2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1．（2分）“瓦當(dāng)”是中國古建筑中覆蓋檐頭筒瓦前端的遮擋，主要有防水、排水、保護(hù)木制飛檐和美化屋面輪廓的作用．瓦當(dāng)上的圖案設(shè)計優(yōu)美，字體行云流水，極富變化，是中國特有的文化藝術(shù)遺產(chǎn)．下面“瓦當(dāng)”圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+3的頂點坐標(biāo)為（）A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（3，1）3．（2分）在△ABC中，CA＝CB，點O為AB中點．以點C為圓心，CO長為半徑作⊙C，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定4．（2分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝70°，則∠D的度數(shù)是（）A．110° B．90° C．70° D．50°5．（2分）若一個扇形的圓心角為90°，半徑為6，則該扇形的面積為（）A． B．3π C．6π D．9π6．（2分）一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠07．（2分）如圖，將△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°，∠B′＝110°，則∠BCA′的度數(shù)是（）A．90° B．80° C．50° D．30°8．（2分）如圖，線段AB＝5，動點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿線段AB運動至點B．以點A為圓心，線段AP的長為半徑作圓．設(shè)點P的運動時間為t，點P，B之間的距離為y，⊙A的面積為S．則y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）A．正比例函數(shù)關(guān)系、一次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系 C．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（﹣2，3），若點A與點B關(guān)于原點O對稱，則B點的坐標(biāo)為．10．（2分）請寫出一個開口向上，且經(jīng)過點（0，﹣1）的二次函數(shù)的表達(dá)式：．（只需寫出一個符合題意的函數(shù)表達(dá)式即可）11．（2分）參加足球聯(lián)賽的每兩個隊都進(jìn)行2場比賽，共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？設(shè)參加比賽的有x個隊，根據(jù)題意，可列方程為．12．（2分）把拋物線向右平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式為．13．（2分）如圖，在⊙O中AB是直徑，CD⊥AB，∠BAC＝30°，OD＝2，那么DC的長等于．14．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（﹣3，1），B（﹣1，1），若拋物線y＝ax2（a＞0）與線段AB有公共點，則a的取值范圍是．15．（2分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）后與⊙O相切，則α的值為．16．（2分）某快遞員負(fù)責(zé)為A，B，C，D，E五個小區(qū)取送快遞，每送一個快遞收益1元，每取一個快遞收益2元，某天5個小區(qū)需要取送快遞數(shù)量如表小區(qū)需送快遞數(shù)量需取快遞數(shù)量A156B105C85D47E134（1）如果快遞員一個上午最多前往3個小區(qū)，且要求他最少送快遞30件，最少取快遞15件，寫出一種滿足條件的方案（寫出小區(qū)編號）；（2）在（1）的條件下，如果快遞員想要在上午達(dá)到最大收益，寫出他的最優(yōu)方案（寫出小區(qū)編號）．三、解答題（本題共68分，17題5分，18題每小題5分，第19-25題，每小題5分，26題6分，第27、28題，每小題5分）17．（5分）計算：．18．（4分）解一元二次方程：（1）解方程：x2+5x＝0；（2）解方程：x2﹣6x＝1（配方法）．19．（5分）下面是小亮設(shè)計的“過圓上一點作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：點A在⊙O上．求作：直線PA和⊙O相切．作法：如圖，①連接AO；②以A為圓心，AO長為半徑作弧，與⊙O的一個交點為B；③連接BO；④以B為圓心，BO長為半徑作圓；⑤作⊙B的直徑OP；⑥作直線PA．所以直線PA就是所求作的⊙O的切線．根據(jù)小亮設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明；證明：在⊙O中，連接BA，∵OA＝OB，AO＝AB，∴OB＝AB．∴點A在⊙B上．∵OP是⊙B的直徑，∴∠OAP＝90°（）（填推理的依據(jù)）．∴OA⊥AP．又∵點A在⊙O上，∴PA是⊙O的切線（）（填推理的依據(jù)）．20．（5分）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，CD＝6，EM＝9，求⊙O的半徑．21．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．（1）二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3圖象與x軸的交點坐標(biāo)是，y軸的交點坐標(biāo)是，頂點坐標(biāo)是；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象；（3）當(dāng)1＜x＜4時，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍．22．（5分）如圖，點A的坐標(biāo)為（3，2），點B的坐標(biāo)為（3，0），作如下操作：以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABO順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB1O1．（1）在圖中畫出△AB1O1．（2）請直接寫出點B1的坐標(biāo)．（3）請直接寫出點B旋轉(zhuǎn)到點B1所經(jīng)過的路徑長．23．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值．24．（5分）如圖，AB為⊙O的直徑，＝，過點A作⊙O的切線，交DO的延長線于點E．（1）求證：AC∥DE；（2）若AC＝2，tanE＝，求OE的長．25．（5分）原地正面擲實心球是北京市初中學(xué)業(yè)水平考試體育現(xiàn)場考試的選考項目之一．實心球被擲出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，實心球從出手到著陸的過程中，它的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），小明進(jìn)行了兩次擲實心球訓(xùn)練．（1）第一次訓(xùn)練時，實心球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m0123456豎直高度y/m2.02.73.23.53.63.53.2根據(jù)上述數(shù)據(jù)，①實心球豎直高度的最大值是m；②求出函數(shù)解析式；（2）第二次訓(xùn)練時，實心球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.6，記第一次訓(xùn)練實心球的著陸點的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練實心球的著陸點的水平距離為d2，則d1d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．26．（6分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+2．（1）求該拋物線的對稱軸（用含t的式子表示）；（2）若點M（t﹣3，m），N（t+5，n）在拋物線上，則mn；（用“＜”，“＝”，或“＞”填空）（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線上的任意兩個點，若對于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范圍．27．（8分）已知正方形ABCD和一動點E，連接CE，將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，連接BE，DF．（1）如圖1，當(dāng)點E在正方形ABCD內(nèi)部時：①依題意補全圖1；②求證：BE＝DF；（2）如圖2，當(dāng)點E在正方形ABCD外部時，連接AF，取AF中點M，連接AE，DM，用等式表示線段AE與DM的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，P是⊙O外一點，給出如下的定義：若在⊙O上存在一點T，使得點P關(guān)于某條過點T的直線對稱后的點Q在⊙O上，則稱Q為點P關(guān)于⊙O的關(guān)聯(lián)點．（1）當(dāng)點P在直線y＝2x上時．①若點P（1，2），在點Q1，Q2（0，1），Q3（1，0）中，點P關(guān)于⊙O的關(guān)聯(lián)點是；②若P關(guān)于⊙O的關(guān)聯(lián)點Q存在，求點P的橫坐標(biāo)p的取值范圍．（2）已知點，動點M滿足AM≤1，若M關(guān)于⊙O的關(guān)聯(lián)點N存在，直接寫出MN的取值范圍．

2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）1．（2分）“瓦當(dāng)”是中國古建筑中覆蓋檐頭筒瓦前端的遮擋，主要有防水、排水、保護(hù)木制飛檐和美化屋面輪廓的作用．瓦當(dāng)上的圖案設(shè)計優(yōu)美，字體行云流水，極富變化，是中國特有的文化藝術(shù)遺產(chǎn)．下面“瓦當(dāng)”圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和軸對稱圖形與中心對稱圖形的定義解答．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，選項錯誤；B、既是軸對稱圖形又是對稱圖形，故選項正確；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，選項錯誤．故選：B．【點評】本題考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+3的頂點坐標(biāo)為（）A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（3，1）【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以直接寫出該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)．【解答】解：拋物線y＝（x﹣1）2+3的頂點坐標(biāo)為（1，3），故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．3．（2分）在△ABC中，CA＝CB，點O為AB中點．以點C為圓心，CO長為半徑作⊙C，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【分析】連接CO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OC⊥AB，于是得到點C到AB的距離等于⊙C的半徑，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：連接CO，∵CA＝CB，點O為AB中點，∴OC⊥AB，∵以點C為圓心，CO長為半徑作⊙C，∴點C到AB的距離等于⊙C的半徑，∴⊙C與AB的位置關(guān)系是相切，故選：B．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（2分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝70°，則∠D的度數(shù)是（）A．110° B．90° C．70° D．50°【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補得出∠D+∠B＝180°，即可解答．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠B＝180°，∴∠D＝180°﹣70°＝110°，故選：A．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．5．（2分）若一個扇形的圓心角為90°，半徑為6，則該扇形的面積為（）A． B．3π C．6π D．9π【分析】利用扇形的面積公式計算即可．【解答】解：S扇形＝＝9π，故選：D．【點評】本題考查扇形的面積，解題的關(guān)鍵是記住扇形的面積＝＝lr（r是扇形的半徑，l是扇形的弧長）．6．（2分）一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0【分析】根據(jù)判別式即可求出答案．【解答】解：由題意可知：36﹣12k＞0且k≠0，∴k≠0且k＜3，故選：B．【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．7．（2分）如圖，將△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)50°后得到△A′B′C′．若∠A＝40°，∠B′＝110°，則∠BCA′的度數(shù)是（）A．90° B．80° C．50° D．30°【分析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A′＝∠A，∠A′CB′＝∠ACB，即可得到∠A′＝40°，再有∠B′＝110°，利用三角形內(nèi)角和可得∠A′CB′的度數(shù)，進(jìn)而得到∠ACB的度數(shù)，再由條件將△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)50°后得到△A′B′C′可得∠ACA′＝50°，即可得到∠BCA′的度數(shù)．【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A′＝∠A，∠A′CB′＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠A′＝40°，∵∠B′＝110°，∴∠A′CB′＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∴∠ACB＝30°，∵將△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′＝50°，∴∠BCA′＝30°+50°＝80°．故選：B．【點評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，進(jìn)而可得到一些對應(yīng)角相等．8．（2分）如圖，線段AB＝5，動點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿線段AB運動至點B．以點A為圓心，線段AP的長為半徑作圓．設(shè)點P的運動時間為t，點P，B之間的距離為y，⊙A的面積為S．則y與t，S與t滿足的函數(shù)關(guān)系分別是（）A．正比例函數(shù)關(guān)系、一次函數(shù)關(guān)系 B．一次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系 C．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 D．正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系【分析】根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，即可判斷函數(shù)的類型．【解答】解：y＝5﹣t，屬于一次函數(shù)關(guān)系，S＝πt2，屬于二次函數(shù)關(guān)系，故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（﹣2，3），若點A與點B關(guān)于原點O對稱，則B點的坐標(biāo)為（2，﹣3）．【分析】根據(jù)關(guān)于關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)得出答案．【解答】解：∵點A（﹣2，3）與點B關(guān)于原點O對稱，∴B點的坐標(biāo)為（2，﹣3）．故答案為：（2，﹣3）．【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．10．（2分）請寫出一個開口向上，且經(jīng)過點（0，﹣1）的二次函數(shù)的表達(dá)式：y＝x2﹣1．（只需寫出一個符合題意的函數(shù)表達(dá)式即可）【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式，注意本題答案不唯一．【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向上，且經(jīng)過點（0，﹣1），∴a＞0，∴該函數(shù)圖象可以是y＝x2﹣1，故答案為：y＝x2﹣1．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．11．（2分）參加足球聯(lián)賽的每兩個隊都進(jìn)行2場比賽，共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？設(shè)參加比賽的有x個隊，根據(jù)題意，可列方程為x（x﹣1）＝90．【分析】利用比賽的總場數(shù)＝參賽隊伍數(shù)×（參賽隊伍數(shù)﹣1），即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝90．故答案為：x（x﹣1）＝90．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2分）把拋物線向右平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2+1．【分析】根據(jù)圖象的平移規(guī)律，可得答案．【解答】解：把拋物線向右平移2個單位長度，得到的拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2+1．故答案為：y＝（x﹣2）2+1．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．13．（2分）如圖，在⊙O中AB是直徑，CD⊥AB，∠BAC＝30°，OD＝2，那么DC的長等于2．【分析】由垂徑定理推出＝，DH＝CH，由圓周角定理得到∠BOD＝2∠A＝60°，求出∠D＝90°﹣∠BOD＝30°，因此OH＝OD＝1，由勾股定理求出DH＝，即可得到CD＝2DH＝2．【解答】解：∵AB是直徑，CD⊥AB，∴＝，DH＝CH，∴∠BOD＝2∠A＝2×30°＝60°，∴∠D＝90°﹣∠BOD＝30°，∴OH＝OD＝×2＝1，∴DH＝＝，∴CD＝2DH＝2．故答案為：2．【點評】本題考查垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，關(guān)鍵是由圓周角定理推出∠BOD＝60°．14．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（﹣3，1），B（﹣1，1），若拋物線y＝ax2（a＞0）與線段AB有公共點，則a的取值范圍是≤a≤1．【分析】分別把A、B點的坐標(biāo)代入y＝ax2得a的值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到a的取值范圍．【解答】解：把A（﹣3，1）代入y＝ax2得a＝；把B（﹣1，1）代入y＝ax2得a＝1，所以a的取值范圍為≤a≤1．故答案為：≤a≤1．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時，對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數(shù)由判別式確定：Δ＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．15．（2分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）后與⊙O相切，則α的值為60°或120°．【分析】線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）后與⊙O相切，切點為C′和C″，連接OC′、OC″，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，利用直角三角形30度的判定或三角函數(shù)求出∠OAC′＝30°，從而得到∠BAB′＝60°，同理可得∠OAC″＝30°，則∠BAB″＝120°．【解答】解：線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）后與⊙O相切，切點為C′和C″，連接OC′、OC″，則OC′⊥AB′，OC″⊥AB″，在Rt△OAC′中，∵OC′＝1，OA＝2，∴∠OAC′＝30°，∴∠BAB′＝60°，同理可得∠OAC″＝30°，∴∠BAB″＝120°，綜上所述，α的值為60°或120°．故答案為60°或120°．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)．16．（2分）某快遞員負(fù)責(zé)為A，B，C，D，E五個小區(qū)取送快遞，每送一個快遞收益1元，每取一個快遞收益2元，某天5個小區(qū)需要取送快遞數(shù)量如表小區(qū)需送快遞數(shù)量需取快遞數(shù)量A156B105C85D47E134（1）如果快遞員一個上午最多前往3個小區(qū)，且要求他最少送快遞30件，最少取快遞15件，寫出一種滿足條件的方案ABC或ABE或ACE或ADE；（寫出小區(qū)編號）；（2）在（1）的條件下，如果快遞員想要在上午達(dá)到最大收益，寫出他的最優(yōu)方案ABE（寫出小區(qū)編號）．【分析】（1）根據(jù)條件通過計算進(jìn)行選擇；通過計算，再比較大小求解．【解答】解：（1）如果是ABC三個小區(qū)，需送：15+10+8＝33＞30，需?。?+5+5＝16＞15，符合要求；如果是ABE三個小區(qū)，需送：15+8+13＝38＞30，需?。?+5+4＝15，符合要求；如果是ACE三個小區(qū)，需送：15+8+13＝36＞30，需?。?+5+4＝15，符合要求；如果是ADE三個小區(qū)，需送：15+4+13＝32＞30，需取：6+7+4＝17＞15，符合要求；故答案為：ABC或ABE或ACE或ADE；（2）若選ABC，收益為：33+16×2＝65（元）；若選ABE，收益為：38+15×2＝68元）；若選ACE，收益為：36+15×2＝66元）；若選ADE，收益為：32+17×2＝66（元）；∵68＞66＞65，故答案為：ABE．【點評】本題考查了列代數(shù)式，掌握有理數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共68分，17題5分，18題每小題5分，第19-25題，每小題5分，26題6分，第27、28題，每小題5分）17．（5分）計算：．【分析】代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，零指數(shù)冪，二次根式，然后算乘法，再算加減．【解答】解：原式＝2×+﹣1﹣2＝+﹣1﹣2＝﹣1．【點評】本題考查實數(shù)的混合運算，理解a0＝1（a≠0），熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．18．（4分）解一元二次方程：（1）解方程：x2+5x＝0；（2）解方程：x2﹣6x＝1（配方法）．【分析】（1）利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x＝0或x+5＝0，然后解兩個一次方程即可；（2）利用配方法得到（x﹣3）2＝10，然后利用直接開平方法解方程．【解答】解：（1）x2+5x＝0，x（x+5）＝0，x＝0或x+5＝0，所以x1＝0，x2＝﹣5；（2）x2﹣6x＝1，x2﹣6x+9＝10，（x﹣3）2＝10，x﹣3＝±，所以x1＝3+，x2＝3﹣．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．19．（5分）下面是小亮設(shè)計的“過圓上一點作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．已知：點A在⊙O上．求作：直線PA和⊙O相切．作法：如圖，①連接AO；②以A為圓心，AO長為半徑作弧，與⊙O的一個交點為B；③連接BO；④以B為圓心，BO長為半徑作圓；⑤作⊙B的直徑OP；⑥作直線PA．所以直線PA就是所求作的⊙O的切線．根據(jù)小亮設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明；證明：在⊙O中，連接BA，∵OA＝OB，AO＝AB，∴OB＝AB．∴點A在⊙B上．∵OP是⊙B的直徑，∴∠OAP＝90°（直徑所對的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）．∴OA⊥AP．又∵點A在⊙O上，∴PA是⊙O的切線（經(jīng)過半徑的外端與半徑垂直的直線是圓的切線）（填推理的依據(jù)）．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)切線的判定定理證明即可．【解答】解：（1）如圖，直線PA即為所求；（2）在⊙O中，連接BA，∵OA＝OB，AO＝AB，∴OB＝AB．∴點A在⊙B上．∵OP是⊙B的直徑，∴∠OAP＝90°（直徑所對的圓周角是直角），∴OA⊥AP．又∵點A在⊙O上，∴PA是⊙O的切線（經(jīng)過半徑的外端與半徑垂直的直線是圓的切線）．故答案為：直徑所對的圓周角是直角，經(jīng)過半徑的外端與半徑垂直的直線是圓的切線．【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，圓的切線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．20．（5分）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，CD＝6，EM＝9，求⊙O的半徑．【分析】連接OC，設(shè)OC＝OE＝r．構(gòu)建方程求解．【解答】解：連接OC，設(shè)OC＝OE＝r．∵EM⊥CD，∴CM＝MD＝CD＝3，∵OC2＝CM2+OM2，∴r2＝32+（9﹣r）2，∴r＝5．∴⊙O的半徑為5．【點評】本題考垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．21．（5分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．（1）二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3圖象與x軸的交點坐標(biāo)是（1，0），（3，0），y軸的交點坐標(biāo)是（0，3），頂點坐標(biāo)是（2，﹣1）；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的圖象；（3）當(dāng)1＜x＜4時，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍﹣1≤y＜3．【分析】（1）令y＝0，可得y＝x2﹣4x+3＝0，解方程的x，可得與x軸交點的橫坐標(biāo)，令x＝0可得與y軸交點縱坐標(biāo)，拋物線變形為y＝（x﹣2）2﹣1，可得頂點坐標(biāo)；（3）依據(jù)題意，根據(jù)拋物線與對稱軸交點坐標(biāo)及對稱軸可得圖象；（4）由x＝﹣2時拋物線有最小值，再求x＝﹣4、x＝2時的函數(shù)值可y的范圍．【解答】解：（1）令y＝0，可得y＝x2﹣4x+3＝0，∴x＝1或x＝3．∴拋物線與x軸額交點坐標(biāo)為（1，0），（3，0）．令x＝0可得，y＝3．∴與y軸交點為（0，3），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴頂點坐標(biāo)為（2，﹣1）；故答案為：（1，0），（3，0）；（0，3）；（2，﹣1）；（2）由（1）可畫圖象如下：（3）由題意，當(dāng)x＝2時拋物線有最小值y＝﹣1；當(dāng)x＝4時，y＝3；當(dāng)x＝1時，y＝0，由圖象可知，當(dāng)1＜x＜4時，﹣1≤y＜3．故答案為：﹣1≤y＜3．【點評】本題考查的是考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，畫出二次函數(shù)的圖象是解答此題的關(guān)鍵．22．（5分）如圖，點A的坐標(biāo)為（3，2），點B的坐標(biāo)為（3，0），作如下操作：以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABO順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△AB1O1．（1）在圖中畫出△AB1O1．（2）請直接寫出點B1的坐標(biāo)（1，2）．（3）請直接寫出點B旋轉(zhuǎn)到點B1所經(jīng)過的路徑長π．【分析】（1）利用網(wǎng)格特點畫出B、O的對應(yīng)點B1、O1即可；（2）利用（1）所畫圖形寫出點B1的坐標(biāo)；（3）根據(jù)弧長公式計算．【解答】解：（1）如圖，△AB1O1為所作；（2）B1（1，2）（3）AB＝2，所以點B旋轉(zhuǎn)到點B1所經(jīng)過的路徑長＝＝π．故答案為π．【點評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等，旋轉(zhuǎn)都相等，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．23．（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值．【分析】（1）根據(jù)題意得出Δ＞0，代入求出即可；（2）求出m＝1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【解答】解：（1）∵依題意，得Δ＝1﹣4（m﹣2）＞0．∴m＜，即m的取值范圍是m＜；（2）∵m為正整數(shù)，∴m＝1或2，當(dāng)m＝1時，方程為x2﹣x﹣1＝0的根x＝不是整數(shù)；當(dāng)m＝2時，方程為x2﹣x＝0的根x1＝0，x2＝1，是整數(shù)．綜上所述，m＝2．【點評】本題考查了根的判別式和解一元二次方程，能根據(jù)題意求出m的值和m的范圍是解此題的關(guān)鍵．24．（5分）如圖，AB為⊙O的直徑，＝，過點A作⊙O的切線，交DO的延長線于點E．（1）求證：AC∥DE；（2）若AC＝2，tanE＝，求OE的長．【分析】（1）由＝得∠BAD＝∠CAD，由DO＝DA得∠ODA＝∠OAD，則∠ODA＝∠CAD，根據(jù)平行線的判定即可得出結(jié)論；（2）連接OC，過點O作OF⊥AC于點F，證明△FAO∽△AOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及tanE＝，可得，，AE＝2OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AF＝CF＝AC＝1，可得OF＝2，在Rt△OAF中，利用勾股定理得OA2＝AF2+OF2＝5，可得OA＝，AE＝2AO＝2，利用勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：∵＝，∴∠BAD＝∠CAD，∵DO＝DA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴DE∥AC；（2）解：如圖，連接OC，過點O作OF⊥AC于點F，∴∠OFA＝90°，由（1）知，DE∥AC，∴∠OFA+∠FOE＝180°，∴∠FOE＝∠FOA+∠AOE＝90°，∵AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的切線，切點為A，∴AB⊥AE，∴∠OAE＝90°，∵∠AOE+∠E+∠OAE＝180°，∴∠AOE+∠E＝90°，∴∠FOA＝∠E，在△FOA△AEO中，∠FOA＝∠E，∠OFA＝∠EAO＝90°，∴△FAO∽△AOE，∴，∴，∵tanE＝，∴，∴，AE＝2OA，∵OA＝OC，OF⊥AC，∴AF＝CF＝AC＝1，∴OF＝2，在Rt△OAF中，OA2＝AF2+OF2，∴OA2＝12+22＝1+4＝5，∴OA＝，∴AE＝2AO＝2，∴OE＝＝＝＝5．【點評】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定及利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．25．（5分）原地正面擲實心球是北京市初中學(xué)業(yè)水平考試體育現(xiàn)場考試的選考項目之一．實心球被擲出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，實心球從出手到著陸的過程中，它的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），小明進(jìn)行了兩次擲實心球訓(xùn)練．（1）第一次訓(xùn)練時，實心球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m0123456豎直高度y/m2.02.73.23.53.63.53.2根據(jù)上述數(shù)據(jù)，①實心球豎直高度的最大值是3.6m；②求出函數(shù)解析式；（2）第二次訓(xùn)練時，實心球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.6，記第一次訓(xùn)練實心球的著陸點的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練實心球的著陸點的水平距離為d2，則d1＜d2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】（1）①先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點坐標(biāo)，即可得出實心球豎直高度的最大值；②選出表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；（2）設(shè)著陸點的縱坐標(biāo)為t，分別代入第一次和第二次的函數(shù)關(guān)系式，求出著陸點的橫坐標(biāo)，用t表示出d1和d2，然后進(jìn)行比較即可．【解答】解：（1）①根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為：（4，3.6），∴實心球豎直高度的最大值是3.6m，故答案為：3.6；②∵拋物線的頂點坐標(biāo)為：（4，3.6），∴拋物線的解析式可表示為：y＝a（x﹣4）2+3.6，∵當(dāng)x＝0時，y＝2.0，∴2.0＝a（0﹣4）2+3.6，解得a＝﹣0.1，∴函數(shù)解析式為：y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；（2）d1＜d2．理由如下：在y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6中，令y＝0得：0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，解得x1＝10，x2＝﹣2＜0（舍去），∴d1＝10m；在y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.6中，令y＝0得：﹣0.09（x﹣4）2+3.6＝0，解得x1＝2+4，x2＝﹣2+4＜0（舍去），∴d2＝（2+4）m，∵10＜2+4，∴d1＜d2．故答案為：＜．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，實數(shù)大小比較，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能夠從表格中獲取有用信息列出函數(shù)關(guān)系式．26．（6分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+2．（1）求該拋物線的對稱軸（用含t的式子表示）；（2）若點M（t﹣3，m），N（t+5，n）在拋物線上，則m＜n；（用“＜”，“＝”，或“＞”填空）（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是拋物線上的任意兩個點，若對于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范圍．【分析】（1）把解析式化成頂點式即可求得；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；（3）當(dāng)t≤1時，此時﹣1≤x1＜3，x2＝3都有y1≤y2，當(dāng)t＞1時，令x1＝﹣1時，y1＞y2，不符合題意，由此即可解決問題．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+2＝（x﹣t）2﹣t2+2．∴拋物線的對稱軸為直線x＝t；（2）∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝t，∴點M（t﹣3，m）關(guān)于直線x＝t的對稱點為（t+3，m），∵t＜t+3＜t+5，∴m＜n，故答案為＜；（3）當(dāng)t≤1時，此時﹣1≤x1＜3，x2＝3都有y1≤y2，符合題意；當(dāng)t＞1時，令x1＝﹣1時，y1＞y2，不符合題意．綜上所述：t≤1．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．27．（8分）已知正方形ABCD和一動點E，連接CE，將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，連接BE，DF．（1）如圖1，當(dāng)點E在正方形ABCD內(nèi)部時：①依題意補全圖1；②求證：BE＝DF；（2）如圖2，當(dāng)點E在正方形ABCD外部時，連接AF，取AF中點M，連接AE，DM，用等式表示線段AE與DM的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）①按題中要求補全圖形即可；②由旋轉(zhuǎn)得CE＝CF，∠ECF＝90°，由正方形的性質(zhì)得CB＝CD，∠BCD＝90°，則∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△BCE≌△DCF，則BE＝DF；（2）先證明△BCE≌△DCF，得BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，再延長DM到點G，使GM＝DM，連接AG，可證明△AGM≌△FDM，得AG＝DF，∠G＝∠MDF，所以BE＝AG，AG∥DF，可推導(dǎo)出∠DAG＝180°﹣∠ADF＝180°﹣（360°﹣90°﹣∠CDF）＝∠CDF﹣90°，而∠ABE＝∠CBE﹣90°，所以∠ABE＝∠DAG，即可證明△ABE≌△DAG，則AE＝DG＝2DM．【解答】解：（1）①如圖1，將線段CE繞點C順時針旋