2024年中考數(shù)學(xué) 改斜歸正我殺直角類壓軸題(解析版)

改斜歸正我殺直角類壓軸題

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模型精用

改斜歸正是一線三角在函數(shù)類題中的特殊用法，是指當(dāng)題目中出現(xiàn)直角三角形，旋轉(zhuǎn)90°時，而直角邊非

橫平豎直時，咱們可以過直角三角形的三頂點(diǎn)，分別作立，"軸的垂線，從而構(gòu)造一線三直角。當(dāng)兩直角邊相等

時，可以得到一線三等角之全等模型,當(dāng)兩直角邊不相等時，可以得到一線三直線之相似模型，然后利用點(diǎn)線

式來解決問題。（點(diǎn)線式秒殺函數(shù)類壓軸題，后面會有專題為大家詳細(xì)講解。）

具體作法如下：

改斜歸正之全等模型

如圖：1一1,在平面直角坐標(biāo)系中，AB=AB,ABAC=90°o

咱們可以把它看作斜直角。解決這類題目，只需要：

（1）如圖1—2或1—3,作萬能垂線,實(shí)現(xiàn)改斜正。

（2）由一線三直角全等模型，易證△ABD篤△ACE,可得，BD=AE,AD=CE,

⑶然后表示出：AB,。,。,E,坐標(biāo)，利用==即可輕松得出方程，妙殺大題。

改斜歸正之相似模型

如圖：2—1,在平面直角坐標(biāo)系中，AB￥人。（中考數(shù)學(xué)經(jīng)典）,ABAC=90°o咱們一樣可以把它看作斜直角。

解決這類題目：

（1）同樣只需要如圖2—2或2—3,作萬能垂線,實(shí)現(xiàn)改斜正。

（2）由一線三直角全等模型，易證?△CAE,可得：-緇=黑=卷，

（3）與全等方法類似，只需要表示出：坐標(biāo),利用修=黑=船，即可輕松得出方程，從

而妙殺大題。

2-12-3

典例分析

如圖，已知二次函數(shù)y=4的圖象與①軸交于A,B兩點(diǎn)，與"軸交于點(diǎn)C,。C的半徑為5

P為。。上一動點(diǎn).

(1)點(diǎn)8,。的坐標(biāo)分別為B,C

(2)連接,若E為PB的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值=

(3)是否存在點(diǎn)P,使得△PBC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】⑴(3,0(;(0,—4(;⑵二^三；⑶件「或(―1,—2(或(與1—芋—4(或

(—竽竽—4(

【詳解】解：(1切=3/-4,令沙=0,則7=土3,

y

當(dāng)2=0時，y=—4,

故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為：(3,0(,(0,—4(.

故答案為：(3,0(;(0,—4(.

⑵如圖1,連接4P,

2

?.?點(diǎn)。是43的中點(diǎn)，石是BP的中點(diǎn)，則OE是4BAP的中位線，

當(dāng)4P最大時，OE取得最大值，

當(dāng)A、P、O三點(diǎn)共線時，AP最大=宿在+Q=5+8，

OE的最大值為^.AP=5力2.

故答案為：5%、聲.

（3）①當(dāng)48。。=90°時，即丑0是圓的切線，

當(dāng)點(diǎn)P在g軸右側(cè)時，如圖2,過點(diǎn)P分別作多軸、y軸的垂線交于點(diǎn)E、F,

連接BC,則CB=5,CP=6,則==K=24，則加=^

ZCPF+NCPE=90°,ZCFE+4EPB=90°,

NEPB=NCPF,

：.4PEB?4PFC,

.PF=CP=BE=1

??T^E~~BP―77R―T

3—cr

設(shè)PF=c,則PE=2c,BE=3—2，CF=2x-4,即2j._4=2,

解得：z=耳，

故點(diǎn)P件「半(，

當(dāng)點(diǎn)P在沙軸左側(cè)時，

同理可得:點(diǎn)P(T,—2(;

②當(dāng)/BCP=90°時，當(dāng)點(diǎn)P在9軸右側(cè)時,

如圖3,過點(diǎn)P作y軸的垂線交于點(diǎn)F,

同理可得：4CPF=4OBC,

設(shè)FP=b,CF=a,a+b2=CP2=5,

OC—4,OB=3,tanZCPF=tanZ.OBC=.￡,

o

故春=。,而a2+〃=5,解得：。=竽，仁苧，

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：G匕§,一—4（,

當(dāng)點(diǎn)P在g軸左側(cè)時，

同理可得:點(diǎn)pQ竽，竽—4（.

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：鳥一尚■（或（一「2（或（￥■「￥■—4（或（-#■，竽一4（.

實(shí)戰(zhàn)制任

一、解答題

[BigI1如圖，已知拋物線與立軸交于4—3,0（、B（l,0（兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)。（0,3（,對稱軸Z與①軸交于點(diǎn)

。，/E在沙軸卜.，且OE=QB.P是該拋物線上的動點(diǎn)，連結(jié)P4、PE,PD與AE交于點(diǎn)F.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4（-3<1<0（

①求的面積的最大值；

②在對稱軸Z上找一點(diǎn)朋?，使四邊形PAME是平行四邊形，求點(diǎn)”的坐標(biāo);

③拋物線上存在點(diǎn)P,使得△PEF是以EF為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷此時△PAE的

形狀.

1O1

【答案】⑴？/=—/—2/+3;⑵①以;②點(diǎn)M(―L—2(;③當(dāng)點(diǎn)P(—1,4(時，是等腰直角三角

形，當(dāng)點(diǎn)P(-2,3(時，AFAB是等腰三角形.

【詳解】(1)：拋物線與2軸交于4(—3,0(、B(l,0(兩點(diǎn)，

/.設(shè)所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為。=研力+3((力—1(,

把點(diǎn)C(0,3(代入，得3=a(x+3((力—1(,解得a=-1,

該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y——(X+3((/—1(,即y=—x2—2x+3;

⑵①［解法一］如圖4.1,過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)交4E于點(diǎn)/.

,??OE=OB,

???E(0,l(,

直線AE的表達(dá)式為y=-LJ;+1.

o

由題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為"，一力2—23+3(,則點(diǎn)/的坐標(biāo)為?,；力+1(,

=

PI—yP~Vi(一/一2力+3(—+1(=—藪+2,

S3^PI-AO=^x(-e-^.t+2(x3=-1(i+［C+等.

*.*Q——彳V0,且一3V1V0,

7121

當(dāng)力=一方時，AF4E的面積最大值為

(2)①［解法二］如圖4.1,連結(jié)PO,

由題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(力一/—2力+3(,

SAPAE=S"AO^~S討E6~SAAOE

=.%+^.EO-\Xp\-^.AO-EO

=3+3(+*-4=-尹q+3=-共+1(+提.

。：a——下V0,且一3V力V0,

7191

當(dāng)時，APAE的面積最大值為_2r.

②；點(diǎn)M在拋物線y——x~^x+3的對稱軸x=-1上，

.?.設(shè)點(diǎn)河的坐標(biāo)為(-l,m(.

由題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,—12—2t+3(,

四邊形P4ME是平行四邊形,AE、PM'為對角線，

%+2M=以+。8,即力一1=-3+0,t=-2,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,3).

VP+VM^VA+VE，得3+m=0+l,

m=—2.

.?.點(diǎn)M■的坐標(biāo)為(-1,-2(.

③AFEF是以EF為直角邊的直角三角形分兩種情況：

(I)若/0￡田=90°,如圖4.2,過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)G,

則A5PG?AAEO,

2

.PG=EG前-t=（-t-2i+3（-l

"~，口丁一3，

整理得i?-t—2=0,解得力=-1,t2—2（舍去）,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1,4（.

此時△PAE是等腰直角三角形.

圖?》1圖4.2

（II）若乙RF[E=90°,如圖4.3,過點(diǎn)P作尸H_Lc軸于點(diǎn)

則APHD?AAOE,

.PH_DH0-t2—2t+3——1—t

‘,皿―瓦》■，即

3―—I-

2

整理得t—i—6=0,解得^——2,t2—3（舍去）,

.,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,3（.

此時4PAE是等腰三角形.

（注：用其它方法求解參照以上標(biāo)準(zhǔn)給分.）

如圖，二次函數(shù)夕=/—6c+8的圖像與①軸分別交于點(diǎn)43（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線Z是對稱軸.

點(diǎn)P在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4,連接PAPB,過點(diǎn)P作,垂足為“，以點(diǎn)M為圓心,作半徑為

r的圓，PT與。/?相切，切點(diǎn)為T.

（2）若以。A/的切線長PT為邊長的正方形的面積與的面積相等，且。朋■不經(jīng)過點(diǎn)（3,2（,求長

的取值范圍.

【答案】（1）4（2,0（,B（4,0（

（2）1</■或/<PA/<2或2

【詳解】⑴解:令y=0,則有:1-6劣+8=0,解得：2；=2或3；=4,

.-.A（2,0（,B（4,0（.

⑵解：???拋物線過4(2,0(,B(4,0(

/.拋物線的對稱軸為N=3,

設(shè)PGn,m2—6/71+8(,

：.M(3,m2—6m+8(,

如圖：連接MT,則MT_LPT,

...口2=PM2—MT2=(m-3(2-r2,

???切線PT為邊長的正方形的面積為(山一3(2—『2,

過點(diǎn)P作/軸，垂足為H,則：SEAB=^AB-PH=m2-6m+8,

(m—3(2—/=m2—6m+8

Vr>0,

???『=1,

圖1

m2—6m+8=3,解得：nz=5或7n=1,

m>4

m=5;

②如圖2:當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即M(3,l(

7

m>4

?，.nz=3+JZ;

綜上,PM—m—3=2或y/2.

：.當(dāng)。河不經(jīng)過點(diǎn)（3,2（時，1VPMV一氮平VPMV2氮PM>2.

oo

題—3如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=—目/_2,+；交，軸于人、B兩點(diǎn)，點(diǎn)。在

OO

拋物線上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為—1,連接BC交u軸于點(diǎn)D.

（1）如圖1,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）如圖2,點(diǎn)P在第二象限內(nèi)拋物線上，過點(diǎn)P作PGLc軸于G,點(diǎn)E在線段PG上，連接AE,過點(diǎn)E作

交線段DB于F,若=設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為力，線段PE的長為d,求d與力的函數(shù)關(guān)系式；

⑶如圖3,在⑵的條件下,點(diǎn)H在線段OB上,連接CE、EH,若NCEF=AAEH,EH—CE=烏AH,求

點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】（1）（0,2）

（2）d=-1t2-1t+1

⑶T祟

OOOQ

【詳解】（1）解:令拋物線g=—//一2?+_中的g=o,即0=—十22—2力+,

OOOO

解得:x=—4或6=1,

當(dāng)x=-1時，g=4,即C(—1,4),

8

即4—4,0),B(l,0),

設(shè)直線BC的解析式為沙=for+6,

,(k+b=O

則晨+6=4，

%依=—2

解得:仁2,

即直線BC解析式為夕=-2x+2,

當(dāng);r=0時，沙=2,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,2).

(2)解：過E作多軸平行線Z,過/、F作Z的垂線段，垂足分別為N、M,如圖所示,

Z

由AAEN+NFEM=90°,AAEN+ZEAN=90°知ZFEM=ZEAN,

,：AE=EF,

???/\ANE^/\EMF,

??.AN=EM,NE=MF,

???P點(diǎn)橫坐標(biāo)為力，PE=d,

:.P(t,yp),NE=t+4=MF,EG=yp-d=AN=EM,其中yP=-l.^-2t+鼻

oo

.?.F點(diǎn)橫坐標(biāo)為：t+EM=t+yP—d,

F點(diǎn)縱坐標(biāo)為：EG-MF=yP-d-(t+4),

將F點(diǎn)坐標(biāo)代入g=—2/+2得：

yP—d—(力+4)——2(t+yp—d)+2,

化簡得：3d=3gp+1-6,

2

即d=—^rt-^rt+

ooo

(3)解:過。作CQ,PG于Q,如圖所示，

/CEF=/AEH,ZAEF=90°,

???/EFH=90°,

則/CEQ+/ECQ=4CEQ+4HEG=90°,

：./ECQ=/HEG,

：.4CEQ?gHG,

.QE=CE=CQ

一行一班―訪，

由(2)知，EG=yp—d=-?+2,

/.QE—4—EG—(+2,CQ——1—t,

o

.4+2=CE=-1-t

"HG~~EH~_i'

3十+2/

.36CE=3(t+l(

-9(力+1(，班—.一6，

.CE=-1-t3(t+l(t2-3610t2+45t

=AH=AG+GH=t+4+

"EH-OE~友—累―(T-匯-9(%+1(9(t+1('

—9/—Q

S*CE=EH—OE)

13a+1(

?.?EH—CE=$；AH,

o

.—2右一90歹=卓*10/+45力

一號9(力+1(，

即：

y

???。(-1,4),塾，2-3(,

o

.?.由勾股定理得：(t+l)2+(2-^.t-4(^=

解得：t=—多(舍)或土=-：,

YU

矩形AOBC中，OB=4,OA=3.分別以O(shè)B、OA所在直線為立軸、。軸，建立如圖1所示的平面

直角坐標(biāo)系.F是邊上一個動點(diǎn)(不與B、C重合).過點(diǎn)F的反比例函數(shù)？/的圖象與邊

交于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到邊BC的中點(diǎn)時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為；

⑵連接EF,求ZFEC的正切值；

(3)如圖2,將△CEF沿即折疊,點(diǎn)。恰好落在邊OB上的點(diǎn)G處，求BG的長度.

【答案】(1)(2,3)

10

⑶4

⑴解：?.?05=4,04=3,

.?.點(diǎn)48、。的坐標(biāo)分別為：（0,3）、（4,0）,（4,3）,

點(diǎn)F運(yùn)動到邊BC的中點(diǎn)時，點(diǎn)F（4,其，

k

將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入g=下并解得：k=6,

6

故反比例函數(shù)的表達(dá)式為："=?■,

當(dāng)g=3時，6=3=2,故E（2,3）,

故答案為：（2,3）;

⑵解：丁F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,點(diǎn)F在反比例函數(shù)上,

:.CF=BC-BF=3-2=12T

的縱坐標(biāo)為3,

二嗚，3（,

CE=AC-AB=4-號=一

33

CE4

在Rt/\CEF中,WEFC=互=y;

（3）解:如圖，由（2）知，。？=與&,無=與士

CE=4

B—T，

EH=OA=3,AEHG=Z.GBF=90°,

NEGH+ZHEG=90°,

由折疊知，EG=CE,FG=CF,/EGF=/C=90°,

NEGH+NBGF=90°,

：.NHEG=4BGF,

?：NEHG=NGBF=90°,

:.AEHG?4GBF,

.EH=EG=CE

"~BC~TTJ~TTr,

.3=4

,,西一3,

.??欣T.q

［題目|5如下列圖形所示,在平面直角坐標(biāo)系中，一個三角板的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)。重合，在其繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)

的過程中，兩直角邊所在直線分別與拋物線y=：/相交于點(diǎn)入、3點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).

(1)如圖1,若點(diǎn)4B的橫坐標(biāo)分別為一3、3,求線段中點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)如圖2,若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4,求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖3,若線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(4)若線段中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6,求線段AB的長.

【答案】⑴(一年,黑(;(2)(4),(;(3加=1+2;(4)4?0

104

【詳解】解：(1)?.?點(diǎn)A、B在拋物線y=^2■〃上，點(diǎn)人、B的橫坐標(biāo)分別為—3、苜,

當(dāng)立=-3時,g=；x(_3y=：x9=S，

I，4“1<4116_8

當(dāng)劣一3時，沙—?v弓(_?v丁一9，

即點(diǎn)4的坐標(biāo)為(一3,式點(diǎn)口的坐標(biāo)為虱

作ACVx軸于點(diǎn)。，作BD±x軸于點(diǎn)。，作PE±x軸于點(diǎn)E,如圖1所示，

則AC//BD//PE,

12

??,點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，

：.PA=PB,

由平行線分線段成比例，可得EC=ED,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（力,"），

4

則X—（—3）~~2~x,

,4+（-3）5

?27=_=—

-2e，

9?8

同理可得，。=N丫'T=鄧97，

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（.,黑（;

（2）1?點(diǎn)B在拋物線?/=上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4,

.?.點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為：y=；x42=8,

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,8）,

OD=4,DB=8,

作/。_L/軸于點(diǎn)C,作BO_L力軸于點(diǎn)。，如圖2所示,

???AAOB=90°,AACO=90°,AODB=90°,

??.ZAOC+Z.BOD=90°,ABOD+AOBD=90°,AACO=AODB,

???/AOC=/OBD,

???AAOC八OBD,

.AC=CO

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為Q,3a2（,

CO——a,AC—3a2，

.獷=-a

"丁一丁‘

解得a尸0（舍去），&2=—1,

點(diǎn)人的坐標(biāo)為(-1,^.(,

g_|_1

中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：—I［，="，縱坐標(biāo)為=毛

線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為?,三(；

(3)作AC_L2軸于點(diǎn)。，作3。_Lc軸于點(diǎn)D,如圖3所示,

由(2)知，^AOC-XOBD,

.AC=CO

"R-W

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為Q,ga2(,點(diǎn)B的坐標(biāo)為

.獷=b

解得，ab=—4,

丁點(diǎn)P(6,y)是線段AB的中點(diǎn)，

2222

._a+b^.a+^_fe_a+b_(a+b)2—2ab

?,$一^~，y=-s——?—，

a-\-b—2x,

?.”竺

即g關(guān)于名的函數(shù)解析式是g=1+2;

(4)當(dāng)g=6時，6=rr2+2,

力2=4,

???OP==T4+67=2yro,ZL4O5是直角三角形，點(diǎn)P時斜邊AB的中點(diǎn)，

???4B=2OP=4JTO,

即線段AB的長是4g.

【題目|6：如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，以直線2=1為對稱軸的拋物線y=ax+bx+c與直線y=kx+m(k>

0)交宇A(yù)(4,1),B兩點(diǎn)，與v軸交于C(O,—1),直線y=kx+m(k>0)與拋物線對稱軸I交于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若AO：BD=3：5,求直線AB的關(guān)系式；

(3)在(2)的條件下,在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使△ABP的面積等于4；

(4)在(2)的條件下，在對稱軸上求點(diǎn)Q,使得△ABQ是直角三角形.

【答案】（1%=:22一1；（2為=—3/+3;（3）舄（20,2—Q（,g（—20,2+6（；⑷。。，15）,Q2（l,

—5）,。3（1，3+E，Q。，3—E）

【詳解】解：⑴由題意列方程組

》=1

I7a

16a+4b+c=1

c=-1

解得：a=b=—J,c=—1

.?.拋物線的函數(shù)關(guān)系式為士/一1

TT

（2）作4E_L/于點(diǎn)E,BF±I于點(diǎn)F

由題意，AE=4-1=3

???AD:BD=3:5

:.AE:BF=3:5

BF=5

???點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1-5=—4

把x=-4代入y=</一；/一1,得。二5

???B（-4,5）

，、,、{1=4fc+m

4寸人（4,1）,B（-4,5）代入g=far+?n得5=_以+小

解得k=一：,m=3

直線AB的關(guān)系式為y——.^.x+3…

??

PW=—j+4

/\ABP的面積二^.PM(x—Xp)+-^,PM(XA—X)=^.PM[XA—X^)

—'(-：/+4(x8=-/+16=4

解得，xi=20,n2=-2四

將X1=2J3,力2=—2，3分別代入。=2一匕_/一1,

解得伊=2-F，的=2+W

國2W,2—百),鳥(―2火,2+1v/S)…

⑷設(shè)Q(l")

第一種情況：當(dāng)/QA4=90°,過點(diǎn)B作0軸的平行線，過點(diǎn)Q、點(diǎn)4作力軸平行線，分別相交于點(diǎn)G、點(diǎn)N

如下圖：

16

,QG_BG_5_t-5

-w一酒，即L-s-

解得：力二15

???Qi(l,15)

第二種情況：當(dāng)/A4Q=90°,過點(diǎn)幺作g軸的平行線，過點(diǎn)反點(diǎn)Q作力軸平行線，分別相交于點(diǎn)G、點(diǎn)N,

如下圖：

.BG_AG8_4

??麗—5T，即廠？一T

解得:t=-5

。2(1，-5)

第三種情況：當(dāng)/8Q4=90°時，過點(diǎn)Q作⑦軸平行線，過點(diǎn)及點(diǎn)4作g軸平行線，分別相交于點(diǎn)G、點(diǎn)N,

如下圖：

.BG_GQ5-t_5

”中一而，即aF--LT

化簡得:t2-6t-10=0

解得：ti-3+y/T^,t2—3—

,

Qs(i53+V/ID),Q4(I,3—

綜上，滿足題意的Q點(diǎn)坐標(biāo)有4個，分別是：Q(l,15),Q2(l,—5),QKl,3+/in),Q/l，?—JI7).

〔題目|7拋物線g=-6與力軸交于A(力0(，-6(8,0(兩點(diǎn)，與g軸交于點(diǎn)C,直線g=for-6經(jīng)過點(diǎn)

石.點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為館.

⑴求拋物線的表達(dá)式和t,k的值;

⑵如圖1,連接若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)如圖2,若點(diǎn)P在直線石。上方的拋物線上，過點(diǎn)P作PQLBC,垂足為Q,求CQ+的最大值.

111Q

【答案】⑴，夕=-丁/+工工一6,1=3,%

(2)點(diǎn)P(10,一］(

⑶署

【詳解】⑴解：,.?_8(8,0(在拋物線沙=“力2+號"力—6上,

/.64a+^_x8—6=0,

???Q=一4，

18

/.拋物線解析式為y—6,

當(dāng)g=0時，學(xué)力—6=0,

力=3,t2=8(舍)，

t=3.

vB(8,0(在直線y=kx—6

/.8fc—6=0,

??"=4，

/.一次函數(shù)解析式為y—Arc—6.

4

⑵解:如圖，作PM_Lc軸于點(diǎn)河，

對于g=—^.x2+l^.x—6,令力=0,則g=-6,

?,?點(diǎn)。(0,—6),即OC=6,

VA(3,0),

:.OA—3,

,?,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

：.F(m,—4.m2+JJ_m_6(

PM—；館2—二館+6,AM=m—3,

vZCAF=90°,

???ZOAC-hZPAM=90°,

???ZAPM+APAM=90°,

??.ZOAC=4APM,

???乙40。=/4Mp=90°,

???△cm?△AMP,

,OA=OC

**7W-*7[^T,

OA?MA=OC,PM,即3(m—3)=6,+6(,

g=3(舍),m2=10,

m=10,

.?.點(diǎn)p(io,一￡

(3)解:如圖，作PN±a;軸交BC于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作NE_L夕軸于點(diǎn)E,

P(m,—J_m2+_6(,

、丁Hv，

???點(diǎn)N(m,^,m-6(,

PN=—^m2-}-l^..m—6—(^_m—6(^=—Jj-m2+2m,

???PN_L1軸，

:?PN〃y軸,

???4PNQ=〃DCB,

???/PQN=NBOC=90°,

.-.△FQ7V-ABOC,

.PN=NQ=PQ

?：OB=8f00=6,

/.BC=10,

???NQ=3PN,PQ=tPN,

o5

???EN_Lg軸，

:?EN"x軸,

???△C7VE?△CBO,

.CNENCNm

,?加―=W即R-=X

/.CN=3n,

??.CQ+1.PQ=CN+NQ+1.FQ=CN+&PN+2.x2PN=CN+PN,

?'?CQ+^.PQ=-^m2+2m=-^,m2+^.m=-^(m-最(+,

.??當(dāng)館=4時，CQ+：PQ的最大值是黑.

Qfi目78已知二次函數(shù)v=—；/+皈+C圖像的對稱軸與2軸交于點(diǎn)4(1,°),圖像與沙軸交于點(diǎn)B(o,3),

C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個動點(diǎn)(點(diǎn)。在點(diǎn)D的左側(cè))，且/CAO=90°.

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵若點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，求tan/CDA的值；

(3)點(diǎn)。是否存在其他的位置，使得tan/CDA的值與(2)中所求的值相等？若存在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo);

若不存在,請說明理由.

【答案】(1加=一；爐+：。+3

②I

(3)(-2,1(,(3-5/17,717-2(,(-1-^17-2-/T7(

【詳解】(1)解：：二次函數(shù)^=一32+62；+。與9軸交于點(diǎn)_8(0,3(,

c=3,即9=-1式+匕t+3,

；A(LO(,即二次函數(shù)對稱軸為2=1,

x=—2=-=1,

為2x(一上(

20

?b=1

??。丁

二次函數(shù)的表達(dá)式為g——3力?+］力+3.

TT

(2)解:如圖，過點(diǎn)。作/軸的垂線，垂足為E,連接

???/CAD=90°,

???ABAO-iADAE=90°,

???/ADE+/D4s=90°,

???4ADE=4BAO,

???ZBCL4=NOE4=90°,

???△ADE?△BAO,

??/旬—DE'即BO,DE—OA9AE,

vB(0,3(,A(l,0(,

:.BO—3,OA=1,

設(shè)：OQ,—<#+：1+3(,點(diǎn)0在第一象限，

OE-t,DE——+3,AE—OE—OA—t—1,

.\3x(—9+)+3(=lx(―1(,

解得：土尸一々(舍)，-4(舍)，

當(dāng)友=4時，y=_；x42+：x4+3=l,

：.AE=4：-1=3,DE=1,

：.AD=JDE-TAE2=TFTT=網(wǎng)，

AB=^iO^+OB-=7P+37=g

在Rt/\BAD中，

AB

...tanZG.DA=__=J0*_°_=1i

(3)解:存在，

如圖，(2)圖中放ABAD關(guān)于對稱軸對稱時，tan/CDA=l,

?.?點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,1(,

此時，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2,1(,

如圖，當(dāng)點(diǎn)C、。關(guān)于對稱軸對稱時，此時AC與AD長度相等，即tan/CD4=1,

當(dāng)點(diǎn)。在力軸上方時，

21

過點(diǎn)。作CE垂直于2軸，垂足為E,

/CAD=90°,點(diǎn)。、D關(guān)于對稱軸對稱，

/CAE=45°,

△CAE為等腰直角三角形，

:.CE=AE,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為QI,—；小2+；加+3（,

CE+3,AE—1—m,

+3=1—m

TT

解得：mi=3-JT7,電=3+JI7（舍）,

此時，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3-<17,717-2（,

當(dāng)點(diǎn)C在/軸下方時，

過點(diǎn)。作垂直于力軸，垂足為F,1（

vACAD=90°,點(diǎn)C、D關(guān)于對稱軸對稱，|

??."”二45。，1

??.△CAF為等腰直角三角形，

：.CF=AF,

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m,—+3

/.CF=2sm—3,AE=1—m,

Am2—J_m—3=1—m

4T

—

解得：mi—1+。7（舍）,m2=—l—JT7,

此時，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一1一?7,—2—47（,

綜上：點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,1（,（3—J17,J17—2（,（—1—J17,—2—“17（.

〔意目|9正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC,CD上運(yùn)動（不與正方形頂點(diǎn)重合）.作射線AE,將射線繞點(diǎn)

A逆前針旋轉(zhuǎn)45°,交射線CD于點(diǎn)F.

22

（1）如圖，點(diǎn)E在邊BC上，=則圖中與線段AE相等的線段是

（2）過點(diǎn)E作EGLAF,垂足為G,連接。G,求/GDC的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下,當(dāng)點(diǎn)F在邊CD延長線上且OF=OG時，求穿的值.

71CT

【答案】⑴AF

（2）/GDC的度數(shù)為45°或135°

（3）V2-1

【詳解】（1）AF.

?.?正方形ABCD,

AAB=AD,NB=ND=90°,

?：BE—DF,

：.AABEWAADF,

：.AE=AF.

⑵解:①當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時（如圖）,

過點(diǎn)G作GW_LAD,垂足為延長MG交B。于點(diǎn)N.

AAMG=ADMG=NGNE=90°,

四邊形CDMN是矩形.

：./2+/3=90°.

EG±AF,/EAF=45°,

/2+/1=90°,

△AEG為等腰直角三角形，AG=EG.

Z1=Z3.

△AMGWLGNE.

：.AM=GN.

■：AM+MD=GN+MG,

：.MD=MG.

：.ZWDG為等腰直角三角形，Z4=45°.

/GDC=45°.

23

②當(dāng)點(diǎn)E在邊CD上時（如圖）,

過點(diǎn)G作GN_LDF,垂足為N,延長NG交BA延長線于點(diǎn)則四邊形ADW是矩形,

同理，△AWGzaGNE.

GN=AM=DN.

：.AAfDG為等腰直角三角形，Zl=45°.

A/GDC=180°—45°=135°.

綜上，/G。。的度數(shù)為45°或135°.

⑶解：當(dāng)點(diǎn)F在邊CD延長線上時，點(diǎn)E在邊CD上(如圖),

設(shè)GN=DN=a,則DG=^2a.

：.DF=DG=yfZa.

FN=DF-DN=(0—1(a.

?/GN//AD,

.FGFN

??汨一=而一=G

題目10在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)人在"軸正半軸上.

⑴如果四個點(diǎn)（0,0（、（0,2（、（1,1（、（-1,1（中恰有三個點(diǎn)在二次函數(shù)y=a/（a為常數(shù)，且aWO）的圖象

上.

①a=______;

②如圖T7函菱形ABCD的頂點(diǎn)B、C、O在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長；

③如圖2,己知正方形ABCD的頂點(diǎn)B、。在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B、。在沙軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)。

的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、。的橫坐標(biāo)分別為rn、n,試探究n-m是否為定值.如果是，求出這個值;如果不是，請說

明理由.

（2）已知正方形ABCD的頂點(diǎn)B、D在二次函數(shù)y=ax\a為常數(shù),且a>0）的圖象上，點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè),

設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為小、九，直接寫出小、九滿足的等量關(guān)系式.

24

【答案】⑴①1；②￥；③是，值為i

(2)a(n—m(=1或??1+n=0

【詳解】⑴①解：當(dāng)a：=O,y=O,

(0,2(不在二次函數(shù)圖象上，

將(1,1(代入g=aa?,解得a—1,

故答案為：1;

②解：由①知，二次函數(shù)解析式為y=

設(shè)菱形的邊長為p,則AD=p,O(p,p2(，

由菱形的性質(zhì)得，BC=p,BC7/4D,\I

.?.BC'g軸，]I

???依,式In

?：CD2^AD2,\xiP

??.GYC+QJN=p2，

解得p=0(舍去)，p=—孥(舍去)，P=竽，

菱形的邊長為學(xué)；

③解:如圖2,連接AC、BD交點(diǎn)為E,過B作AflV_Lg軸于河，過。作C/V_L7W于N,

由正方形的性質(zhì)可知，石為A。、皿的中點(diǎn)，48=石。，/ABC=90°,

??.AABM+ZCBN=90°=/CBN+ABCN,

：.ZABM=ABCN,

???/ABM=ABCN,AAMB=ABNC=90°,AB=BC,

???△4MB空△BM7(44S(,

:?AM=BN,BM=CN,

22

由題意知，B(m,m(,。(九，九2(,7n>o,九>o,則E(2ZL^2L,(,M(0,m(,

設(shè)4(0,q(，則C(m+n,m2+n2-Q(,7V(m+n,m2(,

AM—q—m2,BN=n,BM=m,CN=n~Q，

q—m2=n,m=n1—q,

n2—m—m2=n,

??,點(diǎn)瓦。在g軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，

m+n0,

n—m=1,

.，.九一771是定值，值為1;

(2)解：由題意知，分①當(dāng)B、。在g軸右側(cè)時,②當(dāng)B、。在g軸左側(cè)時,③當(dāng)B在g軸左側(cè)，。在g軸右側(cè)

時，三種情況求解；

①當(dāng)石、。在g軸右側(cè)時，

y—ax2,

同理⑴③，AA1=BN,BAf=CW,

由題意知，B(m,am2(,-D(n,an2(,m>0,0,則E^71n.,一__M(0,am2(?

設(shè)A(O,q(，則C(m+n,a(m2W(-g(,7V(m+n,am2(,

AM—q—am?,BN—n,BM—m,CN—an~(l^

oo

q—am—nfm—an—q,

an2—m—am2=n,

化簡得(an—am—l((m+n(=0,

Tm十九#0

a(n—m(=1;

②當(dāng)在g軸左側(cè)時，

同理可求Q(n—m(=1;

③當(dāng)石在g軸左側(cè)，。在沙軸右側(cè)時，且BD不垂直于g軸時，

同理可求a(n—m(=1,

當(dāng)石在g軸左側(cè)，。在g軸右側(cè)時，且石。垂直于g軸時，

由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，m+n=0;

綜上所述，a(n—m(=1或7n+?2=0.

題目［n如圖,在平面直角坐標(biāo)系①3中，拋物線八27=1—22—3的頂點(diǎn)為P直線，過點(diǎn)河(0,皿

-3)，且平行于x軸，與拋物線〃交于A、B兩點(diǎn)(B在A的右側(cè))，將拋物線Li沿直線L翻折得到拋物線

，，拋物線乙2交沙軸于點(diǎn)。，頂點(diǎn)為。.

lL2

I

T/

（備用圖）

⑴當(dāng)？71=1時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)連接BC、CD、DB,若/BCD=90°,求此時乙2所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

⑶在⑵的條件下，若△3CD的面積為3,E、F兩點(diǎn)分別在邊3。、8上運(yùn)動,且必1=8,以用為一邊

作正方形EFGH,連接CG,寫出CG長度的最小值，并簡要說明理由.

【答案】⑴。(1,6(

(2)y=-x2+2x+3

⑶-

【詳解】(1)y=—3=(rc-1(2—4,

.-.F(l,-4(,

.?.點(diǎn)P和點(diǎn)D關(guān)于直線y=1對稱，

.-.n(i,6(；

⑵：P(l,-4(,點(diǎn)P和點(diǎn)。關(guān)于直線9=m對稱，

D(l,2m+4(,

2

L2的解析式為：y=—(z—l(+2m+4

當(dāng)力=0時，g=2m+3,

.-.C(0,2m+3(,

過點(diǎn)。作DV_Lg軸于點(diǎn)N,則：N(0,2nz