2024歷年高考數(shù)學試題匯編：雙曲線

歷年高考數(shù)學真題精編

14雙曲線

一、單選題

22

1.（2023?全國）已知雙曲線C:、-2=1（。>0,6>0）的離心率為如，C的一條漸近線與圓

礦b'

（x-2）2+（y-3）2=l交于A,B兩點,貝||AB|=（）

A/5R2百03非n4逐

AA?---D,------C.------U.------

5555

2

2.（2023?全國）設A,8為雙曲線f-5=1上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是

（）

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（-1,-4）

22

3.（2023?天津）已知雙曲線斗-2力>0）的左、右焦點分別為耳、F2,過F2向一

ab

條漸近線作垂線，垂足為尸.若I尸局=2,直線9的斜率為亨，則雙曲線的方程為（）

4.（2008?湖南）若雙曲線￡-1=l（a>0,b>0）上橫坐標為坐的點到右焦點的距離大于它到

ab2

左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.(1,2)B.(2收)C.(1,5)D.(5,+oo)

5.（2007?福建）以雙曲線％2―犬=2的右焦點為圓心，且與其右準線相切的圓的方程是（）

A.x2+y2-4x-3=0B.x2+y2-4x+3=0

C.%2+y2+4x—5=0D.x2++4x+5=0

22

6.(2005?天津)設雙曲線以橢圓乙+匕=i長軸的兩個端點為焦點，其準線過橢圓的焦點,

259

則雙曲線的漸近線的斜率為（）

y

A.±2B-4D.

7.（2021?全國）已知耳，工是雙曲線C的兩個焦點，尸為C上一點，且

/耳尸區(qū)=60。,歸國=3戶可，則C的離心率為（）

幣R岳

AD.----------C.不D.

22

22

8.（2019?全國）設/為雙曲線C：、-當=1Q>0,>>0）的右焦點,。為坐標原點，以

/b~

。尸為直徑的圓與圓N+W交于尸、。兩點.若|P2|=Qn，則C的離心率為

A.y/2B.V3

C.2D.6

22

9.（2022?天津）已知拋物線y2=4后，K，鳥分別是雙曲線方=1（“>0/>0）的左、右焦

TT

點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點耳，與雙曲線的漸近線交于點4若/耳月A==,則

雙曲線的標準方程為（）

丫2

A.—-/=1B.尤2

10

丫2

D.——y2=l

4

10.（2021?天津）已知雙曲線，-與=1（。>0,10）的右焦點與拋物線/2=2。雙「>0）的焦點

ab

重合，拋物線的準線交雙曲線于A,2兩點，交雙曲線的漸近線于C、。兩點，若

\CD\=42\AB\.則雙曲線的離心率為（）

A.y/2B.6C.2D.3

二、多選題

11.（2022.全國）雙曲線C的兩個焦點為用入，以C的實軸為直徑的圓記為。，過百作。

3

的切線與。交于M,N兩點，且cosNKNB=《，則。的離心率為（）

A,更Br岳D.叵

2-122

12.（2020?山東）已知曲線C:7n/+=i.（）

A.若%>w>0,則C是橢圓，其焦點在y軸上

B.若m=〃>0,則C是圓，其半徑為薪

C.若機〃<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±X

Vn

D.若加=0,n>0,則C是兩條直線

三、填空題

22

13.（2023?全國）已知雙曲線C:r=-v2=l（a>0,10）的左、右焦點分別為片，8.點A在C上，

ab

2

點B在y軸上，F(xiàn)lAlFlB,F2A=--F2B,則C的離心率為.

14.（2022?全國）若雙曲線y2-±=i（機>0）的漸近線與圓爐+,2-4丁+3=0相切，貝|

m

m=.

22

15.（2020?全國）已知尸為雙曲線C：，-2=1（°>0,30）的右焦點，A為C的右頂點，B為

ab

C上的點，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3,則C的離心率為.

22U

16.（2022.浙江）已知雙曲線3-與=1（。>0,"0）的左焦點為死過尸且斜率為7的直線交

a2及4〃

雙曲線于點A（4%）,交雙曲線的漸近線于點3（%,力）且當<。<%.若|EB|=3|FA|,則雙

曲線的離心率是.

17.（2019?全國）已知雙曲線C：，-與=1（〃>0,6>0）的左、右焦點分別為Fi,過B

ab

的直線與C的兩條漸近線分別交于A,8兩點.^FtA=AB,RBF/W,則C的離心率

為.

18.（2020?北京）已知雙曲線C:三-匕=1,則C的右焦點的坐標為；C的焦點到

63

其漸近線的距離是.

19.（2020?山東）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點F與雙曲線下-七=1（。>0,8>0）的左

ab

焦點重合，若兩曲線相交于N兩點，且線段的中點是點尸，則該雙曲線的離心率

等于.

四、解答題

20.（2023?全國）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為卜2遙,0）,離心率為右.

（1）求C的方程;

（2）記C的左、右頂點分別為a，4,過點（T,o）的直線與C的左支交于M,N兩點，M在

第二象限，直線1小與私交于點證明:點P在定直線上.

21.（2022?全國）已知雙曲線C：W-《=im>0乃>0）的右焦點為F（2,0）,漸近線方程為

ab

y=±A/3X.

⑴求C的方程；

（2）過尸的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點，點「（工,％）,。伍，％）在C上，且

尤1>%>。,%>0.過尸且斜率為Y的直線與過。且斜率為6的直線交于點M從下面

①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：

①/在上；?PQ//AB-③|M4HMB].

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

22.（2021?全國）在平面直角坐標系龍帆中，已知點川-而',（））、區(qū)（舊,0川M圖一|M周=2,

點"的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）設點T在直線尤=g上，過T的兩條直線分別交C于A、5兩點和P,Q兩點，且

附-\TB\=\TP\-\TQ\,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

22

23.（2008?湖北）己知雙曲線。:=-2=1（。>01>0）的兩個焦點為

ab

/：（-2,0）,歹：（2,0）,點尸（3,4）的曲線C上.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）記。為坐標原點，過點Q（0,2）的直線/與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,若4OEF

的面積為2加,求直線/的方程

參考答案:

1.D

【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.

【詳解】由e=6,貝。<=^^=1+耳=5,

aaa

解得2b=2,

a

所以雙曲線的一條漸近線為，=2無,

則圓心(2,3)到漸近線的距離d=與公=旦,

V？TT5

所以弦長|AB|=2介一屋=27|=

故選：D

2.D

【分析】

根據(jù)點差法分析可得心酸左=9,對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判

斷；對于C：結合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設AG%),*%,%)，則A3的中點

M+必

可得勉=4,左=看=4，

玉-X2一+%2再+%2

2-

2

1

yl一-1

9

因為A3在雙曲線上，則V2

%

1

一-1

9

所以鼬?左=X,2=9.

xx-x2

對于選項A：可得k=1,須5=9,貝lJA3:y=9x—8,

y=9x-S

聯(lián)立方程I2V2，消去y得72爐—2X72X+73=0,

I9

止匕時A=(—2x72)2—4x72x73=—288<0,

所以直線A3與雙曲線沒有交點，故A錯誤；

-,995

對于選項B：可得左=-248=-于IJ1!!AB:y=--x~~,

95

y二——x——

22.

聯(lián)立方程12,消去y得45爐+2x45x+61=0,

/一匕=1

19

止匕時A=（2x45）2—4x45x61=Tx45xl6<0,

所以直線A3與雙曲線沒有交點，故B錯誤；

對于選項C：可得％=3,怎5=3,貝!JAB：y=3%

由雙曲線方程可得，=11=3,則AB：y=3%為雙曲線的漸近線，

所以直線與雙曲線沒有交點，故C錯誤；

997

對于選項D：k=4,kAB=—,則

（97

y=—x——

44

聯(lián)立方程12，消去》得631+126%—193=0,

尤2.2L-1

19

此時△=1262+4x63x193>0,故直線AB與雙曲線有交兩個交點,故D正確;

故選：D.

3.D

bb

【分析】先由點到直線的距離公式求出匕，設/產(chǎn)。工=。，由tanO=西力導到舊=%

一=顯，解出。，代

|O罵卜c.再由三角形的面積公式得到力，從而得到小，則可得到

2+24

入雙曲線的方程即可得到答案.

【詳解】如圖，

A

因為瑪(c,0),不妨設漸近線方程為y=即區(qū)-毆=0,

所以席:占二5"，

所以6=2.

PFbb

設NP。為=6,則tane=冒=麗==所以|OP|=a,所以|。耳卜c.

ab

因為凈1,力,所以為=或2

—c,所以C2,所以4=幺

2tan8=

xpa

所以尸3

因為E(-c，。)，

ab

ab2aa交

所以kpR

a2a2+c2Q2+Q?+4a?+2-4,

+c

c

所以血(/+2)=4“，解得°=點,

所以雙曲線的方程為片-亡=1

24

故選：D

4.B

【分析】根據(jù)題設條件可得基本量的關系，從而可求離心率.

&,&2

【詳解】根據(jù)雙曲線的第二定義，雙曲線上橫坐標為的點到右焦點的距離為e-a-—

2(2c

而該點到左準線的距離為

2IcJ2c

,(3a2)3a2

故由條件知e——\>-a+—.

(2cj2c

331

整理得一”1>一+—.

22e

綜合e>l,解得e>2.

故選：B

5.B

【分析】首先將雙曲線化簡成標準形式，然后求出右焦點坐標以及右準線方程，即可求解.

22

【詳解】由題意可得，尤2一/=2=＞上一匕=1,根據(jù)"+尸=。2,求得c=2,則雙曲線的

22

2

右焦點坐標為(2,0),右準線方程里=1,

C

由此可知，圓的圓心為(2,0),半徑為1,則圓的方程為尤2+丫2-以+3=0.

故選：B

6.C

【分析】由己知可得橢圓的長軸端點和焦點坐標，設雙曲線的方程為工-1=1,

a2b2

可得“b的方程組，求出a、6的值，可得雙曲線的漸近線斜率.

【詳解】解：由題意可得：橢圓的長軸端點為(5,。)，(-5,0),且后為=4,所以焦點坐標

(4,0),(-4,0),

=25

222

設雙曲線的方程為——2=1,可得幺=4

abc

c=5

解得：〃=2^/5,b=,

b1

可得％=±—=±7，

a2

故選：C.

7.A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出I尸耳尸石結合余弦定理可得答案.

【詳解】因為I尸同=3|尸閭,由雙曲線的定義可得|P周T尸閭=2|P聞=2a,

所以歸閭=a,|「耳|=3a；

因為N耳尸瑪=60。，由余弦定理可得4c2=9a2+a2-2x3a-a-cos60°，

整理可得4c2=7/,所以e2=〈=Z,即6=立.

a242

故選：A

【點睛】關鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立a，。間的等量關系是求解的

關鍵.

8.A

【分析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲

線的離心率.

【詳解】設PQ與x軸交于點A,由對稱性可知軸，

又|尸。|斗。尸|=c,.?.|P4|=/「.PA為以紗為直徑的圓的半徑,

A為圓心

2

二,《右5’又P點在圓/+?/="上，

「2*22

---1=a1,即—=a2,e2=-彳=2.

442a2

:.e=42,故選A.

【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾

何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中

的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來.

9.C

【分析】由已知可得出c的值，求出點A的坐標，分析可得|/囚=|耳閶,由此可得出關于。、

6、。的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標準方程.

【詳解】拋物線V=4后的準線方程為x=則°=逐，則由-底0）、區(qū)（后。），

[x=-CZX

不妨設點A為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立y一一5二可得be,即點A-C,，，

U-ck=Ti尸

qr

因為4月，月亮且,則△月外A為等腰直角三角形，

且|伍上國閭,即如=2c,可得2=2,

aa

2=2

aa=\

2

所以，c=A/5，解得。=2,因此，雙曲線的標準方程為——匕=1.

4

(72=〃2+/c=y/5

故選：C.

10.A

【分析】設公共焦點為(G。)，進而可得準線為尤=-c,代入雙曲線及漸近線方程，結合線段

長度比值可得/,再由雙曲線離心率公式即可得解.

22

【詳解】設雙曲線十方=1(。>0,"0)與拋物線y2=2px(p>0)的公共焦點為(c,o),

則拋物線/=2Pxs0)的準線為x=_c,

2

r*2b2D仔

令x=-c,則二一2=1，解得y=±2,所以|人同=工

abaa

又因為雙曲線的漸近線方程為?=±2尤，所以|C￡>|=*,

aa

所以竺￡=&空，即°=揚，所以/=/-廿=(,2,

aa2

所以雙曲線的離心率e=￡=五.

a

故選：A.

11.AC

【分析】依題意不妨設雙曲線焦點在x軸，設過月作圓。的切線切點為G,利用正弦定理

結合三角變換、雙曲線的定義得到26=3。或。=26,即可得解，注意就在雙支上還是

在單支上分類討論.

【詳解】［方法一］:幾何法，雙曲線定義的應用

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設雙曲線焦點在x軸，設過片作圓。的切線切點為B,

3

所以OB,耳N,因為cosN大”=]>0,所以N在雙曲線的左支，

34

|OB|=a,|O7^|=c,|FjB|=b,^ZF{NF2=a,由即cosi=g,貝Usino=1,

3S

|NA|=-a,|NF,|=-a

附-附=2。

5（3）

—a—\—a—2b=2a,

2【2）

2b—a,..e—----

2

選A

情況二

3

若M、N在雙曲線的兩支，因為cosN￡N與=w>0,所以N在雙曲線的右支,

所以|OB|=a,\OF\=c,|耳B|=b,設/片Ng=a,

由cosN片?/耳二^，即cosa=g,貝!Jsina=（，

35

|NA|=-a,|NF2|=-a

|麗-網(wǎng)=2a

3c,5c

—Q+2b----ci—2a,

22

b3

所以2b=3〃，即一=7，

a2

所以雙曲線的離心率e=￡=Ji!5=巫

a\a22

選C

［方法二］:答案回代法

A選項e*

2

特值雙曲線

2

亍-丁=1,.耳卜石,0),月(上,0),

過耳且與圓相切的一條直線為y=2(x+石)，

兩交點都在左支,，,

.?.|明|=5,|師|=1,|耳月|=26，

3

則cos/片叫=1,

C選項6=史

2

特值雙曲線1一1=1,.?.耳(-A/13,0),F2(713,0),

過耳且與圓相切的一條直線為y=g(x+而)，

兩交點在左右兩支，N在右支，疝1,

.?.|用|=5,|忻|=9,|耳司=2萬，

3

貝i］cos/KN&=g,

［方法三］:

依題意不妨設雙曲線焦點在x軸，設過耳作圓。的切線切點為G,

若M,N分別在左右支，

因為。G，N1,且cosN月八巴=1>0,所以N在雙曲線的右支，

X|OG|=a,\OF\=c,\GF\=b,

設NF\NF】=a,NF#\N=0,

在△隼四中，有風羋

sin/3sin(a+￡)sina

|狗一質(zhì)|二工_a=」

sin(cr+/)-sin￡sincrsin(a+〃)-sin^sina'

sinacos/3+cosasin〃一sin/3sina

a

H3.ncb田.4

而cosa=—,smp=—,cosp=—,故sina=一,

See5

h3

代入整理得到2b=3。，即一=7，

a2

故即一工即____________?____________=,

sin尸一sin(a+/)sinasin/3-sinacos(3-cosasin/3siner

代入cos。=3,sin/?=—,sin,整理得到："

故選：AC.

12.ACD

【分析】結合選項進行逐項分析求解，相>〃>0時表示橢圓，根=〃>0時表示圓，根〃<0時

表示雙曲線，機=0,〃>。時表示兩條直線.

【詳解】對于A,若m＞孔＞0,則樞/+町/=1可化為1+1一，

mn

因為加＞幾＞0,所以

mn

即曲線。表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；

對于B,若機=〃＞0,貝！J+〃y2=1可化為％之+J=_,

n

此時曲線c表示圓心在原點，半徑為YE的圓，故B不正確；

n

.片+匚1

對于C,mn＜0,貝!Jmx?+〃y2=1可化為11,

mn

此時曲線。表示雙曲線，

由小犬十兒必=0可得y=±—竺x,故C正確；

Vn

對于D,若根=0,〃＞0,貝|爾2+〃）2=i可化為丁=j_,

n

y=士近,此時曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確；

n

故選：ACD.

【點睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關鍵，側重

考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

13.述/-75

55

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到|然|,怛閭,|班關于

。，加的表達式，從而利用勾股定理求得。=機，進而利用余弦定理得到GC的齊次方程，從

而得解.

方法二：依題意設出各點坐標，從而由向量坐標運算求得無。=：5。,%=-《2乙/=4/,將點

A代入雙曲線C得到關于a,b,c的齊次方程，從而得解；

【詳解】方法一：

依題意，設|悶=2根,則忸聞=3〃?=忸可|,|M|=2a+2〃z,

在RtA3月中，9加之+（2〃+2用y=25m之，則（々+3機）（?一相）=0,故”=機或〃=一3根（舍去），

所以|明|=43轉|=2々，|%|=|班|=3匹貝"AB|=5a,

AF_4。_4

故cosN片人工二X

AB5a5

1I-4M4

所以在△"中‘8S"W=；：=2：g整理得5，』E

依題意，得耳（-c,0），K（c,0）,令4（%,%）,3（0,力,

2?52

因為g4=一188,所以（毛一仁為"一制-6"，則%=_§乙

又耳所以片448=（|。,_：/：（3/）=|°2_|r=0,則廣二公?，

222

又點A在C上，則—9c—9t-整理25得c2-4%/=1，則25空c-1咚6c2=1,

22

氣一一號=19a29b②9a9b

ab

所以25CV-16C2?2=9a2b2,即25c2（c2-a2）-16o2c2=9a2（c2-a~）,

整理得25c4-50a2c2+9a4=0,PJiJ（5c2-9a2）（5c2-a2）=0,解得5c2=9a2^5c2=a2,

又e>l,所以e=士叵或e=@（舍去），故6=地.

555

故答案為：正.

5

【點睛】關鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關鍵是充分利用雙曲線的定義，結合勾股

定理與余弦定理得到關于d6,c的齊次方程，從而得解.

14.2

3

【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半

徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可.

1*2X

【詳解】解：雙曲線V—二=1（根＞0）的漸近線為y=±—,即x土沖=0,

rnm

不妨取x+my=0,圓/+9―4y+3=0,Bpx2+（y-2）2=1,所以圓心為（0,2）,半徑r=1,

依題意圓心（0,2）到漸近線x+根〉=0的距離d=

解得加或加（舍去）.

33

故答案為：息.

3

15.2

【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，忸刊=[,N/=。-即即可根據(jù)斜率列出等式求解

即可.

x=c

ccXc=Cc

222

【詳解】聯(lián)立邑r-4=1,解得吩，所以忸司=h2.

aby=±一a

c2=b2+a21a

b2

BF■I------7?

依題可得,=3,\AF\=c-a,即a=-（r=?,變形得。+。=3"，c=2a,

~AF

c-aa（c-a）

因此，雙曲線C的離心率為2.

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應用，屬于基礎題.

16.亞

4

h

【分析】聯(lián)立直線AB和漸近線/,：y=2》方程，可求出點2,再根據(jù)1/中1=3|早|可求得點

a

A,最后根據(jù)點A在雙曲線上，即可解出離心率.

hhh

【詳解】過尸且斜率為二的直線=f（尤+c）,漸近線=

4。4。a

b

y=—（x+c）/.x/_x

聯(lián)立4。，得8m,由|FB|=3|網(wǎng),得目7,

b133。J

y=-x

a

而點A在雙曲線上，于是零-心工=1,解得：4=—'所以離心率e=地.

81481a2b2a2244

故答案為：巫.

4

17.2.

【分析】通過向量關系得到用A=AB和OA，￡A,得到/AOB=/AO片，結合雙曲線的漸

hr-

近線可得NBOF,=ZAOF^ZBOF,=NAO耳=ZBOA=60°,從而由上=tan60°=下＞可求離心

a

率.

【詳解】如圖,

由耳A=AB,得不A=AA又。6=。8,得OA是三角形片g8的中位線，即

BF2//OA,BF2=2OA.由F[B.F,B=0,得月臺，F(xiàn)2B,OA±F1A,則02=O耳有ZAOB=ZAOF1,

又OA與OB都是漸近線，得2B0F]=NAO耳，又ZBOF2+ZAOB+ZAOF1=%，得

ZBOF^=ZAOF,=ZBOA=60°,.又漸近線OB的斜率為幺=tan600=6,所以該雙曲線的

a

離心率為e=—=.11+(—)2=+=2.

aVa

【點睛】本題考查平面向量結合雙曲線的漸近線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)

學運算素養(yǎng).采取幾何法，利用數(shù)形結合思想解題.

18.(3,0)陋

【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程可得出雙曲線C的右焦點坐標,并求得雙曲線的漸近線方程,

利用點到直線的距離公式可求得雙曲線的焦點到漸近線的距離.

【詳解】在雙曲線C中，a=y[6,b=y/3,則0=，/+廿=3,則雙曲線c的右焦點坐標為

(3,0),

雙曲線C的漸近線方程為＞=土乎x,即苫±&曠=0,

_3

所以，雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為=6.

JF+2

故答案為：(3,0)；6

【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標準方程求雙曲線的焦點坐標以及焦點到漸近線的距離，考

查計算能力，屬于基礎題.

19.V2+1

【分析】利用拋物線的性質(zhì)，得到M的坐標，再帶入到雙曲線方程中，即可求解.

【詳解】由題意知：_g=_c,:.p=2c,

拋物線方程為：y2=-2px=-4cx,

M在拋物線上，所以M(-c,2c),

44r2

M在雙曲線上，，彳一彳=1,

ab

b2=c2-a2,c4-6a2c2+a4=0

:.e2=3±2^/2,又ee(l,+oo),;.e=0+l.

故答案為：72+1

20.(1)—--^=1

416

⑵證明見解析.

【分析】(1)由題意求得6的值即可確定雙曲線方程；

(2)設出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線與N4的方程，

聯(lián)立直線方程，消去兒結合韋達定理計算可得Y+干2=-：1,即交點的橫坐標為定值，據(jù)此

x-23

可證得點P在定直線尤=-1上.

22_

【詳解】（1）設雙曲線方程為?-七=1（。＞0]＞0）,由焦點坐標可知c=2指,

ab

貝fj由6='二百可得〃=2,b=[c1—a2=4，

a

雙曲線方程為X-E=i.

416

（2）由⑴可得A（-2,0）,4（2,0）,設

顯然直線的斜率不為0,所以設直線MN的方程為工=；町-4,且一;＜〃?＜；,

22

與+祗=1聯(lián)立可得（4/-1）/-32〃沙+48=0,且△=64（4/+3）＞0,

直線N4的方程為＞=%（尤-2）,

X?一2

聯(lián)立直線MAx與直線N4的方程可得:

x+2=%（占+2）=%（，孫-2）=畋］%-2（%+%）+2乂

尤-2必仁-2）^（myo-6）myly2-6yl

48_32m.-16m一

m—52入—+2y—7-+2y

4病一14/一1八4m2-111

48，48m/

mx——------6yl病「3

4m2-11

Y9I

由——二_—可得x=—1,即馬=T,

x-23

據(jù)此可得點尸在定直線x=-1上運動.

【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和

綜合應用能力，其中根據(jù)設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關系可以簡化運算,

是解題的關鍵.

21.⑴/一21=1

3

（2）見解析

【分析】（1）利用焦點坐標求得c的值，利用漸近線方程求得。力的關系，進而利用。，4c的

平方關系求得。,6的值，得到雙曲線的方程；

（2）先分析得到直線AB的斜率存在且不為零,設直線的斜率為匕由③|AM=|8M

等價分析得到/+6。=學由直線尸加和Q"的斜率得到直線方程，結合雙曲線的方程,

兩點間距離公式得到直線尸。的斜率加=也，由②尸。〃鈣等價轉化為優(yōu),=3%,由①加

%

在直線A3上等價于機=〃（%-2）,然后選擇兩個作為已知條件一個作為結論，進行證明

即可.

【詳解】（1）右焦點為尸（2,0）,?漸近線方程為＞=±氐，=可，

a

c2=a2+b2=4。2=4,a=\,b—A/3?

??.C的方程為：龍2上=1

3

（2）由已知得直線P。的斜率存在且不為零，直線AB的斜率不為零，

若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線AB的斜率存在且不為零；

若選①③推②，則M為線段AB的中點，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性

可知M在x軸上，即為焦點尸，此時由對稱性可知尸、。關于無軸對稱，與從而玉=%，已

知不符；

總之，直線的斜率存在且不為零.

設直線AB的斜率為k，直線AB方程為y=k（x-2）,

則條件①M在A3上，等價于%=人（玉-2）=機=左2（%一2）；

兩漸近線的方程合并為3x2-y2=0,

聯(lián)立消去y并化簡整理得：&-3）x2-4k2x+4k2=0

設AH，%），8%，%），線段中點為N（xv，底），則尤%=三產(chǎn)=手；，以=刈/-2）=生,

設M（Xo，%）,

則條件③=忸"|等價于-泡)2+(%-%)2=(尤0-尤4)2+(%-%)2,

移項并利用平方差公式整理得：

(X3-X4)[2X0-(X3+z)]+(%-%)[2%-(%+%)]=。，

[2X0-(X3+無4)]+?_([2%。,即丁一X”+左(%-％)=。，

即％+均。=備；

由題意知直線的斜率為-如，直線2"的斜率為石，

由乂一%=一蟲(占一%)，％一%=6(馬一%)，

?'?X—%=一6(占+W—2%)，

所以直線P。的斜率機==_同演+%2%),

xx-x2X,-x2

直線PM:y=_6(左一/)+%,即y=y0+y/3x0-y/3x,

代入雙曲線的方程3/一y-3=o,即(JIx+力(屈-y)=3中,

得：(%+昌)12氐-(%+昌)]=3,

解得尸的橫坐標：占=二^(---+%+底n,

2,31%+43%)

%

?1?條件②PQHAB等價于m=kokyo=3x°,

綜上所述:

條件①M在AB上，等價于錢=〃(七一2)；

條件②PQ//AB等價于ky0=3x°；

條件③|AM|=忸閭等價于xo+kyo=2；

k—3

選①②推③:

"2QT.2

由①②解得：,x+ky=4x=-，，③成立;

k—3000k—3

選①③推②：

6k2

由①③解得：ky0=-^,

2

°k-3°左2-3

.?.佻=3%,.?.②成立；

選②③推①:

2k2.6k°.