2024年廣東省惠州市惠陽區(qū)崇雅中學中考數(shù)學三模試卷

第1頁（共1頁）2024年廣東省惠州市惠陽區(qū)崇雅中學中考數(shù)學三模試卷一.選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）2024的相反數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝2a6 B．（b2）3＝b5 C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．（﹣2a）2＝4a23．（3分）5G是第五代移動通信技術(shù)，5G網(wǎng)絡(luò)理論下載速度可以達到每秒1300000KB以上．用科學記數(shù)法表示1300000是（）A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×1074．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k+1）x+k﹣1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A． B．k≠﹣1 C．且k≠﹣1 D．且k≠﹣16．（3分）如圖所示，直線a∥b，∠2＝31°，則∠1＝（）A．61° B．60° C．59° D．58°7．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k＞0，x＞0），過點A作x軸的垂線，垂足為B，則k的值（）A． B． C． D．8．（3分）某學校開辦學校足球聯(lián)賽，規(guī)定每兩個班級球隊之間都要進行一場比賽，共要比賽15場，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（）A． B． C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝159．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D，若∠AED＝20°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．110° B．115° C．120° D．125°10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點E是CD邊上一點，過點P作PF⊥AE交BC于點F，連接AF交BD于點G；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝；④S△APG＝．其中正確結(jié)論個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二.填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）分解因式：a3﹣a＝．12．（3分）在半徑為6的圓中，100°的圓心角所對的扇形面積等于（結(jié)果保留π）．13．（3分）若+|y+1|＝0，則yx＝．14．（3分）若點（m，n）在函數(shù)y＝2x+1的圖象上，則2m﹣n的值是．15．（3分）如圖1，小言用七巧板拼了一個對角線長為6的正方形，再用這副七巧板拼成一個矩形（如圖2所示）．16．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，P是AD上的一個動點，當PC與PE的和最小時．三.解答題（一）（本大題4小題，第17，18題各4分，第19，20各6分，共20分）17．（4分）計算：．18．（4分）先化簡，再求值：，請在﹣2，0，1中選擇一個你喜歡的數(shù)作為x的值代入，并求代數(shù)式的值．19．（6分）如圖，已知△ABC．（1）實踐與操作：利用尺規(guī)作邊AC的垂直平分線，交邊BC于點D（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）；（2）應(yīng)用與計算：連接AD，若∠B＝50°，∠C＝30°20．（6分）在學習《解直角三角形》一章時，小明同學對互為倍數(shù)的兩個銳角正切三角比產(chǎn)生了濃厚的興趣，進行了一些研究．（1）初步嘗試：我們知道：tan60°＝，tan30°＝，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tan2A2tanA；（選填“＝”或“≠”）（2）實踐探究：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，求的值；小明想構(gòu)造包含的直角三角形：延長CA至點D，使得DA＝AB，所以，即轉(zhuǎn)化為求∠D的正切值．請按小明的思路求解四.解答題（二）（本大題3小題，第21題8分，第22，23題10分，共28分）21．（8分）3月14日被定為“國際數(shù)學日”，某校數(shù)學興趣小組為調(diào)查學生對相關(guān)知識的了解情況，從全校學生中隨機抽取n名學生進行測試，并繪制成如下的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖．（1）m＝，n＝，補全頻數(shù)分布直方圖；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“70～80”這組的扇形圓心角為；（3）測試結(jié)束后，九年級一班從本班獲得優(yōu)秀（測試成績≥80分）的甲、乙、丙、丁四名同學中隨機抽取兩名宣講數(shù)學知識22．（10分）新能源汽車有著動力強油耗低的特點正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車4S店決定采購新能源甲型和乙型兩款汽車，已知每輛甲型汽車的進價是每輛乙型汽車的進價的1.2倍，若用1800萬元購進甲型汽車的數(shù)量比1400萬元購進乙型汽車的數(shù)量多10輛．（1）甲型和乙型汽車的進價分別為每輛多少萬元？（2）該公司決定用不多于1120萬元購進甲型和乙型汽車共100輛，最多可以購買多少輛甲型汽車？23．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）過A（﹣2，0），B（6，0），其對稱軸交x軸于點D，CF⊥AE于點F．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）判斷△ABC的形狀，并證明；（3）是否存在點E的位置，使△ACF與△BOC相似？若存在，請求出所有滿足條件的點E的坐標，請說明理由．五.解答題（三）：（本大題共2小題，每小題12分，共24分）24．（12分）約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“優(yōu)美三角形”．例如，如圖1，AD為邊BC上的中線，△ABD與△ABC相似（1）在圖2中的△ABC中，若，則△ABC（填“是”或“不是”）關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”；（2）如圖3，已知△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，點D是△ABC邊BC的中點；（3）已知△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，BC＝4，∠B＝30°25．（12分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝5，AD＝2，點P為BC邊上一點，將DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DQ，連接PQ．（1）BD＝，DP的最小值是；（2）當∠BPQ＝15°時，求BP的長；（3）連接BQ，若△BDQ的面積為3，求tan∠BDQ的值．

2024年廣東省惠州市惠陽區(qū)崇雅中學中考數(shù)學三模試卷參考答案與試題解析一.選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）2024的相反數(shù)是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的相反數(shù)是﹣2024，故選：B．2．（3分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝2a6 B．（b2）3＝b5 C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．（﹣2a）2＝4a2【解答】解：A、a2與a3不是同類項，不能進行合并，不符合題意；B、（b4）3＝b6，故B項運算錯誤，不符合題意；C、a2÷a2＝a4，故C項運算錯誤，不符合題意；D、（﹣7a）2＝4a7，故D項運算正確，符合題意；故選：D．3．（3分）5G是第五代移動通信技術(shù)，5G網(wǎng)絡(luò)理論下載速度可以達到每秒1300000KB以上．用科學記數(shù)法表示1300000是（）A．13×105 B．1.3×105 C．1.3×106 D．1.3×107【解答】解：1300000＝1.3×104，故選：C．4．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、是軸對稱圖形，故此選項正確；D、是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：C．5．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k+1）x+k﹣1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A． B．k≠﹣1 C．且k≠﹣1 D．且k≠﹣1【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（4k+1）x+k﹣1＝2有實數(shù)根，∴b2﹣4ac＝[﹣（5k+1）]2﹣3（k+1）（k﹣1）≥8，k+1≠0，解得：k≥﹣且k≠﹣1．故選：D．6．（3分）如圖所示，直線a∥b，∠2＝31°，則∠1＝（）A．61° B．60° C．59° D．58°【解答】解：∵a∥b，∴∠1＝∠DBC，∵∠DBC＝∠A+∠2，＝28°+31°＝59°．故選：C．7．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在反比例函數(shù)（k為常數(shù)，k＞0，x＞0），過點A作x軸的垂線，垂足為B，則k的值（）A． B． C． D．【解答】解：△AOB的面積為，所以．故選：A．8．（3分）某學校開辦學校足球聯(lián)賽，規(guī)定每兩個班級球隊之間都要進行一場比賽，共要比賽15場，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（）A． B． C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15【解答】解：根據(jù)題意得：x（x﹣8）＝15．故選：A．9．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D，若∠AED＝20°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．110° B．115° C．120° D．125°【解答】解：連接AC，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ACD＝∠AED＝20°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+20°＝110°．故選：A．10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點E是CD邊上一點，過點P作PF⊥AE交BC于點F，連接AF交BD于點G；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝；④S△APG＝．其中正確結(jié)論個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，PF⊥AP，∴∠APF＝∠ABC＝∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AB，∵∠ABC+∠APF＝180°，∴∠BAP+∠BFP＝180°，∴點A、B、F、P四點共圓，∴∠AFP＝∠ABD＝45°，∴△APF是等腰直角三角形，∴AP＝PF，故①正確；②把△AED繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，如圖所示：∴DE＝BH，∠DAE＝∠BAH，AH＝AE，∴∠HAF＝∠EAF＝45°，∵∠ABH+∠ABF＝180°，∴H、B、F三點共線，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴HF＝EF，∠AFE＝∠AFB∵HF＝BH+BF，∴DE+BF＝EF，故②正確；③連接AC交BD于O，在BP上截取BM＝DP，如圖所示：∴OB＝OD，BD⊥AC，∴OP＝OM，△AOB是等腰直角三角形，∴，由①可得點A、B、F、P四點共圓，∴∠APO＝∠AFB，∵∠ABF＝∠AOP＝90°，∴△AOP∽△ABF，∴，∴，∵BP﹣DP＝BP﹣BM＝PM＝7OP，∴，故③正確；④由③可得，∵∠AFB＝∠AFE＝∠APG，∠FAE＝∠PAG，∴△APG∽△AFE，∴，∴，∴，故④正確；綜上所述：以上結(jié)論正確的有①②③④；故選：D．二.填空題（本大題6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）分解因式：a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1）．【解答】解：a3﹣a，＝a（a2﹣7），＝a（a+1）（a﹣1）．故答案為：a（a+4）（a﹣1）．12．（3分）在半徑為6的圓中，100°的圓心角所對的扇形面積等于10π（結(jié)果保留π）．【解答】解：根據(jù)扇形的面積公式S扇形＝πr2，得S扇形＝π×62＝10π．故答案為：10π．13．（3分）若+|y+1|＝0，則yx＝1．【解答】解：∵+|y+1|＝2，∴x﹣2＝0且y+6＝0，解得x＝2，y＝﹣8，則yx＝（﹣1）2＝7，故答案為：1．14．（3分）若點（m，n）在函數(shù)y＝2x+1的圖象上，則2m﹣n的值是﹣1．【解答】解：∵點（m，n）在函數(shù)y＝2x+1的圖象上，∴7m+1＝n，即2m﹣n＝﹣4．故答案為：﹣1．15．（3分）如圖1，小言用七巧板拼了一個對角線長為6的正方形，再用這副七巧板拼成一個矩形（如圖2所示）3．【解答】解：∵正方形對角線為6，∴①和②的直角邊為3，∴長方形的長為3，寬為3，∴長方形的對角線長為＝8，故答案為：3．16．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，P是AD上的一個動點，當PC與PE的和最小時60°．【解答】解：如連接BE，與AD交于點P，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故答案為60°．三.解答題（一）（本大題4小題，第17，18題各4分，第19，20各6分，共20分）17．（4分）計算：．【解答】解：，＝＝2﹣7﹣1++3＝．18．（4分）先化簡，再求值：，請在﹣2，0，1中選擇一個你喜歡的數(shù)作為x的值代入，并求代數(shù)式的值．【解答】解：＝＝＝；∵x+1≠7，x+2≠0，∴x不能為﹣3，﹣1，2，∴x可取7或1，當x＝0時，原式＝．（或：當x＝1時，原式．）19．（6分）如圖，已知△ABC．（1）實踐與操作：利用尺規(guī)作邊AC的垂直平分線，交邊BC于點D（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母）；（2）應(yīng)用與計算：連接AD，若∠B＝50°，∠C＝30°【解答】解：（1）如圖，EF即為所求；（2）∵點D為邊AC的垂直平分線與BC的交點，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠DAC＝120°．∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝70°．20．（6分）在學習《解直角三角形》一章時，小明同學對互為倍數(shù)的兩個銳角正切三角比產(chǎn)生了濃厚的興趣，進行了一些研究．（1）初步嘗試：我們知道：tan60°＝，tan30°＝，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：tan2A≠2tanA；（選填“＝”或“≠”）（2）實踐探究：如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，求的值；小明想構(gòu)造包含的直角三角形：延長CA至點D，使得DA＝AB，所以，即轉(zhuǎn)化為求∠D的正切值．請按小明的思路求解【解答】解：（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可知，tan60°＝，tan30°＝，由此可見，tan60°≠tan30°．故答案為：，，≠．（2）在Rt△ABC中，AB＝，因為DA＝AB，所以DA＝，∠D＝∠ABD，所以CD＝+2．又因為∠BAC＝∠D+∠ABD，所以∠D＝∠BAC．在Rt△BCD中，tanD＝＝，即tan∠BAC＝．四.解答題（二）（本大題3小題，第21題8分，第22，23題10分，共28分）21．（8分）3月14日被定為“國際數(shù)學日”，某校數(shù)學興趣小組為調(diào)查學生對相關(guān)知識的了解情況，從全校學生中隨機抽取n名學生進行測試，并繪制成如下的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖．（1）m＝16，n＝50，補全頻數(shù)分布直方圖；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“70～80”這組的扇形圓心角為72°；（3）測試結(jié)束后，九年級一班從本班獲得優(yōu)秀（測試成績≥80分）的甲、乙、丙、丁四名同學中隨機抽取兩名宣講數(shù)學知識【解答】解：（1）n＝12÷24%＝50．m%＝×100%＝16%，∴m＝16．故答案為：16；50．測試成績?yōu)?0～100（含100）的人數(shù)為50﹣4﹣8﹣10﹣12＝16（人）．補全頻數(shù)分布直方圖如圖所示．（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“70～80”這組的扇形圓心角為360°×．故答案為：72°．（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到甲、乙甲，∴恰好抽到甲、乙兩名同學的概率為．22．（10分）新能源汽車有著動力強油耗低的特點正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車4S店決定采購新能源甲型和乙型兩款汽車，已知每輛甲型汽車的進價是每輛乙型汽車的進價的1.2倍，若用1800萬元購進甲型汽車的數(shù)量比1400萬元購進乙型汽車的數(shù)量多10輛．（1）甲型和乙型汽車的進價分別為每輛多少萬元？（2）該公司決定用不多于1120萬元購進甲型和乙型汽車共100輛，最多可以購買多少輛甲型汽車？【解答】解：（1）設(shè)乙型汽車的進價為每輛x萬元，則甲型汽車的進價為每輛1.2x萬元，依題意得：，解得：x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是方程的解，答：甲型汽車的進價為每輛12萬元，乙型汽車的進價為每輛10萬元；（2）設(shè)購買m輛甲型汽車，則購買（100﹣m）輛乙型汽車，依題意得：12m+10（100﹣m）≤1120，解得：m≤60，答：最多可以購買60輛甲型汽車．23．（10分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）過A（﹣2，0），B（6，0），其對稱軸交x軸于點D，CF⊥AE于點F．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）判斷△ABC的形狀，并證明；（3）是否存在點E的位置，使△ACF與△BOC相似？若存在，請求出所有滿足條件的點E的坐標，請說明理由．【解答】解：（1）由題意，y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x7﹣4x﹣12）＝ax2+bx+7，則﹣12a＝2，解得：a＝﹣，∴函數(shù)關(guān)系式為；（2）△ABC直角三角形，理由：證明：由題意，OA＝2，，∵，∠AOC＝∠COB＝90°∴∠AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠OBC，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（3）存在，理由：由題意，，則，∴∠CAB＝60°，∠ACO＝30°，∴∠ABC＝30°，∠OCB＝60°，則AC＝2OA＝4，∵△ACF與△BOC相似，則∠CAF＝30°或60°，如圖，當∠CAF＝30°時，設(shè)AE交y軸于點H，作HN⊥AC于點N，在△ACH中，AC＝8，則CH＝＝，則點H（0，），由點A、H的坐標得x+，當x＝2時，y＝＝，即點E的坐標為；當∠CAF＝60°時，則AF和x軸重合，此時，故點E的坐標為：（6，0）；綜上，點E的坐標為，6）．五.解答題（三）：（本大題共2小題，每小題12分，共24分）24．（12分）約定：若三角形一邊上的中線將三角形分得的兩個小三角形中有一個三角形與原三角形相似，我們則稱原三角形為關(guān)于該邊的“優(yōu)美三角形”．例如，如圖1，AD為邊BC上的中線，△ABD與△ABC相似（1）在圖2中的△ABC中，若，則△ABC是（填“是”或“不是”）關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”；（2）如圖3，已知△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，點D是△ABC邊BC的中點；（3）已知△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，BC＝4，∠B＝30°【解答】（1）解：∵AD為邊BC上的中線，，∴，∴，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA，∴△ABC是關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，故答案為：是．  （2）證明：如圖，∵△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，∴△CAD∽△CBA，∴∠CAD＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠CBA，∴∠CAD＝∠OAB，∵BD是⊙O的直徑，∴∠OAB+∠OAD＝90°，∴∠CAD+∠OAD＝90°，∴OA⊥AC，∵OA是⊙O的半徑，∴直線AC與⊙O相切；（3）解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，∵△ABC為關(guān)于邊BC的“優(yōu)美三角形”，BC＝4，∴，若△BAD∽△BCA，則AB8＝