高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第七篇 立體幾何細(xì)致講解練 理 新人教A版

第七篇立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖[最新考綱]1．認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．2．能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)單組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖．3．會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．4．會(huì)畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求).知識(shí)梳理1．多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多邊形．(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．(3)棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形．2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(1)圓錐可以由直角三角形繞其任一直角邊旋轉(zhuǎn)得到．(2)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．(3)球可以由半圓面或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)得到．3．空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖．4．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來(lái)畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半．辨析感悟1．對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(×)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(×)(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．(√)2．對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)(4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱．(×)(5)上下底面是兩個(gè)平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)．(×)(6)用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是一個(gè)圓面．(√)3．對(duì)直觀圖和三視圖的畫法的理解(7)在用斜二測(cè)畫法畫水平放置的∠A時(shí)，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中∠A＝45°.(×)(8)(教材習(xí)題改編)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三個(gè)視圖均相同．(×)[感悟·提升]1．兩點(diǎn)提醒一是從棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義入手，借助幾何模型強(qiáng)化空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征．如(1)中例如；(2)中例如.二是圖形中與x軸、y軸、z軸都不平行的線段可通過(guò)確定端點(diǎn)的辦法來(lái)解，即過(guò)端點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線段，再借助所作的平行線段來(lái)確定端點(diǎn)在直觀圖中的位置．如(7)．2．一個(gè)防范三視圖的長(zhǎng)度特征：“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等，高平齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣高、正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬．若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法．如(8)中正方體與球各自的三視圖相同，但圓錐的不同．學(xué)生用書第106頁(yè)考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】給出下列四個(gè)命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；④棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()．A．0B．1C．2解析①不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②正確；③錯(cuò)誤．當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐．如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；④錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．答案B規(guī)律方法(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過(guò)舉反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．【訓(xùn)練1】給出下列四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；④若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．其中錯(cuò)誤的命題的序號(hào)是________．解析認(rèn)識(shí)棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故①③都不準(zhǔn)確，②中對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明，故也不正確，④平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行，故④也不正確．答案①②③④考點(diǎn)二由空間幾何體的直觀圖識(shí)別三視圖【例2】(·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為()．審題路線在空間直角坐標(biāo)系中畫出四面體?以zOx平面為投影面?可得正視圖．解析在空間直角坐標(biāo)系中，先畫出四面體O－ABC的直觀圖，如圖，設(shè)O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，將以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四面體被還原成一正方體后，由于OA⊥BC，所以該幾何體以zOx平面為投影面的正視圖為A.答案A規(guī)律方法空間幾何體的三視圖是分別從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果．【訓(xùn)練2】(·濟(jì)寧一模)點(diǎn)M，N分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)，用過(guò)A，M，N和D，N，C1A．①②③B．②③④C．①③④D．②④③解析由正視圖的定義可知；點(diǎn)A，B，B1在后面的投影點(diǎn)分別是點(diǎn)D，C，C1，線段AN在后面的投影面上的投影是以D為端點(diǎn)且與線段CC1平行且相等的線段，即正視圖為正方形，另外線段AM在后面的投影線要畫成實(shí)線，被遮擋的線段DC1要畫成虛線，正視圖為②；同理可得側(cè)視圖為③，俯視圖為④.答案B考點(diǎn)三由空間幾何體的三視圖還原直觀圖【例3】(1)(·四川卷)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是()．(2)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()．解析(1)由于俯視圖是兩個(gè)圓，所以排除A，B，C，故選D.(2)A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D.答案(1)D(2)D學(xué)生用書第107頁(yè)規(guī)律方法在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線．在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮．【訓(xùn)練3】若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()．解析所給選項(xiàng)中，A，C選項(xiàng)的正視圖、俯視圖不符合，D選項(xiàng)的側(cè)視圖不符合，只有選項(xiàng)B符合．答案B1．棱柱、棱錐要掌握各部分的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算問題往往轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中進(jìn)行解決．2．旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”特點(diǎn)，弄清底面、側(cè)面及展開圖形狀．3．三視圖畫法：(1)實(shí)虛線的畫法：分界線和可見輪廓線用實(shí)線，看不見的輪廓線用虛線；(2)理解“長(zhǎng)對(duì)正、寬平齊、高相等”．易錯(cuò)辨析7——三視圖識(shí)圖不準(zhǔn)致誤【典例】(·陜西卷)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()．[錯(cuò)解]選A或D.[錯(cuò)因]致錯(cuò)原因是根據(jù)提示觀測(cè)位置確定三視圖時(shí)其實(shí)質(zhì)是正投影，將幾何體中的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線為虛線，錯(cuò)選A或D都是沒有抓住看到的輪廓線在面上的投影位置，從而導(dǎo)致失誤．[正解]還原正方體后，將D1，D，A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線，D1A的射影為C1B，且為實(shí)線，B1[答案]B[防范措施]空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖．因此在分析空間幾何體的三視圖問題時(shí)，就要抓住正投影，結(jié)合具體問題和空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行解答．【自主體驗(yàn)】(·東北三校模擬)如圖，多面體ABCD－EFG的底面ABCD為正方形，F(xiàn)C＝GD＝2EA，其俯視圖如下，則其正視圖和側(cè)視圖正確的是()．解析注意BE，BG在平面CDGF上的投影為實(shí)線，且由已知長(zhǎng)度關(guān)系確定投影位置，排除A，C選項(xiàng)，觀察B，D選項(xiàng)，側(cè)視圖是指光線從幾何體的左面向右面正投影，則BG，BF的投影為虛線，故選D.答案D對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P307基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是()．A．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形B．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面C．底面是菱形，具有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直D．每個(gè)側(cè)面都是全等矩形的四棱柱解析A，B兩選項(xiàng)中側(cè)棱與底面不一定垂直，D選項(xiàng)中底面四邊形不一定為正方形，故選C.答案C2．(·福州模擬)沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對(duì)角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()．解析給幾何體的各頂點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖1.A，E在側(cè)投影面上的投影重合，C，G在側(cè)投影面上的投影重合，幾何體在側(cè)投影面上的投影及把側(cè)投影面展平后的情形如圖2所示，故正確選項(xiàng)為B(而不是A)．答案B3．下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是()．

A．①②B．①③C．①④D．②④解析正方體的三視圖都是正方形，不合題意；圓錐的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓，符合題意；三棱臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖、俯視圖各不相同，不合題意；正四棱錐的正視圖和側(cè)視圖都是三角形，而俯視圖是正方形，符合題意，所以②④正確．答案D4．(·汕頭二模)如圖，某簡(jiǎn)單幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且其體積為eq\f(π,4)，則該幾何體的俯視圖可以是()．

解析若該幾何體的俯視是選項(xiàng)A，則其體積為1，不滿足題意；由正視圖、側(cè)視圖可知俯視圖不可能是B項(xiàng)；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)C，則其體積為eq\f(1,2)，不符合題意；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)D，則其體積為eq\f(π,4)，滿足題意．答案D5.

已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為()．解析空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，故正視圖的高一定是2，正視圖和俯視圖“長(zhǎng)對(duì)正”，故正視圖的底面邊長(zhǎng)為2，根據(jù)側(cè)視圖中的直角說(shuō)明這個(gè)空間幾何體最前面的面垂直于底面，這個(gè)面遮住了后面的一個(gè)側(cè)棱，綜合以上可知，這個(gè)空間幾何體的正視圖可能是C.答案C二、填空題6．利用斜二測(cè)畫法得到的以下結(jié)論，正確的是________(寫出所有正確的序號(hào))．①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④圓的直觀圖是橢圓；⑤菱形的直觀圖是菱形．解析①正確；由原圖形中平行的線段在直觀圖中仍平行可知②正確；但是原圖形中垂直的線段在直觀圖中一般不垂直，故③錯(cuò)；④正確；⑤中原圖形中相等的線段在直觀圖中不一定相等，故錯(cuò)誤．答案①②④7．一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的________(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))．①三棱錐；②四棱錐；③三棱柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱．解析

顯然，三棱錐、圓錐的正視圖可以是三角形；三棱柱的正視圖也可以是三角形(把三棱柱放倒，使一側(cè)面貼在地面上，并讓其底面面對(duì)我們，如圖所示)；只要形狀合適、擺放適當(dāng)(如一個(gè)側(cè)面正對(duì)著觀察者的正四棱錐)，四棱錐的正視圖也可以是三角形(當(dāng)然，不是任意擺放的四棱錐的正視圖都是三角形)，即正視圖為三角形的幾何體完全有可能是四棱錐；不論四棱柱、圓柱如何擺放，正視圖都不可能是三角形(可以驗(yàn)證，隨意擺放的任意四棱柱的正視圖都是四邊形，圓柱的正視圖可以是圓或四邊形)．綜上所述，應(yīng)填①②③⑤.答案①②③⑤8.如圖，用斜二測(cè)畫法得到四邊形ABCD是下底角為45°的等腰梯形，其下底長(zhǎng)為5，一腰長(zhǎng)為eq\r(2)，則原四邊形的面積是________．解析作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，則AE＝BF＝ADcos45°＝1，∴CD＝EF＝3.將原圖復(fù)原(如圖)，則原四邊形應(yīng)為直角梯形，∠A＝90°，AB＝5，CD＝3，AD＝2eq\r(2)，∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)×(5＋3)×2eq\r(2)＝8eq\r(2).答案8eq\r(2)三、解答題9．如圖所示的是一個(gè)零件的直觀圖，試畫出這個(gè)幾何體的三視圖．解這個(gè)幾何體的三視圖如圖．10．如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖．(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；(2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積；(3)求出該幾何體的體積．解(1)正六棱錐．(2)其側(cè)視圖如圖：其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長(zhǎng)是俯視圖中的正六邊形對(duì)邊的距離，即BC＝eq\r(3)a，AD的長(zhǎng)是正六棱錐的高，即AD＝eq\r(3)a，∴該平面圖形的面積S＝eq\f(1,2)eq\r(3)a·eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a2.(3)V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)a2×eq\r(3)a＝eq\f(3,2)a3.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1．一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是()．A．球B．三棱錐C．正方體D．圓柱解析球的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖均為圓，且形狀相同、大小相等；三棱錐的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖可以為全等的三角形；正方體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖可以為形狀相同、大小相等的正方形；圓柱的正視圖、側(cè)視圖均為矩形，俯視圖為圓．答案D2．一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于()．A.eq\f(\r(2),4)a2B．2eq\r(2)a2C.eq\f(\r(2),2)a2D.eq\f(2\r(2),3)a2解析根據(jù)斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個(gè)平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′＝eq\f(\r(2),4)S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積等于eq\f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq\r(2)a2.答案B二、填空題3.

如圖所示，E，F(xiàn)分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1

解析由正投影的定義，四邊形BFD1E在面AA1D1D與面BB1C1C上的正投影是圖③；其在面ABB1A1與面DCC1D1上的正投影是圖②；其在面ABCD與面A1B1C1D1答案②③三、解答題4．已知正三棱錐V－ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示．

(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側(cè)視圖的面積．解(1)直觀圖如圖所示：

(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2eq\r(3)，∴側(cè)視圖中VA＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×2\r(3)))2)＝2eq\r(3)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)＝6.

學(xué)生用書第108頁(yè)第2講空間幾何體的表面積與體積[最新考綱]1．了解球體、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積的計(jì)算公式．2．了解球體、柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算公式.知識(shí)梳理1．柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺(tái)S側(cè)＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S側(cè)＝ChV＝Sh正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′V＝eq\f(1,3)Sh正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR32.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和．(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和．辨析感悟1．柱體、錐體、臺(tái)體與球的面積(1)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.(×)(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為3πa22．柱體、錐體、臺(tái)體的體積(3)(教材練習(xí)改編)若一個(gè)球的體積為4eq\r(3)π，則它的表面積為12π.(√)(4)(·浙江卷改編)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于24cm3.(√)(5)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為9π.(×)3．柱體、錐體、臺(tái)體的展開與折疊(6)將圓心角為eq\f(2π,3)，面積為3π的扇形作為圓錐的側(cè)面，則圓錐的表面積等于4π.(√)(7)(·青州模擬改編)將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BD＝a，則三棱錐D－ABC的體積為eq\f(\r(3),12)a3.(×)[感悟·提升]兩點(diǎn)注意一是求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形．將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．二是幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系.學(xué)生用書第109頁(yè)考點(diǎn)一空間幾何體的表面積【例1】(·日照一模)如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖，其俯視圖是面積為8eq\r(2)的矩形．則該幾何體的表面積是()．

A．8 B．20＋8eq\r(2)C．16 D．24＋8eq\r(2)解析由已知俯視圖是矩形，則該幾何體為一個(gè)三棱柱，根據(jù)三視圖的性質(zhì)，俯視圖的矩形寬為2eq\r(2)，由面積8eq\r(2)，得長(zhǎng)為4，則該幾何體的表面積為S＝2×eq\f(1,2)×2×2＋2eq\r(2)×4＋2×2×4＝20＋8eq\r(2).答案B規(guī)律方法(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．【訓(xùn)練1】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________．

解析如圖所示：該幾何體為長(zhǎng)為4，寬為3，高為1的長(zhǎng)方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱后剩下的部分．∴S表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38.答案38考點(diǎn)二空間幾何體的體積【例2】(1)(·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()．

A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π(2)(·福州模擬)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)

解析(1)由三視圖可知該幾何體由長(zhǎng)方體和圓柱的一半組成．其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4,2,2，圓柱的底面半徑為2、高為4.所以V＝2×2×4＋eq\f(1,2)×22×π×4＝16＋8π.故選A.(2)三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).答案(1)A(2)A規(guī)律方法(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．【訓(xùn)練2】如圖所示，已知E，F(xiàn)分別是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1－B1解法一連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)O1，連接B1D，EF過(guò)O1作O1H⊥B1D于H.∵EF∥A1C1，且A1C1?平面B1EF?平面B1EDF.∴A1C1∥平面B1EDF∴C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，且平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H為棱錐的高．∵△B1O1H∽△B1DD1，∴O1H＝eq\f(B1O1·DD1,B1D)＝eq\f(\r(6),6)a.O1H＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·eq\r(2)a·eq\r(3)a·eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(1,6)a3.法二連接EF，B1D.設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝eq\r(2)a.由題意得，＝eq\f(1,3)·S△C1EF·(h1＋h2)＝eq\f(1,6)a3.考點(diǎn)三球與空間幾何體的接、切問題【例3】(1)(·福建卷)已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該球的表面積是______________．

(2)(·遼寧卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為 A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)審題路線(1)正方體內(nèi)接于球?正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑?求得球的半徑?代入球的表面積公式(注意只算球的表面積)．(2)BC為過(guò)底面ABC的截面圓的直徑?取BC中點(diǎn)D，則球心在BC的垂直平分線上，再由對(duì)稱性求解．解析(1)由三視圖知，棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)接于球，故正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(3)，即為球的直徑．所以球的表面積為S＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＝12π.(2)因?yàn)樵谥比庵蠥B＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過(guò)底面ABC的截面圓的直徑，取BC中點(diǎn)D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對(duì)角線長(zhǎng)即為球的直徑，所以2r＝eq\r(122＋52)＝13，即r＝eq\f(13,2).答案(1)12π(2)C學(xué)生用書第110頁(yè)規(guī)律方法解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的．【訓(xùn)練3】(·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 ()．A.eq\f(500π,3)cm3 B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3 D.eq\f(2048π,3)cm3解析作出該球的軸截面，如圖所示，依題意BE＝2cm，AE＝CE＝4cm，設(shè)DE＝x，故AD＝2＋x，因?yàn)锳D2＝AE2＋DE2，解得x＝3(cm)，故該球的半徑AD＝5cm，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500π,3)(cm3)．

答案A考點(diǎn)四幾何體的展開與折疊問題【例4】(1)如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去△AOB，將剩余部分沿OC，OD折疊，使OA，OB重合，則以A，B，C，D，O為頂點(diǎn)的四面體的體積為________．(2)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP＋PA1的最小值為________(其中PA1表示P，A1

解析(1)折疊后的四面體如圖所示．OA，OC，OD兩兩相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2eq\r(2)，體積V＝eq\f(1,3)S△OCD·OA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3).(2)由題意知，把面BB1C1C沿BB1展開與面AA1B1B在一個(gè)平面上，如圖所示，連接則A1、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，CP＋PA1最小，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝C1C∴A1B1＝AB＝eq\r(42＋32)＝5，∴A1C1＝5＋3＝8，∴A1C＝eq\r(82＋32)＝eq\r(73).故CP＋PA1的最小值為eq\r(73).答案(1)eq\f(8\r(2),3)(2)eq\r(73)規(guī)律方法(1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變．(2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題．【訓(xùn)練4】如圖為一幾何體的展開圖，其中ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，點(diǎn)S，D，A，Q共線，點(diǎn)P，D，C，R共線，沿圖中虛線將它們折疊起來(lái)，使P，Q，R，S四點(diǎn)重合，則需要________個(gè)這樣的幾何體，可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體．

解析由題意知，將該展開圖沿虛線折疊起來(lái)以后，得到一個(gè)四棱錐P－ABCD(如圖所示)，其中PD⊥平面ABCD，因此該四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×6×6×6＝72，而棱長(zhǎng)為6的正方體的體積V＝6×6×6＝216，故需要eq\f(216,72)＝3個(gè)這樣的幾何體，才能拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體．

答案31．對(duì)于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來(lái)解決．2．求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積．3．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.方法優(yōu)化5——特殊點(diǎn)在求解幾何體的體積中的應(yīng)用【典例】(·山東卷)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1－[一般解法]三棱錐D1－EDF的體積即為三棱錐F－DD1E的體積．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點(diǎn)，所以在正方體ABCD－A1B1C1D1中△EDD1的面積為定值eq\f(1,2)，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).[優(yōu)美解法]E點(diǎn)移到A點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)移到C點(diǎn)，則＝＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).[答案]eq\f(1,6)[反思感悟](1)一般解法利用了轉(zhuǎn)化思想，把三棱錐D1－EDF的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐F－DD1E的體積，但這種解法還是難度稍大，不如采用特殊點(diǎn)的解法易理解、也簡(jiǎn)單易求．(2)在求幾何體體積時(shí)還經(jīng)常用到等積法、割補(bǔ)法．【自主體驗(yàn)】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1與側(cè)面BCC1B1的距離為2，側(cè)面BCC1B1的面積為4，此三棱柱ABC－A1B1C解析補(bǔ)形法將三棱柱補(bǔ)成四棱柱，如圖所示．記A1到平面BCC1B1的距離為d，則d＝2.則V三棱柱＝eq\f(1,2)V四棱柱＝＝eq\f(1,2)×4×2＝4.答案4對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P309基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(·廣東卷)某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是()．

A．4B.eq\f(14,3)C.eq\f(16,3)D．6解析由四棱臺(tái)的三視圖可知該四棱臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為1的正方形；下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為2.由棱臺(tái)的體積公式可知該四棱臺(tái)的體積V＝eq\f(1,3)(12＋eq\r(12×22)＋22)×2＝eq\f(14,3)，故選B.答案B2．(·湖南卷)已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于()．A．1B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2)－1,2)D.eq\f(\r(2)＋1,2)解析由俯視圖的面積為1可知，該正方體的放置如圖所示，當(dāng)正視圖的方向與正方體的側(cè)面垂直時(shí)，正視圖的面積最小，其值為1，當(dāng)正視圖的方向與正方體的對(duì)角面BDD1B1或ACC1A1垂直時(shí)，正視圖的面積最大，其值為eq\r(2)，由于正視圖的方向不同，因此正視圖的面積S∈[1，eq\r(2)]．故選C.答案C3．(·許昌模擬)如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為()．A．4πB.eq\f(3,2)πC．3πD．2π解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱，S表＝2×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋π×1×1＝eq\f(3π,2).答案B4.如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為()．A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,2)解析如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).故選A.答案A5．(·新課標(biāo)全國(guó)卷)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()．A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π解析

如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3)，即球的半徑為eq\r(3)，∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.答案B二、填空題6．(·遼寧卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________．解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)正四棱柱，圓柱底面圓半徑為2，高為4，故體積為16π；正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2，高為4，故體積為16，所以幾何體的體積為16π－16.答案16π－167．(·陜西卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為________．解析該幾何體為一個(gè)半圓錐，故其體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×12×22＝eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)8．(·江蘇卷)如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V解析設(shè)三棱柱A1B1C1－ABC的高為h，底面三角形ABC的面積為S，則V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，即V1∶V2＝1∶24.答案1∶24三、解答題9．如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)：(1)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積．解(1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示．(2)這個(gè)幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P由PA1＝PD1＝eq\r(2)cm，A1D1＝AD＝2cm，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)(cm2)，體積V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．10．有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度．解如圖所示，作出軸截面，因軸截面是正三角形，根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水的深度為3r，水面半徑BC的長(zhǎng)為eq\r(3)r，則容器內(nèi)水的體積為V＝V圓錐－V球＝eq\f(1,3)π(eq\r(3)r)2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3，將球取出后，設(shè)容器中水的深度為h，則水面圓的半徑為eq\f(\r(3),3)h，從而容器內(nèi)水的體積為V′＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)h))2h＝eq\f(1,9)πh3，由V＝V′，得h＝eq\r(3,15)r.能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1．已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S－ABC的體積為()．A．3eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(3)D．1解析由題意知，如圖所示，在棱錐S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一個(gè)角為30°的直角三角形，其中AB＝eq\r(3)，SC＝4，所以SA＝SB＝2eq\r(3)，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D點(diǎn)，連接AD，易證SC⊥平面ABD，因此VS－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×4＝eq\r(3).答案C2．(·臨沂一模)具有如圖所示的正視圖和俯視圖的幾何體中，體積最大的幾何體的表面積為()．A．3B．7＋3eq\r(2)C.eq\f(7,2)πD．14解析由正視圖和俯視圖可知，該幾何體可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圓柱．由圖可知四棱柱的體積最大．四棱柱的高為1，底面邊長(zhǎng)分別為1,3，所以表面積為2(1×3＋1×1＋3×1)＝14.答案D二、填空題3．如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2cm、高為5cm，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1解析根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實(shí)線部分，則可知所求最短路線的長(zhǎng)為eq\r(52＋122)＝13(cm)．答案13三、解答題4．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖2所示．(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)求幾何體D－ABC的體積．(1)證明在圖中，可得AC＝BC＝2eq\r(2)，從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD.(2)解由(1)可知，BC為三棱錐B－ACD的高，BC＝2eq\r(2)，S△ACD＝2，∴VB－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·BC＝eq\f(1,3)×2×2eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3)，由等體積性可知，幾何體D－ABC的體積為eq\f(4\r(2),3).

學(xué)生用書第111頁(yè)第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系[最新考綱]1．理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義．2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．3．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.知識(shí)梳理1．平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．(4)公理2的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．2．空間中兩直線的位置關(guān)系(1)空間兩直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)平行公理和等角定理①平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．②等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．3．空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．辨析感悟1．對(duì)平面基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí)(1)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分．(×)(2)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于A點(diǎn)，記作α∩β＝A.(×)(3)(教材練習(xí)改編)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面．(√)(4)(教材練習(xí)改編)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．(×)2．對(duì)空間直線關(guān)系的認(rèn)識(shí)(5)已知a，b是異面直線、直線c平行于直線a，那么c與b不可能是平行直線．(√)(6)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．(×)[感悟·提升]1．一點(diǎn)提醒做有關(guān)平面基本性質(zhì)的判斷題時(shí)，要抓住關(guān)鍵詞，如“有且只有”、“只能”、“最多”等．如(1)中兩個(gè)不重合的平面還可把空間分成三部分．2．兩個(gè)防范一是兩個(gè)不重合的平面只要有一個(gè)公共點(diǎn)，那么兩個(gè)平面一定相交得到的是一條直線，如(2)；二是搞清“三個(gè)公共點(diǎn)”是共線還是不共線，如(4)．3．一個(gè)理解異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．不能錯(cuò)誤地理解為不在某一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線，如(6).考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用【例1】(1)以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()．①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0B．1C．2D．3(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分別是AB，AD，B1C1的中點(diǎn)，那么正方體的過(guò)P，Q，A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形解析(1)①正確，可以用反證法證明；②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但是若A，B，C共線，則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形四條邊可以不在一個(gè)平面上．(2)如圖所示，作RG∥PQ交C1D1于G，連接QP并延長(zhǎng)與CB延長(zhǎng)線交于M，連接MR交BB1于E，連接PE，則PE，RE為截面的部分外形．同理連PQ并延長(zhǎng)交CD于N，連接NG交DD1于F，連接QF，F(xiàn)G.∴截面為六邊形PQFGRE.答案(1)B(2)D學(xué)生用書第112頁(yè)規(guī)律方法(1)公理1是判斷一條直線是否在某個(gè)平面的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)；公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù)．要能夠熟練用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言來(lái)表示公理．(2)畫幾何體的截面，關(guān)鍵是畫截面與幾何體各面的交線，此交線只需兩個(gè)公共點(diǎn)即可確定，作圖時(shí)充分利用幾何體本身提供的面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置．【訓(xùn)練1】如圖所示是正方體和正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形的序號(hào)是________．解析可證①中的四邊形PQRS為梯形；②中，如圖所示，取A1A和BC的中點(diǎn)分別為M，N，可證明PMQNRS為平面圖形，且PMQNRS為正六邊形；③中，可證四邊形PQRS為平行四邊形；④中，可證Q點(diǎn)所在棱與面PRS平行，因此，P，Q，R，S答案①②③考點(diǎn)二空間兩條直線的位置關(guān)系【例2】如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．解析把正四面體的平面展開圖還原．如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④規(guī)律方法空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、平行公理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決．【訓(xùn)練2】在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號(hào))．

解析圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中GH與MN異面．答案②④考點(diǎn)三異面直線所成的角【例3】在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值．審題路線(1)找出PB與平面ABCD所成角?計(jì)算出PO的長(zhǎng)?求出四棱錐的體積．(2)取AB的中點(diǎn)F?作△PAB的中位線?找到異面直線DE與PA所成的角?計(jì)算其余弦值．解(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PO⊥面ABCD，∴∠PBO是PB與面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，∵BO＝AB·sin30°＝1，∵PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝eq\r(3)，∵底面菱形的面積S＝2×eq\f(\r(3),4)×22＝2eq\r(3).∴四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.(2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF，∵E為PB中點(diǎn)，∴EF∥PA，∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角)．在Rt△AOB中，AO＝AB·cos30°＝eq\r(3)＝OP，∴在Rt△POA中，PA＝eq\r(6)，∴EF＝eq\f(\r(6),2).在正△ABD和正△PDB中，DF＝DE＝eq\r(3)，在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝eq\f(\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2－\r(3)2,2×\r(3)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\f(6,4),3\r(2))＝eq\f(\r(2),4).即異面直線DE與PA所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).規(guī)律方法(1)平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問題化歸為共面問題來(lái)解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．(2)求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．【訓(xùn)練3】(·成都模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)，則A1B與EF解析如圖，連接B1D1，D1C，B1C.由題意知EF是△A1B1D1的中位線，所以EF∥B1D又A1B∥D1C，所以A1B與EF于B1D1與D1C因?yàn)椤鱀1B1C為正三角形，所以∠B1D1C＝eq\f(π,3).故A1B與EF所成角的大小為eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)1．證明線共點(diǎn)問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上．2．證明點(diǎn)或線共面問題，一般有以下兩種途徑：(1)首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合．3．異面直線的判定方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線；學(xué)生用書第113頁(yè)(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．

思想方法7——構(gòu)造模型判斷空間線面的位置關(guān)系【典例】(·上海卷)已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則()．A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能[解析]在如圖所示的長(zhǎng)方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯(cuò)誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯(cuò)誤．[答案]D[反思感悟]這類試題一般稱為空間線面位置關(guān)系的組合判斷題，解決的方法是“推理論證加反例推斷”，即正確的結(jié)論需要根據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明，錯(cuò)誤的結(jié)論需要通過(guò)舉出反例說(shuō)明其錯(cuò)誤，在解題中可以以常見的空間幾何體(如正方體、正四面體等)為模型進(jìn)行推理或者反駁．【自主體驗(yàn)】1．(·浙江卷)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面()．A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若m∥n，m⊥α，則n⊥αD．若m∥α，α⊥β，則m⊥β解析本題可借助特殊圖形求解，畫一個(gè)正方體作為模型(如圖)．設(shè)底面ABCD為α，側(cè)面A1ADD1為β.①當(dāng)A1B1＝m，B1C1＝n②當(dāng)B1C1＝m③當(dāng)B1C1＝m答案C2．對(duì)于不同的直線m，n和不同的平面α，β，γ，有如下四個(gè)命題：①若m∥α，m⊥n，則n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，則n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，則α∥γ；④若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥β.其中真命題的個(gè)數(shù)是()．A．1B．2C．3D．4解析本題可借助特殊圖形求解．畫一個(gè)正方體作為模型(如圖)設(shè)底面ABCD為α.①當(dāng)A1B1＝m，B1C1＝n，顯然符合①②當(dāng)A1A＝m，AC＝n，顯然符合②③與底面ABCD相鄰兩個(gè)面可以兩兩垂直，但任何兩個(gè)都不平行；④由面面垂直的判定定理可知，④是正確的．只有④正確，故選A.答案A對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P311基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．(·江西七校聯(lián)考)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()．A．相交或平行B．相交或異面C．平行或異面D．相交、平行或異面解析依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，選D.答案D2．在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()．A．相交B．異面C．平行D．垂直解析如圖所示，直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．答案A3．設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是()．①P∈a，P∈α?a?α②a∩b＝P，b?β?a?β③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④解析當(dāng)a∩α＝P時(shí)，P∈a，P∈α，但a?α，①錯(cuò)；a∩β＝P時(shí)，②錯(cuò)；如圖，∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α，又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過(guò)直線a與點(diǎn)P，∴β與α重合，∴b?α，故③正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故④正確．答案D4．(·山西重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知l，m，n是空間中的三條直線，命題p：若m⊥l，n⊥l，則m∥n；命題q：若直線l，m，n兩兩相交，則直線l，m，n共面，則下列命題為真命題的是()．A．p∧qB．p∨qC．p∨(綈q)D．(綈p)∧q解析命題p中，m，n可能平行、還可能相交或異面，所以命題p為假命題；命題q中，當(dāng)三條直線交于三個(gè)不同的點(diǎn)時(shí)，三條直線一定共面，當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，三條直線不一定共面，所以命題q也為假命題．所以綈p和綈q都為真命題，故p∨(綈q)為真命題．選C.答案C5.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，過(guò)頂點(diǎn)A1與正方體其他頂點(diǎn)的連線與直線BC1A．1B．2C．3D．4解析有2條：A1B和A1C1答案B二、填空題6．如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對(duì)．解析如圖所示，與AB異面的直線有B1C1，CC1，A1D1，DD1四條，因?yàn)楦骼饩哂胁煌奈恢?，且正方體共有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計(jì)算，共有異面直線eq\f(12×4,2)＝24(對(duì))．答案247.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)．解析A，M，C1三點(diǎn)共面，且在平面AD1C1B中，但C?平面AD1C1B，因此直線AM與CC1是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，AM與DD1也是異面直線，①②錯(cuò)，④正確；M，B，B1三點(diǎn)共面，且在平面MBB1中，但N?平面MBB1，因此直線BN與MB1是異面直線，答案③④8．(·江西卷)如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________．解析取CD的中點(diǎn)為G，由題意知平面EFG與正方體的左、右側(cè)面所在平面重合或平行，從而EF與正方體的左、右側(cè)面所在的平面平行或EF在平面內(nèi)．所以直線EF與正方體的前、后側(cè)面及上、下底面所在平面相交．故直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.答案4三、解答題9.如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉eq\f(1,2)AD，BE綉eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？(1)證明由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綉eq\f(1,2)AD.又BC綉eq\f(1,2)AD，∴GH綉B(tài)C，∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)解由BE綉eq\f(1,2)AF，G為FA中點(diǎn)知，BE綉FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC，BD交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)C1，O，證明如圖所示，∵A1A∥C1∴A1A，C1C確定平面A∵A1C?平面A1C，O∈A∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩線A1C，∴O∈平面BDC∴O在平面BDC1與平面A1C∵AC∩BD＝M，∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1C∴平面BDC1∩平面A1C＝C1∴O∈C1M，即C1，O，M能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1．(·長(zhǎng)春一模)一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來(lái)的正方體中()．A．AB∥CDB．AB與CD相交C．AB⊥CDD．AB與CD所成的角為60°解析如圖，把展開圖中的各正方形按圖1所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖2所示的直觀圖，可見選項(xiàng)A，B，C不正確．∴正確選項(xiàng)為D.圖2中，BE∥CD，∠ABE為AB與CD所成的角，△ABE為等邊三角形，∴∠ABE＝60°.答案D2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CDA．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有無(wú)數(shù)條解析法一圖1在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面(如圖1)，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)．如圖所示．故選D.法二在A1D1上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面α(如圖2)，因CD與平面α不平行，圖2所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點(diǎn)P的任意性，知有無(wú)數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交．答案D二、填空題3.

(·安徽卷)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S①當(dāng)0＜CQ＜eq\f(1,2)時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)CQ＝eq\f(1,2)時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)CQ＝eq\f(3,4)時(shí)，S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R＝eq\f(1,3)；④當(dāng)eq\f(3,4)＜CQ＜1時(shí)，S為六邊形；⑤當(dāng)CQ＝1時(shí)，S的面積為eq\f(\r(6),2).

圖1解析如圖1，當(dāng)CQ＝eq\f(1,2)時(shí)，平面APQ與平面ADD1A1的交線AD1必平行于PQ，且D1Q＝AP＝eq\f(\r(5),2)，∴S為等腰梯形，∴②正確；同理，當(dāng)0＜CQ＜eq\f(1,2)時(shí)，S為四邊形，∴①正確；圖2如圖2，當(dāng)CQ＝eq\f(3,4)時(shí)，將正方體ABCD－A1B1C1D1補(bǔ)成底面不變，高為1.5的長(zhǎng)方體ABCD－A2B2C2D2.Q為CC2的中點(diǎn)，連接AD2交A1D1于點(diǎn)E，易知PQ∥AD2，作ER∥AP，交C1D1于R，連接RQ，則五邊形APQRE為截面S.延長(zhǎng)RQ，交DC的延長(zhǎng)線于F，同時(shí)與AP的延長(zhǎng)線也交于F，由P為BC的中點(diǎn)，PC∥AD，知CF＝eq\f(1,2)DF＝1，由題意知△RC1Q∽△FCQ，∴eq\f(RC1,CF)＝eq\f(C1Q,CQ)，∴C1R＝eq\f(1,3)，∴③正確；由圖2知當(dāng)eq\f(3,4)＜CQ＜1時(shí)，S為五邊形，∴④錯(cuò)誤；當(dāng)CQ＝1時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C1重合，截面S為邊長(zhǎng)為eq\f(\r(5),2)的菱形，對(duì)角線AQ＝eq\r(3)，另一條對(duì)角線為eq\r(2)，∴S＝eq\f(\r(6),2)，⑤正確．答案①②③⑤三、解答題

4．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1(1)求A1C1與B1(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF解(1)如圖，連接AC，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，知AA1

所以AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與由△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C可知∠B1即A1C1與B1(2)如圖，連接BD，由(1)知AC∥A1C1∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角為90°.∴EF⊥A1C1.即A1C1與學(xué)生用書第113頁(yè)第4講直線、平面平行的判定與性質(zhì)[最新考綱]1．以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)和判定定理．2．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．知識(shí)梳理1．直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α學(xué)生用書第114頁(yè)辨析感悟1．對(duì)直線與平面平行的判定與性質(zhì)的理解(1)若一條直線平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個(gè)平面．(×)(2)若一條直線平行于一個(gè)平面，則這條直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線．(×)(3)若直線a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，則a∥α.(×)(4)若直線a∥α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于a的直線有無(wú)數(shù)條．(×)2．對(duì)平面與平面平行的判定與性質(zhì)的理解(5)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(×)(6)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√)(7)(教材練習(xí)改編)設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，若l∥α，l∥β，則α∥β.(×)[感悟·提升]三個(gè)防范一是推證線面平行時(shí)，一定要說(shuō)明一條直線在平面外，一條直線在平面內(nèi)，如(1)、(3)．二是推證面面平行時(shí)，一定要說(shuō)明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一平面，如(5)．三是利用線面平行的性質(zhì)定理把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)明經(jīng)過(guò)已知直線的平面與已知平面相交，則該直線與交線平行，如(2)、(4)．考點(diǎn)一有關(guān)線面、面面平行的命題真假判斷【例1】(1)(·廣東卷)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()．A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若α∥β，m?α，n?β，，則m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β(2)設(shè)m，n表示不同直線，α，β表示不同平面，則下列結(jié)論中正確的是()．A．若m∥α，m∥n，則n∥αB．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，則n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，則n∥β解析(1)A中，m與n可垂直、可異面、可平行；B中m與n可平行、可異面；C中，若α∥β，仍然滿足m⊥n，m?α，n?β，故C錯(cuò)誤；故D正確．(2)A錯(cuò)誤，n有可能在平面α內(nèi)；B錯(cuò)誤，平面α有可能與平面β相交；C錯(cuò)誤，n也有可能在平面β內(nèi)；D正確，易知m∥β或m?β，若m?β，又n∥m，n?β，∴n∥β，若m∥β，過(guò)m作平面γ交平面β于直線l，則m∥l，又n∥m，∴n∥l，又n?β，l?β，∴n∥β.答案(1)D(2)D規(guī)律方法線面平行、面面平行的命題真假判斷多以小題出現(xiàn)，處理方法是數(shù)形結(jié)合，畫圖或結(jié)合正方體等有關(guān)模型來(lái)解題．【訓(xùn)練1】(1)(·長(zhǎng)沙模擬)若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是()．A．b?αB．b∥αC．b?α或b∥αD．b與α相交或b?α或b∥α(2)給出下列關(guān)于互不相同的直線l，m，n和平面α，β，γ的三個(gè)命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個(gè)數(shù)為()．A．3B．2C．1D．0解析(1)可以構(gòu)造一草圖來(lái)表示位置關(guān)系，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)b與α相交或b?α或b∥α?xí)r，均滿足直線a⊥b，且直線a∥平面α的情況，故選D.(2)①中，當(dāng)α與β相交時(shí)，也能存在符合題意的l，m；②中，l與m也可能異面；③中，l∥γ，l?β，β∩γ＝m?l∥m，同理l∥n，則m∥n，正確．答案(1)D(2)C考點(diǎn)二線面平行的判定與性質(zhì)【例2】如圖，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝eq\r(2)，AA′＝1，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱錐A′－MNC的體積．(1)證明法一連接AB′，AC′，如圖，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′為直三棱柱，所以M為AB′中點(diǎn)．又因?yàn)镹為B′C′的中點(diǎn)，所以MN∥AC′.又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，因此MN∥平面A′ACC′.法二取A′B′的中點(diǎn)P，連接MP，NP，AB′，如圖，而M，N分別為AB′與B′C′的中點(diǎn)，所以MP∥AA′，PN∥A′C′，所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.而MN?平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.(2)解法一連接BN，如圖，由題意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝eq\f(1,2)B′C′＝1，規(guī)律方法判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義，一般用反證法；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)，其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語(yǔ)言的敘述；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．【訓(xùn)練2】如圖，在四面體A－BCD中，F(xiàn)，E，H分別是棱AB，BD，AC的中點(diǎn)，G為DE的中點(diǎn)．證明：直線HG∥平面CEF.證明法一如圖1，連接BH，BH與CF交于K，連接EK.∵F，H分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴K是△ABC的重心，∴eq\f(BK,BH)＝eq\f(2,3).又據(jù)題設(shè)條件知，eq\f(BE,BG)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BK,BH)＝eq\f(BE,BG)，∴EK∥GH.∵EK?平面CEF，GH?平面CEF，∴直線HG∥平面CEF.圖1圖2法二如圖2，取CD的中點(diǎn)N，連接GN、HN.∵G為DE的中點(diǎn)，∴GN∥CE.∵CE?平面CEF，GN?平面CEF，∴GN∥平面CEF.連接FH，EN∵F，E，H分別是棱AB，BD，AC的中點(diǎn)，∴FH綉eq\f(1,2)BC，EN綉eq\f(1,2)BC，∴FH綉EN，∴四邊形FHNE為平行四邊形，∴HN∥EF.∵EF?平面CEF，HN?平