)邊(底邊)上的高一定,求底邊長(zhǎng)度的最小值.別交于點(diǎn)M,N,求2.18(1)求斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形的內(nèi)切圓半徑的最大值(2)設(shè)R和r分離是直角三角形的內(nèi)切圓和外接圓的半徑,求/R2.19對(duì)于△ABC內(nèi)部的隨意一點(diǎn)O,用da,db,dc的面和最大的直角三角形2.13(1)四邊形ABCD內(nèi)接于單位圓,AB=1,(2)凸四邊形ABCD的邊AB=3,并且位置固定,另外兩移動(dòng)的終保持BC=CD=DA=1,設(shè)△ABD和△BCD的面積分離為S1和S2.求S12+S22的最大值.2.14(1)設(shè)橢圓(2)設(shè)內(nèi)接于橢圓的梯形以橢圓長(zhǎng)軸為一底,求其面積的最大值2.15設(shè)梢圓x2/a2+y2/b2.16(1)線段AB=a,在AB上取點(diǎn)C,分離以AC和CB為一邊作一個(gè)正三角形和一個(gè)正方形,求點(diǎn)(2)線段AB=a,在AB上取點(diǎn)C,分離以AC,CB以及AB為直徑向2.17設(shè)C是直角△ABC的直角頂點(diǎn),D是斜邊上的高的垂足.過(guò)點(diǎn)D在DC兩側(cè)分離作射線與DC成等角,與CA(3)設(shè)P是⊙O(4)設(shè)⊙O和⊙P交于點(diǎn)A,B,直線l過(guò)點(diǎn)A,3立體幾何極值問(wèn)題3.1空間圖形的極值性質(zhì)平面點(diǎn)的軌跡可以擴(kuò)充為空間點(diǎn)的軌跡,例如,作為平面點(diǎn)的軌跡之一的線段垂直平分線,擴(kuò)充到空間情形,就是:與空間兩定點(diǎn)(點(diǎn)P和Q)距離相等的點(diǎn)的軌跡是銜接兩定點(diǎn)所得線段PQ的垂直平分面(即過(guò)線段PQ的中點(diǎn)并且垂直于PQ的平面α).由此可推出下列極值性質(zhì):(1)空間兩點(diǎn)P,Q的連線的垂直平分面α上的任一點(diǎn)都與P,Q等距離,任何位于α的含P的一側(cè)的點(diǎn)S(不在α上)滿意SP<SQ,位于α的含Q的一側(cè)的點(diǎn)T與空間中一條定直線的距離保持定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以此直線為軸的圓柱面,其母線是半徑為定長(zhǎng)的圓.由此可推出下列極值性質(zhì):(2)圓柱面上各點(diǎn)與它的軸的距離相等(是定長(zhǎng)),圓柱外的點(diǎn)與軸的距離大于定長(zhǎng),圓柱內(nèi)的點(diǎn)與軸的距離小于定長(zhǎng).我們?cè)诖酥涣谐鱿铝辛硗庖恍┏Ｒ?jiàn)的空間圖形極值性質(zhì):(3)平面外一點(diǎn)與平面上各點(diǎn)間的距離,以由這點(diǎn)所作的平面的垂線段最短.(4)分離位于兩條異面直線上的兩點(diǎn)之間的距離,以兩條異面直線的公垂線段最短(5)分離位于兩個(gè)互相平行的平面上的兩點(diǎn)之間的距離,以兩平行平面間的距離最短.(6)二面角(設(shè)不超過(guò)π/2)任一面上任向來(lái)(7)球(面)上隨意兩點(diǎn)間的距離不超過(guò)球的直徑3.2與異面直線有關(guān)的一些極值問(wèn)題例3.1設(shè)a,b是兩條異面直線,M,N是直線a上兩個(gè)定點(diǎn),T是直線b上的圖3.1解設(shè)T是直線b上隨意一點(diǎn).因?yàn)楫?dāng)頂點(diǎn)T在直線b上變動(dòng)時(shí),△TMN的底邊MN不變,所以只需考慮何時(shí)底邊上的高TH最小.又因?yàn)榉蛛x位于兩條異面直線上的兩點(diǎn)之間距離的最小值由兩條異面直線的公垂線段給出,所以若T0是a,b的公垂線段位于注若a,b是異面直線,直線l與a,b分離垂直相交,交點(diǎn)分離是S,T,則(i)過(guò)直線a作平面α與直線b平行(為此過(guò)a上隨意一點(diǎn)作直線b1平行于b,因?yàn)閍,b是異面直線,所以a,b(ii)過(guò)直線b作平面β與平面α垂直(為此過(guò)b上隨意一點(diǎn)作直線b2垂直于α,因?yàn)閎2是唯一的,并且b,b2(iii)設(shè)α,β的交線是b',那么b'平行于b.因?yàn)閍,b是異面直線,所以a,b'相交;設(shè)交點(diǎn)是S(唯一).在平面β上過(guò)點(diǎn)S作直線l垂直于b',交b于點(diǎn)T.那么ST同時(shí)垂直于a,b,并且唯一決定.為證實(shí)ST的極小性,在a,b上分離任取點(diǎn)A,B,在β上過(guò)點(diǎn)B例3.2已知立方體ABCD-A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為a.若點(diǎn)M和N分離在直線AA解(i)如圖3.3所示.因?yàn)锳A',BC,C'D'是異面直線,所以對(duì)于線段MN,端點(diǎn)M3.3設(shè)直線MN和C'D'交于點(diǎn)L,那么它們決定一個(gè)平面,記作α(圖3.3中末標(biāo)此平面).因?yàn)榱⒎襟w的面BCC'B'和AD未畫(huà)出這兩條交線),從而C又因?yàn)榱⒎襟w的面A'B'C與它們的交線A'L和NL于是C設(shè)AM=z,則C類似地,立方體的面DCC'D'和ABB'ANL又因?yàn)镃L'與BA于是NL設(shè)BN=x,則NL由式(3.2.1)～式(3.2.3)推出a由此x,zxz(ii)現(xiàn)在建立(空間)坐標(biāo)系,如圖3.3所示,那么點(diǎn)M和N的坐標(biāo)分離是(0,a,zM注重由xz=(x+z)a可知(M從而(MN)min=3a,并且當(dāng)初x=z達(dá)到最小值;進(jìn)而言之,由xz=(x+z3.3與視角有關(guān)的一些空間極值問(wèn)題例3.3設(shè)直線l垂直于平面α,點(diǎn)O是垂足.再設(shè)M,N是l上兩個(gè)定點(diǎn)(位于(1)證實(shí):平面α上每個(gè)以O(shè)為圓心、r(>0)為半徑的圓(周)上的點(diǎn)對(duì)于MN有相同的視角(記作θ(2)求平面α上對(duì)于線段MN視角最大的點(diǎn)及最大視角θ(3)證實(shí):若r>r0,則θ(r)是r的單調(diào)減函數(shù);若隨意一點(diǎn).當(dāng)線段OS在α上繞O旋轉(zhuǎn)一周時(shí),對(duì)于S的每個(gè)位置,∠MSN保持不變,所以得到結(jié)論.異常地,令r=OS,則視角θ(2)解法1設(shè)直線s是平面α上過(guò)點(diǎn)O的隨意直線,只需求直線s上對(duì)于線段MN視角最大的點(diǎn)(圖3.5).圖3.5在s,l決定的平面上,作圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,N并且與直線s相切,這樣的圓有兩個(gè),關(guān)于直線l對(duì)稱.設(shè)⊙U是其中之一,相應(yīng)的切點(diǎn)是S0,設(shè)它關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)是S0'.那么它們對(duì)于MN的視角相等(并且在同一個(gè)以O(shè)為圓心的圓上).由2.1節(jié)注1可知,在直線s的各點(diǎn)中,以點(diǎn)O由圓周角與同弧所對(duì)圓心角的關(guān)系,可知最大視角θ0=∠MS0N等于圓心角∠MUN的一半.因?yàn)閁S0θ此外,也可用下面的主意算出最大視角θ直線s上其他各點(diǎn)對(duì)于MN的視角都小于∠MS0N=θ0.并且它們與O的距離或大于、或小于r0=ab,于是依本題(1)可知,平面α上對(duì)于MN的視角最大的點(diǎn)形成一個(gè)以O(shè)為圓心r0=ab為半徑的圓,最大視角θ0=arctan?(a-b)/(2ab)θ=arctan?于是]其中r∈(0,+∞).因此r滿意二次方(tan?因?yàn)榉匠逃袑?shí)根,所以判別式非負(fù),即(a0?tan?即當(dāng)初r∈(0,+∞),tan?θ有最大值(aθ將tan?θ0=(a-b)/(2ab)tan?因?yàn)閞當(dāng)且僅當(dāng)初r=ab/r等式成立,所以當(dāng)點(diǎn)S與點(diǎn)O的距離OS=ab時(shí),θ令r0tan?因此,當(dāng)r>r0=ab或r<r0=ab時(shí),總有tan?θ(3)證法1可模仿題(2)的解法4舉行.例如,當(dāng)初r1>rtan?所以θ1<證法2用幾何主意(圖3.6).設(shè)r1>r2>r0=ab,記θ1=θr1OS所以M,N,S1,S2不可能共⊙V.設(shè)⊙V與直線s的另一個(gè)交點(diǎn)是S',則OS2?OS'=OM?ON=ab.因?yàn)镺S2>r圖3.6注上面給出一種幾何解法和三種代數(shù)解法,它們都是初等主意.固然,得到式(3.3.1)后也可對(duì)f(r)=(例3.4設(shè)直線l垂直于平面α,M,N是l上兩個(gè)定點(diǎn)(位于α同側(cè)),e是平面α上一條給定直線.求直線解解法1保留例3.3中a,b,θ0的意義.在平面α上過(guò)點(diǎn)O作直線e的垂線,設(shè)垂足是T0(圖3.7).倘若OT0<ab,那么直線e與例3.3中決定的圓相交;兩個(gè)交點(diǎn)對(duì)于MN的視角最大.倘若倘若OT0>ab,那么直線e與例3.3中決定的圓無(wú)公共點(diǎn),此時(shí)依θ0的定義,直線e上任何點(diǎn)對(duì)于MN記OT0=x0,∠MT0?因?yàn)閤0>ab,并且對(duì)于e上任何異于T0的點(diǎn)T(記OT=x,滿意x>x0>ab,所以依例3.3(3)可知,T對(duì)于MN的視角?(xtan?圖3.8若記T0x當(dāng)?無(wú)限臨近于零時(shí),x也無(wú)限臨近于零,這與實(shí)際不符(圖3.7).因此得到x由此可知x是?的單調(diào)減函數(shù).因?yàn)閤的值域是x0,+∞,?是銳角,因此當(dāng)x=x0?0u>u_{0},\quadv>v_{0},\quadu_{0}>v_{0},\quadu>v]固然cos?但這些關(guān)系推不出?0此外,因?yàn)椤鱉NT0與△注1上述解法1是純代數(shù)解法.解法2實(shí)際上用到一點(diǎn)極限概念(即判斷雙重符號(hào)中不能選負(fù)號(hào))注2對(duì)于OT0>ab的情形,也可以直接應(yīng)用例3.3第(2)題中解法4的主意.此時(shí),對(duì)于e上的點(diǎn)T0,以及e上隨意一個(gè)異于T0的點(diǎn)tan?從而推出?0T0<OT,所以前者的面積SS但這些關(guān)系也推不出?例3.5設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1,線段PQ平行于邊BC頂點(diǎn)A與PQ的距離為h,如圖3.9(a)所示.將△APQ所在的平面以PQ為折嫏折疊,使得與原三角形所在平面垂直,如圖3.9(b)所示.求h的值,使得空間中點(diǎn)A對(duì)于線段BC的視角最大,并求此最大解(i)由圖3.9(a)容易證實(shí)OB=OCPQOH=BH=OB冬39(ii)在圖3.9(b)中,因?yàn)槠矫鍭PQ垂直于平面PQCB,直線AO垂直于PQ,所以AO垂直于平面PQCB,于是兩個(gè)直角三角形AOB和AOC全等,從而AB=cos?∠由余弦函數(shù)在區(qū)間(0,π)上的單調(diào)減少性可知,當(dāng)AB的長(zhǎng)度最小時(shí),∠BAC最大.(iii)求(AB)min.由直角三角形AOB可知A(iv)由步聚(ii)和(iii)推出,當(dāng)初h=3/4,cos?∠BAC取得最小值1/5,由此可知點(diǎn)A對(duì)于3.4關(guān)于立體截面的極值問(wèn)題例3.6設(shè)I-MNK是底面為△MNK的三棱雉,其側(cè)面△INK是銳角三角形.求錐體經(jīng)過(guò)MN的面積最小的截面三角形,解解法1過(guò)MN作平面α與直線IK垂直,設(shè)交點(diǎn)是T0(圖3.10).那么NT0是△INK的高.因?yàn)橐阎鱅NK是銳角三角形,所以T0在線段IK上.類似于例1.2可以立體幾何極值問(wèn)題3.10).同解法1可知T0在線段IK上,因此△T0MN是三棱錐的一個(gè)截面.過(guò)點(diǎn)T0作△T0MN的底邊MN上的高T0H.因?yàn)镮K垂直于截面T0MN,所以T0例3.7設(shè)I-MNK是底面為△MNK的三棱錐,其側(cè)面△INK是鈍角三角形(∠NKI是鈍角).用S表示三棱維過(guò)MN的截面的集合,即△TMN(其中T是線段IK上的隨意點(diǎn))的集合.令解過(guò)MN作平面α與直線IK垂直,設(shè)交點(diǎn)是L,那么NL與IK垂直(圖3.11).因?yàn)閭?cè)面△INK是鈍角三角形,所以L在線段IK的延伸線上.因此棱雉過(guò)MN任何截面三角形在α上的(正)投影都是△MNL.倘若截面三角形與平面α的夾角是θ(參見(jiàn)例1.2的注1).設(shè)三棱雉的界面KMN及IMN與平面α圖3.11的夾角分離為θ1和θ2,那么θ∈θ1maxΔ∈例3.8求三棱錐的平行于兩條異面的棱的截面面積的最大值解如圖3.12所示,截面平行于棱AC和BD,因此它與棱錐面ABC及ACD的交線KL,NM互相平行(都平行于AC),與棱錐面ABD及CBD的交線KN,LM互相平行(都平行于S其中α是KN與KL的夾角∠NKL,也等于異面直線AC和BD間的夾角,從而是一個(gè)常數(shù).因此問(wèn)題歸結(jié)為求KN令A(yù)K=x,那么由△ABD于是類似地,由△BKL即BK于是AB因此得到KLKN因?yàn)锳C?BD/AB2是常數(shù),所以只需求x(AB-x)的最大值應(yīng)用二次三項(xiàng)式的極值公式或算術(shù)一幾何平均不等式，可知當(dāng)x=S例3.9邊長(zhǎng)為a的立方體的一個(gè)截平面通過(guò)它的一條對(duì)角線,求截面面積的最小值.解解法1設(shè)截平面過(guò)對(duì)角線BD',分離交棱AA'和CC'于點(diǎn)E在棱CC'上,而且CC設(shè)O和M分離是對(duì)角線BD'和棱CC'的中點(diǎn)(圖3.13(b)).那么由△CBM與△C'D'M全等可知MB=MD',于是OM與BD'垂直.類似地,由CO=C'O(這里O是立方體的中央O于是可推出MOOOM此外還有B因此截面面積的最小值S解法2應(yīng)用下列輔助命題設(shè)空間中一個(gè)平面多邊形的面積是S,多邊形在兩兩互相金直的三個(gè)平面上的投影圖形的面積分離是S1,S2,四邊形BED'F在三個(gè)界面A'B'C'(a)(b)(c)S1于是依輔助命題得(SS因此當(dāng)x=a/2即F是棱CC'S于是S只需證實(shí)cos2如圖3.15(a)所示,兩兩互相垂直的三個(gè)平面形成一個(gè)頂點(diǎn)為O的三面角.設(shè)多邊形S所在平面ABC與三個(gè)投影平面的交線分離是AB,BC,CA,作射線OM與平面ABC垂直.因?yàn)镺C垂直于平面OAB,所以O(shè)M與OC間的夾角等于平面ABC和平面OAB的夾角,于是∠COM=α.類似地,∠cos?圖3.15于是cos由勾股定理可知O因此cos輔助命題得證.3.5與體積和表面積等有關(guān)的極值問(wèn)題例3.10證實(shí):共一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)之和為定值的長(zhǎng)方體中,立方體的體積最大,表面積最小,證實(shí)設(shè)三條棱長(zhǎng)為a,b,V因此當(dāng)a=b=表面積S=2(因此當(dāng)ab=bc極值.解設(shè)長(zhǎng)方體體積為定值(i)棱長(zhǎng)之和L因此當(dāng)a=b=考慮棱長(zhǎng)為ε3V,3V4當(dāng)ε>0取隨意大的值時(shí),上式的值也取得隨意大,可見(jiàn)L(ii)表面積S因此當(dāng)ab=bc=步驟(i)中的例子表明Smax不存在錐的截面,當(dāng)圓錐的高與截面之間的夾角為何值時(shí),以圓雉底面中央及截面的各個(gè)頂點(diǎn)一起作為頂點(diǎn)的多面體的體積最大?解如圖3.16所示,截面是△TDC,將圓錐的高TO與截面之間的夾角記為?.那么四面體TOCDV=圓錐的軸截面是等腰三角形TAB,其底角等于圓錐母線與底面的夾角α,底邊長(zhǎng)為2r,可見(jiàn)TO=r首先計(jì)算S(△圖3.16圖3.17因?yàn)樵谥苯侨切蜹EO中,∠ETOEO又由△ODCDC于是得到S(△f并且當(dāng)且僅當(dāng)tan2tan時(shí)等式成立,所以當(dāng)(注重0<?tan?時(shí),達(dá)到fmax=1/2,此時(shí)S△ODC)最大(最大值等于VV(計(jì)算細(xì)節(jié)由讀者補(bǔ)出)題設(shè)S為定值,所以問(wèn)題日結(jié)為在約束條倠r下求f(r,r即hf(單變量r的函數(shù)).令g(r)=2r2a-2r2,因?yàn)閞=a/2)時(shí),V取最大值.由a例3.13求全表面積固定(等于S)的正n棱雉的休和的最大值(通過(guò)S表示這個(gè)最大值)解設(shè)棱錐的高為h,底面內(nèi)切圓的半徑(即底面正多邊形中央與各邊的距離)為r,那么?錐的全面積SV所以最得S所以總算得到V3.14如圖3.18所示,OXYYZ是個(gè)二西角,房的二個(gè)四角都是直角.M是角內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作平面從三面角中截得一個(gè)四面體OABC.證實(shí):當(dāng)M是截面三角形ABC的重心時(shí),截出的四面體體積最小證實(shí)(i)記OA=a,OB=b,OC=c.設(shè)點(diǎn)V=13131于是可見(jiàn)問(wèn)題歸結(jié)為在上式的約束下求a,b,c>0ζ時(shí),乘積ζ取得最大值1/27,從而abc取得最小值27ξηζ.因此V(ii)現(xiàn)在證實(shí):極值條件式(3.14.1)等價(jià)于M是極值截面三角形ABC的重心(圖3.19).圖3.19首先設(shè)式(3.14.1)成立.設(shè)CM交AB于點(diǎn)F.由題設(shè)可知CO垂直于平面OAB,所以平面CFO也垂直于平面OAB,并且兩者的交線是OF.在平面CFO中作MM'⊥OF(點(diǎn)M'是垂足),那么MM'垂直于平面OAB,因而MM'給出點(diǎn)M與平面OABMF同樣的推理可以證實(shí):若D是直線AM與CB的交點(diǎn),E是直線BM與CA的交點(diǎn),則式(3.14.1)蘊(yùn)含MD第二,考察△ABC圖3.20根據(jù)上述線段比值和面積比較定理,有S(△所以S同樣的推理得到S(△SS這蘊(yùn)合=FB可見(jiàn)F是邊AB的中點(diǎn).類似地,可知D,E分離是BC,AC的中點(diǎn).因此點(diǎn)現(xiàn)在反過(guò)來(lái)證實(shí):若截面三角形ABC以M為重心,那么條件式(3.14.1)成立.事實(shí)上,設(shè)CM交AB于點(diǎn)F,那么F是△ABC的邊AB的中點(diǎn).類似于上面的推理,可知平面CFO垂直于平面OAB.因而若在平面CFO中作MM'⊥OF(點(diǎn)M'是垂足),那么MMM即ζ同理可證η因此條件式(3.14.1)確實(shí)成立.利3.15一個(gè)長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，對(duì)角線長(zhǎng)為11,全而積為14,問(wèn):當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí),長(zhǎng)方體體積最大?并求此最大值.解設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分離為x,y,x22(xyx,因?yàn)?(xy所以(x于是y進(jìn)而得到y(tǒng)z依二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,以上兩式表明y,z是t的兩個(gè)正實(shí)根.由此推出這個(gè)二次方程的判別式非負(fù),一次項(xiàng)系數(shù)小于零,常數(shù)項(xiàng)為正數(shù),即(x圖3.22類似地,將界面正方形ABCD和DCCl若路徑與CD的交點(diǎn)是F,則FD=1/3(A圖3.2解將界面正方形AA'D'D和DD'C'l1練習(xí)題33.1正三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)M,N分除上述別位于線段BC'和CA'上,并且MN平行于面3.2已知立方體ABCD-A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為a.線段MN的端點(diǎn)M,N分離3.3如圖3.23所示,墻上掛著高為9尺(1尺≈0.33米)的一幅(矩形)畫(huà),其底部(B)距地面8尺,一個(gè)觀畫(huà)者面向這幅畫(huà),服睛(O)距地面5尺.試決定觀畫(huà)者與墻面的水平距離(OP),使得觀畫(huà)最清晰(將畫(huà)面看作長(zhǎng)9尺與地面垂直的線段3.4(1)求立方體表面上的點(diǎn),使得它對(duì)于立方體的某條對(duì)角線的視角最小(2)如圖3.24所示,求正三棱柱的棱CC'上對(duì)于棱3.5正四棱柱ABCD-3.6設(shè)點(diǎn)P在單位立方體ABCD-A'B'3.7兩個(gè)立方體各自一條棱長(zhǎng)之和為a,求使得它們的體積之和達(dá)到最小時(shí)的棱長(zhǎng).3.8空間一點(diǎn)P與邊長(zhǎng)為12的正三角形ABC所在平面的距離為8,并且與點(diǎn)A,B,C等距.點(diǎn)M在線段PB上移動(dòng),求3.9證實(shí):圓錐的內(nèi)接圓柱的最大體積是圓錐體積的4/93.10設(shè)圓錐的巍峨于底面直徑,求其內(nèi)接圓柱的全面積的最大值3.11求通過(guò)圓錐的頂點(diǎn)A所作截面面積的最大值.3.12(1)設(shè)圓柱的體積一定(即是定值).證實(shí):當(dāng)圓柱的高等于底面直徑時(shí),其全面積最小(2)設(shè)圓柱的全面積一定.證實(shí):當(dāng)圓柱的高等于底面直徑時(shí),其體積最大.3.13求球的內(nèi)接圓柱全面積的最大值.3.14(1)求球的外切圓錐側(cè)面積的最小值(2)設(shè)圓錐的母線與底面的夾角為2θ,并且有一個(gè)半徑為1的都必須經(jīng)過(guò)3個(gè)(或更多的)界面,因此不需要考慮?？傊?共有兩點(diǎn)M在棱AB上移動(dòng),求使∠A'3.18一個(gè)圓柱的側(cè)面上有一條蝶旋曲線,從底面邊緣一點(diǎn)A開(kāi)始環(huán)抱升高共n周后到達(dá)頂面邊緣一點(diǎn)A'即線段AA'恰為柱面的一條母線).設(shè)r和h分離3.19設(shè)AB是圓臺(tái)的一條母線,點(diǎn)A,B分離位于上、下底面圓周上,P是這條母線的中點(diǎn).要從點(diǎn)P出發(fā)沿圓臺(tái)表面路徑到達(dá)點(diǎn)B,但不能沿母線上的線段PB,決定最短路徑.倘若圓臺(tái)上、下底面半徑4補(bǔ)充此處補(bǔ)充一些有一定難度的或與前文類型不同的幾何極值問(wèn)題.4.1補(bǔ)充(1)例4.1在直角三角形ABC中,∠C為直角,AB=5,BC=4.分離取線段BC和AB的內(nèi)點(diǎn)M和N,使得S當(dāng)M,N分離在線段BC和AB上移動(dòng)時(shí),MN的最小值記作t0證實(shí):當(dāng)初證實(shí)證法1作NT垂直于BC(點(diǎn)T是垂足).令BM=x因?yàn)椤鱉BNμ因此BN=μM此處右邊的第二項(xiàng),當(dāng)初∠NMB?π/2,由(x-(20到(圖4.1(b)).化簡(jiǎn)后(注重cos?BM可見(jiàn)當(dāng)x即MB=x=20μ(此時(shí)NB=20μ/x=20圖4.1證法2不必區(qū)別圖4.1(a),(b)兩種情形.由勾股定理,得AC=3.記∠S(△另一方面，S由正弦定理可知(并且注重sin?BBMM只需求f=sin?f當(dāng)α=β(亦即BM=BN)時(shí),得到例4.2在∠MAN(<π)內(nèi)部給定一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線l與角的兩邊分離交于點(diǎn)B和C.求直線解解法1如圖4.2所示,設(shè)∠APB圖42BP=μ因?yàn)锳P,β,γ是定值,所以只需求f=sin?∠ABP?sin?∠ACPf因此當(dāng)∠ABP=∠ACP(即△μ解法2如圖4.3所示,過(guò)點(diǎn)P作直線l與∠A兩邊交于點(diǎn)B,C,使得AB=AC,再過(guò)點(diǎn)P作另向來(lái)線分離與∠圖4.3因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)P在∠A內(nèi)部,所以不妨設(shè)C'是線段AC的內(nèi)點(diǎn),B'在線段AB的延伸線上.點(diǎn)B此圓與C'B'的另一個(gè)公共點(diǎn)是X.因?yàn)椤螧XC'=∠BCC'(它們是同一弧BC'所對(duì)的圓周角),又由l的定義可知∠BCC'=∠ABC,所以∠BXC'=∠ABC.因?yàn)椤螦BC>∠BB'例4.3給定直線l以及直線同側(cè)兩點(diǎn)PQ.在l上取點(diǎn)M,作△PQM的高PR,QS.求點(diǎn)M解首先設(shè)∠M是銳角(圖4.4).設(shè)N是線段PQNS是定值,可見(jiàn)線段SR作為兩腰長(zhǎng)度為定值的等腰三角形NSR的底邊,其長(zhǎng)度取決于頂角∠SNR.因?yàn)樵凇鱊SP中,圖4.4類似地,由△NRQ∠若記∠SNR2==2(∠=2(π于是∠(4.3.1)這個(gè)關(guān)系式也可如下簡(jiǎn)便地導(dǎo)出:因?yàn)辄c(diǎn)P,S,R,Q共圓,圓心為PQ的中點(diǎn)N.圓心角∠SNR由弧SR度量,圓外角∠由式(4.3.1)可知,為求SR的最小值,只需求∠PMQ(當(dāng)點(diǎn)M位于直線l上時(shí))的最大值.容易證實(shí)(參見(jiàn)2.1節(jié)注1):若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,Q作圓與直線l相切,設(shè)切點(diǎn)為M,那么對(duì)于l上任何其他點(diǎn)M',總有∠PM'(=若∠M是鈍角,則可類似地研究(圖4.5),對(duì)∠PMQ應(yīng)用圓內(nèi)角定理,可知∠PMQ(圖4.5倘若∠M是直角,那么點(diǎn)R,S綜合三種情形,可知SR的最小值等于PQ|cos?∠例4.4給定邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC,K是邊BC上的隨意一點(diǎn),AK的垂直平分線分離交AB,AC于點(diǎn)M,N.求當(dāng)解解法1(i)因?yàn)椤鰽BC是正三角形(圖46),所以當(dāng)K位于點(diǎn)B或點(diǎn)C時(shí),對(duì)應(yīng)的截線分離是邊AB和AC上的高,并且二者相等(也等于BC邊上的高),長(zhǎng)度等于3a/2.若K位于BC的中點(diǎn)D時(shí),則截線MN成為△ABC的一條中位線,平行于(ii)現(xiàn)在設(shè)K是BC上隨意一點(diǎn)(但不同于點(diǎn)B,C,D),如圖4.6所示.過(guò)AK的中點(diǎn)E作其垂線,被AB,AC截得的線段是MN,過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線交AD于點(diǎn)F,則F是AD的中點(diǎn).記∠EN由此可知MN作三角恒等變換,tan?于是=因?yàn)棣取?0,3于是3PQ的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)F作MN的平行線被AB,AC截得線段UV(設(shè)UV與AK交于點(diǎn)I),那么由△AUV～△AMN可知UV<MN,因此只需證實(shí)UV>PQ.為此比較△AUV和△APQ的面積.在對(duì)于步驟(i)中的特例,對(duì)應(yīng)于θ=0和θ=π/6,顯然那些截線長(zhǎng)度也滿意解法2用純幾何主意證實(shí)上面得到的結(jié)論.類似于解法1,可以認(rèn)為K不是點(diǎn)B,C以及BC的中點(diǎn)(圖4.7).過(guò)AK的中點(diǎn)作BC的平行線以及AK的垂線,得到△ABC的中位線PQ以及截線MN.那么MN不可能平行于BC,因此不妨設(shè)點(diǎn)M位于B,P之間(即PQ下方),而點(diǎn)N位于A,Q之間(即PQ上方).此外,因?yàn)镼是AC的中點(diǎn),所以BQ是AC邊上的高.我們來(lái)證實(shí)截線長(zhǎng)不超過(guò)正三角形的高在此只需證實(shí)MN<BQ.為此過(guò)點(diǎn)N作直線平行于BQ,交BP于點(diǎn)T.那么由△ATN～△ABQ推出圖4.7下面來(lái)證實(shí)截線長(zhǎng)不短于正三角形的中位線,在此只需證實(shí)MN>PQ((?囗?(已放大的)圖4.8(b)中,PG平行于AQ,因此△PGF?△QVF,從而這兩個(gè)三角形面積相等.又因?yàn)椤蟄PF=2π/3,∠GPF=∠AQP=1因?yàn)锳I<AF,所以UV(a)圖4.8例4.5設(shè)△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形,點(diǎn)P,Q,R分離在邊BC解如圖4.9所示,設(shè)BP=x的面積σ=圖4.9依題設(shè),x+σ=故只需求f的極值.為此我們要消去一些變量(例如z),將z=f=-x因此當(dāng)x即x=y=z=a/3注本例是一個(gè)多變量極值問(wèn)題,減少變量個(gè)數(shù)(消元)是解題關(guān)鍵(例3.13是一個(gè)二變量極值問(wèn)題,利用的解法也是基于消元;還可參見(jiàn)練習(xí)題1.5(3)的解法2,等等).此外,為求fmaxa推出f?a2/3,并且當(dāng)且僅當(dāng)初x=y=z等式成立.于是例4.6求△ABC解這個(gè)點(diǎn)稱作費(fèi)馬點(diǎn).本題有多種解法,下面給出純幾何方法.我們區(qū)別兩種不同情形:對(duì)于內(nèi)角小于2π法;有一個(gè)內(nèi)角不小于2π情形1設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角都小于解法1在這種情形下,三角形內(nèi)部存在唯一的點(diǎn)F,它對(duì)于三邊AB,BC,CA的視角∠FAB=∠FBC=∠FCA=π/3.為證實(shí)此事實(shí),只需在三角形內(nèi)部分離作以AB,正三角形PQR內(nèi)部隨意一點(diǎn)與三邊距離之和是定值(等于三角形的高)角形內(nèi)隨意一點(diǎn),與三邊距離為x,S(△1于是x+現(xiàn)在證實(shí):若點(diǎn)F在△ABC內(nèi)部,滿意∠FAB=∠FBC=∠FCA圖4.10圖4.11為此分離過(guò)點(diǎn)A,B,C作直線與FA,FB,FC垂直,那么它們交出△PQR(圖4.11).因?yàn)辄c(diǎn)P,B,F,C共圓,所以∠P=π-∠BFC=π/3;類似地,∠Q=π/3.因此△PQR是正三角形.將點(diǎn)I與QR,RP,PQ的距離記為解法2如圖4.12所示,以線段BC為一邊,在△ABC外部作正三角形BCD及其外接圓.因?yàn)橥饨訄A的圓周角BDC所對(duì)的弧的度數(shù)是2π/3,而∠A<2π/3,所以這條弧囫圇位于點(diǎn)A的下方.因此DA與此弧的交點(diǎn)F在△ABC內(nèi)部,并且圖4.12用另一種主意證實(shí)點(diǎn)F符合要求,為此需要應(yīng)用下列輔助命題2.設(shè)四邊形ABCD是隨意凸四邊形,則AB并且當(dāng)且僅當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓時(shí)等式成立(證實(shí)見(jiàn)本例后的注)現(xiàn)在證實(shí):對(duì)于△ABC中隨意異于F的點(diǎn)I,總有IA+IBBC=FB即a(FB+FA+類似地IBIA若點(diǎn)I在弧BC上(圖4.12(a)),則上式是等式,但此時(shí)點(diǎn)I不可能在AD上(因?yàn)辄c(diǎn)I,F互異),所以IA+類似地,若點(diǎn)I在線段AD上(圖4.12(b)),則I不可能在圓弧上,所以式(4.6.2)是鄭重不等式,從而由式(4.6.1)得到IA+最后,若點(diǎn)I不在弧BC上,也不在線段AD上(圖4.12(c)),則由鄭重不等式(4.6.2)和式(4.6.1)得到IA+合起來(lái)可知上述結(jié)論成立.于是完成情形1的證實(shí)情形2設(shè)△ABC的一個(gè)內(nèi)角(例如)∠如圖4.13所示,作∠BAC的平分線AT,然后分離過(guò)點(diǎn)A,B,C作AT,AB,AC的垂線,它們交出△PQR.因?yàn)椤螿∠所以∠Q=∠R,從而PQ=PR.又因?yàn)辄c(diǎn)A,B,現(xiàn)在證實(shí):對(duì)于△PQR內(nèi)部(固然也包括△ABC內(nèi)部)隨意一點(diǎn)I,有AB+AC<IA+IB+IC.為此設(shè)點(diǎn)S(△a于是(注重b<AB類似地,可以證實(shí)x+y+z<注現(xiàn)在證實(shí)輔助命題2,它可等價(jià)地講述為下列兩個(gè)定理(a)(托勒密定理)倘若凸四邊形ABCD內(nèi)接于圓,則AB(b)(托勒密不等式)倘若凸四邊形ABCD不內(nèi)接于圓,則AB這些定理有多種證法,下面的證法只用到中學(xué)幾何知識(shí).定理(a)的證實(shí)如圖4.14(a)所示,過(guò)點(diǎn)B作射線BI交AC于點(diǎn)I,使得∠CBI=∠ABD,因?yàn)?依圓周角定理)∠BC由此得到BC類似地,由∠CBD=∠ABI以及∠AB將式(4.6.3)和式(4.6.4)相加,即得所要的等式定理(b)的證實(shí)如圖4.14(b)所示.因?yàn)锳,B,C,D不共圓,所以不妨認(rèn)為∠BCA>∠BDA.分離過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)B作射線交于凸四邊形內(nèi)一點(diǎn)IBC類似地,由△ABIAB將式(4.6.5)和式(4.6.6)相加,得到AB最后注重IC+IA例4.7求銳角三角形的具有最小周長(zhǎng)的內(nèi)接三角形。解這個(gè)問(wèn)題有多種解法,這里給出兩個(gè)初等幾何解法.一個(gè)是證實(shí)對(duì)于給定的銳角三角形,最小周長(zhǎng)的內(nèi)接三角形一定是它的垂足三角形(即三個(gè)頂點(diǎn)是給定三角形三邊上的高的垂足);另一個(gè)是直接證實(shí)它的垂足三角形就是其最小周長(zhǎng)的內(nèi)接三角形。解法1設(shè)△PQR內(nèi)接于銳角三角形ABC,即其頂點(diǎn)P,Q,R分離在邊BC,CA,AB上,將所有內(nèi)接三角形組成的集合記作A首先給出下列輔助命題:設(shè)∠MON是給定銳角,K是角內(nèi)一個(gè)定點(diǎn).那么對(duì)于邊OM和ON上的動(dòng)點(diǎn)X和Y,當(dāng)且僅當(dāng)∠KXM=∠OXY,并且圖4.15昰明首先設(shè)△KXY的周長(zhǎng)最小.分離作點(diǎn)K以O(shè)M和ON為軸的對(duì)稱點(diǎn)U和V,那么銜接U,X,Y,V必得一條線段;因?yàn)椴蝗?線段UV將與OM,ON交于點(diǎn)X',Y'反過(guò)來(lái)，設(shè)點(diǎn)X,Y分離在OM,ON上,滿意條件∠KXM=∠OXY,∠KYN=∠OYX.將線段XY分離向兩端延伸到點(diǎn)U,V使得XU=XKOM,ON⊥的隨意兩點(diǎn),其中X'(或Y'不同于點(diǎn)X(或點(diǎn)Y),那么UX'Y現(xiàn)在來(lái)解本題(圖4.16).設(shè)△DEF是△ABC的周長(zhǎng)最小的內(nèi)接三角形,即它是集合A中的極值元素,那么它也是集合AD(即△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)D固定的內(nèi)接三角形的集合)中的極值元素(因?yàn)锳D?A),即在△ABC的頂點(diǎn)D固定的內(nèi)接三角形中它的周長(zhǎng)最小.依輔助命題(將∠BAC取作∠圖4.1現(xiàn)在證實(shí)△DEF是△ABC的垂足三角形,即點(diǎn)D,E,F分離是△ABC三邊上的高的垂足.延伸線段FE到點(diǎn)G,那/∠GEC=∠AEF.又因?yàn)椤螩ED=∠AEF,所以∠GEC=∠CED.因?yàn)辄c(diǎn)C位于∠GED的角平分線上,所以它與∠GED兩邊等距,從而點(diǎn)C與FE,DE等距.類似地(延伸FD),可證點(diǎn)C與FD,DE等距.因此點(diǎn)C與∠DFE的兩邊等距,從而CF最后，垂足三角形DEF是集合A中的成員，所以A中確實(shí)存在極值元素.因此垂足三角形DEF是銳角三角形ABC的具有最小周長(zhǎng)的內(nèi)接三角形.解法2設(shè)△DEF是△ABC的垂足三角形(圖4.17),△PQR是△ABC的隨意一個(gè)內(nèi)接三角形,但不是垂足三角形.下面證實(shí)△PQR的周長(zhǎng)大于△圖4.17因?yàn)椤鱌QR不是垂足三角形,所以不妨認(rèn)為邊BC上的垂足D與頂點(diǎn)P不重合.分離作點(diǎn)D的以AB和AC為軸的對(duì)稱點(diǎn)G和H(圖4.17(a)),那么△l設(shè)點(diǎn)I是△ABC的垂心(即三條高的公共點(diǎn)).因?yàn)椤螴FB∠IDB=π,所以I,F,B,D四點(diǎn)共圓,從而∠BFD=∠BID類似地,分離作點(diǎn)P以AB和AC為軸的對(duì)稱點(diǎn)U和V(圖4.17(b)),那么△PQRl因?yàn)閁V是線段,所以△PQR的周長(zhǎng)l對(duì)于△AGH和△AUV,根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可見(jiàn)∠GAH=∠UAVGH因?yàn)锳H=AD<AP=AV,所以GH<UV,于是確實(shí)l1<l2.解設(shè)圓的半徑為r,OP=a,∠APD=α,還設(shè)圓心O位于∠APD內(nèi)部.令∠APO=θ,∠AB(AB由此得到116算出sin以及sin于是1因?yàn)镻是圓內(nèi)一點(diǎn),所以r>a>(2/2)a,可見(jiàn)r2平分∠APD(及其對(duì)頂角)時(shí),AB1因而=(其中h=asin?(α/2)是圓心O當(dāng)θ-?=π/2,即AB或CD(AB注考慮異常情形α=π/2(即AB,CD(當(dāng)AB和CD之一經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和P時(shí)(因?yàn)棣??=(例4.9在坐標(biāo)平面Oxy上,設(shè)曲線C由方程y=1-x2給出,P(a,0)C交于A,B兩點(diǎn),求出使△OAB解下面給出兩種大同小異的解法(圖4.19)解法1(i)曲線C是上半圓周x2+y2=1(y?0)是△OABS可見(jiàn)當(dāng)sin?|α-β|=1,即β-α=±π/2,也就是OA,OB互相垂直時(shí),Smax=1/2.設(shè)直線(ii)分離改記點(diǎn)A和B的坐標(biāo)為x1,y1和x2,y2.倘若x1=0,那么A是C與y軸正向部分的交點(diǎn),于是另一交點(diǎn)∠AOB<π/2.在這兩種情形下,△OAB的面積都未達(dá)到最大值.于是可以認(rèn)為xkOA,k所以y(iii)因?yàn)辄c(diǎn)A,B是直線l與半圓周C的交點(diǎn),所以由兩者的方程y=1+的兩個(gè)實(shí)根就是點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)x異常地,由前述條件x1a因?yàn)辄c(diǎn)A,B都在直線l上,所以y1=k{2}\left(\frac{a{2}k{2}-1}{1+k{2}}-\frac{2ak{2}}{1+k{2}}\cdota+a{2}\right)=\frac{k{2}\left(a{2}-1\right)}{1+k{2}}.]由此式及式(4.9.1)式(4.9.3)得到k?含2a2-1>0.由上述方程解出k=±1/2a2-1.為決定符號(hào),注重在k時(shí),△OAB的面積達(dá)到最大值Smax=1/2|sin?(時(shí),Smax(ii)設(shè)l的方程是y=k(x-a),點(diǎn)和x2,y2,sin?于是sin?(=由此式及式(4.9.4)得到ak(iii)由方程y=k(x-由此可解出x1,x2,進(jìn)而求出x1x1-x22=x1a因?yàn)?+k2a即2注重2a2-1>0,于是k=±1/2a2-1(其余從略).?例4.10設(shè)給定△ABC以及CB延伸線上的一個(gè)定點(diǎn)Q.證實(shí):存在一條過(guò)點(diǎn)Q的射線l0,設(shè)它與邊AB,AC分離交于點(diǎn)R,S,而l'是另一條S證實(shí)(i)在邊BC上決定點(diǎn)D滿意QB(即QD是QB,QC的比例中項(xiàng));過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交AB于點(diǎn)R.過(guò)點(diǎn)Q,R作射線與AC交于點(diǎn)S(圖4.20),那么射線(ii)首先,因?yàn)镼RQS于是所以SD平行于AB圖4.20第二,過(guò)點(diǎn)Q作隨意射線分離與AB,AC交于點(diǎn)R',S'.下面來(lái)證實(shí):S(△PRS)>因?yàn)椤鱌RS和△S(注重:在圖4.20中沒(méi)有畫(huà)出所有的三角形).由此,S(△又因?yàn)镽D平行于AC,所以S(△DRS)=S△DRS',從而S(△PRS)S△PR'S'=S△DRS'S△DR'S'.另一方面,由此式及式(4.10.1)立得S(△4.2補(bǔ)充(2)例4.11如圖4.21所示,已知OX,OY,OZ是空間中兩兩互相垂直的三條射線,三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B,C分離在解設(shè)OA=AB顯然CO垂直于平面OXY,所以立體OABC的體積V=依題意,abc=6V是一個(gè)定值.此外,設(shè)線段之和l=下面預(yù)計(jì)l的下界.由算術(shù)一幾何平均不等式,有a+\sqrt{a{2}+b{2}}+\sqrt{b{2}+c{2}}+\sqrt{c{2}+a{2}}\geqslant\sqrt{2ab}+\sqrt{2bc}+\sqrt{2ca}][\geqslant3\sqrt[3]{\sqrt{2ab}\cdot\sqrt{2bc}\cdot\sqrt{2ca}}]=3其中等式都是當(dāng)且僅當(dāng)初a=l并且當(dāng)且僅當(dāng)初a=l例4.12過(guò)正三棱柱底面一邊作棱柱的三角形截面,棱柱介于截面與底面之間的體積是V,截面面積是S.問(wèn)當(dāng)截面與底面間的夾角多大時(shí)S3/V解設(shè)截面ABD與底面ABC間的夾角為α,底面ABC的面積為S0V圖4.22為了決定V與S間的關(guān)系式,我們通過(guò)α和S來(lái)表示CD.為此在平面ABC上過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CE(垂足為點(diǎn)E),銜接DE.因?yàn)镃D垂直于底面,所以DE垂直于AB,從而∠CED是二面角C-AB-D的平面角,即∠CED=CD另一方面,由S0a因此CD從而由式(4.12.1)推出V兩邊平方得到VS現(xiàn)在只需求f=sincos22并且當(dāng)且僅當(dāng)初1-cosα?xí)r,達(dá)到fmax=23/9,從而顯然,為了能產(chǎn)生三角形截面,當(dāng)且僅當(dāng)棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)(即棱柱的高)h?h由tan?α=1-例4.13用l表示正四面體內(nèi)部一占P與四個(gè)頂占距離之和。證實(shí):當(dāng)P為正四面體的中央時(shí),l最小.證實(shí)(i)首先證實(shí):正四面體ABCD內(nèi)部隨意一點(diǎn)X與四面體各界面(△ABC等)的距離d1,d2,d1對(duì)于四面體OBCD等的體積有類似的結(jié)果.它們的體積之和等于正四面體的體積,因此V又因?yàn)檎拿骟w的高所以h于是V3可見(jiàn)d1(ii)證實(shí)原題(圖4.23).過(guò)正四面體ABCD各頂點(diǎn)作平面平行于此頂點(diǎn)所對(duì)的界面(即不含此頂點(diǎn)的界面),設(shè)過(guò)點(diǎn)A的平面α平行于界面BCD,過(guò)點(diǎn)X作直線XA'垂直于平面α(點(diǎn)A'是垂足).類似地,平面β過(guò)點(diǎn)B且平行于界面ACD,線段XB'垂直于β(點(diǎn)B'是垂足);平面γ(20)XD'垂直于δ(點(diǎn)D'是垂足).那么四個(gè)平面α,β,γ,δ圍成一個(gè)新的正四面體AACD,它含有原正四面體,X是它內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn).依(i)中所證實(shí)的結(jié)論,X到新正四面體各界XA?l=圖4.23容易證實(shí)當(dāng)且僅當(dāng)式(4.13.1)全是等式時(shí),式(4.13.2)成為等式.因?yàn)閄A=XA'等價(jià)于XA與XA'重合,即XA垂直于平面α,從而垂直于界面BCD(因?yàn)樗cα平行).因此式(4.13.1)全是等式,等價(jià)于點(diǎn)X是正四面體四條高的交點(diǎn),即X是正四面體的中央.于是題中結(jié)論得證;并且lmin=c0.注重,我們不必對(duì)正四面體注下面計(jì)算正四面體外接球的半徑R.如圖4.24所示,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)O是其外接球的球心,那么它在四面體的高AH上,作OP⊥AB(點(diǎn)P是垂足),那么P是AB的中點(diǎn),所以AP=a/2.此外,點(diǎn)H是底面△BCD的中央,所以從而B(niǎo)H最后,由△AOPAP由此求出R圖4.24例4.14證實(shí):倘若四面體至少有5條棱長(zhǎng)不超過(guò)1,則其體積不超過(guò)1/8.證實(shí)(i)依題設(shè),不妨設(shè)界面△CAB和△DAB的邊長(zhǎng)都不超過(guò)1(圖4.25).令CG是四面體底面△ABD上的高,AB=t,則0<t?1.分離作△CAB和V=(ii)為了下文的需要,現(xiàn)在給出下列輔助命題:設(shè)△ABC中頂點(diǎn)A,B,C的對(duì)邊長(zhǎng)分離是ah證實(shí)若△ABC是銳角三角形,如圖4.26(a)所示,令HB=x,則CHh因?yàn)棣?+η2?(ξ+η)2/2當(dāng)初ξ,ηh依然得到相同結(jié)論.圖4.26(iii)現(xiàn)在將輔助命題分離應(yīng)用于h1,h2,h于是(因?yàn)?<sin??V(iv)只需證實(shí)當(dāng)初0<t?1,函數(shù)f(t)=幾兒何極值問(wèn)題證法1求當(dāng)初0<t?1,函數(shù)f(t)=t-t3/4的最大值,為此證實(shí)f====t因?yàn)?<t1t2<1,0<t1-t2t=1-3(1-=1-3(1-=1-3(1-t所以4=3-(1-t由此及0<t?1推出4f(t)?3注嘗試應(yīng)用算術(shù)一幾何平均不等式求f(t)的最大值嘗琙1因?yàn)閒2/2=t2/2?1-t2/4?1-t2/4,其中t2/2+1-t2/4+1-嘗誡2因?yàn)?f=tf要求3個(gè)因子之和t為常數(shù)(即與t無(wú)關(guān)),于是k還要求t=k(2+t2由此得到k+kl=l-kl,或2kl+(k-llf1應(yīng)用算術(shù)一幾何平均不等式,可知當(dāng)初t=t0=23/3,練習(xí)題44.1在∠MAN(<π)內(nèi)部給定一點(diǎn)P,求過(guò)點(diǎn)P作直線l與角的兩邊分離交于點(diǎn)4.2在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b.在它的4.3給定△ABC以及CB延伸線上的一個(gè)定點(diǎn)Q.點(diǎn)R,S分離在邊AB,AC上,并且Q,R,S保持在一條直線上.點(diǎn)R,S與4.4兩定圓⊙O,⊙P相交于點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)A作直線與⊙O交于點(diǎn)M,與⊙P交于點(diǎn)N4.5過(guò)⊙O內(nèi)的定點(diǎn)P作兩條相交的弦AB和CD,水AB4.6過(guò)⊙O內(nèi)的定點(diǎn)P作兩條互相垂直的弦AB和CD,求AC4.7設(shè)A,B是⊙O(圓周)上的兩個(gè)定點(diǎn).分離過(guò)此兩點(diǎn)作圓的互相平行的弦AP和BQ4.8設(shè)△ABC1和△ABC2有公共底邊AB,頂角(1)面積S△(2)周長(zhǎng)l△