2.3 等腰三角形的性質(zhì)定理（1）浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊學(xué)案

2.3等腰三角形的性質(zhì)定理（1）課題等腰三角形的性質(zhì)定理（1）單元第二章學(xué)科數(shù)學(xué)年級八年級學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解等腰三角形的有關(guān)概念；

2.掌握等腰三角形的性質(zhì)定理；

3.能運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)定理進(jìn)行簡單的計(jì)算和證明重點(diǎn)掌握和應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)。難點(diǎn)1.等腰三角形性質(zhì)的符號(hào)表示；2.能靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)學(xué)法探究法教法講授法教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回憶舊知等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形的對稱軸是：頂角平分線所在的直線是它的對稱軸等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。回憶聽課回憶上節(jié)課所學(xué)，進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)做一做任意畫一個(gè)等腰三角形，通過折疊、測量等方式，探索它的內(nèi)角之間有什么關(guān)系。你發(fā)現(xiàn)了什么？∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC.動(dòng)手操作讓學(xué)生通過自己動(dòng)手得出結(jié)論講授新知等腰三角形性質(zhì)定理1等腰三角形的兩個(gè)底角相等可以說成“在同一個(gè)三角形中,等邊對等角”你能證明上面的結(jié)論嗎？已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C證明：如圖，作△ABC的角平分線AD。在△ABD和△ACD，∵AB=AC（已知）∠BAD=∠CAD（角平分線的定義）AD=AD（公共邊）∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）你能根據(jù)等腰三角形的軸對稱性證明上述定理嗎？證明：等腰三角形的對稱軸為頂角的角平分線，根據(jù)軸對稱圖形的定義，對稱軸兩邊的圖形可以完全重合，所以∠B=∠C聽課講解等腰三角形的性質(zhì)定理1即時(shí)演練⒈等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為__________（75°,30°）⒉等腰三角形一個(gè)角為70°,它的另外兩個(gè)角為______________（70°,40°或55°,55°）⒊等腰三角形一個(gè)角為110°,它的另外兩個(gè)角為___（35°,35°）結(jié)論:在等腰三角形中,①頂角+2×底角=180°②頂角=180°－2×底角③底角=（180°－頂角）÷2④0°＜頂角＜180°⑤0°＜底角＜90°做練習(xí)及時(shí)鞏固所學(xué)例題講解例1.求等邊三角形ABC三個(gè)內(nèi)角的度數(shù).解：如圖，在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等腰三角形的兩個(gè)底角相等）同理，∠A=∠B∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=×180°=60°由“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”，可以得到以下推論：等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都等于60°聽課思考講解例題，明白題型即時(shí)演練如圖，等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，且CE=CD，求證：DB=DE。證明：∵△ABC是等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)

∴∠ACB=60°

∠CBD=∠ABC=30°∵CE=CD

∴∠E=∠CDE

又∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°

∴∠E=30°∴∠CBD=∠E

∴DB=DE做練習(xí)及時(shí)鞏固所學(xué)例題講解例2：求證：等腰三角形兩底角的平分線相等.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的兩條角平分線。求證：BD=CE.證明：如圖∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形的兩個(gè)底角相等）∵BD,CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線∴∠CBD=∠ABC，∠BCE=∠ACB（角平分線的定義）∴∠CBD=∠BCE又∵BC=CB（公共邊）∴△BCE≌△CBD（ASA）∴BD=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）聽課思考講解例題，明白題型即時(shí)演練已知：如圖，在△ABC中，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，DE過點(diǎn)P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求證：DE﹣DB=EC．證明：∵BP平分∠ABC，∴∠DBP=∠CBP．∴DE∥BC，∴∠CBP=∠DPB．∴∠DPB=∠DBP．即DP=DB．同理可得PE=CE．∴DE=BD+CE，即DE﹣DB=EC．做練習(xí)及時(shí)鞏固所學(xué)達(dá)標(biāo)測評1.如圖，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列結(jié)論：①AC-BE=AE；②∠BAD-∠C=∠DAE；③∠DAE=∠C；④AC=2BD，其中正確的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【解析】∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵∠ABC=2∠C，∴∠2=∠C，∴BE=CE，∵AC-CE=AE，∴AC-BE=AE，故①正確；延長AD交BC與F，∵AD⊥BE，∴∠ADB=∠FDB=90°，∵在△ABD和△FBD中，∠ADB=∠FDB=90°BD=BD∠1=∠2∴△ABD≌△FBD（ASA），∴∠BAD=∠AFB，在△ACF中，∠DAE=∠AFB-∠C，∴∠BAD-∠C=∠DAE，故②正確；在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠1=90°-∠C，∴90°-∠C-∠C=∠DAE，∴∠DAE=90°-2∠C，故③錯(cuò)誤；取CF的中點(diǎn)G，連接DG，則DG是△ACF的中位線，∴DG∥AC，AC=2DG，∴∠C=∠3，∴∠2=∠3，∴BD=DG，∴AC=2BD，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②④．故選C．2.已知：如圖，AB=AC，DB=DC，問：AD與BC有什么關(guān)系？猜想：AD垂直平分BC證明:∵AB=AC,BD=CD,AD=DA∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠BAD=∠CAD∴AD垂直平分BC3.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，則∠DCE的大小為（）A．30°B．45°C．60°D．無法確定【解析】設(shè)∠ACE=x度，∠ECD=y度，∠DCB=z度，∵BC=BE，∴∠CED=∠ECB=（y+z）度，又AC=AD，∠ADC=∠ACD=（x+y）度，在△CDB中，∠B=x+y-z；在△ACE中，∠A=y+z-x；在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，即x+y-z+y+z-x=90°，∴2y=90°，解得y=45度．于是∠DCE=45°．4.如圖，等邊△ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于點(diǎn)E，那么這個(gè)圖形中的等腰三角形共有（）A．5個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)①∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∴△ABC為等腰三角形；②∵BO，CO，AO分別是三個(gè)角的角平分線，∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，∴△AOB為等腰三角形；③△AOC為等腰三角形；④△BOC為等腰三角形；⑤∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠B=∠ODE，∠C=∠OED，∵∠B=∠C，∴∠ODE=∠OED，∴△DOE為等腰三角形；⑥∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，∴△BOD為等腰三角形；⑦△COE為等腰三角形．故選C5.在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一點(diǎn)，BE=CD，EF∥AD交AB于F點(diǎn)，交CA的延長線于P，CH∥AB交AD的延長線于點(diǎn)H，①求證：△APF是等腰三角形；

②猜想AB與PC的大小有什么關(guān)系？證明你的猜想．①證明：∵EF∥AD，∴∠1=∠4，∠2=∠P，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠4=∠P，∴AF=AP，即△APF是等腰三角形；②AB=PC．理由如下：證明：∵CH∥AB，∴∠5=∠B，∠H=∠1，∵EF∥AD，∴∠1=∠3，∴∠H=∠3，在△BEF和△CDH中，∵∠5=∠B∠H=∠3BE=CD，∴△BEF≌△CDH（AAS），∴BF=CH，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠H，∴AC=CH，∴AC=BF，∵AB=AF+BF，PC=AP+AC，∴AB=PC．做題通過做對應(yīng)的題目，來讓學(xué)生更深刻理解本節(jié)知識(shí)應(yīng)用拓展在等邊△ABC所在的平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P有（）個(gè)A．1B．4C．7D．10【解析】（1）點(diǎn)P在三角形內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)P是邊AB.BC.CA的垂直平分線的交點(diǎn)，是三