內(nèi)積空間與等距變換 第二章

內(nèi)積空間與等距變換第二章第二章內(nèi)積空間與等距變換本章將對一般的線性空間引進內(nèi)積運算，從而導出內(nèi)積空間，引入向量之間度量關系，如長度、距離等，并建立標準正交基。第一節(jié)內(nèi)積空間的基本概念一.內(nèi)積空間的定義定義

設V為數(shù)域P

（P為R或C）上的線性空間,若按照某種對應法則,使得V中任兩個元素都可以確定一實數(shù),且這個對應法則滿足：對,有（1）共軛對稱性：（2）齊次性：（3）可加性：（4）正定性：，當且僅當時，.則稱該對應法則為V上的一個內(nèi)積,實數(shù)稱為與的內(nèi)積.定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間.

當P=R時，定義了內(nèi)積的實線性空間V稱為歐幾里德空間（簡稱歐氏空間），也稱實內(nèi)積空間. 當P=C時，定義了內(nèi)積的復線性空間V稱為酉空間，也稱復內(nèi)積空間.例1 在實線性空間中，對任意兩個向量，，定義

易證這樣定義的滿足內(nèi)積的4個條件,所以是的一種內(nèi)積,稱為的標準內(nèi)積。例3對，定義內(nèi)積為用定積分的性質(zhì)可證明這樣定義的是的內(nèi)積。例2 對,定義

可驗證這樣定義的也是的內(nèi)積。定理2.1 （Cauchy-Schwarz不等式）設V為內(nèi)積空間，對，有

其中等號當且僅當與線性相關時成立注：把Cauchy-Schwarz不等式應用到例1的中，得把Cauchy-Schwarz不等式應用到例3的中，得分析中著名的不等式二.向量的長度與夾角定義 在歐氏空間V中,對，稱非負實數(shù)為向量的長度（或范數(shù)、模）,記為.當時，稱為單位向量。向量的長度具有下列性質(zhì)：1）非負性：，；2）齊次性：，，；3）三角不等式：.對,是與同方向的單位向量，由求的過程稱為把向量單位化。定義 對歐氏空間V中任意非零元素,規(guī)定為非零元素與的夾角。若，則稱向量與正交，記為.由定義可知，與幾何向量一樣有（1），有；（2），若；（3）若是非零元素，則與的夾角為.例在C[a,b]中，由例3中內(nèi)積的定義,證明三角函數(shù)組是兩兩正交的，但它們不是單位向量。第二節(jié)標準正交基與Schmidt正交化一.標準正交基定義 在內(nèi)積空間V中，一組兩兩正交的非零向量稱為V中的正交向量組。定理2.2 若是正交向量組，則線性無關。定義 設是內(nèi)積空間V的一組基，且它們兩兩正交,則稱為V的一組正交基。當正交基都是單位向量時，則稱為這組正交基為標準正交基。由定義知，是內(nèi)積空間的標準正交基的充要條件是定理2.3 設是內(nèi)積空間V的一組標準正交基，有下列結(jié)論成立：1）對，設向量在這組基下的坐標為，則；2）若在這組基下的坐標為X和Y,則；3）對，設向量在這組基下的坐標為，則.此定理說明在標準正交基下,向量的坐標都可以用內(nèi)積簡單地表示出來,且向量的內(nèi)積和長度的計算都可以歸結(jié)為它們對應坐標的內(nèi)積和長度的計算。二.Schmidt正交化方法（1）正交化取下面介紹把向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）正交化方法：（2）單位化令

由此得一組兩兩正交的單位向量上述過程就是Schmidt正交化過程.它不僅滿足與等價,還滿足：對,向量組與等價。例設是全體次數(shù)小于3的實系數(shù)多項式構(gòu)成一個實線性空間，定義內(nèi)積為

不難驗證這樣定義的是的內(nèi)積，求的一組標準正交基。第三節(jié)正交子空間定義 設與是內(nèi)積空間V的非空子集，若對,都有,則稱與互相正交,記為;若,對，都有，則稱與正交，記為.由定義知：若,則，所以兩個互相正交的子空間之和為直和。定義設V是一個內(nèi)積空間，集合稱為W的正交補。由定義知：無論W是否為V的子空間，必是V的子空間。定理2.4設V是一個n維內(nèi)積空間，是V的一標準正交基,記,,則，.定理2.5（內(nèi)積空間正交直和分解）設V是n維內(nèi)積空間,W是V的子空間,則.由定理2.5知，對每一個，有唯一的表示稱為沿著空間向的正交投影，為沿著空間向的正交投影。例設歐氏空間中的內(nèi)積定義為取，構(gòu)造子空間，（1）求的一組正交基；（2）將分解為兩個正交的非零子空間的和。第四節(jié)等距變換一.等距變換的定義定義

設T是內(nèi)積空間V上的一個線性變換，若對，成立則稱T是等距變換.特別地，當V是酉空間時，則稱T是酉變換；當V是歐氏空間時，則稱T是正交變換.注：等距變換就是內(nèi)積空間中保持內(nèi)積不變的線性變換.例設,且,定義變換,則所以H是上的酉變換，稱為Householder鏡象變換.定理2.5設T是內(nèi)積空間V上的一個線性變換，則下列命題等價：（1）