不等式的證明課堂實錄

不等式的證明課堂實錄一、不等式證明的常用方法和根本不等式

師：前面我們復(fù)習(xí)了不等式的性質(zhì)，此時此刻起先復(fù)習(xí)不等式的證明.下面我們先來看一個問題：

[例1]求證：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

如何證明這個不等式呢？我們回憶一下，不等式證明有哪些常用的方法？

生：比擬法、分析法和綜合法.

師：什么是比擬法？這個不等式能不能用比擬法來證明？

生：要證明a＞b，只要證明a-b＞0，這就是不等式證明的比擬法，這個不等式能用比擬法證明.

證法一

∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2

=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2

=(bc-ad)2≥0

∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

師：用比擬法證明不等式的根本步驟有哪些？

生：有三步：(1)作差(2)變形(3)確定符號

師：什么是分析法？這個不等式能不能用分析法來證明？

生：從求證的不等式啟程，分析使這個不等式成立的條件，把證明這個不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題；假如能夠確定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法就是不等式證明的分析法.這個不等式能用分析法來證明.

證法二

要證明(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

只要證明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2

也就是證明b2c2+a2d2≥2abcd

即(bc-ad)2≥0

∵(bc-ad)2≥0成立

∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立

(老師指出應(yīng)用分析法證明時要留意書寫格式)

師：什么是綜合法？這個不等式能不能用綜合法來證明？

生：利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為根底，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法是不等式證明的綜合法，這個不等式能用綜合法來證明.

證法三

∵b2c2+a2d2≥2abcd

∴a2c2+b2d2+b2c2+a2d2≥a2c2+2abcd+b2d2

即(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

師：應(yīng)用綜合法證明的關(guān)鍵是找出作為根底的已經(jīng)證明過的不等式.這些不等式大都是根本不等式，主要有：

a2+b2≥2ab(a、b∈R)

(a、b∈R+)

這里要留意：

(1)不等式成立的條件，字母的允許值范圍；

(2)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

[這里變更了高三復(fù)習(xí)課先整理學(xué)問，然后講解例題的傳統(tǒng)模式，而是先提出問題讓學(xué)生思索，創(chuàng)設(shè)問題情境，激起學(xué)生復(fù)習(xí)的欲望和要求，喚起學(xué)生對舊學(xué)問的回憶，引起學(xué)生的思維.這樣可以提高學(xué)生復(fù)習(xí)的踴躍性.在此根底上，通過老師的啟發(fā)，讓學(xué)生自己逐步回憶過去所學(xué)的學(xué)問，應(yīng)用它們來分析問題和解決問題，最好引導(dǎo)學(xué)生自己歸納、整理舊學(xué)問，形成比擬系統(tǒng)和完整的學(xué)問構(gòu)造.]

二、不等式證明方法的應(yīng)用

[例2]確定a、b、c是不全相等的正數(shù).

求證：

(先讓學(xué)生爭論，然后由學(xué)生起來答復(fù)，老師板書.)

證明：∵

a、b、c是不全相等的正數(shù)

∴①②③中等號不同時成立

∴

即

(假如學(xué)生按上述步驟進(jìn)展證明，老師應(yīng)提出：這樣證明有沒有問題？讓學(xué)生通過思索后發(fā)覺：在證明一起先必需先指出a、b、c∈R+，否那么不能確定①、②、③是否成立.)

師：在證明不等式時，應(yīng)留意以下幾點(diǎn)：

(1)不等式的逆向運(yùn)用，要證明不等式可以先證明它的逆向不等式.

(2)確定條件在不等式證明中的應(yīng)用.由于a、b、c是三個不全相等的正數(shù)，從而得出①、②、③中三個等號不同時成立，于是才能證得原不等式成立.

(3)同向不等式相加是用綜合法證明不等式的常用手段.

[例3]確定a、b、c∈R+，求證：

(師生共同進(jìn)展分析)

要證明

只要證明

也就是證明

如何證明這個不等式呢？(讓學(xué)生爭論后答復(fù))

生：∵a、b∈R+

∴

∴

師：這樣證明有沒有問題？生：(答復(fù)略)

師：在證明中必需留意：

這是因為兩個同向不等式相乘，必需兩個不等式的兩邊都是正的，才能運(yùn)用不等式性質(zhì)得出正確的結(jié)論.

通過探討我們可以得出如下結(jié)論：

(1)在證明不等式時，時時先用分析法思索，然后運(yùn)用綜合法來表達(dá).

(2)在不等式證明中時時要綜合應(yīng)用其他的數(shù)學(xué)學(xué)問，如例3中要應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的增減性來證明.

(3)同向不等式相乘也是用綜合法證明不等式的常用手段.

[復(fù)習(xí)根本方法除了理解方法本身以外，重點(diǎn)是復(fù)習(xí)它的應(yīng)用，關(guān)鍵是駕馭運(yùn)用根本方法的規(guī)律以及在運(yùn)用時應(yīng)留意的問題.在證明不等式時，時時先用分析法思索，然后用綜合法表達(dá)，在運(yùn)用綜合法時，同向不等式相加和相乘又是常用的手段，還有不等式的逆向運(yùn)用問題.在不等式證明的過程中，特殊要留意根本不等式和不等式性質(zhì)運(yùn)用時所必需具備的條件，全部這些都必需通過復(fù)習(xí)讓學(xué)生駕馭.這里還運(yùn)用提出問題、分析問題和解決問題的方式來進(jìn)展復(fù)習(xí)，讓學(xué)生在解決問題的過程中，通過探討，自己總結(jié)規(guī)律，駕馭方法，提高實力，充分發(fā)揮他們的主體作用，提高復(fù)習(xí)效果.]

三、不等式證明方法的敏捷應(yīng)用

師：下面請同學(xué)們探討一下例4的解法

[例4]確定a、b、c∈R+，求證：ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)≥6abc

(在學(xué)生獨(dú)立思索和練習(xí)的根底上，組織課堂探討，要求用多種方法證明這個不等式.)

證法一：∵a、b、c∈R+

∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)-6abc

=a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2-6abc=ab2+ac2-2abc+bc2+a2b-2abc+a2c+b2c-2abc

=a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2≥0

∴ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)≥6abc

證法二：∵a、b、c∈R+

∴

那么

同理

∴

證法三：因為a、b、c∈R+，所以要證明

ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)≥6abc

只要證明

也就是證明

∵a、b、c∈R+

∴，，

∴成立

∴ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)≥6abc成立.

師：經(jīng)過探討，同學(xué)們供應(yīng)了很多好的解題方法，假設(shè)還有其他方法的話，請大家課后接著思索和探討.

[高三復(fù)習(xí)不僅要加強(qiáng)根底，而且要提高實力，特殊要提高思維實力，這是提高復(fù)習(xí)質(zhì)量的重要關(guān)鍵之一.在進(jìn)展解題思維訓(xùn)練時，重點(diǎn)是啟發(fā)學(xué)生依據(jù)問題的條件和結(jié)論所供應(yīng)的信息，結(jié)合已經(jīng)駕馭的學(xué)問，探究解決問題的思路和找尋解決問題的方法，對于例4這樣一個不等式證明問題，可以從三種常用證法的角度來思索，從而得出幾種不同的思維途徑.]

四、小結(jié)

五、作業(yè)(略)

點(diǎn)評：高三復(fù)習(xí)的目的是使學(xué)生進(jìn)一步系統(tǒng)地駕馭根底學(xué)問、根本技能和根本方法，進(jìn)一步提高運(yùn)算實力，邏輯思維實力和空間想象實力以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問敏捷地分析和解決問題的實力.因此本課在教學(xué)內(nèi)容的選