集合間的基本關(guān)系-答案版

行是知之始，知是行之成行是知之始，知是行之成高一第一章集合與常用邏輯用語-史老師高一第一章集合與常用邏輯用語-史老師第二節(jié)集合間的基本關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)理解集合之間包含與相等的含義；理解子集、真子集的概念；能利用韋恩圖表達(dá)集合間的關(guān)系；了解空集的含義．18801880年Venn首次采用也稱韋恩圖或文氏圖.Venn圖：用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合.多元導(dǎo)學(xué)多元導(dǎo)學(xué)我們知道，兩個(gè)實(shí)數(shù)之間有相等關(guān)系，大小關(guān)系，如5=5，5<7，5>3，等等。兩個(gè)集合之間是否也有類似的關(guān)系呢?問題1：觀察下面的例子，類比實(shí)數(shù)間的大小或相等關(guān)系，試說說每組的兩個(gè)集合間有何關(guān)系?(1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；(2)A為立德中學(xué)高一(2)班全體女生組成的集合；B為立德中學(xué)高一(2)班全體學(xué)生組成的集合；(3)A={等邊三角形}，B={等腰三角形}；集合A小，集合B大(4)A={4，6，8}，B={8，4，6}；(5)A={x∈Z||x|<2}，B={-1，0，1}集合相等互動精講+互動精講+課堂檢測要點(diǎn)一：包含關(guān)系與子集知識點(diǎn)1、子集子集：若集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，則說集合A包含于集合B(或集合B包含集合A).并稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)如：{1,2}?{1,2,3,5};{0,1,2}?{x∈N|x<3}符號語言:對任意的x∈A，總有x∈B，則A?B圖形語言:注意：(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A；(2)對于集合A，B，C，若A?B，且B?C，則A?CVenn圖在數(shù)學(xué)中,我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.(1)表示集合的Venn圖邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線;(2)用Venn圖表示集合的方法叫圖示法,其優(yōu)點(diǎn)是能直觀地表示出集合間的關(guān)系,缺點(diǎn)是集合元素的共同特征不明顯例一：已知A＝{x|x是正數(shù)}，B＝{x|x是正整數(shù)}，C＝{x|x是實(shí)數(shù)}，那么A，B，C之間的關(guān)系是()A．A?B?C B．B?A?CC．C?A?B D．A＝B?C【答案】B【解析】集合A，B，C的關(guān)系如圖．【變式1】（24-25高一上·全國·課堂例題）A=1,2,3,B=1,2,3,4,C=1,2,3,4,5，A【答案】A?B【分析】根據(jù)包含關(guān)系分析判斷.【詳解】因?yàn)锳=1,2,3,B=1,2,3,4所以A?B例二：（23-24高二下·河北保定·期末）已知集合A=x-1<x<2，B=xA．A>B B．A?B C．B?A D．A=B【答案】C【分析】根據(jù)子集包含關(guān)系得到答案.【詳解】x0<x<1?x-1<x<2，故故選：C【變式1】（23-24高一下·貴州六盤水·期末）已知集合A=x|x2A．-2,2?A B．-2,2∈A C．2?A D【答案】A【分析】首先化簡集合A，再根據(jù)集合與集合的關(guān)系，元素與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)锳=x|所以-2,2?A，2∈A，-2故選：A【變式2】（20-21高一上·北京·期末）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A與B的關(guān)系如圖所示，則集合A．2,4,5 B．1,2,5 C．1,6 D．1,3【答案】D【解析】由圖可得B?A【詳解】解：由圖可知：B?∵A=由選項(xiàng)可知：1,3?故選：D.【變式3】（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）判斷下列各組中兩個(gè)集合之間的關(guān)系：(1)1,2,3與xx是6的正因數(shù)}(2)xx=3n,n∈Z與x【答案】(1)xx是6的正因數(shù)}(2)xx=3n,n【分析】（1）根據(jù)正因數(shù)的定義，結(jié)合子集的定義進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)集合元素屬性特征進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）因?yàn)?,2,3,6是6的正因數(shù)，所以xx是6的正因數(shù)}（2）因?yàn)閤=3nn所以集合xx=3n,n∈Z表示3因?yàn)閤=3?所以集合xx=6k,k∈Z表示3因此xx=3n,n知識點(diǎn)2、集合相等集合相等：一般的，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A=B.也就是說：若A?B，且B?A，則A=B.與實(shí)數(shù)中的結(jié)論“若a≥b，且b≥a，則a=b”相類比，你有什么體會？例一：（24-25高一上·全國·課堂例題）若A=0,1(1)如何從元素的角度判斷兩個(gè)集合A與B的關(guān)系？(2)如何從子集的角度判斷集合A與B的關(guān)系?【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）求出集合B，觀察兩集合中的元素的關(guān)系可判斷；（2）求出集合B，由兩集合之間的包含關(guān)系分析判斷.【詳解】（1）集合B=x所以兩個(gè)集合中的元素完全相同，這兩個(gè)集合相等；（2）集合B=xx2=x=所以集合A是B的子集；反之，集合B中元素都屬于集合A，所以集合B是A子集，即兩個(gè)集合互為子集，這兩個(gè)集合相等.【變式1】下列集合x|x3=1，x|x2=1，A．x|x3=1 B．x|x2=1【答案】B【分析】解方程求出各集合，即可得出結(jié)論.【詳解】易知x|x3=1=1只有B表示±1，其它A、C、D均表示1，B與眾不同．故選：B【變式2】下面選項(xiàng)中的兩個(gè)集合相等的是（

）A． B．M=1,0C．M=xx2【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，相等集合的定義，即可判斷.【詳解】A.兩個(gè)集合都是點(diǎn)集，兩個(gè)集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A錯(cuò)誤；B.集合M表示數(shù)集，有2個(gè)元素，分別是1和0，集合N是點(diǎn)集，只有1個(gè)元素，為1,0，所以不是相等集合，故B錯(cuò)誤；C.x2-4x+4=0，得，即M=N=2，故D.集合M是空集，但集合N是非空集，里面有1個(gè)元素?，所以不是相等集合，故D錯(cuò)誤.故選：C【變式3】判斷題1．1,-1【答案】錯(cuò)誤【分析】根據(jù)集合的元素是否相等，即可判斷.【詳解】集合1,-1表示數(shù)集，里面有2個(gè)元素，集合1,-1表示點(diǎn)集，集合有所以2個(gè)集合不相等，所以不正確.故答案為：錯(cuò)誤.2．集合M=x∣x=2k-1,k∈Z，N=x∣x=2k+1,k∈Z【答案】正確【分析】根據(jù)集合中的元素特征，分析集合間的關(guān)系.【詳解】集合M和N都是由奇數(shù)組成的集合，所以集合相同，所以命題正確.知識點(diǎn)3、真子集真子集：如果集合?????,?但存在元素??∈??,?且?????,?就稱集合???是集合???的真子集("propersubset"),?記作：A讀作：“A真包含于B”（或“B真包含A”）所以集合A是集合B的真子集例一：判斷下列兩個(gè)集合之間的關(guān)系：(1)A=1,2,4，B={x∣x是8的因數(shù)}(2)，．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）∵A=1,2,4，B=1,2,4,8，如圖1，∴（2）∵，，如圖2，∴A?B．【變式1】1．（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=k+3,k∈Z}，則（A．A=B B．A?B C．B?A D．A【答案】B【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系即可判斷得出答案．【詳解】解：由題意可得集合A={x|x=2k,k∈B={x|x=k+3,k∈故A?B，故選項(xiàng)ACD都錯(cuò)．故選：B．知識點(diǎn)4、空集空集：定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.規(guī)定：空集是任何集合的子集．即??A.是任何非空集合的真子集.注意點(diǎn)：(1)在真子集的定義中，A?B首先要滿足A?B，其次至少有一個(gè)x∈B，但x?A.(2)?與{0}的區(qū)別：?是不含任何元素的集合；{0}是含有一個(gè)元素的集合，??{0}．例一：（23-24高一上·北京東城·期中）下列正確的是（）A．0∈0,1,2 B．0∈? C．?=0 D【答案】D【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系以及空集的定義逐一判斷.【詳解】選項(xiàng)A，0不是0,1,2的元素，即?∈0,1,2不成立，則A選項(xiàng)B，?中沒有任何元素，即0??，則B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，?中沒有任何元素，而0表示集合里面只有一個(gè)元素，即兩者不相等，則C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，元素?為集合?中的元素，即?∈?，則D故選：D.【變式1】已知六個(gè)關(guān)系式①?∈?；②??≠?；③0?≠?；④0??；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)空集的性質(zhì)、元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷各關(guān)系式的正誤.【詳解】根據(jù)元素與集合、集合與集合關(guān)系：?是?的一個(gè)元素，故?∈?，①?是任何非空集合的真子集，故??≠?、0?沒有元素，故0??，④正確；且?≠0、?≠?，⑤所以①②③④⑥正確.故選：C【變式2】（23-24高一上·重慶·期中）下列關(guān)于0與?說法不正確的是（）A．0?? B．0C． D．0??【答案】C【分析】根據(jù)?的定義與性質(zhì)結(jié)合元素與集合的關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】因?yàn)?是不含任何元素的集合，故A正確，C不正確；對于選項(xiàng)B：0∈0，故對于選項(xiàng)D：因?yàn)?是任何集合的子集，所以0??，故D故選：C.【變式3】判斷題1、（24-25高一上·全國·課堂例題）?=0【答案】錯(cuò)誤【分析】根據(jù)空集的定義分析判斷.【詳解】因?yàn)榭占胁缓魏卧兀?≠所以?=故答案為：錯(cuò)誤2（24-25高一上·全國·課堂例題）空集沒有子集．()【答案】錯(cuò)誤【分析】結(jié)合空集、子集的概念即可判斷.【詳解】空集是任何集合的子集，所以空集也是空集的子集，空集的子集是其本身，故“空集沒有子集”是錯(cuò)誤的，故答案為：錯(cuò)誤.3（23-24高一上·河南南陽·階段練習(xí)）0是空集.()【答案】錯(cuò)誤【分析】由空集的定義可得.【詳解】空集是不含任何元素的集合，集合0中含有一個(gè)元素0,故錯(cuò)誤.故答案為：錯(cuò)誤.例一：（（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知集合A=xa-1<x<2a+1，B=x0<x<1，若【答案】a≤-【分析】根據(jù)給定條件，利用空集的意義列式作答；【詳解】因A={x|a-1<x<2a+1}是空集，則2a+1≤a-1，解得a≤-所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-【變式1】（23-24高一上·陜西延安·階段練習(xí)）集合A=(1)若A是空集，求a的取值范圍(2)若A中只有一個(gè)元素，求a的值并把這個(gè)元素寫出來【答案】(1)a>(2)a=0或【分析】（1）討論當(dāng)a=0時(shí)和當(dāng)a≠0時(shí)兩種情況，當(dāng)a≠0時(shí)，Δ<0，從而可得答案.（2）討論當(dāng)a=0時(shí)和當(dāng)a≠【詳解】（1）當(dāng)a=0時(shí)，原方程可化為-3x+2=0，得x=2當(dāng)a≠0,Δ=9-8a<0,即a>所以a的取值范圍是a>9（2）當(dāng)a=0時(shí)，原方程可化為-3x+2=0，得x=2當(dāng)a≠0時(shí)，方程為一元二次方程，由題意得，Δ=9-8a=0，得.所以當(dāng)a=0或時(shí)，集合A中只有一個(gè)元素．【變式2】（23-24高一上·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知集合A=x|0(1)若B=?，求a的取值范圍.(2)若B?A，求a的取值范圍.【答案】(1)a<0(2)【分析】（1）利用空集的定義即可得解；（2）利用集合的包含關(guān)系，分類討論B=?與B≠?【詳解】（1）因?yàn)锽=x|0≤x≤a，B=所以B=x|0≤x≤a中沒有元素，即a<0所以a的取值范圍為a<0.（2）因?yàn)锳=x|0≤x≤1,B=x|0≤x≤a由（1）知，當(dāng)B=?時(shí)，a<0，此時(shí)滿足B?當(dāng)B≠?時(shí)，則0≤所以a的取值范圍為.要點(diǎn)二：子集、真子集個(gè)數(shù)的確定假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有(1)A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．(2)A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(3)A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(4)A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．求集合的子集的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)：(1)要注意兩個(gè)特殊的子集：?和自身．(2)按集合中含有元素的個(gè)數(shù)由少到多，分類一一寫出，保證不重不漏．例一：（24-25高一上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）子集（1）對于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的都是集合B的元素（若a∈A，則a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，記作（或），讀作“”（或““）．可用文氏圖表示為：（2）子集的性質(zhì)：①A?A，即②??A，即③若A?B且B?A，則④傳遞性：若A?B且B?C，則【答案】每個(gè)元素A?BB?AA包含于BB包含A任何一個(gè)集合是它本身的子集空集是任何集合的子集A=BA【分析】略【詳解】略【變式1】（21-22高一·全國·課后作業(yè)）寫出下列集合的所有子集：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根據(jù)所給集合列出相應(yīng)子集即可；（2）根據(jù)所給集合列出相應(yīng)子集即可；（3）根據(jù)所給集合列出相應(yīng)子集即可.【詳解】（1）解：由題得所有子集有..（2）解：由題得所有子集有（3）解：由題得所有子集有【變式2】（22-23高一上·山東聊城·階段練習(xí)）設(shè)集合，列出集合A的子集.【答案】A的子集為【分析】先由條件確定集合的元素，再根據(jù)子集的定義寫出其所有子集.【詳解】由化簡可得，所以A的子集為【變式3】（22-23高一上·上海黃浦·階段練習(xí)）已知集合，則的所有真子集為.【答案】【分析】根據(jù)真子集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋缘乃姓孀蛹癁?，故答案為：【變?】（2022高一·全國·專題練習(xí)）已知A?B，且B＝{0，1，2}寫出滿足條件A的所有集合．【答案】?，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．【分析】結(jié)合已知和真子集的定義得解.【詳解】解：AüB，且B＝{0，1，2}；∴滿足條件A的所有集合為：?，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．例二：（23-24高一上·浙江寧波·期中）集合A=x∈Z|【答案】32【分析】確定出集合A中元素個(gè)數(shù)，由子集的概念可得．【詳解】由已知A={-2,-1,0,1,2}，A有5個(gè)元素，它的子集個(gè)數(shù)為25故答案為：32.【變式1】（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）已知集合N=x∈N1<x<3，則集合N有（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】先求出集合N，再結(jié)合子集的結(jié)論求解即可.【詳解】由題意，N=x所以集合N有21=2故選：C.【變式2】（21-22高一下·安徽·期中）設(shè)集合A=x∈N|y=12x+3∈N【答案】16【分析】先化簡集合A，再利用子集的定義求解.【詳解】解：A=0,1,3,9故A的子集個(gè)數(shù)為24故答案為：16【變式3】（19-20高一·浙江杭州·階段練習(xí)）集合0,2,3的真子集共有（

）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】C【解析】列舉出集合的真子集即可.【詳解】解：集合0,2,3的真子集有0，，3，0,2，0,3，，?，共7個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查真子集的概念，是基礎(chǔ)題.【變式4】（18-19高三下·浙江·階段練習(xí)）集合0,1,2,3,4,5的真子集個(gè)數(shù)是A．23 B．24-1 C．2【答案】D【解析】集合有6個(gè)元素，直接代入真子集個(gè)數(shù)的公式求解.【詳解】集合有6個(gè)元素，所以集合的真子集個(gè)數(shù)是26-故選：D【點(diǎn)睛】本題考查真子集的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題型.【變式5】（2019·浙江·二模）集合{2,?0,?A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】根據(jù)含有n個(gè)元素的集合，有2n個(gè)子集，有2n【詳解】解：集合{2,?0,?1,?9}含有4個(gè)元素，則集合{2,?0,?1,?9}的真子集有24-1=15故選：C【點(diǎn)睛】考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有n個(gè)元素的集合，有2n個(gè)子集，有2n【變式6】（20-21高一上·寧夏中衛(wèi)·期中）已知集合A=x∈Z【答案】3【解析】首先確定集合A中的元素，然后由真子集的定義求解．【詳解】由題意A={2,3}，∴A的真子集有3個(gè)：?，，{3}．故答案為：3．【變式7】（2019高一·浙江·專題練習(xí)）已知集合A=a-3,2a-1，且3∈A，實(shí)數(shù)a=，A的真子集個(gè)數(shù)為【答案】2或63【分析】根據(jù)3∈A，及A=a-3,2a-1，從而得出，或2a-1=3，解出a，并求出集合A，驗(yàn)證是否滿足3∈【詳解】解：∵A=a-3,2a-1，且3∴a-3=3時(shí)，a=6，A=3,11，滿足條件，此時(shí)集合A的真子集有個(gè)；2a-1=3時(shí)，a=2，A=-1,3，滿足條件，此時(shí)集合A的真子集有個(gè)；∴a=2或6故答案為：2或6；3【點(diǎn)睛】考查列舉法的定義，以及元素與集合的關(guān)系，集合元素的互異性，集合的真子集的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．【變式8】（22-23高一上·浙江·階段練習(xí)）集合{x∈N∣【答案】30【分析】首先用列舉法表示集合，即可得到其元素的個(gè)數(shù)，再根據(jù)含有n個(gè)元素的集合的非空真子集有2n-2【詳解】解：因?yàn)閧x∈N∣-2<x<5}=0,1,2,3,4，所以集合{x∈N∣-2<x<5}含有5個(gè)則其非空真子集有25-故答案為：30【變式8】（20-21高一上·陜西寶雞·期中）集合x∈Nx=5A．2個(gè) B．3個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)x∈N,n【詳解】當(dāng)n=0時(shí)：x=5；當(dāng)n=1時(shí)：x=3；當(dāng)n=2時(shí)：x=1，故集合共有3個(gè)元素，其非空真子集個(gè)數(shù)是：23-故選：C.【變式9】（22-23高三上·浙江衢州·階段練習(xí)）已知集合A=a1,a2,aA．3 B．4 C．6 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意得集合A的所有非空真子集，再求和即可.【詳解】解：因?yàn)榧螦=a1,所以，3a1+故選：B【變式10】（19-20高一上·西藏山南·期中）已知A=a,b,c（1）集合A的子集的個(gè)數(shù)，并判斷與集合A的關(guān)系（2）請寫出集合A的所有非空真子集【答案】（1）8，üA（2）{a}，，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}【分析】（1）根據(jù)子集的概念，利用列舉法可得集合A的所有子集，從而可得子集個(gè)數(shù)以及與集合A的關(guān)系；（2）根據(jù)非空真子集的概念，利用列舉法可得答案.【詳解】（1）A=a,b,c的子集有，{a}，，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}共8其中üA.（2）集合A的所有非空真子集有{a}，，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}.【點(diǎn)睛】本題考查了子集和真子集的概念，屬于基礎(chǔ)題.例三：（2021·浙江紹興·三模）已知集合滿足{1,2}?A?{1,2,3}，則集合A．{3} B．{1,3} C． D．{1,2}【答案】D【分析】由題可得集合A可以是1,2，1,2,3.【詳解】∵{1,2}∴集合A可以是1,2，1,2,3.故選：D.【變式1】（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M?A?N，則滿足集合A的個(gè)數(shù)為（A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)包含關(guān)系，寫出所有滿足條件的集合A即可得解.【詳解】因?yàn)镸?所以A可以是1,2,3,1,2,3,4,故選：D【變式2】（22-23高一上·浙江紹興·階段練習(xí)）滿足1，2，3?A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)子集和真子集的定義，即可寫出滿足條件的集合A，即可求出答案．【詳解】因?yàn)?，所以1,2,3∈A，4，5可能在集合所以滿足條件的集合A為：1,2,3，，1,2,3,5，1,2,3,4,5，所以滿足集合A的個(gè)數(shù)為4個(gè)．故選：B．【變式3】（17-18高二下·廣西玉林·期末）已知集合M滿足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，那么這樣的集合M的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由題意可知集合M中一定包含元素1和2，集合M其他元素構(gòu)成的集合為集合3,4,5的子集，從而可求出集合M的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)閧1,2}所以集合M中一定包含元素1和2，集合M其他元素構(gòu)成的集合為集合3,4,5的子集，所以集合M的個(gè)數(shù)為23故選：C【變式4】（22-23高一上·浙江溫州·期中）滿足1,2?M?1,2,3,5的集合【答案】4【分析】根據(jù)子集定義可得集合M所有可能的結(jié)果，由此可得集合M的個(gè)數(shù).【詳解】由子集定義可知：集合M所有可能的結(jié)果為1,2，1,2,3，1,2,5，1,2,3,5，共4個(gè).故答案為：4.【變式5】（19-20高一·全國·課后作業(yè)）滿足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}的集合M有【答案】7【分析】由{1,2}üM?{1,2,3,4,5}，可以確定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5【詳解】可以確定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一個(gè)，因此依據(jù)集合M的元素個(gè)數(shù)分類如下：含有三個(gè)元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四個(gè)元素：，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五個(gè)元素：．故滿足題意的集合M共有7個(gè)．故答案為：7.【變式6】已知集合滿足：1,2?M?1,2,3,4,5，寫出集合【答案】，，，，，，【詳解】解：∵1,2∴1,2都在集合中，且3,4,5中有1個(gè)或2個(gè)在集合中或3個(gè)都在集合中，集合所有可能情況為：，，，，，，．故答案為：，，，，，，．【變式1-3】（1）已知集合，則集合的子集依次是．（2）已知集合，則集合的真子集依次是．【答案】，，，，，，，，，【詳解】解：（1）集合子集依次是：，，，，，，，；故答案為：，，，，，，，；（2）集合的真子集依次：，，；故答案為：，，．【變式7】（22-23高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知?的集合M的個(gè)數(shù)是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】依題意且且至少有一個(gè)屬于集合，再一一列舉出來即可.【詳解】因?yàn)?，所以且且至少有一個(gè)屬于集合，可能為，，，，，，共個(gè)，故選：A.【變式8】（多選）（21-22高一上·廣東·期末）以下滿足{0,2,4}?A?{1,2,3,4}的集合A有（

）A． B．{0,1,3,4} C．{0,1,2,4} D．【答案】AC【分析】直接寫出符合題意要求的所有集合A，再去選項(xiàng)中選正確答案.【詳解】由題意可知，集合A包含集合，同時(shí)又是集合的真子集，則所有符合條件的集合A為,{0,1,2,4},{0,2,3,4}.選項(xiàng)BD均不符合要求，排除.故選：AC【變式9】（多選）（23-24高一上·江蘇南京·期中）下列各個(gè)選項(xiàng)中，滿足?的集合有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先化簡集合，利用子集的含義可得答案.【詳解】因?yàn)?，即?，所以中定有和3，故排除B，又因?yàn)槭堑恼孀蛹?，故排除D．故選：AC.【變式10】（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）集合滿足?，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為.【答案】7【分析】據(jù)子集和真子集的定義即可寫出所有滿足條件的集合，從而求出滿足題意的集合的個(gè)數(shù)．【詳解】根據(jù)題意，集合至少含有0,2兩個(gè)元素，但集合，所以滿足條件的集合為，共7個(gè)，所以滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為7，故答案為：7.【變式11】（22-23高一上·北京西城·階段練習(xí)）??，這樣的共有個(gè).【答案】6【分析】根據(jù)真子集的概念寫出所有真子集即可得解.【詳解】由真子集的定義可知，可取，，，，，，共6個(gè).故答案為：6【變式12】（23-24高一上·上海靜安·階段練習(xí)）滿足{1，2，3}?M?{1，2，3，4，5，6}的集合M的個(gè)數(shù)是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】根據(jù)條件，列舉出滿足條件的集合，即可求解.【詳解】由題意可知，,,,,,，共有6個(gè)集合滿足條件.故選：C【變式13】（23-24高一上·山西太原·階段練習(xí)）滿足關(guān)系??的集合的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】根據(jù)對真子集概念的理解，列舉集合的情況即可.【詳解】由??，得，且三個(gè)元素至少一個(gè)屬于，且至多兩個(gè)屬于.法一：故或或或或或，滿足題意的集合共個(gè).法二：問題等價(jià)于集合的非空真子集的個(gè)數(shù)，則共有個(gè).故選：B.要點(diǎn)三、包含關(guān)系與屬于關(guān)系之間的關(guān)系問題：包含關(guān)系a?A與屬于關(guān)系a∈注：包含關(guān)系刻畫的是集合與集合間的關(guān)系；而屬于關(guān)系刻畫的是元素與集合間的關(guān)系要點(diǎn)三：根據(jù)集合間的基本關(guān)系求參數(shù)的取值或取值范圍利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)注點(diǎn)(1)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值．(2)要注意“空集”的情況，空集是任何集合的子集．易錯(cuò)點(diǎn)：忽視對空集的討論而致錯(cuò)例一：（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或4【答案】C【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系即得.【詳解】因，，且，故，且，則有或.故選：C【變式1】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）已知集合A=0,2，B=-1,0,a+3，且A?【答案】【分析】由已知，可以得出，就可以求出的值．【詳解】解：，集合的元素都屬于集合，，必有，．故答案為：故答案為：或或【變式2】已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，解得：；當(dāng)時(shí)，由得：，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【變式3】已知集合，．(1)若，求m的取值范圍．(2)若，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）若，如圖所示，

則，解得，所以m的取值范圍為；（2）若，有和兩種情況，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，如圖所示，

則，解得，綜上，m的取值范圍為．例一：（23-24高一上·吉林·階段練習(xí)）設(shè)集合，若是的真子集，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別解出集合，利用是的真子集逐個(gè)元素判斷即可.【詳解】因?yàn)榧希?，?dāng)時(shí)，，是的真子集，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以或，解得或，故選：B【變式1】（22-23高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)，若，則的值為.【答案】或或【分析】先求解出一元二次方程的解，即可得到，再根據(jù)考慮是否為，分類討論的可取值.【詳解】因?yàn)?，所以或，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以或，所以?所以的取值為：或或.【變式2】若集合A=-13,12.【思路分析】根據(jù)集合中的方程，可得中至多有一個(gè)元素，再由集合中的元素可得或或因此分三種情況討論，分別解方程，即可得到實(shí)數(shù)的值.【解析】①②③綜上所述，的值為0或-3或2【變式3】設(shè)集合，集合，若且，則實(shí)數(shù).【答案】0或或1【詳解】，且，或或．當(dāng)時(shí)，且，解得.則；當(dāng)時(shí)，且，解得.則當(dāng)時(shí)，有，解得.則；所以或或1.故答案為：0或或1【變式4】（22-23高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知集合，在下列條件下分別求實(shí)數(shù)m的取值范圍：(1)；(2)恰有一個(gè)元素.【答案】(1)(2)【分析】若，則關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)解，則，且，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．若A恰有一個(gè)元素，所以關(guān)于x的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，分類討論能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】（1）若，則關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)解，則，且，所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是；（2）若A恰有一個(gè)元素，所以關(guān)于x的方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，討論：當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，所以．綜上所述，m的取值范圍為知識點(diǎn)總結(jié)知識點(diǎn)總結(jié)知識點(diǎn)1：Venn圖在數(shù)學(xué)中,我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Venn圖.(1)表示集合的Venn圖邊界是封閉曲線,它可以是圓、橢圓、矩形,也可以是其他封閉曲線;(2)用Venn圖表示集合的方法叫圖示法,其優(yōu)點(diǎn)是能直觀地表示出集合間的關(guān)系,缺點(diǎn)是集合元素的共同特征不明顯知識點(diǎn)2：子集定義一般地，對于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集記法與讀法記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)圖示結(jié)論(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A；(2)對于集合A，B，C，若A?B，且B?C，則A?C知識點(diǎn)3：集合相等一般地，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B，且B?A，則A＝B.知識點(diǎn)4：真子集定義如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集記法與讀法記作AB(或BA)，讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”)圖示性質(zhì)：(1)反身性：任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A?A；(2)傳遞性：對于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.知識點(diǎn)5：空集的含義(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集．注意點(diǎn)：(1)在真子集的定義中，AB首先要滿足A?B，其次至少有一個(gè)x∈B，但x?A.(2)?與{0}的區(qū)別：?是不含任何元素的集合；{0}是含有一個(gè)元素的集合，?{0}．要點(diǎn)1：子集、真子集個(gè)數(shù)的確定假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素，則有(1)A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．(2)A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(3)A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(4)A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．求集合的子集的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)要注意兩個(gè)特殊的子集：?和自身．(2)按集合中含有元素的個(gè)數(shù)由少到多，分類一一寫出，保證不重不漏．要點(diǎn)2：根據(jù)集合間的基本關(guān)系求參數(shù)的取值或取值范圍利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的關(guān)注點(diǎn)(1)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值．(2)要注意“空集”的情況，空集是任何集合的子集．易錯(cuò)點(diǎn)：忽視對空集的討論而致錯(cuò)課后練習(xí)課后練習(xí)一、單選題1．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）下列寫法中正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】正確利用元素與集合之間的關(guān)系，集合與集合之間的關(guān)系，判斷選項(xiàng)即可．【詳解】A．，故選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．是沒有元素的，故，故選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．空集是任何集合的子集，故選項(xiàng)正確，符合題意；D．，是集合與集合之間的關(guān)系，故選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：C．2．（21-22高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）若集合，則集合A的真子集個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．7個(gè) D．15個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)集合元素個(gè)數(shù)與真子集個(gè)數(shù)的關(guān)系求出答案.【詳解】集合A中有2個(gè)元素，則真子集個(gè)數(shù)為.故選：A3．（23-24高一上·吉林延邊·期末）已知集合，下列式子錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合A，再利用元素與集合之間的關(guān)系依次判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】，，故ABD正確；而與是兩個(gè)集合，不能用“”表示它們之間的關(guān)系，故C錯(cuò)誤.故選：C4．（23-24高一上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合后，根據(jù)集合間的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】，是以空集為元素的集合，不是集合A的子集，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D.5.（2022高一上·全國·專題練習(xí)）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合,根據(jù)借助于數(shù)軸表示，得到不等式組，解之即得.【詳解】由題，,由，可得，解得.故選：A6．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合滿足，則所有滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)集合的定義求得，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，即可求得.【詳解】，又，，故集合為包含元素和，且為的子集，故集合可以為：，則集合的個(gè)數(shù)是個(gè).故選：B.7．（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】先確定出集合中元素個(gè)數(shù)，然后可求子集個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，集合中有個(gè)元素，所以子集個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：C.8．（23-24高一上·北京東城·期中）下列正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系以及空集的定義逐一判斷.【詳解】選項(xiàng)，不是的元素，即不成立，則錯(cuò)誤；選項(xiàng)，中沒有任何元素，即，則錯(cuò)誤；選項(xiàng)，中沒有任何元素，而表示集合里面只有一個(gè)元素，即兩者不相等，則錯(cuò)誤；選項(xiàng)，元素為集合中的元素，即，則正確；故選：D.二、多選題9．（23-24高一上·四川樂山·期中）下列命題中，是真命題的有（

）A．集合的所有真子集為B．若（其中），則C．是等邊三角形是等腰三角形D．【答案】BC【分析】根據(jù)真子集的定義即可判斷A；根據(jù)等集的定義即可判斷B；根據(jù)子集的定義即可判斷CD.【詳解】集合真子集是，共3個(gè)，所以A為假命題；由，知，，則，則B為真命題；等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以C為真命題；，所以，所以D為假命題．故選：BC.10．（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期中）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)元