2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)建華實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)建華實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題只有一個(gè)正確答案，每題2分，共20分）1．（2分）第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉辦，北京是全世界唯一同時(shí)舉辦過(guò)夏季和冬季奧運(yùn)會(huì)的城市，下列組成本屆冬奧會(huì)會(huì)徽的四個(gè)圖案中是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣2x3）2＝4x6 B．a(chǎn)2+a2＝a4 C．2x+3x＝5x2 D．（x+2）2＝x2+43．（2分）下列長(zhǎng)度的三條線段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（）A．1cm，1cm，2cm B．3cm，4cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm4．（2分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x+1＝x（1+）5．（2分）如圖，根據(jù)計(jì)算長(zhǎng)方形ABCD的面積，可以說(shuō)明下列哪個(gè)等式成立（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab6．（2分）多項(xiàng)式mx2﹣4m與多項(xiàng)式x2﹣4x+4的公因式是（）A．x+2 B．x﹣2 C．x2﹣9 D．（x﹣2）27．（2分）如圖，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，∠1+∠2＝90°，BC＝3，則CD＝（）A．4 B．1 C．2 D．38．（2分）如圖，AD是△ABC的角平分線，∠C＝20°，AB+BD＝AC，將△ABD沿AD所在直線翻折，點(diǎn)B在AC邊上的落點(diǎn)記為點(diǎn)E，那么∠AED等于（）A．80° B．60° C．40° D．30°9．（2分）∠MAB為銳角，AB＝a，點(diǎn)C在射線AM上，點(diǎn)B到射線AM的距離為b，BC＝x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（）A．x＝b B．x≥a C．x＝b或x＞a D．x＝b或x≥a10．（2分）已知，△ABC是等邊三角形．點(diǎn)D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BD＝CE，BE與CD交于點(diǎn)F．若△BFD是等腰三角形，則∠FBD的度數(shù)是（）A．30°或60° B．20°或40° C．15°或30° D．20°或30°二、填空題（每題3分，共24分）11．（3分）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是60°，則這個(gè)多邊形邊數(shù)為．12．（3分）計(jì)算：（am+bm）÷m＝．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使得點(diǎn)A′恰好落在AB上，則旋轉(zhuǎn)角度為．14．（3分）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗），在圖中由三角形全等可知，工人測(cè)量A'B'的長(zhǎng)度即可知道工件內(nèi)槽寬AB的長(zhǎng)度，理由是．15．（3分）等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4，一邊長(zhǎng)等于9，它的周長(zhǎng)是．16．（3分）已知a+b＝2，ab＝1，則a2+b2＝．17．（3分）如圖，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C．若PC＝10，則OC＝，PD＝．18．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝b，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是（用含a，b的式子表示）．三、解答題（共56分，其中19題8分；20題10分；21題5分；22題6分；23題7分，24題，25題每題6分；26題8分）19．（8分）分解因式：（1）a2+ab+2a；（2）（2m+n）2﹣（m+n）2．20．（10分）計(jì)算：（1）（2x+3y）（2x﹣y）；（2）（4x2y3﹣8x3y2z）÷4x2y2．21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代數(shù)式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．22．（6分）如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝FE，F(xiàn)C∥AB，AE與CE有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．23．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，﹣3），且OA＝5，在x軸上確定一點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形．（1）寫出一個(gè)符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有符合條件的△AOP．24．（6分）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2022年1月份的日歷，我們?nèi)我膺x擇其中所示的方框部分，將每個(gè)方框部分中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘，再相減，結(jié)果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7．（1）如圖，設(shè)日歷中所示的方框左上角數(shù)字為x，則上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含x的式子可表示為；（2）利用整式的運(yùn)算對(duì)（1）中的規(guī)律加以證明．25．（6分）已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段CD上（點(diǎn)E不與點(diǎn)C，D重合），且∠EAC＝2∠EBC．求證：AE+AC＝BC．26．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意圖形G及直線l1，l2，給出如下定義：將圖形G先沿直線l1翻折得到圖形G1，再將圖形G1沿直線l2翻折得到圖形G2，則稱圖形G2是圖形G的＜l1，l2＞伴隨圖形．例如：點(diǎn)P（2，1）的＜x軸，y軸＞伴隨圖形是點(diǎn)P'（﹣2，﹣1）．（1）點(diǎn)Q（﹣5，﹣2）的＜x軸，y軸＞伴隨圖形點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為；（2）已知A（t，1），B（t﹣4，1），C（t，4），直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）．直線n經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，﹣1）①當(dāng)t＝3，且直線m與y軸平行時(shí)，直線n與x軸平行時(shí)，求點(diǎn)A的＜n，m＞伴隨圖形點(diǎn)A'的坐標(biāo)；②當(dāng)直線m經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，若△ABC的＜x軸，m＞伴隨圖形上只存在兩個(gè)與x軸的距離為2的點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．

2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)建華實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題只有一個(gè)正確答案，每題2分，共20分）1．（2分）第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉辦，北京是全世界唯一同時(shí)舉辦過(guò)夏季和冬季奧運(yùn)會(huì)的城市，下列組成本屆冬奧會(huì)會(huì)徽的四個(gè)圖案中是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：A．不是軸對(duì)稱圖形，故A錯(cuò)誤；B．不是軸對(duì)稱圖形，故B錯(cuò)誤；C．不是軸對(duì)稱圖形，故C錯(cuò)誤；D．是軸對(duì)稱圖形，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．2．（2分）下列運(yùn)算正確的是（）A．（﹣2x3）2＝4x6 B．a(chǎn)2+a2＝a4 C．2x+3x＝5x2 D．（x+2）2＝x2+4【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方的運(yùn)算法則，合并同類項(xiàng)法則，完全平方公式解答即可．【解答】解：A、原式＝4x6，原計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；B、原式＝2a2，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C、原式＝5x，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D、原式＝x2+4x+4，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了冪的乘方與積的乘方，合并同類項(xiàng)，完全平方公式，熟練掌握法則和公式是解本題的關(guān)鍵．3．（2分）下列長(zhǎng)度的三條線段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（）A．1cm，1cm，2cm B．3cm，4cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．6cm，9cm，2cm【分析】利用三角形的三邊關(guān)系定理進(jìn)行分析即可．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：A、1+1＝2，不能構(gòu)成三角形；B、3+4＞5，能構(gòu)成三角形；C、4+5＜10，不能構(gòu)成三角形；D、2+6＜9，不能構(gòu)成三角形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．4．（2分）下列等式中，從左到右的變形是因式分解的是（）A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．（x+1）2＝x2+2x+1 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．x+1＝x（1+）【分析】根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．x（x﹣1）＝x2﹣x，從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B．（x+1）2＝x2+2x+1，從左至右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），從左至右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；D．x+1＝x（1+），等式的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的定義，能熟記因式分解的定義（把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解）是解此題的關(guān)鍵．5．（2分）如圖，根據(jù)計(jì)算長(zhǎng)方形ABCD的面積，可以說(shuō)明下列哪個(gè)等式成立（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab【分析】長(zhǎng)方形ABCD的面積可以表示為a（a+b），也可表示為兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積和，即a2+ab，所以a（a+b）＝a2+ab【解答】解：∵長(zhǎng)方形ABCD面積＝兩個(gè)小長(zhǎng)方形面積的和，∴可得a（a+b）＝a2+ab故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題應(yīng)用面積法，通過(guò)大長(zhǎng)方形的面積等于兩個(gè)小長(zhǎng)方形面積的和得出等式．6．（2分）多項(xiàng)式mx2﹣4m與多項(xiàng)式x2﹣4x+4的公因式是（）A．x+2 B．x﹣2 C．x2﹣9 D．（x﹣2）2【分析】用提取公因式法和公式法分解因式，再根據(jù)公因式定義求得結(jié)果．【解答】解：∵mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2），x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴mx2﹣4m與多項(xiàng)式x2﹣4x+4的公因式是（x﹣2），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解與公因式的定義，關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．7．（2分）如圖，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，∠1+∠2＝90°，BC＝3，則CD＝（）A．4 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到∠1＝∠CAD，結(jié)合題意利用AAS證明△ABC≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．【解答】解：∵∠D＝90°，∴∠2+∠CAD＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠CAD，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS），∴BC＝CD，∵BC＝3，∴CD＝3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．（2分）如圖，AD是△ABC的角平分線，∠C＝20°，AB+BD＝AC，將△ABD沿AD所在直線翻折，點(diǎn)B在AC邊上的落點(diǎn)記為點(diǎn)E，那么∠AED等于（）A．80° B．60° C．40° D．30°【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD＝DE，AB＝AE，然后根據(jù)AC＝AE+EC，AB+BD＝AC，證得DE＝EC，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形的外角的性質(zhì)求解．【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD＝DE，AB＝AE．∵AC＝AE+EC，AB+BD＝AC，∴DE＝EC．∴∠EDC＝∠C＝20°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝40°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，證明DE＝EC是本題的關(guān)鍵．9．（2分）∠MAB為銳角，AB＝a，點(diǎn)C在射線AM上，點(diǎn)B到射線AM的距離為b，BC＝x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（）A．x＝b B．x≥a C．x＝b或x＞a D．x＝b或x≥a【分析】先找出點(diǎn)D的位置，再畫出符合的所有情況即可．【解答】解：過(guò)B作BD⊥AM于D，∵點(diǎn)B到射線AM的距離為b，∴BD＝b，①如圖，當(dāng)C點(diǎn)和D點(diǎn)重合時(shí)，x＝b，此時(shí)△ABC是一個(gè)直角三角形；②如圖，當(dāng)b＜x＜a時(shí)，此時(shí)C點(diǎn)的位置有兩個(gè)，即△ABC有兩個(gè)；③如圖，當(dāng)x≥a時(shí)，此時(shí)△ABC是一個(gè)三角形；所以x的范圍是x＝b或x≥a，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了考查全等三角形的判定，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)點(diǎn)，注意：能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．10．（2分）已知，△ABC是等邊三角形．點(diǎn)D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且BD＝CE，BE與CD交于點(diǎn)F．若△BFD是等腰三角形，則∠FBD的度數(shù)是（）A．30°或60° B．20°或40° C．15°或30° D．20°或30°【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠ACB＝60°，由SAS證明△BCD≌△CBE，得出∠BCD＝∠CBE，設(shè)∠BCD＝∠CBE＝x，則∠DBF＝60°﹣x，分三種情況：①若FD＝FB，則∠FBD＝∠FDB＞∠A，證出∠FBD＜60°，得出FD＝FB的情況不存在；②若DB＝DF，則∠FBD＝∠BFD＝2x，得出方程60°﹣x＝2x，解方程即可得出結(jié)果；③若BD＝BF，則∠BDF＝∠BFD＝2x，由三角形內(nèi)角和定理得出方程，解方程即可得出結(jié)果．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠BCD＝∠CBE，∴∠BCD＝∠CBE，設(shè)∠BCD＝∠CBE＝x，∴∠DBF＝60°﹣x，若△BFD是等腰三角形，分三種情況：①若FD＝FB，則∠FBD＝∠FDB＞∠A，∴∠FBD＝∠FDB＞60°，但∠FBD＜∠ABC，∴∠FBD＜60°，∴FD＝FB的情況不存在；②若DB＝DF，則∠FBD＝∠BFD＝2x，∴60°﹣x＝2x，解得：x＝20°，∴∠FBD＝40°；③若BD＝BF，如圖所示：則∠BDF＝∠BFD＝2x，在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD＝180°，∴60°﹣x+2x+2x＝180°，解得：x＝40°，∴∠FBD＝20°；綜上所述：∠FBD的度數(shù)是40°或20°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題3分，共24分）11．（3分）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是60°，則這個(gè)多邊形邊數(shù)為6．【分析】利用外角和除以外角的度數(shù)即可得到邊數(shù)．【解答】解：360÷60＝6．故這個(gè)多邊形邊數(shù)為6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了多邊形的外角和，關(guān)鍵是掌握任何多邊形的外角和都360°．12．（3分）計(jì)算：（am+bm）÷m＝a+b．【分析】利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（am+bm）÷m＝am÷m+bm÷m＝a+b，故答案為：a+b．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的除法，熟練掌握多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使得點(diǎn)A′恰好落在AB上，則旋轉(zhuǎn)角度為60°．【分析】先利用互余得到∠A＝60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA′＝CA，∠ACA′等于旋轉(zhuǎn)角，然后判斷△ACA′為等邊三角形得到∠ACA′＝60°，從而得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使得點(diǎn)A′恰好落在AB上，∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋轉(zhuǎn)角，∴△ACA′為等邊三角形，∴∠ACA′＝60°，即旋轉(zhuǎn)角度為60°．故答案為60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．本題的關(guān)鍵是證明△ACA′為等邊三角形，14．（3分）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗），在圖中由三角形全等可知，工人測(cè)量A'B'的長(zhǎng)度即可知道工件內(nèi)槽寬AB的長(zhǎng)度，理由是根據(jù)SAS證明△AOB≌△A′OB′．【分析】根據(jù)測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，根據(jù)全等的條件之一SAS證得△AOB≌△A′OB′，即可得到A′B′＝AB，進(jìn)而得出答案．【解答】解：連接AB，A′B′，如圖，∵點(diǎn)O分別是AA′、BB′的中點(diǎn)，∴OA＝OA′，OB＝OB′，在△AOB和△A′OB′中，，∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．∴A′B′＝AB．答：需要測(cè)量A′B′的長(zhǎng)度，即為工件內(nèi)槽寬AB．其依據(jù)是根據(jù)SAS證明△AOB≌△A′OB′；故答案為：根據(jù)SAS證明△AOB≌△A′OB′．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知條件可用邊角邊定理判斷出全等．15．（3分）等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4，一邊長(zhǎng)等于9，它的周長(zhǎng)是22．【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為4和9，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解答】解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18∴腰的不應(yīng)為4，而應(yīng)為9∴等腰三角形的周長(zhǎng)＝4+9+9＝22故填：22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．16．（3分）已知a+b＝2，ab＝1，則a2+b2＝2．【分析】利用完全平方公式變形，將a+b與ab代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：∵a+b＝2，ab＝1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．17．（3分）如圖，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C．若PC＝10，則OC＝10，PD＝5．【分析】求出∠COP＝∠CPO＝∠BOP，即可得出PC＝OC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PD＝PE，求出PE，即可求出PD．【解答】解：∵OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP，∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠BOP，∴∠CPO＝∠AOP，∴PC＝OC，∵PC＝10，∴OC＝PC＝10，過(guò)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，∵PD⊥OB，OP平分∠AOB，∴PD＝PE，∵PC∥OB，∠AOB＝30°∴∠ECP＝∠AOB＝30°在Rt△ECP中，PE＝PC＝5，∴PD＝PE＝5，故答案為：10，5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．18．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝b，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是a+b（用含a，b的式子表示）．【分析】首先證明點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE＝30°），作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM交CE于E′，此時(shí)AE′+FE′的值最小．【解答】解：如圖，∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF＝CF＝a，BF＝b，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，∴點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE＝30°），作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM交CE于E′，此時(shí)AE′+FE′的值最小，∵CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM是等邊三角形，∴AM＝AC，∵BF⊥AC，∴FM＝BF＝b，∴△AEF周長(zhǎng)的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b．故答案為：a+b．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE＝30°），本題難度比較大，屬于中考填空題中的壓軸題．三、解答題（共56分，其中19題8分；20題10分；21題5分；22題6分；23題7分，24題，25題每題6分；26題8分）19．（8分）分解因式：（1）a2+ab+2a；（2）（2m+n）2﹣（m+n）2．【分析】（1）直接提取公因式a分解因式即可；（2）利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）a2+ab+2a＝a（a+b+2）；（2）（2m+n）2﹣（m+n）2＝[（2m+n）+（m+n）][（2m+n）﹣（m+n）]＝（2m+n+m+n）（2m+n﹣m﹣n）＝m（3m+2n）．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，掌握公因式的確定是解題關(guān)鍵．20．（10分）計(jì)算：（1）（2x+3y）（2x﹣y）；（2）（4x2y3﹣8x3y2z）÷4x2y2．【分析】（1）利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）（2x+3y）（2x﹣y）＝4x2﹣2xy+6xy﹣3y2＝4x2+4xy﹣3y2；（2）（4x2y3﹣8x3y2z）÷4x2y2＝4x2y3÷4x2y2﹣8x3y2z÷4x2y2＝y(tǒng)﹣2xz．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的除法，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代數(shù)式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后整體代入即可求值．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1＝﹣x2+x+2，當(dāng)x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1時(shí)，原式＝1+2＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．22．（6分）如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝FE，F(xiàn)C∥AB，AE與CE有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．【分析】結(jié)論：AE＝EC．只要證明△ADE≌△CFE即可；【解答】解：∵FC∥AB，∴∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△FCE，∴AE＝EC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考基礎(chǔ)題．23．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，﹣3），且OA＝5，在x軸上確定一點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形．（1）寫出一個(gè)符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)（﹣5，0）；（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有符合條件的△AOP．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）可分三種情況：①AO＝AP；②AO＝PO；③AP＝PO；解答出即可．【解答】解：（1）一個(gè)符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)答案不唯一，如：（﹣5，0），故答案為：答案不唯一，如：（﹣5，0）；（2）符合條件的△AOP如圖所示：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖﹣復(fù)雜作圖、等腰三角形的判定和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，注意討論要全面，不要遺漏．24．（6分）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2022年1月份的日歷，我們?nèi)我膺x擇其中所示的方框部分，將每個(gè)方框部分中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘，再相減，結(jié)果都是7，例如：4×10﹣3×11＝7，14×20﹣13×21＝7．（1）如圖，設(shè)日歷中所示的方框左上角數(shù)字為x，則上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含x的式子可表示為（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7；（2）利用整式的運(yùn)算對(duì)（1）中的規(guī)律加以證明．【分析】（1）根據(jù)題意用含x的式子表示其余三個(gè)數(shù)，表達(dá)規(guī)律即可；（2）根據(jù)整式乘法公式，把（x+1）（x+7）﹣x（x+8）化簡(jiǎn)，即可證明．【解答】（1）解：設(shè)日歷中所示的方框左上角數(shù)字為x，則其余三個(gè)數(shù)從小到大依次是：x+1，x+7，x+8，∴規(guī)律用含x的式子可表示為（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7；故答案為：（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝7；（2）證明：（x+1）（x+7）﹣x（x+8）＝（x2+7x+x+7）﹣（x2+8x）＝x2+7x+x+7﹣x2﹣8x＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的混合運(yùn)算和列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)運(yùn)算的法則．25．（6分）已知：在△ABC中，∠ABC＜60°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段CD上（點(diǎn)E不與點(diǎn)C，D重合），且∠EAC＝2∠EBC．求證：AE+AC＝BC．【分析】在CB上截取CF，使CF＝CA，連接EF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出AE＝FE，根據(jù)FB＝FE，得到AE＝FB，得出AE+AC＝FB+FC＝BC．【解答】證明：如圖，在CB上截取CF，使CF＝CA，連接EF，∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠FCE，在△ACE和△FCE中，，∴△ACE≌△FCE（SAS），∴∠EAC＝∠EFC，AE＝FE，∵∠EAC＝2∠EBC，∴∠EFC＝2∠EBC，∴∠BEF＝∠E