2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：規(guī)律型探究題（24題）（解析版）

專題31規(guī)律型探究題（24題）

一、單選題

1.（2024?云南?中考真題）按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2x,3尤2,4尤3,5x36蝎L,第〃個(gè)代數(shù)式是（）

A.2x"B.（n-l）xnC.nxn+iD.（"+l）x"

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)列的規(guī)律變化，根據(jù)數(shù)列找到變化規(guī)律即可求解，仔細(xì)觀察和總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：???按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2x,3一,敘3,5x36/，L,

...第〃個(gè)代數(shù)式是（〃+1）/，

故選：D.

2.（2024?重慶?中考真題）烷妙是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物質(zhì)，下圖是這類物質(zhì)前四種化合物

的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種如圖①有4個(gè)氫原子，第2種如圖②

有6個(gè)氫原子，第3種如圖③有8個(gè)氫原子，……按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原

子的個(gè)數(shù)是（）

%/內(nèi)內(nèi)J

①②③④

A.20B.22C.24D.26

【答案】B

【分析】本題考查數(shù)字的變化類，根據(jù)圖形，可歸納出規(guī)律表達(dá)式的特點(diǎn)，再解答即可.

【詳解】解：由圖可得，

第1種如圖①有4個(gè)氫原子，即2+2xl=4

第2種如圖②有6個(gè)氫原子，即2+2x2=6

第3種如圖③有8個(gè)氫原子，即2+2x3=8

???，

??.第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個(gè)數(shù)是：2+2x10=22；

故選：B.

3.（2024?重慶?中考真題）用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)菱形，第②個(gè)圖案

中有5個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有8個(gè)菱形，第④個(gè)圖案中有11個(gè)菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個(gè)圖案中，

菱形的個(gè)數(shù)是（）

8/會(huì)伊用洲-

①②⑨④

A.20B.21C.23D.26

【答案】C

【分析】本題考查了圖形類的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律.利用規(guī)律求解.通過觀察圖形找到相應(yīng)

的規(guī)律，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：第①個(gè)圖案中有l(wèi)+3x（l-1）+1=2個(gè)菱形，

第②個(gè)圖案中有l(wèi)+3x（2-l）+l=5個(gè)菱形,

第③個(gè)圖案中有l(wèi)+3x（3-l）+l=8個(gè)菱形，

第④個(gè)圖案中有l(wèi)+3x（4-l）+l=ll個(gè)菱形，

.?.第〃個(gè)圖案中有1+3（"-1）+1=3〃-1個(gè)菱形,

，第⑧個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為3x8-1=23,

故選：C.

4.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個(gè)

圖有4個(gè)三角形.第2個(gè)圖有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖有10個(gè)三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)

圖中三角形的個(gè)數(shù)是（）

△

△△△△

△△△△△△△……

△△△△△△△△△

第I個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】B

【分析】此題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的排列，歸納出圖形的變化規(guī)律.根據(jù)前幾

個(gè)圖形的變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，可用含"的代數(shù)式表示出第〃個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)，從而可求第674個(gè)圖形中

三角形的個(gè)數(shù).

【詳解】解：第1個(gè)圖案有4個(gè)三角形，即4=3xl+l,

第2個(gè)圖案有7個(gè)三角形，即7=3x2+l,

2

第3個(gè)圖案有10個(gè)三角形，即10=3x3+1,

按此規(guī)律擺下去，第一個(gè)圖案有（3"+1）個(gè)三角形，

則第674個(gè)圖案中三角形的個(gè)數(shù)為：3x674+1=2023（個(gè)）.

故選：B.

5.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，小好同學(xué)用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)3/+3x-1的圖象，發(fā)現(xiàn)它

關(guān)于點(diǎn)（1,0）中心對(duì)稱.若點(diǎn)4（0.1,%）,4（02%）,4（0.3,%）,……,&（1.9，w）,4。（2,%）都在函

數(shù)圖象上,這20個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從0.1開始依次增加0.1,則%+%+%+……+%+%＜）的值是＜）

【答案】D

【分析】本題是坐標(biāo)規(guī)律題，求函數(shù)值，中心對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)題意得出%+%+%+…％+%???+%=。，

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求W+%。，根據(jù)題意可得九=0,%。=1,即可求解.

【詳解】解：二?這20個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從0.1開始依次增加0.1,

0.1+1,90.2+1,80.9+1.1,

,,----------=-----------=--------------=1,

222

**?乂+乂+%+…%+為…+乂9=°，

，%+%+%+....+必9+%0=%。+%0，而4o（l,O）即必o二0,

??》/一3一+3]—1,

當(dāng)x=0時(shí)，＞=一1,即

???（0,—1）關(guān)于點(diǎn)（1,0）中心對(duì)稱的點(diǎn)為（2,1）,

即當(dāng)X=2時(shí)，/o=1,

「?必+,2++......+必9+，20=m0+,20=0+1=1，

故選：D.

3

6.（2024?四川德陽?中考真題）將一組數(shù)收,2,痛,2后,2行,…，而，…，按以下方式進(jìn)行排列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIV102V3

則第八行左起第1個(gè)數(shù)是（）

A.772B.872C.而D.4面

【答案】C

【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.求出第七行共有28個(gè)數(shù)，

從而可得第八行左起第1個(gè)數(shù)是第29個(gè)數(shù)，據(jù)此求解即可得.

【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個(gè)數(shù)，第二行共有2個(gè)數(shù)，第三行共有3個(gè)數(shù)，

歸納類推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28個(gè)數(shù)，

則第八行左起第1個(gè)數(shù)是=而，

故選：C.

7.（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）1202年數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中記載了一列數(shù)：1,1,2,3,5,……,

這一列數(shù)滿足：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它的前兩個(gè)數(shù)之和.則在這一列數(shù)的前2024個(gè)數(shù)中，

奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.676B.674C.1348D.1350

【答案】D

【分析】將這一列數(shù)繼續(xù)寫下去，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律即可解答.

本題主要考查的是數(shù)字規(guī)律類問題，發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】這一列數(shù)為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,...

可以發(fā)現(xiàn)每3個(gè)數(shù)為一組，每一組前2個(gè)數(shù)為奇數(shù)，第3個(gè)數(shù)為偶數(shù).

由于2024+3=674…2,

即前2024個(gè)數(shù)共有674組，且余2個(gè)數(shù)，

奇數(shù)有674x2+2=1350個(gè).

故選：D

8.（2024?河北?中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的

點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”.將某“和點(diǎn)”平移，每次平移的方向取決于該點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)

為0時(shí)，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時(shí)，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時(shí)，向左平移），每次平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.

4

例：“和點(diǎn)”尸（2,1）按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點(diǎn)月（2,2）,其平移過程如下：

，、右，、上，、左，、

"⑵1）----->6（3.1）~?g（3,2）-----?P、（2.2）

余0余1余2

若“和點(diǎn)”。按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)06（T，9）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（6,1）或（7,1）B.（15,-7）或（8,0）C.（6,0）或（8,0）D.（5,1）或（7,1）

【答案】D

【分析】本題考查了坐標(biāo)內(nèi)點(diǎn)的平移運(yùn)動(dòng)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，利用反向運(yùn)動(dòng)理解是解決本題的關(guān)鍵.

先找出規(guī)律若“和點(diǎn)”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0時(shí)，先向右平移1個(gè)單位，之后按照向上、向

左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，按照On,的反向運(yùn)動(dòng)理解去分類討論：①先向右1個(gè)單位，不符

合題意；②先向下1個(gè)單位，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時(shí)，共計(jì)向下平移了8次，向右平移了7

次，此時(shí)坐標(biāo)為（6,1）,那么最后一次若向右平移則為（7,1）,若向左平移則為（5,1）.

【詳解】解：由點(diǎn)A（2,2）可知橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1,繼而向上平移1個(gè)單位得到4（2,3）,

此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為2,繼而向左平移1個(gè)單位得到乙（1,3）,此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除

以3所得的余數(shù)為1,又要向上平移1個(gè)單位……,因此發(fā)現(xiàn)規(guī)律為若“和點(diǎn)”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得

的余數(shù)為0時(shí)，先向右平移1個(gè)單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，

若“和點(diǎn)”。按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)06（T9）,則按照“和點(diǎn)”06反向運(yùn)動(dòng)16次求點(diǎn)。坐標(biāo)

理解，可以分為兩種情況：

①白6先向右1個(gè)單位得到。5（0，），此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0,應(yīng)該是向右平移1

個(gè)單位得到故矛盾，不成立；

②先向下1個(gè)單位得到Oi5（T，8）,此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1,則應(yīng)該向上平移1個(gè)

單位得到儲(chǔ)6,故符合題意，那么點(diǎn)先向下平移，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時(shí)，共計(jì)向下平移了8

次，向右平移了7次，此時(shí)坐標(biāo)為（-1+7,9-8）,即（6,1）,那么最后一次若向右平移則為（7,1）,若向左平

移則為（5,1）,

故選：D.

9.（2024?重慶?中考真題）已知整式"：a“￡+a”M〃T+???+%%+4,其中篦,％為自然數(shù),%為正整

5

數(shù)，且“—I-?1+a0=5.下列說法：

①滿足條件的整式W中有5個(gè)單項(xiàng)式；

②不存在任何一個(gè)〃，使得滿足條件的整式M有且只有3個(gè)；

③滿足條件的整式”共有16個(gè).

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題考查的是整式的規(guī)律探究，分類討論思想的應(yīng)用，由條件可得再分類討論得到答

案即可.

【詳解】解：％為自然數(shù),。“為正整數(shù)，且"+a,+a,i+…+4+/=5,

0<?<4,

當(dāng)”=4時(shí)，貝1J4+。4++。2+"1+。0=5,

a4=1,a3=a2==a0=0,

滿足條件的整式有，，

當(dāng)〃=3時(shí)，貝！］3+%+。2+“I+"o=5,

/.(a3,a2,a1,a0)=(2,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),

滿足條件的整式有：2x3,/+/,/+無，/+1,

當(dāng)〃=2時(shí)，則2+&+6+%=5,

???(%,/9)=(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1),

滿足條件的整式有：3x2,2x2+xf2x2+1,x2+2xx2+2,x2+x+1;

當(dāng)〃=1時(shí)，則1+q+旬=5,

；.(%,*=(4,0),(3,1),(1,3),(2,2),

滿足條件的整式有：4x,3x+l,x+3,2x+2；

當(dāng)〃=0時(shí)，0+a0=5,

滿足條件的整式有：5；

滿足條件的單項(xiàng)式有：x4,2/,3x2,4x,5,故①符合題意；

不存在任何一個(gè)“，使得滿足條件的整式刊有且只有3個(gè)；故②符合題意；

6

滿足條件的整式W共有1+4+6+4+1=16個(gè).故③符合題意;

故選D

10.（2024?河北?中考真題）“鋪地錦”是我國(guó)古代一種乘法運(yùn)算方法，可將多位數(shù)乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘

法和簡(jiǎn)單的加法運(yùn)算.淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計(jì)了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示132x23,運(yùn)算結(jié)果為

3036.圖2表示一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)相乘，表格中部分?jǐn)?shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行推

斷，正確的是（）

o3

ffll

A.“20”左邊的數(shù)是16B.“20”右邊的“口”表示5

C.運(yùn)算結(jié)果小于6000D.運(yùn)算結(jié)果可以表示為4100a+1025

【答案】D

【分析】本題考查了整式的加法運(yùn)算，整式的乘法運(yùn)算，理解題意，正確的邏輯推理時(shí)解決本題的關(guān)鍵.

設(shè)一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)分別為100x+10y+z和10加+〃，貝!]〃打=20,〃2=5,即=2,內(nèi)=。，即機(jī)=4〃,

可確定〃=1/=2時(shí)，貝!|〃7=4,z=5,x=a,由題意可判斷A、B選項(xiàng)，根據(jù)題意可得運(yùn)算結(jié)果可以表示為:

1000（4a+l）+100a+25=4100?+1025,故可判斷C、D選項(xiàng).

【詳解】解：設(shè)一個(gè)三位數(shù)與一個(gè)兩位數(shù)分別為100x+10y+z和10機(jī)+〃

如圖：

xyz

036

圖1圖2

則由題意得:

mz=20,nz=5,ny=2,nx=a,

7

—=4,即加=4〃，

nz

.?.當(dāng)〃=2/=1時(shí)，z=2.5不是正整數(shù)，不符合題意，故舍;

當(dāng)”=1/=2時(shí)，貝ip〃=4,z=5,x=a,如圖:

3O36

圖1圖2

，A、“20”左邊的數(shù)是2x4=8,故本選項(xiàng)不符合題意；

B、“20”右邊的“口”表示4,故本選項(xiàng)不符合題意；

。上面的數(shù)應(yīng)為4a,如圖：

yVVV

4a+la25

圖2

二運(yùn)算結(jié)果可以表示為：1000（4。+1）+100。+25=4100。+1025,

；.D選項(xiàng)符合題意，

當(dāng)a=2時(shí)，計(jì)算的結(jié)果大于6000,故C選項(xiàng)不符合題意，

故選：D.

11.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，軸，垂足為點(diǎn)3,將繞點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)到V的位置，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)片落在直線了=-1龍上，再將VAB.O,繞點(diǎn)Bx逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到

4

△4耳Q的位置，使點(diǎn)。I的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。2也落在直線v=上，如此下去，……,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,3）,則

點(diǎn)員7的坐標(biāo)為（）.

8

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

【答案】C

【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn).找出點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律以

及旋轉(zhuǎn)過程中線段長(zhǎng)度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

通過求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，AB、OA,。的長(zhǎng)度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)逐步推導(dǎo)出后續(xù)點(diǎn)的位置和坐標(biāo)，然后

結(jié)合圖形求解即可.

【詳解】???/8，了軸，點(diǎn)3的坐標(biāo)為(0,3),

_3

：.OB=3,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3,代入了=-1尤，

得：尤=-4,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,3).

：.OB=3,AB=4,

OA=V32+42=5，

由旋轉(zhuǎn)可知，08=。百=.層=…=3,OA=OXA=O2A[=...=5fAB=ABX=AXBX=A2B2=...=4,

/.OBX=OA+ABX=4+5=9,=3+4+5=12,

/.BXB3=B3BS=...=^35^37—12,

OB31=OBX+區(qū)員7=9+1）X12=225.

設(shè)點(diǎn)員7的坐標(biāo)為'，-j]，

貝U=卜+J=225,

3

解得。=一180或180（舍去），則——“=135,

4

???點(diǎn)47的坐標(biāo)為（T80,135）.

故選C.

9

二、填空題

12.（2024?青海?中考真題）如圖是由火柴棒擺成的圖案，按此規(guī)律擺放，第（7）個(gè)圖案中有個(gè)

【分析】本題考查圖形類規(guī)律探究.根據(jù)題意得到第（1）、（2）、（3）個(gè)圖形中火柴棒的數(shù)量，由此可得

第（〃）個(gè)圖形有（1+2〃）根火柴棒，即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：第（1）個(gè)圖形有3=1+2根火柴棒，

第（2）個(gè)圖形有5=（l+2x2）根火柴棒，

第（3）個(gè)圖形有7=（l+2x3）根火柴棒，

第（〃）個(gè)圖形有（1+2〃）根火柴棒，

...第（7）個(gè)圖案中有1+2x7=15根火柴棒，

故答案為：15

13.（2024?江西?中考真題）觀察a,4,/,…，根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第100個(gè)式子為.

【答案】a100

【分析】此題考查了單項(xiàng)式規(guī)律探究.分別找出系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律，據(jù)此判斷出第〃個(gè)式子是多少即可.

【詳解】解：a2,a4,,

...第"個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1;

???第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)、第4個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)分別是1、2、3、4,

第n個(gè)式子是a".

.?.第100個(gè)式子是儲(chǔ)。。.

故答案為：a100.

14.（2024?山東?中考真題）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除

以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次運(yùn)算后，必進(jìn)入循環(huán)圈這就是“冰雹猜想”.在平

面直角坐標(biāo)系xOy中，將點(diǎn)（尤/）中的X,＞分別按照“冰雹猜想”同步進(jìn)行運(yùn)算得到新的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，

10

其中X,V均為正整數(shù).例如，點(diǎn)(6,3)經(jīng)過第1次運(yùn)算得到點(diǎn)(3,10),經(jīng)過第2次運(yùn)算得到點(diǎn)(10,5),以

此類推.則點(diǎn)(1,4)經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn).

【答案】(2,1)

【分析】本題考查了新定義，點(diǎn)的規(guī)律，根據(jù)新定義依次計(jì)算出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后找出規(guī)律，最后應(yīng)用規(guī)

律求解即可.

【詳解】解：點(diǎn)(1,4)經(jīng)過1次運(yùn)算后得到點(diǎn)為(1x3+1,4+2),即為(4,2),

經(jīng)過2次運(yùn)算后得到點(diǎn)為(4+2,2+1),即為(2,1),

經(jīng)過3次運(yùn)算后得到點(diǎn)為(2-2,1x3+1),即為(1,4),

.......,

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點(diǎn)(1,4)經(jīng)過3次運(yùn)算后還是(1,4),

2024+3=674…2,

點(diǎn)(1,4)經(jīng)過2024次運(yùn)算后得到點(diǎn)(2,1),

故答案為：(2,1).

15.(2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在用幾何畫板繪制幾何圖形時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如“花

朵”形的美麗圖案，他們將等腰三角形03c置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),

點(diǎn)C在第一象限，ZOBC=120°.將△O3C沿x軸正方向作無滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與x軸重合，第

一次滾動(dòng)后，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。'，點(diǎn)c的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C',OC與O'C'的交點(diǎn)為4，稱點(diǎn)4為第一個(gè)“花朵”

的花心，點(diǎn)4為第二個(gè)“花朵”的花心；……；按此規(guī)律，△OBC滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則最后一個(gè)“花

【分析】本題考查了解直角三角形，等腰直角的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索.連接48,求得=

OD=^~,oc7,分別得到a'+G,g14^5+273,^1L,推導(dǎo)得到

11

4,1+（"1）（2+碼￥1△O3C滾動(dòng)一次得到4，"BC滾動(dòng)四次得到4，△OBC滾動(dòng)七次得到4,

由此得到△O3C滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則〃=（2024+1）+3=675,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：連接4夕，

/.4B1OC,

/.45=05tan30°-—,BD=\oB=\,OD^y/OB2-BD2,

13222

，OC=C'E=5

3+V3,—,

A2

、3,

同理45+2,

I3J

L,

An1+（〃T）（2+碼,

△O3C滾動(dòng)一次得到4，△osc滾動(dòng)四次得到4，△O8C滾動(dòng)七次得到4，

（L加

「?△OBC滾動(dòng)2024次后停止?jié)L動(dòng)，則〃=（2024+1）+3=675時(shí)，A6751349+674y/3,――,

（萬、

故答案為：1349+67娟.

16.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知4（1,-6），4（3,-行），4（4,0）,4（6,0）,4（7,百），

4（9,石），4（10,0）,4（11,—百）…，依此規(guī)律，則點(diǎn)當(dāng)儂的坐標(biāo)為.

12

【答案】（2891,一百）

【分析】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)出一般性規(guī)律.根據(jù)題意可知7個(gè)

點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個(gè)循環(huán)，4”的坐標(biāo)為（I。？。），據(jù)此可求得4。24的坐標(biāo).

【詳解】解：???4（1，-句，4（3,一句，4（4,0）,4（6,0）,4（7,6），4（9,百），4（10,0），…

...可知7個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為一個(gè)循環(huán)，4”的坐標(biāo)為4角（10〃+1,-君）

2024+7=289…1,

...4023的坐標(biāo)為（2890,0）.

4o24的坐標(biāo)為（2891,一百）

故答案為：僅891,-若）.

17.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,0）,

是等邊三角形，點(diǎn)3坐標(biāo)是（1,0）,AO/8在正方形。WP內(nèi)部緊靠正方形0WP的邊（方向?yàn)?/p>

OfMTNTPfOTMT…）做無滑動(dòng)滾動(dòng),第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為4,4的坐標(biāo)是（2,0）；

第二次滾動(dòng)后，4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為4，4的坐標(biāo)是（2,0）；第三次滾動(dòng)后，4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為4，4的坐標(biāo)是

3-^-,-；如此下去，……，則外儂的坐標(biāo)是.

13

【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形的運(yùn)動(dòng)方式，依次求

出點(diǎn)力的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4，4，……，的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

【詳解】解：???正方形。跖VP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,0）,

:.OM=MN=NP=OP=3,

AOAB是等邊三角形，點(diǎn)2坐標(biāo)是（1,0）,

等邊三角形高為必，

2

由題知，

4的坐標(biāo)是（2,0）；

4的坐標(biāo)是（2,0）；

4的坐標(biāo)是

繼續(xù)滾動(dòng)有，4的坐標(biāo)是（3,2）；

4的坐標(biāo)是（3,2）；

4的坐標(biāo)是-,3-^y;

4的坐標(biāo)是（1,3）；

4的坐標(biāo)是（,3）；

4的坐標(biāo)是

&的坐標(biāo)是（0」）；

4的坐標(biāo)是（o」）；

的坐標(biāo)是5，三；

43的坐標(biāo)是（2,0）；……不斷循環(huán)，循環(huán)規(guī)律為以4，4，……，42，12個(gè)為一組,

???2024-12=168……8,

4儂的坐標(biāo)與4的坐標(biāo)一樣為（1，3）,

14

故答案為：。,3）.

18.（2024?山東泰安?中考真題）如圖所示，是用圖形“。”和“?”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”.按照此規(guī)律繼

續(xù)擺下去，第個(gè)“小屋子”中圖形“?！眰€(gè)數(shù)是圖形“?”個(gè)數(shù)的3倍.

o

Oooo

OCDooooo

0ooDOOCOooooooo

0ooOOOooooooooo

ooOOooooooooo

00ooOOOoooo

ooooooooo

(1)(2)(3)(4)⑸

【答案】12

【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“O”和、”

的個(gè)數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)所給圖形，依次求出“O”和“?”的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再利用規(guī)律列出一元二次方程求解即可.

【詳解】解：由所給圖形可知，

第1個(gè)“小屋子”中圖形“O”的個(gè)數(shù)為：1=1,“?”的個(gè)數(shù)為：4=lx2+2；

第2個(gè)“小屋子”中圖形的個(gè)數(shù)為：3=1+2,"?”的個(gè)數(shù)為：6=2x2+2；

第3個(gè)“小屋子”中圖形“O”的個(gè)數(shù)為：6=1+2+3,“?”的個(gè)數(shù)為：8=3x2+2；

第4個(gè)“小屋子”中圖形“O”的個(gè)數(shù)為：10=1+2+3+4,“?”的個(gè)數(shù)為：10=4x2+2；

所以第"個(gè)“小屋子”中圖形“O”的個(gè)數(shù)為：1+2+3+…+〃=也+D,"?”的個(gè)數(shù)為：2〃+2；

2

由題知"（；1）=3（2〃+2）,解得多=-1,%=12,

又n為正整數(shù)，貝加=12,即第12個(gè)“小屋子”中圖形“O”個(gè)數(shù)是圖形“?”個(gè)數(shù)的3倍.

故答案為：12.

19.（2024?四川遂寧?中考真題）在等邊AABC三邊上分別取點(diǎn)。、E、F,使得4D=BE=CF,連結(jié)三點(diǎn)得

到力EF,易得AADFmABED咨KFE,設(shè)SA"C=1，貝”=1-3S

15

如圖①當(dāng)*=1時(shí)，^=1-3x1=1

AB244

如圖②當(dāng)穹［時(shí)，5A^=l-3xj=1

AD393

如圖③當(dāng)嘿=：時(shí)，5AD￡F=1-3XA=Z

A七41616

Ar）1

直接寫出，當(dāng)%=2時(shí)，％斯=______.

AB10

【答案】173^/0-73

【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律性問題，首先根據(jù)已知求得比例為"時(shí)，―》3><。="一立+1

nn

代入〃=10即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，當(dāng)當(dāng)=工時(shí)，S3=1-3X〈=/--+3,

ABnADEF“2n2

則當(dāng)任__L時(shí)e_102-3X103_73

見=10盯'~?-+—而'

,,73

故答案為：——.

20.（2024?四川德陽?中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，甲組同學(xué)給乙組同學(xué)出示了一個(gè)探究問題：把數(shù)字1至8

分別填入如圖的八個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值不等于L經(jīng)過探究

后，乙組的小高同學(xué)填出了圖中兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字a、6,你認(rèn)為?？梢允牵ㄌ钌弦粋€(gè)數(shù)字即可）.

【答案】1/8

【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，理解題意是解題的關(guān)鍵.由于兩個(gè)中心圓圈有6根連線，數(shù)字1至8,共

有8個(gè)數(shù)字，若2,3,4,5,6,7,其中任何一個(gè)數(shù)字填在中心位置，那么與其相鄰的2個(gè)數(shù)字均不能出

16

現(xiàn)在與中心圓圈相連的6個(gè)圓圈中，否則不滿足任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值不等于

1,故只剩下5個(gè)數(shù)字可選，不滿足6個(gè)空的圓圈需要填入，故中心圓圈只能是1或者8.

【詳解】解：：兩個(gè)中心圓圈分別有6根連線，數(shù)字1至8,共有8個(gè)數(shù)字，若2,3,4,5,6,7,其

中任何一個(gè)數(shù)字填在中心位置，那么與其相鄰的2個(gè)數(shù)字均不能出現(xiàn)在與中心圓圈相連的6個(gè)圓圈中，故

只剩下5個(gè)數(shù)字可選，不滿足6個(gè)空的圓圈需要填入.

位于兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字。、b,只可能是1或者8.

故答案為：1（或8）.

21.（2024?四川成都?中考真題）在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)1~，，這〃個(gè)自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和

大于”的取法種數(shù)左進(jìn)行了探究.發(fā)現(xiàn)：當(dāng)〃=2時(shí)，只有{1,2}一種取法，即后=1；當(dāng)〃=3時(shí)，有{1,3}和

{2,3}兩種取法，即左=2；當(dāng)〃=4時(shí)，可得后=4；……若〃=6,則左的值為；若〃=24,貝!U的

值為.

【答案】9144

【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，理解題意，能夠從特殊到一般，得到當(dāng)"為偶數(shù)或奇數(shù)時(shí)的不同取法

是解答的關(guān)鍵.先根據(jù)前幾個(gè)〃值所對(duì)應(yīng)左值，找到變化規(guī)律求解即可.

【詳解】解：當(dāng)〃=2時(shí)，只有{1,2}一種取法，則無=1；

當(dāng)〃=3時(shí),有{1,3}和{2,3}兩種取法,貝！|左=2；

當(dāng)〃=4時(shí)，有{1,4},{2,4},{3,4},{2,3}四種取法，則上=3+1=4=；；

故當(dāng)〃=5時(shí)，有{1,5},{2,5},{3,5},{4,5},{2,4},{3,4}六種取法，則左=4+2=6；

當(dāng)"=6時(shí)，有{1,6},{2,6},{3,6},{4,6},{5,6},{2,5},{3,5},{4,5},{3,4}九種取法,則左=5+3+1=9=9；

依次類推，

勿2

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，左=（〃一1）+（〃-3）+…+5+3+1=（,

?42

故當(dāng)〃二24時(shí)，左=23+21+19+…+5+3+1=——=144,

4

故答案為:9,144.

22.（2024?四川廣安?中考真題）己知，直線/：y=@x-@與工軸相交于點(diǎn)4，以為邊作等邊三角形

33

044,點(diǎn)片在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)用作X軸的平行線與直線/交于點(diǎn)4,與y軸交于點(diǎn)G，以為邊作

等邊三角形旦（點(diǎn)與在點(diǎn)片的上方），以同樣的方式依次作等邊三角形64鳥，等邊三角形C3/4其…，

17

則點(diǎn)4。24的橫坐標(biāo)為

【答案】j

【分析】直線直線/:y=字x-g可知，點(diǎn)4坐標(biāo)為(1,0),可得04=1，由于AO/國(guó)是等邊三角形，可

得點(diǎn)把y=W代入直線解析式即可求得4的橫坐標(biāo)，可得4G=：,由于A與44是等邊三

(22J22

角形，可得點(diǎn)同理，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得解，準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)與字母的序號(hào)之間的

規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???直線/：/：v="x-立與X軸負(fù)半軸交于點(diǎn)4，

33

?,?點(diǎn)4坐標(biāo)為(1,0),

。4=1,

過與，B2,作4〃，x軸交X軸于點(diǎn)”，層軸交4用于點(diǎn)。，交X軸于點(diǎn)N,

???與。為等邊三角形,

/OB、M=30°

18

：.MO=-A.O=-

212

V3

BM=JqO2-OM。=

XF

：.B]HF

V時(shí),V3解得.

當(dāng)q

T

39

?,4G=萬，a

22J

5

CD=—AC

X214

,_z5V3^V3773

??員N=-----1=，

2424

???當(dāng)k拽時(shí)，XL旦解得…學(xué),

44334

’2576、

4丁丁,

5

同理可得：4的橫坐標(biāo)為

92023

???點(diǎn)4。24的橫坐標(biāo)為

52023

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)，特殊圖

形點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，掌握探究的方法是解本題的關(guān)鍵.

三、解答題

23.（2024?四川涼山?中考真題）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：

下圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個(gè)點(diǎn)，第二行有2個(gè)點(diǎn)……第〃行有"個(gè)

19

點(diǎn)

容易發(fā)現(xiàn)，三角點(diǎn)陣中前4行的點(diǎn)數(shù)之和為10.

(1)探索：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為____,前15行的點(diǎn)數(shù)之和為,那么，前〃行的點(diǎn)數(shù)之和

為______

(2)體驗(yàn)：三角點(diǎn)陣中前“行的點(diǎn)數(shù)之和(填“能”或“不能”)為500.

(3)運(yùn)用：某廣場(chǎng)要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第

二排4盆，第三排6盆……第〃排2〃盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？

【答案】(1)36；120；+

(2)不能

(3)一共能擺放20排.

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)圖形，總結(jié)規(guī)律，列式計(jì)算即可求解；

(2)根據(jù)前"行的點(diǎn)數(shù)和是500,即可得出關(guān)于"的一元二次方程，解之即可判斷；

(2)先得到前n行的點(diǎn)數(shù)和是〃(〃+1),再根據(jù)題意得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出n的值.

【詳解】(1)解：三角點(diǎn)陣中前8行的點(diǎn)數(shù)之和為l+2+3+4+5+6+7+8=；(l+8)x8=36,

前15行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+…+14+15=^(1+15)x15=120,

那么，前〃行的點(diǎn)數(shù)之和為1+2+3+…+〃=g(l+〃)x〃=+；

故答案為：36；120；—+1)；

(2)解：不能，

理由如下：

由題意得;〃(加+1)=500,

得〃—1000=0,

A=12—4X(—IOOO)=4OO1,