人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《實(shí)際問題與一元二次方程（第1課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

實(shí)際問題與一元二次方程（第1課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．能利用一元二次方程解決簡單的傳播問題，規(guī)范書寫解題過程．2．提高從相關(guān)的實(shí)際問題中抽象并表達(dá)出相等關(guān)系的能力．教學(xué)重點(diǎn)利用一元二次方程解決相關(guān)問題．教學(xué)難點(diǎn)在相關(guān)實(shí)際問題中準(zhǔn)確表達(dá)相等關(guān)系．教學(xué)過程新課導(dǎo)入我們已經(jīng)學(xué)過列一元一次方程、二元一次方程（組）解決實(shí)際問題，回憶一下，列一元一次方程、二元一次方程（組）解決實(shí)際問題的一般步驟是什么？列方程（組）解決實(shí)際問題的一般步驟：同一元一次方程、二元一次方程（組）一樣，一元二次方程也可以作為反映某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型．本節(jié)繼續(xù)討論如何運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生思考，如何理解“兩輪傳染”？帶領(lǐng)學(xué)生交流討論后得到如下結(jié)論：“兩輪傳染”中，兩輪是指兩個(gè)傳染周期．例如，開始有1個(gè)人（不妨記為a）患流感，第一輪中a傳染給b，c，d，這時(shí)有(1＋3)個(gè)人患流感；第二輪中這4個(gè)人每人又傳染了3個(gè)人，這一輪新患流感的人數(shù)為3×(1＋3)＝12．所以，第二輪后患流感的總?cè)藬?shù)為3×(1＋3)＋(1＋3)＝16．【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人．開始有一個(gè)人患了流感，第一輪的傳染源就是這個(gè)人，他傳染了x個(gè)人，用代數(shù)式表示，第一輪后共有(1＋x)個(gè)人患了流感；第二輪傳染中，這些人中的每個(gè)人又傳染了x個(gè)人，用代數(shù)式表示，第二輪后共有[1＋x＋x(1＋x)]個(gè)人患了流感．【答案】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人．于是有1＋x＋x(1＋x)＝121．解方程，得x1＝10，x2＝－12（不合題意，舍去）．答：平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人．【追問】如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后共有多少個(gè)人患流感？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生借助前面列方程解出的答案，代入求值．【答案】兩輪傳染之后共有121個(gè)人患了流感，第三輪的傳染源也正是這121人，所以第三輪新患流感的人數(shù)為121×10＝1210．三輪傳染后患流感的總?cè)藬?shù)為121＋1210＝1331．【歸納】傳播問題在實(shí)際生活中普遍存在，有一定的模式，要注意傳播的基數(shù)、每輪傳播的人數(shù)以及輪數(shù)．【設(shè)計(jì)意圖】將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，總結(jié)解決傳播問題的方法．【問題】按照“1傳10”的傳染速度，n輪之后共有多少個(gè)人患流感？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已經(jīng)求出的前三輪患流感的人數(shù)進(jìn)行列式觀察，總結(jié)規(guī)律，從而得出答案．【答案】第一輪后患流感的總?cè)藬?shù)：1＋10＝11；第二輪后患流感的總?cè)藬?shù)：11＋10×11＝121；第三輪后患流感的總?cè)藬?shù)：121＋10×121＝1331．變形后得到：第一輪后患流感的總?cè)藬?shù)：1＋10＝11；第二輪后患流感的總?cè)藬?shù)：11＋10×11＝11×(1＋10)＝112；第三輪后患流感的總?cè)藬?shù)：121＋10×121＝121×(1＋10)＝113．所以，n輪之后共有11n人患流感．【追問】如果最初有兩個(gè)人患了流感，按照“1傳10”的傳染速度，第一輪、第二輪傳染之后分別共有多少人患流感？【答案】第一輪后患流感的總?cè)藬?shù)：2＋20＝22＝2×11；第二輪后患流感的總?cè)藬?shù)：22＋10×22＝22×(1＋10)＝2×112．【追問】1．根據(jù)前面的探究結(jié)果，如果最初有a個(gè)人患了流感，按照“1傳10”的傳染速度，n輪傳染后共有多少個(gè)人患流感？2．如果最初有a個(gè)人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染給x個(gè)人，那么n輪傳染后共有多少個(gè)人患流感？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，初始感染人數(shù)變?yōu)閍，傳播速度變?yōu)閤，按照前面解決問題的思路進(jìn)行分析，得出答案．【答案】1．n輪傳染后共有a(1＋10)n人患流感．2．n輪傳染后共有a(1＋x)n人患流感．【設(shè)計(jì)意圖】通過改變前提條件逐步分析，最終得到解決傳播問題的計(jì)算方法，即如何找到題目中的相等關(guān)系列出方程．【新知】傳播問題：若a表示傳播之前的人數(shù)，x表示每輪每人傳播的人數(shù)，n表示傳播的輪數(shù)，b表示最終的總?cè)藬?shù)，則a(1＋x)n＝b．二、典例精講【例題】某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染．請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不到有效控制，三輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過700臺(tái)？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行分析，得出解題思路：設(shè)每輪感染中一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦．開始有一臺(tái)電腦感染了病毒，第一輪中它感染了x臺(tái)電腦，則第一輪后共有(1＋x)臺(tái)電腦感染病毒；第二輪感染中，這些被感染的電腦中的每一臺(tái)又感染了x臺(tái)電腦，則第二輪后共有[1＋x＋x(1＋x)]臺(tái)電腦感染病毒．求出感染速度后，便可以判斷三輪感染后共有多少臺(tái)電腦被感染．【答案】解：①設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染x臺(tái)電腦，根據(jù)題意列方程，得1＋x＋x(1＋x)＝81．解方程，得x1＝8，x2＝－10（不合題意，舍去）．每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染8臺(tái)電腦．②∵第三輪感染的電腦數(shù)量為81×8＝648，∴三輪感染后，被感染的電腦總數(shù)量為81＋648＝729，∴三輪感染后，被感染的電腦會(huì)超過700臺(tái)．【歸納】傳播問題中，原傳染源的數(shù)量算在感染總數(shù)中．若原傳染源的數(shù)量為1，每個(gè)傳染源傳染x個(gè)個(gè)體，則第一次傳染后感染個(gè)體總數(shù)為1＋x，第二次傳染后感染個(gè)體總數(shù)為(1＋x)2．傳播問題需要找清：（1）每一輪傳播的傳播源的數(shù)量；（2）每一個(gè)傳播源每輪傳播的數(shù)量．【設(shè)計(jì)意圖】提高學(xué)生解