2024年湖南省益陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新大賽試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年湖南省益陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新大賽試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（3分）已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)是a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c1，y2，…，y10，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是a+10 B．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是b+10 C．新數(shù)據(jù)的眾數(shù)是c+10 D．新數(shù)據(jù)的方差是d+102．（3分）如圖，將圖形a以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，每次按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則第2024次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形是（）A．① B．② C．③ D．④3．（3分）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B，C的位置如圖所示，AC＝9，且a+b+c＝0（）A．3 B．4 C．5 D．64．（3分）如圖，AB，CE是⊙O的兩條直徑，連接BC，DE．若∠ABC＝34°（）A．26° B．28° C．34° D．56°5．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，且EF∥AB，矩形ABCD與矩形BFEA相似（）A．16 B． C． D．6．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．7．（3分）如圖，拋物線y＝x2+ax+b交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，∠OBC＝30°（）A． B． C． D．8．（3分）實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a+b＞0，bc＜0，，，（）A．d＜c＜a＜b B．b＜a＜c＜d C．c＜b＜d＜a D．a(chǎn)＜c＜d＜b9．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC沿直線BC向右平移，穿過(guò)邊長(zhǎng)為4的正方形CDEF（B，C，D三點(diǎn)共線）（0≤x≤8）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，以AB為邊作等邊三角形ABC′（C′與C位于AB的異側(cè)），則CC′＝（）A． B． C． D．12二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分.請(qǐng)將答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上。11．（4分）若實(shí)數(shù)的小數(shù)部分為a，則a2﹣4a＝．12．（4分）將一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體的六個(gè)面都涂上紅色，再把它全部切割成棱長(zhǎng)為1的小正方體，從中任取一個(gè)小正方體．13．（4分）如圖，地面上有一根旗桿AO，小明兩次拉住從頂端垂下的繩子OB到OC（OC，OA，OD在同一平面內(nèi)），測(cè)得∠COD＝90°，且C、D兩點(diǎn)到OA的水平距離CE、DF分別為1.4m和1.8mm．14．（4分）閱讀：因?yàn)椋▁+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝x+2這說(shuō)明多項(xiàng)式x2+x﹣2有一個(gè)因式為x﹣1，也說(shuō)明當(dāng)x＝1時(shí)，多項(xiàng)式x2+x﹣2的值為0．解答問(wèn)題：方程x3﹣4x2﹣7x+10＝0的解是．15．（4分）如圖，AB是圓O的直徑，C為，P為上一點(diǎn)，若，則AP＝．三、解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16．（12分）（1）化簡(jiǎn)：．（2）現(xiàn)有鹽水若干千克，第一次加入一定量的水后，鹽水的濃度變?yōu)?%，鹽水濃度變?yōu)?%．則第三次再加入同樣多的水之后鹽水的濃度是多少？17．（14分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）．函數(shù)值y和自變量x的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示：x…﹣10123…y…m2n2p…（1）若m＝3，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y有最大值7，求n的值；（3）若|m|+|p|＝|n|，求a的值．18．（14分）（1）已知正整數(shù)n1，n2，…，n100滿足n1＜n2＜?＜n100，正整數(shù)．①直接寫(xiě)出m的最大值；②請(qǐng)你列舉出m除最大值外的1個(gè)值及取得這個(gè)值對(duì)應(yīng)的1組n1，n2，…，n100的值；③直接寫(xiě)出所有符合條件的m的值之和．（2）若85，227，440分別被自然數(shù)x除時(shí)，記w＝x﹣y，求w的值．19．（14分）如圖a，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P不在直線l上且直線l與坐標(biāo)軸不平行，PF∥y軸與l交于點(diǎn)F，則稱折線EPF為點(diǎn)P關(guān)于直線l的“L路徑”，記為L(zhǎng)P﹣1，即LP﹣1＝PE+PF．（1）若直線l1的表達(dá)式為，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）如圖b，已知拋物線W：與x軸交于兩點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），且∠OBC＝∠OCA，直線AC記為lAC，直線BC記為lBC．①拋物線W上有一點(diǎn)P滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線lBC下方的拋物線W上有一動(dòng)點(diǎn)Q，Q點(diǎn)關(guān)于直線lBC的“L路徑”與以AB的中點(diǎn)D為圓心，為半徑的圓有交點(diǎn)，求的取值范圍．20．（16分）【閱讀學(xué)習(xí)】我們知道三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為三角形的重心．人們?cè)趯?duì)三角形重心的研究中發(fā)現(xiàn)并證明了如下系列結(jié)論：如圖a，①已知△ABC的重心為G，則AG＝2GM；②在△ABC中，G在AM上，AG＝2GM，則N為AB的中點(diǎn)；③已知△ABC的重心為G，過(guò)G的直線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)△AEF＝2S△MEF；?（在解答本題（2）（3）問(wèn)時(shí)，閱讀學(xué)習(xí)中的3個(gè)結(jié)論根據(jù)你的需要可以直接運(yùn)用）【驗(yàn)證感知】（1）請(qǐng)從以上3個(gè)結(jié)論中選一個(gè)進(jìn)行證明（若選擇多個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明，則以第一個(gè)證明進(jìn)行評(píng)分）；【初步運(yùn)用】（2）如圖b，在Rt△A1B1C1中，∠A1B1C1＝90°，，以C1為圓心，C1B1的長(zhǎng)為半徑作圓交A1C1于D點(diǎn)，交A1C1的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，連接B1D，T，K分別為A1B1，A1C1延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠A1B1D＝∠TB1K，求證：A1D＝HK．【靈活運(yùn)用】（3）如圖c，在（2）的條件下1K的中點(diǎn)為R，連接A1R交B1C1于點(diǎn)O，P為A1B1交AK于Q點(diǎn)，記，則w是否為定值，若是；若不是，說(shuō)明理由．

2024年湖南省益陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)創(chuàng)新大賽試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（3分）已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的平均數(shù)是a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c1，y2，…，y10，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是a+10 B．新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是b+10 C．新數(shù)據(jù)的眾數(shù)是c+10 D．新數(shù)據(jù)的方差是d+10【解答】解：A、新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是a+10，不符合題意；B、新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是b+10，不符合題意；C、新數(shù)據(jù)的眾數(shù)是c+10，不符合題意；D、新數(shù)據(jù)的方差是d，符合題意；故選：D．2．（3分）如圖，將圖形a以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，每次按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則第2024次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形是（）A．① B．② C．③ D．④【解答】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：每四次旋轉(zhuǎn)一周，∵2024÷4＝506，∴第2024次旋轉(zhuǎn)后和④一樣，故選：D．3．（3分）實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B，C的位置如圖所示，AC＝9，且a+b+c＝0（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵AB＝3，AC＝9，∴b＝a+7，c＝a+9，∵a+b+c＝0，∴a+a+8+a+9＝0，解得a＝﹣3，∴c＝a+9＝﹣4+5＝5，故選：C．4．（3分）如圖，AB，CE是⊙O的兩條直徑，連接BC，DE．若∠ABC＝34°（）A．26° B．28° C．34° D．56°【解答】解：連接OD，∵∠ABC＝∠AOC，∴∠AOC＝68°，∴∠BOC＝180°﹣68°＝112°，∵D是劣弧BC的中點(diǎn)，∴∠BOC＝∠COD＝∠BOC＝56°，∴∠CED＝∠COD＝28°．故選：B．5．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，且EF∥AB，矩形ABCD與矩形BFEA相似（）A．16 B． C． D．【解答】解：∵矩形ABCD與矩形BFEA相似，∴＝＝，∵矩形ABCD的面積＝6×6＝24，∴矩形BFEA的面積＝．故選：C．6．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．∵，∴此選項(xiàng)的計(jì)算正確；B．∵，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；C．∵，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；D．∵，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；故選：A．7．（3分）如圖，拋物線y＝x2+ax+b交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，∠OBC＝30°（）A． B． C． D．【解答】解：∵∠OBC＝30°，∴OB＝OC，∵y＝x2+ax+b，∴C（8，b），∴B（，0），代入函數(shù)解析式中，得：，∴3b2+ab+b＝0，∴3b+a+1＝0，故選：D．8．（3分）實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a+b＞0，bc＜0，，，（）A．d＜c＜a＜b B．b＜a＜c＜d C．c＜b＜d＜a D．a(chǎn)＜c＜d＜b【解答】解：∵bc＜0，∴b與c異號(hào)，且都不為0，∵，，∴a與c同號(hào)，且a不為0；c與d同號(hào)，|d|＞|c|，∴a與d同號(hào)，a與b異號(hào)，∵，∴d不為0，∴a，b，c，d均不為4，∵a+b＞0，∴當(dāng)a＜0，b＞3時(shí)，d＜c；當(dāng)a＞0，b＜0時(shí)，d＞c，則．故選：A．9．（3分）如圖，邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC沿直線BC向右平移，穿過(guò)邊長(zhǎng)為4的正方形CDEF（B，C，D三點(diǎn)共線）（0≤x≤8）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)原的三角形為△A′B′C′，△ABC與正方形邊交于點(diǎn)M，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，如圖，∴CC′＝x，∴MC′＝x?tan60°＝x，∴y＝S△MCC′＝x?x8；當(dāng)2＜x≤4時(shí)，如圖，∵CC′＝x，∴BC′＝4﹣x，∴MC′＝（4﹣x）?tan60°＝（7﹣x），∴y＝S△ABC﹣S△MBC′＝×32﹣（4﹣x）?（x﹣4）8+4；當(dāng)3＜x≤6時(shí)，如圖，∵CC′＝x，∴CD＝x﹣4，∴MC′＝（x﹣6）?tan60°＝（x﹣4），∴y＝S△ABC﹣S△MCD＝×42﹣（x﹣3）?（x﹣4）2+7；當(dāng)6＜x≤7時(shí)，如圖，∴CC′＝x，∴CD＝x﹣4，∴BD＝4﹣（x﹣3）＝8﹣x，∴MD＝（8﹣x）?tan60°＝（8﹣x），∴y＝S△MBD＝（8﹣x）?（x﹣8）3；由第二段函數(shù)判斷出該函數(shù)最大值為4，∴由四段函數(shù)判斷B符合題意．故選：B．10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，以AB為邊作等邊三角形ABC′（C′與C位于AB的異側(cè)），則CC′＝（）A． B． C． D．12【解答】解：過(guò)點(diǎn)C'作C'E⊥CA交CA延長(zhǎng)線于E，CD⊥CB交CB延長(zhǎng)線于D ∵∠ACB＝90°，∴四邊形CDC'E為矩形，設(shè)BD＝x，C'D＝y(tǒng)，則C'E＝CB＝BC+BD＝x+6，C'D＝CE＝y(tǒng)，∴AE＝CE﹣AC＝，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∵△ABC'為等邊三角形，∴AC＝BC'＝AB＝，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE7+C'E2＝AC'2，即，整理得：得①，在Rt△C'BD中，由勾股定理得：BD2+C'D2＝BC'4，即②，將②代入①得：，整理得：，∴，整理得：28x2+168x﹣315＝5，即（2x﹣3）（14x+105）＝2，解得：x1＝1.6，x2＝（不合題意，在Rt△CDC'中，由勾股定理得：CC'2＝CD6+C'D2＝（6+x）8+y2，即CC'2＝x8+y2+12x+36＝63+12×1.6+36＝117，∴CC'＝＝．故選：B．二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分.請(qǐng)將答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上。11．（4分）若實(shí)數(shù)的小數(shù)部分為a，則a2﹣4a＝﹣2．【解答】解：∵，∴，∴，∴，∴的整數(shù)部分是2，∵實(shí)數(shù)的小數(shù)部分為a，∴a＝，∴a2﹣2a＝a（a﹣4）＝＝＝﹣（2﹣2）＝﹣2，故答案為：﹣6．12．（4分）將一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體的六個(gè)面都涂上紅色，再把它全部切割成棱長(zhǎng)為1的小正方體，從中任取一個(gè)小正方體．【解答】解：將一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體分割成棱長(zhǎng)為1的小正方體，一共可得到3×3×3＝27（個(gè)），在每條棱上只有7個(gè)兩面涂有紅色的小立方體，由于正方體有12條棱，有12個(gè)兩面涂有紅色的小立方體，所以，從中任取一個(gè)小正方體＝．故答案為：．13．（4分）如圖，地面上有一根旗桿AO，小明兩次拉住從頂端垂下的繩子OB到OC（OC，OA，OD在同一平面內(nèi)），測(cè)得∠COD＝90°，且C、D兩點(diǎn)到OA的水平距離CE、DF分別為1.4m和1.8m0.4m．【解答】解：∵CE⊥OA，DF⊥OA，∴∠CEO＝∠OFD＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠AOE+∠OCE＝∠COE+∠DOF，∴∠OCE＝∠DOF，在△COE與△ODF中，，∴△COE≌△ODF（AAS），∴OF＝BE＝1.4m，OE＝DF＝6.8m，∴EF＝DE﹣DF＝0.5（m），答：FE的長(zhǎng)為0.4m，故答案為：7.4．14．（4分）閱讀：因?yàn)椋▁+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝x+2這說(shuō)明多項(xiàng)式x2+x﹣2有一個(gè)因式為x﹣1，也說(shuō)明當(dāng)x＝1時(shí)，多項(xiàng)式x2+x﹣2的值為0．解答問(wèn)題：方程x3﹣4x2﹣7x+10＝0的解是x＝1或x＝5或x＝﹣2．【解答】解：∵x3﹣4x5﹣7x+10＝0，∴（x﹣6）（x﹣5）（x+2）＝3，∴x﹣1＝0或x﹣6＝0或x+2＝5，∴x＝1或x＝5或x＝﹣8，∴方程的解為：x＝1或x＝5或x＝﹣6．故答案為：x＝1或x＝5或x＝﹣3．15．（4分）如圖，AB是圓O的直徑，C為，P為上一點(diǎn)，若，則AP＝2+2．【解答】解：過(guò)C作CH⊥BP交BP延長(zhǎng)線于H，連接AC，∵C為的中點(diǎn)，∴AC＝BC，∵AB是圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵四邊形ABPC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BPC+∠CAB＝180°，∴∠BPC＝135°，∴∠CPH＝180°﹣135°＝45°，∴△PCH是等腰直角三角形，∴PH＝CH＝PC＝×＝，∴BH＝PB+PH＝2+，∴BC7＝CH2+BH2＝10+4，∵AB2＝BC7+AC2＝2BC4＝20+8，∴PA＝＝＝2．故答案為：3+2．三、解答題：本題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16．（12分）（1）化簡(jiǎn)：．（2）現(xiàn)有鹽水若干千克，第一次加入一定量的水后，鹽水的濃度變?yōu)?%，鹽水濃度變?yōu)?%．則第三次再加入同樣多的水之后鹽水的濃度是多少？【解答】解：（1）＝[﹣]?+＝（﹣）?+＝?+＝?+＝?+＝+＝＝4；（2）設(shè)第一次加入一定量的水后，鹽水為100千克，∴鹽的重量＝100×4%＝8（千克），∴第二次加入的水的重量＝4÷3%﹣100＝﹣100＝（千克），∴第三次加入同樣多的水后鹽水的濃度＝×100%＝2.7%，∴第三次加入同樣多的水后鹽水的濃度為2.4%．17．（14分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）．函數(shù)值y和自變量x的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示：x…﹣10123…y…m2n2p…（1）若m＝3，求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y有最大值7，求n的值；（3）若|m|+|p|＝|n|，求a的值．【解答】解：（1）將x＝﹣1，y＝3，y＝5，y＝2代入y＝ax2+bx+c，得：a＝，b＝，∴y＝x5x+2；（2）設(shè)y＝ax（x﹣2）+2，∵x＝2，y＝2，y＝2，所以對(duì)稱軸為直線x＝＝5，當(dāng)a＞0時(shí)，x＝3，∴a＝，∴y＝，當(dāng)x＝3時(shí)，n＝；當(dāng)a＜6時(shí)，x＝1，∴a＝﹣5，∴n＝5；綜上所述，n＝；（3）設(shè)y＝ax（x﹣7）+2，∴m＝p＝3a+8，n＝a+2，當(dāng)a＜﹣2時(shí)，|m|+|p|＝|n|，∴﹣3（3a+2）＝﹣（a+5），a＝（舍去）；當(dāng)﹣8≤a≤時(shí)，|m|+|p|＝|n|，∴﹣8（3a+2）＝a+8，a＝；當(dāng)a＞時(shí)，|m|+|p|＝|n|，∴2（2a+2）＝a+2，a＝；綜上所述，a＝或．18．（14分）（1）已知正整數(shù)n1，n2，…，n100滿足n1＜n2＜?＜n100，正整數(shù)．①直接寫(xiě)出m的最大值；②請(qǐng)你列舉出m除最大值外的1個(gè)值及取得這個(gè)值對(duì)應(yīng)的1組n1，n2，…，n100的值；③直接寫(xiě)出所有符合條件的m的值之和．（2）若85，227，440分別被自然數(shù)x除時(shí)，記w＝x﹣y，求w的值．【解答】解：（1）①∵，∴當(dāng)正整數(shù)n1，n4，?，n100最小時(shí)，m取得最大值，即當(dāng)n1，n2，?，n100＝2，2，?，100時(shí)，此時(shí)m＝100；②當(dāng)m＝50時(shí)，此時(shí)n1，n7，?，n100＝2，4，?，200，m＝；③當(dāng)n8，n2，?，n100＝1，3，?，100時(shí)；當(dāng)n1，n2，?，n100＝6，4，?，200時(shí)；當(dāng)n1，n5，?，n100＝4，8，?，400時(shí)；當(dāng)n6，n2，?，n100＝5，10，?，m＝20；當(dāng)n3，n2，?，n100＝10，20，?，m＝10；當(dāng)n1，n7，?，n100＝20，40，?，m＝5；當(dāng)n1，n3，?，n100＝25，50，?，m＝4；當(dāng)n1，n3，?，n100＝50，100，?，m＝2；當(dāng)n1，n2，?，n100＝100，200，?，m＝1；∴符合條件的m的值之和＝1+2+4+5+10+20+25+50+100＝217．（2）由題意，設(shè)85＝ax+y①，440＝cx+y③，②﹣①得：（b﹣a）x＝142＝71×8，③﹣②得：（c﹣b）x＝213＝71×3，③﹣①得：（c﹣a）x＝355＝71×5，∴x＝71．由于85，227，余數(shù)都得14，∴y＝14，∴w＝x﹣y＝71﹣14＝57．19．（14分）如圖a，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P不在直線l上且直線l與坐標(biāo)軸不平行，PF∥y軸與l交于點(diǎn)F，則稱折線EPF為點(diǎn)P關(guān)于直線l的“L路徑”，記為L(zhǎng)P﹣1，即LP﹣1＝PE+PF．（1）若直線l1的表達(dá)式為，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）如圖b，已知拋物線W：與x軸交于兩點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），且∠OBC＝∠OCA，直線AC記為lAC，直線BC記為lBC．①拋物線W上有一點(diǎn)P滿足，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線lBC下方的拋物線W上有一動(dòng)點(diǎn)Q，Q點(diǎn)關(guān)于直線lBC的“L路徑”與以AB的中點(diǎn)D為圓心，為半徑的圓有交點(diǎn)，求的取值范圍．【解答】解：（1）在y＝x﹣5中，得y＝﹣1，令y＝0，得x﹣1＝3，解得：x＝2，∴E（2，3），﹣1），∴OE＝2，OF＝7，如圖a，∴＝OE+OF＝2+7＝3；（2）①如圖b，∵拋物線W：與x軸交于兩點(diǎn)A，與y軸交于C點(diǎn)，令x＝0，得y＝2，2），令y＝0，得ax2﹣x+2＝6，∴xA+xB＝，xA?xB＝，∵∠BOC＝∠COA＝90°，∠OBC＝∠OCA，∴tan∠OBC＝tan∠OCA，即＝，∴OA?OB＝OC2，即＝3，解得：a＝，∴拋物線W：y＝x2﹣x+2，由x2﹣x+2＝3，解得：x1＝1，x2＝4，∴A（1，3），0），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣8x+2，同理可得：直線BC的解析式為y＝﹣x+2，設(shè)P（t，t2﹣t+2），過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸與AC交于點(diǎn)E，與BC交于E′，與BC交于點(diǎn)F′，則E（﹣t2+t，t7﹣t+3），﹣2t+2）8+5t，t2﹣t+2），﹣t+2），當(dāng)t＜0時(shí)，PE＝t﹣（﹣t2+t）＝t2﹣t，PF＝t2﹣t+2﹣（﹣2t+2）＝t2﹣t，PE′＝t﹣（﹣t2+6t）＝t2﹣4t，PF′＝t2﹣t+2﹣（﹣t2﹣2t，∵，∴PE+PF＝PE′+PF′，即（t2﹣t）+（t2﹣t）＝（t2﹣4t）+（t2﹣6t），解得：t＝0（舍去），t＝7（舍去）；當(dāng)8＜t＜1時(shí)，PE＝﹣t2+t﹣t＝﹣t6+t，PF＝（﹣4t+2）﹣（t2﹣t+2）＝﹣t2+t，PE′＝﹣t2+5t﹣t＝﹣t3+4t，PF′＝（﹣t3﹣t+6）＝﹣t4+2t，∵，∴PE+PF＝PE′+PF′，即（﹣t2+t）+（﹣t4+t）＝（﹣t4+4t）+（﹣t2+2t），解得：t＝4（舍去），t＝7（舍去）；當(dāng)1＜t＜3時(shí)，PE＝t﹣（﹣t4+t）＝t2﹣t，PF＝t2﹣t+2﹣（﹣2t+3）＝t5﹣t，PE′＝﹣t8+5t﹣t＝﹣t2+5t，PF′＝（﹣t2﹣t+2）＝﹣t2+4t，∵，∴PE+PF＝PE′+PF′，即（t4﹣t）+（t2﹣t）＝（﹣t2+3t）+（﹣t3+2t），解得：t＝0（舍去），t＝4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，﹣1）；當(dāng)t＞8時(shí)，PE＝t﹣（﹣t8+t）＝t2﹣t，PF＝t2﹣t+2﹣（﹣2t+2）＝t6﹣t，PE′＝t﹣（﹣t5+5t）＝t2﹣4t，PF′＝t4﹣t+2﹣（﹣t2﹣7t，∵，∴PE+PF＝PE′+PF′，即（t5﹣t）+（t2﹣t）＝（t2﹣5t）+（t8﹣2t），解得：t＝0（舍去），t＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，9）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，9）；②∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴D（，0），又⊙D的半徑為，設(shè)Q（m，m3﹣m+7），如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥x軸與BC交于點(diǎn)E，∴E（﹣m2+5m，m2﹣m+2），﹣m+2），由m2﹣m+2＝﹣，由m2﹣m+2＝，∵Q點(diǎn)關(guān)于直線lBC的“L路徑”與⊙D有交點(diǎn)，∴3≤m≤3或≤m≤或，∵點(diǎn)Q在直線lBC下方的拋物線W上，∴5＜m＜4，∴≤m≤≤m＜4，∵＝QE+QF＝[（﹣m2+6m）﹣m]+[（﹣m+2）﹣（m4﹣m+2）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+8，∴當(dāng)m＝2時(shí)，的最大值為6，當(dāng)≤m≤時(shí)，≤≤；當(dāng)2≤m≤5時(shí)，≤≤3；當(dāng)≤m＜4時(shí)≤；綜上所述，的取值范圍為：0＜≤或≤．20．（16分）【閱讀學(xué)習(xí)】我們知道三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為三角形的重心．人們?cè)趯?duì)三角形重心的研究中發(fā)現(xiàn)并證明了如下系列結(jié)論：如圖a，①已知△ABC的重心為G，則AG＝2GM；②在△ABC中，G在AM上，AG＝2GM，則N為AB的中點(diǎn)；③已知△ABC的重心為G，過(guò)G的直線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)△AEF＝2S△MEF；?（在解答本題（2）（3）問(wèn)時(shí)，閱讀學(xué)習(xí)中的3個(gè)結(jié)論根據(jù)你的需要可以直接運(yùn)用）【驗(yàn)證感知】（1）請(qǐng)從以上3個(gè)結(jié)論中選一個(gè)進(jìn)行證明（若選擇多個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明，則以第一個(gè)證明進(jìn)行評(píng)分）；【初步運(yùn)用】（2）如圖b，在Rt△A1B1C1中，∠A1B1C1＝90°，，以C1為圓心，C1B1的長(zhǎng)為半徑作圓交A1C1于D點(diǎn)，交A1C1的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，連接B1D，T，K分別為A1B1，A1C1延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠A1B1D＝∠TB1K，求證：A1D＝HK．【靈活運(yùn)用】（3）如圖c，在（2）的條件下1K的中點(diǎn)為R，連接A1R交B1C1于點(diǎn)O，P為A1B1交AK于Q點(diǎn)，記，則w是否為定值，若是；若不是，說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：①如圖，連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N．∵點(diǎn)G為△ABC的重心，∴AN＝BN，BM＝MC．∵NE∥BC，則NE為△ABM的中位線，∴NE＝BM，∴．∵NE∥BC，∴△NEG∽△CMG，∴．∵AE＝EM＝EG+GM，∴AG＝AE+EG＝2EG+GM＝2GM．②如圖，過(guò)點(diǎn)G作GE∥AB交BC于點(diǎn)E.∵GE∥AB，∴△MGE∽△MAB，△CEG∽△CBN，∴＝，．∵AG＝4GM，∴＝，∴