廣東省惠州市2025屆高三數學6月模擬試題理含解析

PAGE23-廣東省惠州市2025屆高三數學6月模擬試題理（含解析）全卷滿分150分，時間120分鐘.留意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號、座位號、學校、班級等考生信息填寫在答題卡上.2.作答選擇題時，選出每個小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案信息點涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.3.非選擇題必需用黑色字跡簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.設集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，然后再求并集運算.【詳解】由，得集合B=所以A=故選：A.【點睛】本題考查集合的描述法和集合的并集運算，屬于基礎題.2.已知為虛數單位，下列各式的運算結果為純虛數的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數代數形式的乘法運算對選項進行逐一化簡可得答案．【詳解】對于A，不是純虛數；對于B，是實數；對于C，為純虛數；對于D，不是純虛數.故選：C.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題．3.已知等差數列的前項和為，且，，則（）A.170 B.190 C.180 D.189【答案】B【解析】【分析】把條件轉化成等差數列的基本量，即和，依據條件列出方程組，解出和，利用等差數列求和公式可得答案.【詳解】設等差數列的首項為，公差為，解得故選B項.【點睛】等差數列通項和求和公式的考查，考查內容比較單一，綜合性不高，屬于簡潔題.4.在平面直角坐標系中，角的頂點在坐標原點，其始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，則＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據角終邊上的點坐標，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】由定義知sinα=，，所以，故選：B.【點睛】該題考查的是有關三角恒等變換的問題，涉及到的學問點有三角函數的定義，正弦二倍角公式，嫻熟記憶公式即可解決，屬于基礎題目..5.函數的圖象大致形態(tài)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別在和兩種狀況下得到函數解析式，依據指數函數單調性可推斷出所求函數單調性，進而得到所求圖象.詳解】當時，；當時，，為上的增函數，在上單調遞減，在上單調遞增，可知正確.故選：.【點睛】本題考查函數圖象的識別，解題關鍵是能夠通過分類探討的方式得到函數在不同區(qū)間內的解析式，進而依據指數函數單調性推斷出結果.6.已知某次考試之后，班主任從全班同學中隨機抽取一個容量為8的樣本，他們的數學、物理成果（單位：分）對應如下表，對應散點圖如圖所示：學生編號12345678數學成果6065707580859095物理成果7277808488909395依據以上信息，則下列結論：①依據散點圖，可以推斷數學成果與物理成果具有線性相關關系；②依據散點圖，可以推斷數學成果與物理成果具有一次函數關系；③從全班隨機抽取2名同學（記為甲、乙），若甲同學的數學成果為80分，乙同學的數學成果為60分，則可以推斷出甲同學的物理成果肯定比乙同學的物理成果高；④從全班隨機抽取2名同學（記為甲、乙），若甲同學的數學成果為80分，乙同學的數學成果為60分，則不能推斷出甲同學的物理成果肯定比乙同學的物理成果高；其中正確的個數是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】視察題中所給的散點圖，結合有關概念，對選項逐一分析，得到正確結果.【詳解】由散點圖知兩變量間是相關關系，非函數關系，所以①正確，②錯誤；利用概率學問進行預料，得到結論有肯定的隨機性，所以③錯誤，④正確；所以正確命題的個數為2，故選：B.【點睛】該題考查的是有關相關關系的問題，涉及到的學問點有線性相關的有關概念，兩個量具有相關關系的本質，屬于基礎題目..7.設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】依據各選項的條件及結論，可畫出圖形或想象圖形，再結合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項．【詳解】選項A錯誤，同時和一個平面平行的兩直線不肯定平行，可能相交，可能異面；選項B錯誤，兩平面平行，兩平面內的直線不肯定平行，可能異面；選項C錯誤，一個平面內垂直于兩平面交線直線，不肯定和另一平面垂直，可能斜交；選項D正確，由，便得，又，，即.故選：D.【點睛】本題考查空間直線位置關系的判定，這種位置關系的推斷題，可以舉反例或者用定理簡潔證明，屬于基礎題.8.“學習強國”是由中宣部主管，以深化學習宣揚習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員、面對全社會的優(yōu)質學習平臺.該平臺設有“人物”、“視聽學習”等多個欄目.假設在這些欄目中，某時段“人物”更新了2篇文章，“視聽學習”更新了4個視頻.一位學習者打算從更新的這6項內容中隨機選取2個視頻和2篇文章進行學習，則這2篇文章學習依次相鄰的學法有（）種.A.36 B.48 C.72 D.144【答案】C【解析】【分析】依據題意，分2步進行分析：①在4個視頻中任選2個進行學習，②再對2篇文章全選，最終利用利用捆綁法，結合分步計數原理計算可得答案．【詳解】依據題意，分2步進行分析：從4個視頻中選2個有種方法，2篇文章全選種方法，2篇文章要相鄰則可以先捆綁看成1個元素，三個學習內容全排列為種方法，最終須要對捆綁元素進行松綁全排列，故滿意題意的學法有.故選：C.【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．9.已知雙曲線的右焦點為，為雙曲線左支上一點，點，則周長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】曲線右焦點為，周長要使周長最小，只需最小，如圖：當三點共線時取到,故l=2|AF|+2a=故選B點睛：本題考查了雙曲線的定義，兩條線段之和取得最小值的轉化，考查了轉化思想，屬于中檔題.10.函數的最小正周期為，若其圖象向右平移個單位后得到函數為奇函數，則函數的圖象（）A.關于點對稱 B.在上單調遞增C.關于直線對稱 D.在處取最大值【答案】A【解析】【分析】由最小正周期為得出，由的圖象向右平移個單位后得到函數為奇函數得出，進而得出，然后依據正弦型函數的圖像與性質逐一對選型進行推斷即可得出答案.【詳解】解：函數的最小正周期為，可得，向右平移個單位后得到的函數為，因為此函數為奇函數，又，所以.故函數，對于選項：正確；對于選項：當，不具有單調性，故B錯；對于選項：，故C錯；對于選項：，沒有取到最大值，，故D錯.故選：A.【點睛】本題主要考查正弦型函數的圖像與性質，屬于中檔題.11.已知、、是在同一平面內的單位向量，若與的夾角為，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出的值，設向量與的夾角為，利用平面對量數量積運算律和定義可求得的最大值.【詳解】單位向量與的夾角為，則，，則，所以，.故選：D.【點睛】本題考查平面對量數量積最值的計算，考查平面對量數量積的定義和運算律的應用，考查計算實力，屬于中等題.12.已知偶函數的定義域為R，對，，且當時，，若函數在R上恰有6個零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據，運用特別值法，結合偶函數的性質可以求出，這樣可以求出函數的周期，函數的零點的個數轉化為兩個函數圖象的交點個數，利用數形結合進行求解即可.【詳解】令，則，所以，所以，即函數的周期為2.若恰有6個零點，則，則的圖象與有6個不同的交點，因為和均為偶函數且，故的圖象與在上有三個不同的交點.畫出函數和的圖象如下圖所示，由圖可知：，得，，得，.（或即，故）故選：B【點睛】本題考查了函數周期性、奇偶性的應用，考查了利用數形結合法求解已知函數零點個數求參數問題，考查了數學運算實力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設直線是曲線的一條切線，則實數的值是_______.【答案】4【解析】【分析】求出導函數，由導數幾何意義求得切點橫坐標，得切點坐標，代入切線方程可得參數值．【詳解】∵，∴，∵直線是曲線的一條切線，∴，解得，即切點的橫坐標為1，代入曲線方程得切點坐標，∵切點在切線上，∴，解得，∴實數m的值為4.故答案為：4.【點睛】本題考查導數的幾何意義，正確求導是解題基礎，本題屬于基本題．14.已知數據的方差為4，若，則新數據的方差為___________.【答案】16【解析】【分析】依據方程的性質求解即可.【詳解】因為若樣本數據的方差為，則的方差為；因為的方差為4，且，則的方差為.故答案為：16【點睛】本題主要考查了方程的性質：若樣本數據的方差為，則的方差為.屬于基礎題.15.已知數列滿意，，則________.【答案】【解析】【分析】依據遞推公式逐項計算可得的值.【詳解】且，則，，，，，，.故答案為：.【點睛】本題考查利用遞推公式寫出數列中的項，考查計算實力，屬于基礎題.16.在平面上給定相異兩點A,B，設P點在同一平面上且滿意，當λ＞0且λ≠1時，P點的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)覺，故我們稱這個圓為阿波羅斯圓，現有橢圓,A,B為橢圓的長軸端點，C,D為橢圓的短軸端點，動點P滿意，△PAB面積最大值為,△PCD面積最小值為，則橢圓離心率為______．【答案】【解析】【分析】利用兩點間的距離公式求得點的軌跡方程，依據兩個三角形面積的最值列方程，由此求得的值及離心率的值.【詳解】依題意，設，依題意的,，兩邊平方化簡得，故圓心為，半徑.所以的最大面積為，解得，的最小面積為，解得.故橢圓離心率為.【點睛】本小題主要考查阿波羅斯圓軌跡方程的求法，考查三角形的面積公式，考查橢圓的離心率以及圓的標準方程，考查了化歸與轉化的數學思想方法.要求一個動點的軌跡方程，可以先設出動點的坐標，然后代入題目所給的方程，如本題中比值為這個方程，化簡后可求得動點的軌跡方程.三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據要求作答.（一）必考題：共60分.17.在中，已知內角所對的邊分別為，向量，向量，且，角為銳角.（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得，再化簡得到角的大??；（2）先利用余弦定理得到，利用重要不等式可以整理得出，之后應用三角形的面積公式求得最大值，留意等號成立的條件；也可以應用正弦定理，將邊用角表示，之后將面積轉化為關于A的正弦型函數，求函數最值即可.【詳解】（1）解法一：由得，即所以，為銳角，，，即解法二：由得，即所以即，，即為銳角，所以.（2）解法一：，由余弦定理，得又代入上式得，當且僅當時取等號成立.，故的面積最大值為.解法二：，由正弦定理，得所以，--由因為，則當即時，，故的面積最大值為.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，考查余弦定理解三角形、利用不等式求最值；正弦定理解三角形和三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平和分析推理實力.18.已知幾何體中，，，，面，，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角E－BD－F的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由勾股定理逆定理證得，再由已知得平面，，從而有線面垂直，得面面垂直；（2）分別以DA、DC所在直線為軸、軸，以D為垂足作面DAC的垂線DZ為軸，建系，寫出各點坐標，求出二面角兩個面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值（留意推斷二面角是銳角還是鈍角）．【詳解】（1）證明：在直角梯形中由已知可得，且面，平面，面，，，面，面∴面且面，故面面；（2）分別以DA、DC所在直線為軸、軸，以D為垂足作面DAC的垂線DZ為軸，建系如圖，則，設面DEB的法向量為，則，取，則，故設面DBF的法向量為，則，取，則，故則，由圖可得二面角E-BD-F的余弦值為．【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查用空間向量法求二面角，解題關鍵是建立空間直角坐標系，把求二面角問題化為純粹的計算．19.某種水果依據果徑大小可分為四類：標準果，優(yōu)質果，精品果，禮品果.某選購 商從選購 的一批水果中隨機抽取100個，利用水果的等級分類標準得到的數據如下：等級標準果優(yōu)質果精品果禮品果個數10304020（1）用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給選購 商參考：方案1：不分類賣出，單價為20元/.方案2：分類賣出，分類后的水果售價如下表：等級標準果優(yōu)質果精品果禮品果售價（元/）16182224從選購 商的角度考慮，應當采納哪種方案較好？并說明理由.（2）從這100個水果中用分層抽樣的方法抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機抽取3個，表示抽取到精品果的數量，求的分布列及數學期望.【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）分布列見解析；期望為.【解析】【分析】（1）計算方案2的數學期望值，與方案1比較、分析，即可得到答案；（2）用分層抽樣法求抽出精品果個數，計算對應概率值，寫出分布列，求出數學期望值．【詳解】（1）解答一：設方案2的單價為，則單價的期望值為：因為，所以從選購 商的選購 資金成本角度考慮，實行方案1比較好.-解答二：設方案2的單價為，則單價的期望值為：雖然，，但從選購 商后期對水果分類的人力資源和時間成本角度考慮，實行方案2較好.（2）用分層抽樣的方法從100個水果中抽取10個，則其中精品果4個，非精品果6個.現從中抽取3個，則精品果的數量X聽從超幾何分布，X全部可能的取值為：0，1，2，3.則，，，全部X的分布列如下：X0123P【點睛】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，也考查了概率與統(tǒng)計學問的應用問題，是中檔題．20.已知直線與拋物線相交于A，B兩點，且與圓相切.（1）求直線在x軸上截距的取值范圍；（2）設F是拋物線的焦點，，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】(1)設直線的方程為，依據與圓相切可得，再聯立拋物線的方程，依據判別式大于0可得或，再結合求解的取值范圍即可.(2)設，聯立直線與拋物線的方程，代入韋達定理化簡，結合(1)中可得關于的方程求解即可.【詳解】（1）設直線的方程為，的圓心為，半徑為1.由直線與圓相切得：，化簡得，直線的方程代入拋物線，消去得：，由直線與拋物線相交于A，B兩點，得，將代入不等式，得或，留意到或綜上知，c的取值范圍是（2）設由得將代入上式，由，得，所以，解得或（舍去），-故所以直線的方程為或【點睛】本題主要考查了聯立直線與拋物線方程，利用判別式以及直線滿意的條件，求解參數的問題.同時也考查了利用韋達定理代入所給條件，求解參數的問題.屬于中檔題.21.設函數.（1）當，時，恒成立，求的范圍；（2）若在處的切線為，求、的值.并證明當時，.【答案】（1）（2）見解析【解析】【試題分析】（1）當時，由于，故函數單調遞增，最小值為.（2）利用切點和斜率為建立方程組，解方程組求得的值.利用導數證得先證，進一步利用導數證，從而證明原不等式成立.【試題解析】解：由，當時，得.當時，，且當時，，此時.所以，即在上單調遞増，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由題意得，所以.又在切線上.所以.所以.所以.先證，即，令，則，所以在是增函數.所以，即.①再證，即，令，則，時，，時，，時，.所以在上是減函數，在上是增函數，所以.即，所以.②由①②得，即在上成立.【點睛】本小題主要考查利用導數解決不等式恒成立問題，考查利用導數證明不等式.第一問由于題目給出，并且導函數沒有含有，故可干脆有導數得到函數的單調區(qū)間，由此得到函數的最小值，令函數的最小值大于或等于零，即可求得的取值范圍，從而解決了不等式恒成立問題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.答題時請在答卷中寫清題號并將相應信息點涂黑.[選修4－4：坐標系與參數方程]22.在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐