2023-2024學(xué)年北京市101中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市101中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共30分，每小題3分）第1-10題均有四個選項，符合題意的只有一個.1．（3分）美術(shù)老師布置同學(xué)們設(shè)計窗花，下列作品為軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，11 C．4，4，8 D．8，8，83．（3分）如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則∠BAC的度數(shù)為（）A．75° B．60° C．105° D．120°4．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)3+a4＝a7 B．a(chǎn)3?a4＝a12 C．（ab）3＝a3b3 D．a(chǎn)6÷a3＝a25．（3分）若△ABC≌△DEF，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出x的值為（）A．30 B．27 C．35 D．406．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF交邊BC于點(diǎn)G，若BG＝1，AC＝4，則△ACG的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點(diǎn)E，且AC＝8，BC＝5，則△BEC的周長是（）A．12 B．13 C．14 D．158．（3分）下面四個整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（）A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x9．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，當(dāng)0＜a＜2時，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的取值范圍是（）A．0＜m＜3 B．2＜n＜3 C．3＜m＜5 D．n＞310．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于點(diǎn)O，延長AC至點(diǎn)P，使CP＝CD，連接BP，OP；延長AD交BP于點(diǎn)F．則下列結(jié)論：①BP＝AD：②BF＝CP：③AC+CD＝AB：④PO⊥BE；⑤BP＝2PF．其中正確的是（）A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤二、填空題（本題共24分，每小題3分）11．（3分）若一個多邊形的每一個外角都等于40°，則這個多邊形的邊數(shù)是．12．（3分）計算a2?（﹣6ab）的結(jié)果是．13．（3分）如圖，BC＝AD，要使△ABC≌△BAD，需補(bǔ)充一個條件，你補(bǔ)充的條件是．14．（3分）如圖，在△ABC中，AD、AE分別是BC邊上的中線和高，AE＝6，S△ABD＝15，則CD＝．15．（3分）如圖1，已知三角形紙片ABC，AB＝AC，∠A＝50°，將其折疊，如圖2，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為ED，點(diǎn)E、D分別在AB、AC上．則∠DBC＝．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D是AC邊上的點(diǎn)，DA＝DB＝3，則AC的長為．17．（3分）如圖，△AOB≌△ADC，∠AOB＝90°，且BC∥OA，若∠OAD＝80°，則∠ABO的度數(shù)為．18．（3分）我們把過三角形的一個頂點(diǎn)且能將這個三角形分割成兩個等腰三角形的線段稱為該三角形的“等腰線段”．例如：等腰直角三角形斜邊上的中線為該三角形的“等腰線段”．如圖，在△EFG中，若∠G＝2∠F，且△EFG有“等腰線段”，則∠F的度數(shù)α的取值范圍為．三、解答題（本題共46分，第19-23題，每題5分，24題7分，25題8分，26題6分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.19．（5分）先化簡，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝．20．（5分）如圖，已知點(diǎn)B、E、F、C在同一條直線上，∠A＝∠D，BE＝CF，且AB∥CD，求證：AE＝DF．21．（5分）下面是小明同學(xué)設(shè)計的“作一個角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖過程．已知：∠AOB．求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB．作法：如圖，①在射線OB上任取一點(diǎn)C；②作線段OC的垂直平分線，交OA于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E，連接DC．所以∠ADC即為所求的角．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明（說明：括號里填寫作圖依據(jù)）．證明：∵DE是線段OC的垂直平分線，∴OD＝（），∴∠AOB＝（），∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，∴∠ADC＝2∠AOB．22．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）若以線段AB為一邊作格點(diǎn)△ABD，使所作的△ABD與△ABC全等，則所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是．23．（5分）如圖，燈塔B在燈塔A的正東方向，且AB＝75km．燈塔C在燈塔A的北偏東20°方向，燈塔C在燈塔B的北偏西50°方向．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）一輪船從B地出發(fā)向北偏西50°方向勻速行駛，5h后到達(dá)C地，求輪船的速度．24．（7分）圖1是一個長方形窗戶ABCD，它是由上下兩個長方形（長方形AEFD和長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個小窗戶上各安裝了一個可以朝水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），其中a＞b＞0．當(dāng)遮陽簾沒有拉伸時（如圖1），若窗框的面積不計，則窗戶的透光面積就是整個長方形窗戶（即長方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平向左拉伸2a至GH．當(dāng)下面窗戶的遮陽簾水平向右拉伸2b時，恰好與GH在同一直線上（即點(diǎn)G、H、P在同一直線上）．（1）求長方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）（2）如果上面窗戶的遮陽簾保持圖2的位置不動，當(dāng)下面窗戶的遮陽簾拉伸至BC的中點(diǎn)處時，請通過計算比較窗戶的透光面積S1與被遮陽簾遮住的面積S2的大?。?）如果上面窗戶的遮陽簾拉伸至GD＝AD，下面窗戶的遮陽簾拉伸至BP＝BC處時，窗戶的透光面積恰好為長方形窗戶ABCD面積的一半，則此時＝．25．（8分）△ABC為等邊三角形，射線AP經(jīng)過點(diǎn)A，∠BAP＝α（0°＜α＜90°），作點(diǎn)B關(guān)于射線AP的對稱點(diǎn)D，連接AD、CD交直線AP于點(diǎn)E．（1）如圖，當(dāng)0°＜α＜60°時①依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出此時∠ADC＝°（用含α的式子表示）；②用等式表示線段EA、ED、EC的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）若△DBC為等腰三角形，直接寫出α的度數(shù)．26．（6分）設(shè)等腰三角形的底邊長為w，底邊上的高長為h，定義k＝為等腰三角形的“胖瘦度”．設(shè)坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），x1≠x2，y1≠y2，若P，Q為等腰三角形的兩個頂點(diǎn)，且該等腰三角形的底邊與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱這個等腰三角形為點(diǎn)P，Q的“逐夢三角形”．（1）設(shè)△ABC是底邊長為2的等腰直角三角形，則△ABC的“胖瘦度”k＝；（2）設(shè)P（5，0），點(diǎn)Q為y軸正半軸上一點(diǎn)，若P，Q的“逐夢三角形”的“胖瘦度”k＝5，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)：；（3）以x軸，y軸為對稱軸的正方形ABCD的一個頂點(diǎn)為A（a，a），且點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)P（12+a，8+a），若正方形ABCD邊上不存在點(diǎn)Q使得P，Q的“逐夢三角形”滿足k＝5且h≤5，直接寫出a的取值范圍：．

2023-2024學(xué)年北京市101中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共30分，每小題3分）第1-10題均有四個選項，符合題意的只有一個.1．（3分）美術(shù)老師布置同學(xué)們設(shè)計窗花，下列作品為軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：選項B、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項A能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，11 C．4，4，8 D．8，8，8【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計算判定求解．【解答】解：由3+4＜8得3，4，8不能構(gòu)成三角形，故A選項不符合題意；由5+6＝11得5，6，11不能構(gòu)成三角形，故B選項不符合題意；由4+4＝8得4，4，8不能構(gòu)成三角形，故C選項不符合題意；由8+8＞8得8，8，8能構(gòu)成三角形，故D選項符合題意，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系，三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（3分）如圖，一副三角板拼成如圖所示圖形，則∠BAC的度數(shù)為（）A．75° B．60° C．105° D．120°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟記三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．4．（3分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)3+a4＝a7 B．a(chǎn)3?a4＝a12 C．（ab）3＝a3b3 D．a(chǎn)6÷a3＝a2【分析】根據(jù)合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘法公式，積的乘方公式，同底數(shù)冪的除法公式分別進(jìn)行判斷即可得出結(jié)果．【解答】解：a3與a4不是同類項，所以不能合并計算，故A選項計算錯誤；a3?a4＝a3+4＝a7，所以B選項計算錯誤；（ab）3＝a3b3，所以C選項計算正確；a6÷a3＝a6﹣3＝a3，所以D選項計算錯誤．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要是考查了整式的運(yùn)算，能夠熟練運(yùn)用合并同類項法則，同底數(shù)冪的乘法公式，積的乘方公式，同底數(shù)冪的除法公式是解答此題的關(guān)鍵．5．（3分）若△ABC≌△DEF，則根據(jù)圖中提供的信息，可得出x的值為（）A．30 B．27 C．35 D．40【分析】直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝30，故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)邊是解題關(guān)鍵．6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF交邊BC于點(diǎn)G，若BG＝1，AC＝4，則△ACG的面積是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用基本作圖得到AG平分∠BAC，利用角平分線的性質(zhì)得到G點(diǎn)到AC的距離為1，然后根據(jù)三角形面積公式計算△ACG的面積．【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，∴G點(diǎn)到AC的距離等于BG的長，即G點(diǎn)到AC的距離為1，所以△ACG的面積＝×4×1＝2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣基本作圖，熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）是解題的關(guān)鍵．也考查了交平分線的性質(zhì)．7．（3分）如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點(diǎn)E，且AC＝8，BC＝5，則△BEC的周長是（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝BE，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，∴AE＝BE，∵AC＝8，BC＝5，∴△BEC的周長是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（3分）下面四個整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（）A．x2+5x B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x【分析】根據(jù)圖形，可以用代數(shù)式表示出圖中陰影部分的面積，本題得以解決．【解答】解：由圖可得，圖中陰影部分的面積為：x2+3x+2×3＝x2+3x+6，故選項A符合題意，x（x+3）+2×3＝x（x+3）+6，故選項B不符合題意，3（x+2）+x2，故選項C不符合題意，（x+3）（x+2）﹣2x，故選項D不符合題意，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式．9．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，當(dāng)0＜a＜2時，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的取值范圍是（）A．0＜m＜3 B．2＜n＜3 C．3＜m＜5 D．n＞3【分析】過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)易證△AOB≌△BHC（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BH＝OA＝3，進(jìn)一步可得m的取值范圍．【解答】解：過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，如圖所示，則有∠BHC＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，∴∠ABC＝90°，∴∠OBA+∠CBH＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠CBH，在△OAB和△HBC中，，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），∴AO＝3，∴BH＝3，∴m＝OH＝OB+BH＝3+a，∴0＜a＜2，∴3＜m＜5，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于點(diǎn)O，延長AC至點(diǎn)P，使CP＝CD，連接BP，OP；延長AD交BP于點(diǎn)F．則下列結(jié)論：①BP＝AD：②BF＝CP：③AC+CD＝AB：④PO⊥BE；⑤BP＝2PF．其中正確的是（）A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【分析】①根據(jù)SAS證明Rt△ADC≌Rt△BPC，即可求出BP＝AD；③由①中Rt△ADC≌Rt△BPC可知∠PBC＝∠DAC＝22.5，在Rt△BPC中，∠BPC＝90°﹣∠PBC＝67.5°，根據(jù)∠CBA＝45°可知，∠ABP＝∠PBC+∠ABC＝67.5°，即可求出AP＝AB，即AC+CD＝AB；②由③可知，△ABP是等腰三角形，由AF平分∠BAC，故BF＝BP，在Rt△BCP中，若BF＝CP，則∠PBC＝30°，與③中∠PBC＝22.5°相矛盾，故BF≠CP；④由△ABP是等腰三角形，AF平分∠BAC，可得AF垂直平分BP，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BO＝BP，則∠BPO＝∠PBO＝22.5°+22.5°＝45°，可得出∠BOP＝90°，即PO⊥BE．⑤由③可知，△ABP是等腰三角形，由AF平分∠BAC，故BF＝BP，即BP＝2PF．【解答】解：①∵BC＝AC，∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCP＝90°，在△ACD與△BCP中，，∴△ADC≌△BPC（SAS），∴BP＝AD；故①正確；③∵BC＝AC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAD＝∠DAC＝22.5°，∠ABE＝∠CBE＝22.5°，∵Rt△ADC≌Rt△BPC，∴∠PBC＝∠DAC＝22.5°，在Rt△BPC中，∠BPC＝90°﹣∠PBC＝67.5°，∵∠CBA＝45°，∴∠ABP＝∠PBC+∠ABC＝67.5°，∴∠ABP＝∠BPC，∴AP＝AB，∴AC+CP＝AB，∵CP＝CD，∴AC+CD＝AB；故③正確；②由③可知，△ABP是等腰三角形，∵AF平分∠BAC，∴BF＝BP，在Rt△BCP中，若BF＝CP，則∠PBC＝30°，與③中∠PBC＝22.5°相矛盾，故BF≠CP；故②錯誤；④∵△ABP是等腰三角形，AF平分∠BAC，∴AF垂直平分BP，∴BO＝BP，∴∠BPO＝∠PBO＝∠PBC+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°，∴∠BOP＝90°，即PO⊥BE．故④正確；⑤由③可知，△ABP是等腰三角形，∵AF平分∠BAC，∴BF＝BP，∴BP＝2PF，故⑤正確．所以①③④⑤正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題屬于三角形的綜合題，考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共24分，每小題3分）11．（3分）若一個多邊形的每一個外角都等于40°，則這個多邊形的邊數(shù)是9．【分析】根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角和中外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【解答】解：360÷40＝9，即這個多邊形的邊數(shù)是9．【點(diǎn)評】根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握．12．（3分）計算a2?（﹣6ab）的結(jié)果是﹣2a3b．【分析】根據(jù)單項式乘單項式的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．【解答】解：a2?（﹣6ab）＝×（﹣6）a2+1b＝﹣2a3b．故答案為：﹣2a3b．【點(diǎn)評】本題主要考查單項式乘單項式，解答的關(guān)鍵是對單項式乘單項式的運(yùn)算法則的掌握．13．（3分）如圖，BC＝AD，要使△ABC≌△BAD，需補(bǔ)充一個條件，你補(bǔ)充的條件是AC＝BD或∠ABC＝∠BAD．【分析】根據(jù)全等三角形的判定解決問題即可．【解答】解：添加AC＝BD，根據(jù)SSS得到△ABC≌△BAD；添加∠ABC＝∠BAD，根據(jù)SAS得到△ABC≌△BAD；故答案為：AC＝BD或∠ABC＝∠BAD．【點(diǎn)評】本題考查全等三角形的判定知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．14．（3分）如圖，在△ABC中，AD、AE分別是BC邊上的中線和高，AE＝6，S△ABD＝15，則CD＝5．【分析】由利用三角形的面積公式可求得BD的長，再由中線的定義可得CD＝BD，從而得解．【解答】解：∵S△ABD＝15，AE是BC邊上的高，∴BD?AE＝15，則×6BD＝15，解得：BD＝5，∵AD是BC邊上的中線，∴CD＝BD＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形的面積，解答的關(guān)鍵是由三角形的面積公式求得BD的長．15．（3分）如圖1，已知三角形紙片ABC，AB＝AC，∠A＝50°，將其折疊，如圖2，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為ED，點(diǎn)E、D分別在AB、AC上．則∠DBC＝15°．【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)，再由翻折變換的性質(zhì)得出∠ABD的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝＝65°．∵△EBD由△EAD折疊而成，∴∠EBD＝∠A＝50°，∴∠DAB＝∠ABC﹣∠EBD＝65°﹣50°＝15°．故答案為：15°．【點(diǎn)評】本題考查的是翻折變換（折疊問題），熟知等腰三角形兩個底角相等及圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，D是AC邊上的點(diǎn)，DA＝DB＝3，則AC的長為9．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠C＝30°，∠DBC＝30°，得出∠DBC＝90°，由直角三角形的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵DA＝DB＝3，∴∠DBA＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝120°﹣30°＝90°，∴DC＝2DB＝6，∴AC＝AD+CD＝3+6＝9．故答案為：9．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（3分）如圖，△AOB≌△ADC，∠AOB＝90°，且BC∥OA，若∠OAD＝80°，則∠ABO的度數(shù)為40°．【分析】據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB＝AC，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)表示出∠OBC，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴∠OAB＝∠DAC，∵∠OAD＝∠DAB+∠OAB＝80°，∴∠BAC＝∠DAB+∠DAC＝80°，在△ABC中，∵∠ABC＝∠ACB，由三角形內(nèi)角和定理知，∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，又∵BC∥OA，∴∠OAB＝∠ABC＝50°，在△AOB中，∵∠O＝90°，∴∠ABO＝90°﹣50°＝40°．故答案為：40°．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．（3分）我們把過三角形的一個頂點(diǎn)且能將這個三角形分割成兩個等腰三角形的線段稱為該三角形的“等腰線段”．例如：等腰直角三角形斜邊上的中線為該三角形的“等腰線段”．如圖，在△EFG中，若∠G＝2∠F，且△EFG有“等腰線段”，則∠F的度數(shù)α的取值范圍為0°＜x≤45°．【分析】先根據(jù)新定義，分兩種情況：畫出圖形1和2，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，找出角與角的關(guān)系，進(jìn)行解答即可．【解答】解：設(shè)∠F＝x，則∠G＝2x，如圖1，線段EM是等腰線段，∵△EMG是等腰三角形，∴EM＝EG，ME＝MF，∴∠F＝∠MEF，∠EMG＝∠G＝2x，∴2x＜90°，∴x＜45°，如圖2，GN為等腰線段，∴NF＝NG，GN＝GE，∴∠F＝∠NGF，∠E＝∠ENG，∴∠EGN＝x，∠ENG＝2x，∴∠E＝2x，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠F的度數(shù)的取值范圍為：0°＜x≤45°，故答案為：0°＜x≤45°．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是畫出符合題意的圖形．三、解答題（本題共46分，第19-23題，每題5分，24題7分，25題8分，26題6分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.19．（5分）先化簡，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝．【分析】根據(jù)整式的運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：當(dāng)x＝時，原式＝x3﹣x2﹣x3﹣x2+x＝﹣2x2+x＝﹣+＝0【點(diǎn)評】本題考查整式的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．20．（5分）如圖，已知點(diǎn)B、E、F、C在同一條直線上，∠A＝∠D，BE＝CF，且AB∥CD，求證：AE＝DF．【分析】由AB∥CD知∠B＝∠C，由∠A＝∠D、BE＝CF，根據(jù)“ASA”證△ABE≌△DCF可得．【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，∵，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF．【點(diǎn)評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理及其性質(zhì)、平行線的性質(zhì)．21．（5分）下面是小明同學(xué)設(shè)計的“作一個角等于已知角的2倍”的尺規(guī)作圖過程．已知：∠AOB．求作：∠ADC，使∠ADC＝2∠AOB．作法：如圖，①在射線OB上任取一點(diǎn)C；②作線段OC的垂直平分線，交OA于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)E，連接DC．所以∠ADC即為所求的角．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面證明（說明：括號里填寫作圖依據(jù)）．證明：∵DE是線段OC的垂直平分線，∴OD＝DC（線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等），∴∠AOB＝DCO（等邊對等角），∵∠ADC＝∠AOB+∠DCO，∴∠ADC＝2∠AOB．【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；（2）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OD＝DC，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠O＝∠DCO，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ADC＝2∠AOB．【解答】解：（1）如圖，∠ADC即為所求作：（2）證明：∵ED是線段OC的垂直平分線，∴OD＝DC（線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等），∴∠O＝∠DCO（等邊對等角），∵∠ADC＝∠O+∠DCO，∴∠ADC＝2∠AOB，故答案為線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．22．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1；（2）若以線段AB為一邊作格點(diǎn)△ABD，使所作的△ABD與△ABC全等，則所有滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)是（﹣4，2）、（2，3）、（2，2）．【分析】（1）分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．（2）根據(jù)全等三角形的判定畫出圖形，即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求作．（2）滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)（﹣4，2）、（2，3）、（2，2）．故答案為：（﹣4，2）、（2，3）、（2，2）．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．23．（5分）如圖，燈塔B在燈塔A的正東方向，且AB＝75km．燈塔C在燈塔A的北偏東20°方向，燈塔C在燈塔B的北偏西50°方向．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）一輪船從B地出發(fā)向北偏西50°方向勻速行駛，5h后到達(dá)C地，求輪船的速度．【分析】（1）由方向角求出∠BAC和∠ABC的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠ACB的度數(shù)；（2）由（1）得∠BAC＝∠ACB＝70°，則BC＝AB＝75km，即可得出答案．【解答】解：（1）由題意得：∠BAC＝90°﹣20°＝70°，∠ABC＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣40°＝70°；（2）由（1）得：∠BAC＝∠ACB＝70°，∴BC＝AB＝75km，∴75÷5＝15（km/h），即輪船的速度為15km/h．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題以及等腰三角形的判定等知識，證明BC＝AB是解題的關(guān)鍵．24．（7分）圖1是一個長方形窗戶ABCD，它是由上下兩個長方形（長方形AEFD和長方形EBCF）的小窗戶組成，在這兩個小窗戶上各安裝了一個可以朝水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個遮陽簾的高度分別是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），其中a＞b＞0．當(dāng)遮陽簾沒有拉伸時（如圖1），若窗框的面積不計，則窗戶的透光面積就是整個長方形窗戶（即長方形ABCD）的面積．如圖2，上面窗戶的遮陽簾水平向左拉伸2a至GH．當(dāng)下面窗戶的遮陽簾水平向右拉伸2b時，恰好與GH在同一直線上（即點(diǎn)G、H、P在同一直線上）．（1）求長方形窗戶ABCD的總面積；（用含a、b的代數(shù)式表示）（2）如果上面窗戶的遮陽簾保持圖2的位置不動，當(dāng)下面窗戶的遮陽簾拉伸至BC的中點(diǎn)處時，請通過計算比較窗戶的透光面積S1與被遮陽簾遮住的面積S2的大?。?）如果上面窗戶的遮陽簾拉伸至GD＝AD，下面窗戶的遮陽簾拉伸至BP＝BC處時，窗戶的透光面積恰好為長方形窗戶ABCD面積的一半，則此時＝．【分析】（1）根據(jù)題意，可以用a、b的代數(shù)式表示出AB、AD，然后即可計算出長方形窗戶ABCD的總面積；（2）根據(jù)題意和圖形，可以分別計算出窗戶的透光的面積與被遮陽簾遮住的面積，然后作差比較即可；（3）設(shè)AD＝BC＝x，根據(jù)已知條件得到GD＝AD＝，BP＝BC＝x，根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）由題意可得，AD＝2a+2b，AB＝a+2b，∴長方形窗戶ABCD的總面積是AD?AB＝（2a+2b）（a+2b）＝2a2+6ab+4b2，即長方形窗戶ABCD的總面積是2a2+6ab+4b2；（2）當(dāng)上面窗戶的遮陽簾保持不動，下面窗戶的遮陽簾拉伸至BC的中點(diǎn)處時，窗戶透光的面積是：2b?a+2b（a+b）＝2ab+2ab+2b2＝4ab+2b2，被遮陽簾遮住的面積是：（2a2+6ab+4b2）﹣（4ab+2b2）＝2a2+6ab+4b2﹣4ab﹣2b2＝2a2+2ab+2b2，（4ab+2b2）﹣（2a2+2ab+2b2）＝4ab+2b2﹣2a2﹣2ab﹣2b2＝﹣2a2+2ab＝2a（b﹣a），∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴2a（b﹣a）＜0，即窗戶的透光的面積小于被遮陽簾遮住的面積；（3）設(shè)AD＝BC＝x，∴GD＝AD＝，BP＝BC＝x，∵窗戶的透光面積恰好為長方形窗戶ABCD面積的一半，∴，解得＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，整式的混合運(yùn)算、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)代數(shù)式，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．25．（8分）△ABC為等邊三角形，射線AP經(jīng)過點(diǎn)A，∠BAP＝α（0°＜α＜90°），作點(diǎn)B關(guān)于射線AP的對稱點(diǎn)D，連接AD、CD交直線AP于點(diǎn)E．（1）如圖，當(dāng)0°＜α＜60°時①依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出此時∠ADC＝（60﹣α）°（用含α的式子表示）；②用等式表示線段EA、ED、EC的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）若△DBC為等腰三角形，直接寫出α的度數(shù)．【分析】（1）①根據(jù)要求畫出圖象即可；根據(jù)三角形ABC為等邊三角形，推出AB＝AC，∠BAC＝60°，由對稱可知，∠PAB＝∠PAD，AD＝AB，則AD＝AC，所以∠ADC＝∠ACD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADC；②在CD上截取BG＝BE，則△BGE是等邊三角形，證明△BCG≌△DAE，推出AE＝CG，根據(jù)EG＝BE＝DE，即可得出EC＝ED+EA；（2）①當(dāng)BD＝BC時，②當(dāng)BD＝CD時，③當(dāng)BC＝CD時，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，和線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）①如圖1所示：在等邊△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝60°，由對稱可知：AB＝AD，∠PAB＝∠PAD，∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠D，∵∠BAP＝α，∴∠PAD＝α，∴∠CAD＝∠BAC+∠PAB+∠PAD＝60°+2α，∴∠ADC＝（180°﹣∠CAD）＝60°﹣α，故答案為：（60﹣α）；②EC＝ED+EA，證明：在CD上截取BG＝BE，∵∠AEC＝∠D+∠PAE＝60°﹣α+α＝60°，∴∠PED＝60°，由對稱可知：DE＝BE，∠PEB＝∠PED＝60°，∴∠BEG＝60°，∴△BGE是等邊三角形，∴EG＝BE＝DE，∠BGC＝∠AED＝120°，∵∠BAE＝∠DAE＝α，BC＝AD，∴△BCG≌△DAE（AAS），∴AE＝CG，∵EG＝BE＝DE，∴EC＝ED+EA；（2）當(dāng)△DBC是等腰三角形，①當(dāng)BC＝BD時，如圖3，∵AP垂直平分BD，∴AB＝AD，∴AB＝AD＝BC＝BD，∴△ABD是等邊三角形，∴α＝30°；②當(dāng)BD＝CD時，∵AC＝AB，BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴∠DAB＝150°，∵AP垂直平分BD，∴AB＝AD，∴α＝∠PAD＝75°；③當(dāng)BC＝CD時，∵CD＝BC，AD＝AB，∴AC垂直平分BD，∴C，A，P三點(diǎn)在同一條直線上，∴∠PAB＝α＝120°（不合題意，舍去），綜上所述，△DBC是等腰三角形，α的值為30°或75°．【點(diǎn)評】本題幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．26．（6分）設(shè)等腰三角形的底邊長為w，底邊上的高長為h，定義k＝為等腰三角形的“胖瘦度”．設(shè)坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），x1≠x2，y1≠y2，若P，Q為等腰三角形的兩個頂點(diǎn)，且該等腰三角形的底邊與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱這個等腰三角形為點(diǎn)P，Q的“逐夢三角形”．（1）設(shè)△ABC