2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的核心知識點精講（講義）（原卷版）

專題20銳角三角函數(shù)的核心知識點精講

復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.通過復(fù)習(xí)進一步理解銳角三角形函數(shù)的概念，能熟練應(yīng)用sinA,cosA,tanA表示直角三角形

中兩邊的比，熟記特殊角30°,45°,60°的三角函數(shù)值；

2.理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系，會運用勾股定理，銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識來解某些簡

單的實際問題，從而進一步把數(shù)和形結(jié)合起來，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識；

3.會用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識來解決某些簡單的實際問題。

考點1：銳角三角函數(shù)的概念

如圖所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,乙A所對的邊BC記為a,叫做乙A的對邊，也叫做乙B的

鄰邊，ZB所對的邊AC記為b,叫做乙B的對邊，也是乙A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c,叫做斜邊.

【樂?八an-，乙4的對邊a

銳角A的對邊與斜邊的比叫做4A的正弦,記作sinA,即sinA-人」=

斜邊。

b

、口比Aan/NN的鄰邊

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做4A的余弦,記作cosA,即cosA=——------二—

斜邊c

［代An.“乙4的對邊a

銳角A的對邊與鄰邊的比叫做乙A的正切,記作tanA,即BtanZ=..,

NN的鄰邊b

閂加._的對邊bN8的鄰邊二afang=48的對邊=b

斜邊c'N8的鄰邊a

考點2：特殊角的三角函數(shù)值

利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下:

銳角asinacosatana

2s昱

30°

223

近

45°巫1

~2~2

60°在幣

22

考點3：解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設(shè)在Rt^ABC中，ZC=90°,2A、ZB.4C所對的邊分別為a、b、c,則有:

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c?（勾股定理）.

②銳角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

aba

sin^4=—COSJ4=—tan—

c,c,b,

._b_ai

$in5=-cosj?=—tan5=—

C,c,a.

注意:

⑴直角三角形中有一個元素為定值（直角為90°）,是已知值.

⑵這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系（如不等關(guān)系）.

⑶對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

考點4：解直角三角形的應(yīng)用「

（1）坡度坡角'

在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

⑴坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母&表示.上

h

—=tana

坡度（坡比）：坡面的鉛直高度h和水平距離?的比叫做坡度，用字母J表示，貝『；，如圖，坡度

通常寫成7=方：/的形式.

（2）仰角俯角問題

仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如

（3）方位角問題

方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA,PB,

PC的方位角分別為是40°,135°,245

CD

⑵方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向

線OA,OB,OC,OD的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏西80°,北偏西60。.特別如：

東南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45。,西北方向指的是

北偏西45.

〈曲例即領(lǐng)

【題型1：銳角三角函數(shù)的概念】

【典例1】（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點力,3分別在x軸負(fù)半軸和/軸正半軸上，點。在

03±,OC-.BC=1：2,連接/C,過點。作。尸〃43交ZC的延長線于P.若尸（1,1）,則tan乙。/

P的值是（）

【變式1」】（2021?云南）在△48。中，AABC=90°.若NC=100,sig=2,則的長是（）

5

A.50°B,5°3c.60D.80

35

【變式1-2］（2023?陜西）如圖，在6x7的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.若點N,B,。都在格點

上，貝Usin/?的值為（）

2^B§行C

13-131。?華

【變式1-3】（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片48co中，AB=5,BC=3,將△BCD沿折疊到■。位

置，DE交4B于點F,則cos44DF的值為（）

D?---------------1c

AFB

E

A.-i-B.J—C.15D,且

17151715

*工曲例引領(lǐng)

【題型2：特殊角的三角函數(shù)】

【典例2】（2022?天津）tan45°的值等于（)

A.2B.1C.加D.近

23

%加時愴SI

[變式2-1](2022?廣東)sin30°=____.

【變式2-2](2022?荊門)計算：,,A+COS60°-(-2022)°=

[變式2-3](2022?達(dá)州)計算：(-1)2022+|-2|-(-1)0-2tan45°.

2

f曲例麗

【題型3：解直角三角形】

【典例3】（2023?常州）如圖，在RtzXNBC中，44=90。，點。在邊上，連接CD若BD=CD,也

BD

=A,貝tanS=

3

.6D時齡9M

【變式3-1］（2023?牡丹江）如圖，將45°的乙/OB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點。與尺下沿

的端點重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)恰為2c%若按相同的方式將22.5°

的AAOC放置在該刻度尺上，則。。與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為cm.

【變式3-2】（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點.點

4、B、C三點都在格點上，貝I]sin4ABC=.

【變式3-3】（2022?樂山）如圖，在Rt^ABC中，2c=90。，5C=遙，點。是/C上一點，連結(jié)若

tanAA=A,tanAABD=―,則CZ>的長為（）

23

”?典例即領(lǐng)

【題型4：解直角三角形的應(yīng)用】

【典例4】（2022?紹興）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它

包括一根直立的標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長尺（稱為“圭”），

當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度

最短的那一天定為夏至.圖2是一個根據(jù)某市地理位置設(shè)計的圭表平面示意圖，表NC垂直圭3C,已知

該市冬至正午太陽高度角（即4/3C）為37°,夏至正午太陽高度角（即4/OC）為84。，圭面上冬至

線與夏至線之間的距離（即DB的長）為4米.

圖2

（1）求的度數(shù).

（2）求表/C的長（最后結(jié)果精確到0.1米）.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°=3,cos37°tan37°~A,tan84°?史）

5542

即時檜91

【變式4-1］（2023?鹽城）如圖I,位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標(biāo)志性文化名片，如圖2,

線段ZB表示“鐵軍”雕塑的高，點3,C,。在同一條直線上，且乙/。2=60。，乙103=30°,CD=

17.5m,則線段的長約為一加（計算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：遙?1.7）

［變式4-2］（2023?貴州）貴州旅游資源豐富.某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修

建觀光索道.設(shè)計示意圖如圖②所示，以山腳/為起點，沿途修建/仄CD兩段長度相等的觀光索道,

最終到達(dá)山頂。處，中途設(shè)計了一段與/尸平行的觀光平臺3C為50九索道與/尸的夾角為15。，

CD與水平線夾角為45°,4、5兩處的水平距離4B為576加，DF1AF,垂足為點?（圖中所有點都在

同一平面內(nèi)，點N、E、尸在同一水平線上）

（1）求索道48的長（結(jié)果精確到\m）；

（2）求水平距離AF的長（結(jié)果精確到11n）.

（參考數(shù)據(jù)：sinl50-0.25,cosl5°=0.96,tanl5°=0.26,y/2^1.41）

【變式4-3］（2023?成都）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動室墻外

安裝遮陽篷，便于社區(qū)居民休憩.

如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽篷N3長為5米，與水平面的夾角為16°,且靠墻端離地高為4米,

當(dāng)太陽光線與地面CE的夾角為45。時，求陰影CD的長.（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：sinl60

好題沖關(guān)

■礎(chǔ)討關(guān)

一.選擇題（共10小題）

1.在△N8C中，4c=90。，AB=5,BC=4,那么乙/的正弦值是（)

A.3B.AC.3D._4

435~5

2.2sin45°的值為()

C.近D.

A.我B.1近

22

3.如圖，以。為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線04交于點2,再以2為圓心，3。長為半徑畫弧，兩

弧交于點C,畫射線OC,則sinAAOC的值為（）

D空

4.為測樓房8c的高，在距樓房30米的/處，測得樓頂8的仰角為a,則樓房8C的高為（）

B

-----lc

A.30tana米B.——_米lC.30sina米D.——

tanClsinCl

5.如圖，ND是△/BC的高，若BD=2CD=6,sin/DAC=1,則邊/臺的長為（）

A

:

BDC

A.2^2B,472C.3^5D.672

6.如圖，已知AB是。。的直徑,CD是G）O的弦，ABLCD,垂足為E.若48=10,CD=8,貝l］乙。CE

的余弦值為（）

A

B

A.3B.Ac.3D.A

5543

7.如圖，在△48。中，Z.C=90°,DE垂直平分AB,分別交AB,BC于點D,E,連接CD,若tan/CDE用，

4

3C=8,則△48C的面積為（）

BD）A

A.5B.8C.10*D.16

8.某路燈示意圖如圖所示，它是軸對稱圖形.若44C5=130。,AC=BC=L2m,CQ與地面垂直且CD=

3m,則燈頂4到地面的高度為（）

A

A1.3+1.2cos25°B.3+1.2sin250

^+cos250D.^+sin250

9.某地區(qū)準(zhǔn)備修建一座高AB=6m的過街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角AACB的余弦值為國,

5

則坡面/C的長度為（）

A

A.8B.9C.10D.12

10.如圖，某建筑物的頂部有一塊標(biāo)識牌C￡>,小明在斜坡上8處測得標(biāo)識牌頂部。的仰角為45°,沿斜

坡走下來在地面/處測得標(biāo)識牌底部。的仰角為60°,已知斜坡的坡角為30°,AB=AE=10米則

標(biāo)識牌CD的高度是（）米.

A.15-573B.20-10^/3C.10-573D.5愿-5

二.填空題（共5小題）

11.cos30°=.

12.如圖，△力5。中，AC=90°,BC=12,45=13,貝!JsiM=

A

C

13.在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形網(wǎng)格的邊長為1,△NBC的三個頂點均在格點上.貝Ijtan/_N的值為

1

14.圖1是某種路燈的實物圖片，圖2是該路燈的平面示意圖，為立柱的一部分，燈臂NC,支架2C

與立柱分別交于8兩點，燈臂/C與支架3c交于點C,已知乙M4c=60。，AACB=15°,A

C=40cm,則支架8C的長為cm.（結(jié)果精確到lc〃z,參考數(shù)據(jù)：&-1.414,?=1.732,遍-2.

449）

15.某倉儲中心有一斜坡N8,其坡比i=l：2,頂部/處的高/C為4米，B、。在同一水平面上.則斜坡

三.解答題（共5小題）

16.計算：3tan300+tan45°-2sin60°.

17.為保證車輛行駛安全，現(xiàn)在公路旁設(shè)立一檢測點/觀測行駛的汽車是否超速.如圖，檢測點/到公路

的距離是24米，在公路上取兩點2、C,使得乙4c3=30。，AABC=120°.

（1）求3c的長（結(jié)果保留根號）;

（2）已知該路段限速為45千米/小時，若測得某汽車從2至IC用時2秒,這輛汽車是否超速？說明理由.（參

考數(shù)據(jù)：返21.7,&=1.4）

18.小琪要測量某建筑物的高度.如圖，小琪在點/處測得該建筑物的最高點C的仰角為31。，再往該建

筑物方向前進30m至點B處測得最高點C的仰角為45°.根據(jù)測得的數(shù)據(jù),計算該建筑物的高度CD（結(jié)

果取整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°=0.60.

19.如圖，一氣球到達(dá)離地面高度為12米的N處時，儀器顯示正前方一高樓頂部8的仰角是37°,底部C

的俯角是60°.氣球要豎直上升到與樓頂同一水平高度，應(yīng)至少再上升多少米？（結(jié)果精確到01米）

（參考數(shù)據(jù):sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°=0.75,Vs^l.73）

C

20.貴州省遵義市鳳凰樓，位于鳳凰山主峰，該樓為一幢七層六角型仿古景觀建筑，游客登上樓頂后，可

以將遵義城區(qū)風(fēng)景一覽無余，是當(dāng)?shù)刈R別性很高的地標(biāo)建筑.在一次綜合實踐活動中，某小組對鳳凰樓

的樓高進行了如下測量.如圖，將測角儀放在樓前平壩C處測得該樓頂端3的仰角為60。，沿平壩向后

退50m（CD=50m）到D處有一棵樹，將測角儀放在距地面2m（DE=2m）的樹枝上的E處，測得B的

仰角為30°.請你幫助該小組計算鳳凰樓的高度/A（結(jié)果精確到1加，參考數(shù)據(jù)：73^1,73）

fE升

選擇題（共10小題）

1.如圖，一把梯子48斜靠在墻上，端點/離地面的高度/C長為1小時，乙48c=45°.當(dāng)梯子底端點8

水平向左移動到點9，端點/沿墻豎直向上移動到點設(shè)乙4?C=a,則44,的長可以表示為（）

m.

cB

A.V2sinClB.&sina-1C.&cosa-lD.&tanCl-1

2.如圖，Rt2\48C中，Z.C=90°,BC=9,AC=12,經(jīng)過點8且半徑為5的。。與交于。，與C8的

延長線交于E,則線段DE的長為（）

A.6.4B.7C.7.2D.8

3.如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未受損.已知該金字塔的下底面是一個邊長為

140根的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）

4.在綜合實踐課上，某班同學(xué)測量校園內(nèi)一棵樹的高度.如圖，測量儀在/處測得樹頂。的仰角為45。，

在C處測得樹頂。的仰角為37°（點/、2、C在同一條水平主線上），已知測量儀的高度/E=CF=L

65米，/C=28米，則樹AD的高度是（）【參考數(shù)據(jù)：sin37。?0.60,cos37°=0.80,tan37°?0.

75】

A.12米B.12.65米C.13米D.13.65米

5.如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點/、B、C、。都在這些小正方形的頂點上，AB.CA相交于點

O,貝!Jcos乙（）

2ZLB,2ZLc,2ZLD,

2235

6.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計算弧田面積所用公式為：弧田面

積=工（弦、矢+矢2）,弧田（如圖）是由圓弧和其所對的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長N瓦

2

“矢”等于半徑長與圓心。到弦的距離之差.在如圖所示的弧田中，“弦”為8,“矢”為3,貝Ijcosz。

A.3B.處C.AD.以

525525

7.如圖，已知△48C中，2c=90°,tanA=-1,。是/C上一點，ACBD=AA,貝ljsin乙CD3的值為(

3

8.小明喜歡構(gòu)建幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決代數(shù)問題.在計算tan22.5。時，如圖，在Rt^/C3

中，4c=90°,AABC=45°,延長使連接/D,得乙。=22.5。,所以，

匚。_AC_1=&-1_____rr

nn1類比小明的方法，計算tanl5。的值為（）

-CD-V2+1(V2+1)(V2-1)

-A——

A.V3-V2B.VeW2c.2-^3D.V6-V3

9.如圖，大壩的橫截面是梯形壩頂寬ND=4加，壩高/￡=6根，斜坡N3的坡度i=l：V3,

斜坡DC的坡角4c=45°,那么壩底8c的長度是(）m.

AD

BEC

A.673B.(6煦+4)C.10D.（673+10）

10.如圖，△N8C中，CD1.AB,BEYAC,垂足分別為。、E,連接DE,若邁=2,則siM的值為（）

BC5

c

AD

c等

二.填空題（共5小題）

11.如圖，矩形48co是供一輛機動車停放的車位示意圖，已知2C=2〃?，CD=5Am,乙DCF=30：則

車位所占的寬度跖為米.（愿—1.73,結(jié)果精確到0.1）

12.如圖是一個水壩的橫截面示意圖（AD，BC）,迎水坡48的坡比i=l：3,坡面長48=30米，背水坡C

。的坡角乙BCD=45°,則背水坡坡面C￡＞長是一米.（注：坡比是斜坡的鉛直高度與水平寬度的比）

13.如圖，小林同學(xué)為了測量某世界名樓的高度，他站在G處仰望樓頂C,仰角為45°,走到點尸處仰望

樓頂C,仰角為60°,眼睛。、2離同一水平地面EG的高度為1.6米，F(xiàn)G=20米，則樓頂C離地面的

高度CE約是_米（正取1.732,加取1.414,按四舍五入法將結(jié)果精確到0.1）.

14.如圖，在由10個完全相同的正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，4a、40如圖所示，則sin（a+|3）=

15.如圖，在中，AACB=90°,AA=60°,/C=2,點。、點￡、點尸分另I」是NC,AB,BC邊

的中點，連接EF,得到它的面積記作S;點。1、點?、點F1分別是斯，EB,F5邊的

中點，連接。閔、EiFi,得到它的面積記作Si,照此規(guī)律作下去，則S2023=

三.解答題（共3小題）

16.如圖，在坡頂/處的同一水平面上有一座網(wǎng)絡(luò)信號塔3C,數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底尸處測得該塔

的塔頂8的仰角為45°,然后他們沿著坡度為1：2.4的斜坡N尸攀行了26米到達(dá)坡頂，在坡頂/處又

測得該塔的塔頂B的仰角為76°.

求：（1）坡頂/到地面P0的距離；

（2）網(wǎng)絡(luò)信號塔BC的高度（結(jié)果精確到0.1米）.

（參考數(shù)據(jù)：sin76°-0.97,cos76°=0.24,tan76°=4.01）

17.一架無人機沿水平方向飛行進行測繪工作，在點尸處測得正前方水平地面上某建筑物的頂端/的

俯角為24°.無人機保持飛行方向不變，繼續(xù)飛行48米到達(dá)點0處，此時測得該建筑物底端3的俯角

為66。.已知建筑物N2的高度為36米，求無人機飛行時距離地面的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin24°,cos24°tan24°sin660cos660g2,tan66°）

510201054

飛行方向

〕A

、B地面

18.如圖，在一筆直的海岸線/上有/,2兩個觀測站，/在8的正東方向.有一艘漁船在點P處，從/處

測得漁船在北偏西60°的方向，從B處測得漁船在其東北方向，且測得8,尸兩點之間的距離為20海里.

（1）求觀測站4B之間的距離（結(jié)果保留根號）；

（2）漁船從點P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點C處等待補給，此時，從B測得漁船在北偏

西15°的方向.在漁船到達(dá)。處的同時，一艘補給船從點3出發(fā)，以每小時20海里的速度前往。處，

請問補給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：我