數(shù)林外傳系列美好的曲線=150P（待校對）

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯數(shù)林外傳系列跟大學(xué)名師學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)美好的曲線(C)肖果能編著中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社意義就是切線的斜率;而曲線作為函數(shù)的圖像是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不可或缺的幾何工具.學(xué)習(xí)曲線的知識可以協(xié)助學(xué)生順利地從初等數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)人高等數(shù)學(xué),使進人大學(xué)的學(xué)生很快適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).(四)目前似乎很少見到屬于國內(nèi)作者的廣泛而系統(tǒng)地論述曲線的普及性的讀物,作者覺得應(yīng)該有一些這樣的讀物,故不揣淺陋,將自己持久以來對于曲線的學(xué)習(xí)和思量的所得收拾成章奉獻于讀者,希翼對讀者有切實的協(xié)助,亦期起到“拋磚引玉”的作用.拙作是一本普及性的讀物.作者認(rèn)為這類讀物應(yīng)該著眼于培養(yǎng)興趣,擴大知識面,提高能力,增進修養(yǎng),抽作亦秉承這樣的宗旨.全書分3章:第1章首先研究曲線的意義,給出多種主意產(chǎn)生曲線,從而多角度多方面地認(rèn)識和理解曲線,然后研究曲線的表示及研究曲線的幾類基本主意;第2章是曲線名題賞析,研究關(guān)于曲線及其應(yīng)用的一些典型的例子,進一步揭示相關(guān)的曲線的性質(zhì);第3章研究曲線族及其包絡(luò).閱讀拙作只需具備中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ),只要認(rèn)識幾何、代數(shù)及微積分的初步知識(這些知識高中生都已經(jīng)具備)就可以順利地閱讀本書,本書相宜于中學(xué)及大學(xué)低年級學(xué)生、中學(xué)教師和數(shù)學(xué)興趣者.本書內(nèi)容是系統(tǒng)的,但其各部分相對自立,讀者可以隨意選讀自己感興趣的章節(jié).美哉曲線!在我們感嘆曲線世界的美好時,愿拙作能伴你在這個美好的世界里徜徉,輾轉(zhuǎn),流連,目錄曲線之美美哉曲線(代序)(i)1形形色色的曲線(1)1.1曲線的意義(1)1.2曲線的表示(26)1.3研究曲線的主意(47)1.4關(guān)于曲線應(yīng)用的幾個容易例子(62)2曲線名題賞析(72)2.1拋物線與安全域(72)2.2雙曲線與可聽域(81)2.3阿波羅圓與平面追及問題(85)2.4橢圓與行(衛(wèi))星軌道(100)2.5三次拋物線與三次函數(shù)(106)2.6對數(shù)螺線與一個數(shù)學(xué)趣題(118)2.7擺線與最速下降問題(120)2.8一個悖論的揭秘(126)3曲線族及其包絡(luò)(133)3.1曲線族及其表示(133)3.2曲線族的包絡(luò)(138)3.3求曲線族的包絡(luò)(141)附錄什么是曲線(146)后記(149)1形形色色的曲線曲線是一類幾何圖形.本書只研究平面曲線(簡稱曲線,其中包括直線),其本質(zhì)是一類平面點集.首先我們研究產(chǎn)生曲線的各種主意,實際上是從不同的方面揭示“曲線”這個概念的意義;第二給出曲線的各種表示法;然后研究研究曲線的幾類最重要的主意:綜合法(幾何主意)、代數(shù)法(坐標(biāo)主意)和分析法(微積分法).1.1曲線的意義在日常生活和數(shù)學(xué)中,我們看到過和學(xué)習(xí)過許許多多的曲線.這些曲線是由各種各樣的主意產(chǎn)生(或生成)的,這些主意從不同的角度界定了曲線這個概念的意義,豐盛了這個概念的“外延”.1.1.1作為點的軌跡的曲線在初等幾何和解析幾何中,我們已經(jīng)認(rèn)識圓、橢圓、拋物線、雙曲線,它們都是作為具有某種幾何性質(zhì)的點的軌跡來定義的.對這樣定義的曲線有以下兩個最基本的要求.(1)純粹性:曲線上的點都具有所要求的性質(zhì);(2)完備性:具有所要求的性質(zhì)的點都在曲線上.用點的軌跡決定曲線是一種常見的初等主意,我們在中學(xué)數(shù)學(xué)中就已經(jīng)認(rèn)識這種主意.要指出的是,同樣的曲線可以有不同的定義主意(例如,拋物線還可以定義為二次函數(shù)的圖像,拋出的質(zhì)點的運動軌道,或截平面平行于圓雉的一條母線時與圓雉相截的截線等);也可以用不同的性質(zhì)決定為點的軌跡(例如,圓可以定義為“到定點的距離等于定長的點的軌跡”,也可以用下面例1的方式?jīng)Q定).例1求“到兩定點的距離之比等于定值(不等于1)的點的軌跡”.解如圖1.1.1所示,設(shè)兩定點為P,E且ρ,σ為給定的正數(shù),不妨設(shè)ρ>σM(1)以E為原點,直線PE為縱軸建立直角坐標(biāo)系,記點P的坐標(biāo)為P0圖1.1.1設(shè)點M的坐標(biāo)為Mx,M由式(1)得ρ兩邊平方并收拾,得x(2)由解析幾何,式(2)表示以O(shè)0,σ2bρ在式(2)中取x=0A它們恰分離是依式(1)中的定比分線段PE的外分點和內(nèi)分點,而線段AB的中點恰為圓心,即AB為圓的直徑.于是我們得到:“到兩定點的距離之比等于定值(不等于1)的點的軌跡是以依此定比劃分銜接這兩點的線段的外分點和內(nèi)分點的連線為直徑的圓.”例1中的圓稱為阿波羅圓,它由定點P,E及定值ρ,σ決定.我們用AP,E表示對應(yīng)于點阿波羅圓在實際問題中是存心義的.假設(shè)炮口在點P的榴彈炮發(fā)射炮彈時,處在點E的坦克正以速度σ沿直線EQ全速前進,炮彈的速度為ρ.倘若榴彈炮瞄準(zhǔn)E點發(fā)射,則當(dāng)炮彈到達E時,坦克早已離開E,所以不能擊中坦克.要想擊中坦克,瞄及時必須有一定的“提前量”.設(shè)炮彈在直線EQ上的M點擊中坦克,則炮彈與坦克同時到達MM故點M在由定點P,E及定值ρ,σ決定的阿波羅圓上,即M恰是直線EQ與此阿波羅圓的交點,炮彈應(yīng)瞄準(zhǔn)M點才干擊中坦克.所以,我們可以利用阿波羅圓決定1.1.2作為質(zhì)點運動軌道的曲線曲線也可以理解為質(zhì)點運動的軌道,拋物線就是這樣產(chǎn)生的:從地面上拋出一質(zhì)點并考察質(zhì)點在重力作用下(不計空氣阻力)的運動,質(zhì)點運動的軌道即為拋物線.例2求斜拋物體的軌道方程.設(shè)質(zhì)點以初速v拋出,v在水平方向和堅直方向的分量分離記為v1和v2,如圖1.1.2所示.因為不計空氣阻力,質(zhì)點在水平方向作勻速直線運動;在重力的作用下,質(zhì)點在堅直方向作勻加速直線運動,其加速度為g(重力加速度).若從質(zhì)點拋出時開始計時,則在時刻t,質(zhì)點的水平速度保持為vv(3)走過的水平路程x及在堅直方向達到的高度y分離為xy(4)圖1.1.2倘若以拋射點為原點,過原點的水平線和堅直線為坐標(biāo)軸,則式(4)就是作為運動軌道的拋物線的參數(shù)方程.從式(4)中消去t,得拋物線的方程y(5)式(5)是關(guān)于x的二次函數(shù).質(zhì)點到達最大高度時v2t=0,由式(3)可知質(zhì)點到達最大高度的時刻為t=v2g,此后質(zhì)點開始下落,于時刻s(6)注重到v2=s則可知當(dāng)v1=v2時s取極大值,即當(dāng)拋射角為旋輪線也是作為質(zhì)點運動軌道的一個典型的例子,它是由“旋輪”(車輪旋轉(zhuǎn))產(chǎn)生的,我們將其抽象為下面的數(shù)學(xué)定義:一個圓在一條直線上無滑動地滾動,圓周上一個定點的運動軌道稱為旋輪線(亦稱擺線).例3建立直角坐標(biāo)系并求旋輪線的方程.解如圖1.1.3所示,設(shè)運動開始時圓與直線相切于點O,以點O為原點、定直線為橫軸建立直角坐標(biāo)系.考察圓上的點O的運動軌道.設(shè)圓的半徑為a,當(dāng)點O由原點運動到點A時,圓心的位置記為點C,圓與橫軸的切點記為點B,而∠ACO故A點的坐標(biāo)x,yx(7)y這就是旋輪線的方程.圖1.1.3旋輪線也稱為(圓)擺線,它在工程問題和物理問題中都有應(yīng)用,在下一章中我們將看到旋輪線恰是物理學(xué)中的“最速下降問題”的解,所以它又稱為“最速降線”.倘若將圓滾動所沿的直線改為一個定圓,則當(dāng)動圓在定圓外(內(nèi))沿圓周無滑動地滾動時,圓周上一個定點的運動軌道稱為外(內(nèi))擺線(圖1.1.4).圖1.1.41.1.3作為函數(shù)圖像的曲線函數(shù)的圖像就是在已經(jīng)建立的直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)滿意函數(shù)關(guān)系的點的軌跡.由函數(shù)的圖像可以產(chǎn)生許許多多的曲線,這時,函數(shù)表達式就是曲線的方程.在中學(xué)代數(shù)中我們知道二次函數(shù)的圖像是拋物線(如圖1.1.5所示),所以拋物線的普通方程是y(8)函數(shù)的本質(zhì)屬性是“單值性”:對于自變量的每一個值,有唯一的函數(shù)值與其對應(yīng).因而,在選定的坐標(biāo)系中,每一條與縱軸平行的直線和作為圖像的曲線最多惟獨一個交點.圖1.1.5上面我們已多次提到拋物線:它是一類點的軌跡,又是運動的質(zhì)點的軌道,還是二次函數(shù)的圖像,其實這三者都可以統(tǒng)一為二次函數(shù)的圖像.事實上,前面的式(5)已經(jīng)為二次函數(shù);而在解析幾何中我們已經(jīng)在適當(dāng)選定的坐標(biāo)系中建立了作為一類軌跡的拋物線的方程為y交換x與y(即將坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)90°y(9)式(9)具有式(8)的形式.作為函數(shù)圖像的曲線有現(xiàn)成的方程(即函數(shù)關(guān)系式),我們可以根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì).下面的例4給出了拋物線的一個有趣的性質(zhì).我們知道,同心圓是位似形,因而所有的圓都相似.有趣的是,對于拋物線我們有類似的結(jié)論.例4證實:所有的拋物線都相似.證實用配主意將拋物線的方程(8)化為y作變量代換(即將坐標(biāo)原點移到拋物線的頂點),有XY則拋物線的方程化為Y由此可見,若不計位置,則拋物線的形狀由系數(shù)a決定.取頂點都在原點的兩條拋物線:p設(shè)過原點的直線l:Y=kXk≠0與這兩條拋物線分離相交于點MX故O與k無關(guān),因而p1,p2是位似形(位似系數(shù)為a2a圖1.1.6類似于二次函數(shù)及其圖像拋物線,用三次函數(shù)的圖像可以定義三次拋物線,在第2章中我們將用坐標(biāo)主意研究三次函數(shù)及三次拋物線的性質(zhì).1.1.4作為平面截曲面的截痕的曲線兩個平面相交,交線是直線;用平面截球面,截線是圓;當(dāng)平面垂直于圓柱或圓雉的軸時,截線也是圓.可見平面曲線可以是用平面截曲面產(chǎn)生的截線.這方面最聞名的例子就是圓雉曲線:作為軌跡,橢圓、拋物線、雙曲線有不同的定義;但作為截線,它們都可以由平面截圓雉面而得到(只是平面與圓雉面的相對位置有所不同),因而統(tǒng)稱為“圓雉曲線”.例5用平面截圓雉面產(chǎn)生圓雉曲線.(1)圓雉面.如圖1.1.7所示,在三維空間取一水平面Q及其上的一個圓周c,過圓心作Q的垂線h并在其上取一點O,P是圓c上的一點,作直線OP.現(xiàn)固定點O,讓點P沿圓周c運動一周,直線OP掃過的曲面稱為圓雉面.點O稱為圓雉面的頂點,圖1.1.7點O將圓雉面分成上下兩部分,分離稱為圓雉面的上部和下部.直線h稱為圓雉面的中軸,過h的平面稱為圓雉面的中軸面.一個球,倘若它與圓雉面的每一條母線都相切,則稱其內(nèi)切于圓雉面.顯然與圓雉面相切的球只含于圓雉面的上部或下部,而所有切點的軌跡是圓雉面上的一個圓.(2)橢圓.如圖1.1.8所示,過圓雉面的頂點O作平面P′,除點O外P′與圓雉面無其他公共點.平面P與P考察圓雉面的任一軸截面,線段AB是平面P與軸截面的交線,A,B在圓雉面上.點I,I′分離是△OAB的內(nèi)心與旁心,相應(yīng)的內(nèi)切圓與旁切圓切AB于點F和F′.現(xiàn)將平面P及P上的兩點A,B圖1.1.8設(shè)M為截線e上的任一點,圓雉的母線OM分離交圓c,c′于點C,C′,則MF,MC與球I相切,MM因而M因為CC′是圓雉面的母線被定圓c,c′截得的定長線段,因此點M到點F,(3)雙曲線.如圖1.1.9所示,過圓雉面的頂點O作與圓雉相交的平面P′,平面P與P′平行且與圓雉面上、下兩部分分離相截于曲線h,h′兩支,球I,I′與圓雉面及平面P相切,其中與圓雉面的切點的軌跡為圓c,c圖1.1.9設(shè)M為截線上的任一點,不妨設(shè)點M在h上.圓雉的母線OM分離交圓c,c′于點C,C′,則MF,MC與球M因而M因為CC′是圓雉面的母線被定圓c,c′截得的定長線段,因此點M到F,如圖1.1.10所示,過圓雉的一條母線l′作平面P′與圓雉面相切,平面P平行于平面P′截圓雉面于截線p,作球內(nèi)切于圓雉面且切平面P于點F,球與圓雉面的切點的軌跡為圓c,c所在的平面記為Q,平面Q與平面P,P圖1.1.10圓雉的中軸線h垂直于平面Q,a′在Q內(nèi),故h⊥a′;a′與圓c相切于點E′,故a′又垂直于圓c的過切點E′的半徑,由三垂線定理,可知a′⊥l′.在截線p上任取一點M,銜接MF;設(shè)圓雉的母線OM作直線E′N′經(jīng)過點N,則E′N′與a都在平面Q上,記E′N′與a的交點為E.E在a上,故E在平面P上;又M,E′分離在平面P,P′上,故由M,E,E′決定的平面與平行平面P和P′分離截于直線MEM′和l易知△OE′N為等腰三角形,故∠故MN=ME;又已經(jīng)證實MF=MN,因而MF=ME,即點M到點1.1.5由實際問題產(chǎn)生的曲線現(xiàn)實生活中我們常?？吹礁鞣N曲線,有許多曲線是由實際問題產(chǎn)生的,懸鏈線就是其中的一例:取一無伸縮性且屈曲自由的均勻細(xì)線,將其兩端系在同一水平線上的A,B例6試求懸鏈線的方程.解設(shè)細(xì)線自由下垂,最低點為C,取通過點C的水平線和鉛直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系.顯然,懸鏈線關(guān)于縱軸對稱.如圖1.1.11所示,在弧ACB上任取一點Px,y(1)重力G:其方向垂直向下,其大小等于CP這段細(xì)線的重量.若細(xì)線的線密度為r,而CP弧長為s,則G(2)張力T:它是BP這段細(xì)線對于CP的作用,其方向在過點P的切線方向,切線與橫軸正向的夾角記為φ(3)張力H:它是AC這段細(xì)線對于CP的作用,其方向在過點C的切線方向.因為C是最低點,而曲線是圖1.1.11在平衡狀態(tài)下,這三個力應(yīng)組成力的三角形,這是一個直角三角形,故T又由G=rs,故tanφ=rsH,若記ad代人即得d此即d這是關(guān)于s的微分方程.分離變量得d兩邊分離積分得∫==又∫故得arcsh但當(dāng)x=0時s=0,故得arcsh由此得s但sa=d積分得y而當(dāng)x=0時yy這就是懸鏈線對于所挑選的坐標(biāo)系的方程.倘若我們將橫軸向下平移一段距離a,則懸鏈線的方程取更容易的形式y(tǒng)1.1.6由特定性質(zhì)決定的曲線我們知道圓的一項重要性質(zhì):圓的切線垂直于過切點的半徑.若以圓心為極點建立極坐標(biāo)系,則“過切點的半徑”就是切點的向徑.因而圓上隨意一點的向徑與過這點的切線垂直.事實上,這個性質(zhì)是圓的特征性質(zhì),圓作為曲線即由這個性質(zhì)決定.例7求證:曲線C是圓,當(dāng)且僅當(dāng)存在一點O,使曲線上每點對于點O的向徑(即點O到這點的有向線段)與過這點的切線垂直.證實須要性顯然.我們用微積分主意給出充足性的一個十分容易的證實:如圖1.1.12所示,以點O為原點建立直角坐標(biāo)系,設(shè)曲線的方程為y=yx,M是曲線上的一點,向徑OM與橫軸的夾角為α,過點M由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得d故得x積分得x這是圓心在原點的圓的方程.圖1.1.12與圓類似,有些曲線具有某種特定的性質(zhì),曲線本身即由這種性質(zhì)決定.等角螺線、最速降線(擺線)就是這樣的曲線.倘若曲線上的每一點對于某定點的向徑與過這點的切線所夾的角為定角(但不等于直角,否則此曲線為圓),那么,稱這樣的曲線為等角螺線.換言之,等角螺線是由“向徑與切線成定角(不為直角)”這種特性決定的.固然,我們應(yīng)該證實等角螺線的存在性,為此,只需建立等角螺線的方程.例8求等角螺線的方程.如圖1.1.13所示,設(shè)在直角坐標(biāo)系中曲線的方程為y=fx,Mx,y為曲線上的一點,OM的斜率為k1=yx,與橫軸的夾角為α1;曲線上過點M的切線TM與橫軸的夾角為α2tan=(10)圖1.1.13此式亦可轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo),令xy則有yd代人式(10)并化簡,可得tan(11)對于等角螺線,其上每點的向徑與該點處的切線的夾角α為定角(不為直角),則角的正切tanα為常數(shù),記為ar故r積分得ln由此得等角螺線的極坐標(biāo)方程為r由特征性質(zhì)決定曲線的另一個聞名的例子是最速降線.設(shè)A,B是同一鉛直平面上不同高度的兩點,“質(zhì)點在重力的作用下沿通過A,B的光潔曲線從A到B,并且要求所歷時光最短”,由這個性質(zhì)決定的曲線稱為最速降線.直覺上可能認(rèn)為質(zhì)點沿線段AB從A滑動至B所需時光最短,而實際上質(zhì)點沿通過A,B的擺線從A到B1.1.7作為區(qū)域邊界或分界線的曲線曲線可以作為平面區(qū)域的邊界或相鄰的兩個平面區(qū)域的分界線.例9如圖1.1.14所示,假設(shè)要在半徑為R的大圓管上垂直地接上一個半徑為r的小圓管,我們可以先在大圓管上用半徑為r的鉆頭鉆一個孔,然后把小管接上.但倘若我們直接用白鐵皮制作這個裝置,那么在做大管時,可以先在鐵皮上挖出一個孔,使做成大管后這個孔剛好可以接上小管.這就需要知道鉆了孔的大管在展開成平面后孔的邊緣形成的封閉曲線.試求這條曲線.解如圖1.1.15所示,大管是一個圓柱面,圓柱的中軸線為a.在圓柱面上取一點O,作OP⊥a于點P,過點P且與a垂直的平面π截圓柱面,截口是半徑為R的圓周c1.鉆頭沿OP的方向在圓柱面上鉆一孔,孔的邊緣在圓柱面上,是一條空間曲線,M′是孔的邊緣上的一點,AM′B是孔的邊緣上的一段,作M′N′//a交圓c1于點N′,則圖1.1.14圖1.1.15過點M′作平面垂直于OP,則孔的邊緣在此平面上的正投影是半徑為r的圓c2,c2的圓心Q在線段OP上,而M′在c2上.連半徑QM′.因為OP⊥圓面c2,故OP⊥QM′;而M′N′⊥π,故OP」M′N′,由此可知,OP⊥M以圓c1的過點O的切線為橫軸、圓柱的過點O的母線為縱軸建立直角坐標(biāo)系,將圓柱面沿與孔的邊緣不相交的母線剪開并展開在坐標(biāo)平面上,這時,圓周c1恰好落在橫軸上.展開后孔的邊緣為坐標(biāo)面上的一條封閉曲線,顯然,坐標(biāo)軸為其兩條互相垂直的對稱軸,而原點O為曲線的對稱設(shè)點M′展開后為曲線上的點Mx,y,作MNxy由此得θ=xR圖1.1.16有了曲線的方程,則在下料時用描點的主意畫出孔的邊緣,這樣,在加工焊接后我們已經(jīng)預(yù)先留出了孔的位置.在下章中我們還將看到曲線作為平面區(qū)域的邊界或不同平面區(qū)域分界線的其他一些有趣的例子(如安全拋物線、可聽域的邊界線).1.1.8由已知曲線衍生的曲線由已知曲線通過變換與操作可以產(chǎn)生新的曲線.1.由圓通過壓縮變換產(chǎn)生橢圓我們已知橢圓的定義與方程,并且橢圓是平面截圓雉面的一種截線.我們即將看到,橢圓還可以由圓經(jīng)過壓縮變換而得到.設(shè)l是定直線,k是正的實常數(shù).對于平面上的任一點P,作PQ⊥l,點Q是垂足.在射線QP上決定一點P把點P變成P′的變換稱為“向著直線l的壓縮變換”,l稱為變換的軸,k如圖1.1.17所示,設(shè)C是半徑為a的圓,C的方程為x圖1.1.17我們以橫軸為軸,k=bxy則圓C變?yōu)閤這是長軸為a,短軸為b的橢圓方程,故圓C經(jīng)此壓縮變換變?yōu)闄E圓.2.圓的漸開線設(shè)想在一個單位圓上依順時針方向纏繞著一根無限長的細(xì)線,記圓心為O,細(xì)線的端點為A.現(xiàn)將圓固定,以O(shè)為原點,OA為橫軸建立直角坐標(biāo)系,從點A開始將細(xì)線拉直且依逆時針方向從圓上漸次展開,則端點A解如圖1.1.18所示,設(shè)細(xì)線在圓周上的一段弧AB展開成為線段MB,M是A到達的位置,則線段MB與弧AB長度相等,且與圓周相切于點B.設(shè)弧AB的弧度為t,則弧長也為t,因而線段設(shè)點M的坐標(biāo)為Mx,x=y=于是,圓的漸開線的參數(shù)方程為xy圖1.1.18容易知道,倘若將一條直線與一個定圓相切,然后將此直線在圓上無滑動地滾動,那么,直線上的每一點都畫出圓的漸開線.圓的漸開線在實際問題中也得到應(yīng)用,例如,為了減少摩擦,人們將齒輪的齒廓設(shè)計成圓的漸開線的形狀.普通地,取一條已知曲線作為“母線”,利用母線舉行某種操作以衍生新的曲線,蔓葉線及蚌線與心臟線就是這樣生成的,我們將在第1.2節(jié)中研究.上面我們給出了產(chǎn)生(或決定)曲線的幾種主意.應(yīng)該指出,這種種主意所產(chǎn)生的都是詳細(xì)的曲線.它們從不同的方面擴大“曲線”這個概念的“外延”,但都不曾給出曲線的定義.普通地回答“什么是曲線”的問題或給出曲線的定義不是本書的目的,對此,我們只在附錄中作簡要的說明.1.2曲線的表示曲線有三種常用的表示法:特征性質(zhì)表示、方程表示、復(fù)數(shù)表示.其中,曲線的方程有三種基本類型:直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程.1.2.1用特征性質(zhì)表示曲線用特征性質(zhì)表示曲線有兩種類型:(1)用曲線上的點的特征性質(zhì)表示,即將曲線表示為具有某種性質(zhì)的點的軌跡,如圓、橢圓、拋物線、雙曲線等都是這樣決定的;（2）用曲線本身的特征性質(zhì)表示,如等角螺線、最速降線等.這些都已經(jīng)在前面研究過.應(yīng)該指出的是,同一類曲線可以兼有這兩種表示,例如,圓既可以用其點的特性定義為“到定點距離等于定長的點的軌跡”;也可以由其本身的特性“曲線上每點的向徑與過這點的切線垂直”確定;下節(jié)還將證實“在周長一定的所有平面封閉曲線中所圍面積最大的曲線必然是圓”,所以圓也就由其本身的這一極值特性而決定.用特征性質(zhì)表示曲線,一方面為用綜合法研究曲線提供了基礎(chǔ);同時,從特征性質(zhì)出發(fā),引人坐標(biāo)系以建立曲線方程,又為用代數(shù)主意研究曲線開啟了途徑.1.2.2用直角坐標(biāo)方程表示曲線在學(xué)習(xí)函數(shù)及解析幾何時我們已經(jīng)認(rèn)識用直角坐標(biāo)方程表示曲線.應(yīng)該指出的是,曲線方程并不都是函數(shù)方程,例如,圓的方程x2+y2y則此式實質(zhì)上是兩個函數(shù)關(guān)系式的合寫.例1蔓葉線.前面我們研究過有些曲線可由已知曲線經(jīng)變換或操作而生成,蔓葉線就是這樣的一類曲線.我們研究兩種蔓葉線并用直角坐標(biāo)方程表示.1.母線為圓的蔓葉線如圖1.2.1所示,以點C為圓心作半徑為a的圓,OA是圓的一條直徑,l是過點A的切線.對l上的一點B,設(shè)線段OB交圓于點D,在OB上取點P,使OP=DB.當(dāng)點B在l上運動時,點P描畫的曲線稱為以圓C為母線的蔓葉線.直觀地說,蔓葉線上的點P使線段OP恰等于射線O(1)圖1.2.1我們用直角坐標(biāo)方程表示蔓葉線.以O(shè)為原點,直線OA為橫軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)點P的坐標(biāo)為Px,y,且記OOO可得x=但tanθ=x化簡即得以圓C為母線的蔓葉線的方程y2.母線為矩形的蔓葉線如圖1.2.2所示,取矩形ABCD,其邊長為AB=2a,BC=2b.點O為AD的中點,直線l通過BC.對于l上的點M,作OM交矩形的一邊于點N,在OM上截取OPO(2)為了得到此蔓葉線的直角坐標(biāo)方程表示,我們以O(shè)為原點,直線AD為縱軸建立直角坐標(biāo)系,BC交橫軸于點E,則OE圖1.2.2設(shè)點P的坐標(biāo)為Px,y.作PQ//y軸交x軸于點Q△故P(3)又OP=△因而MM代人式(3),得y化簡即得以矩形ABCy例2給定線段BC=a∠的點A的軌跡.解所求軌跡是一條曲線,我們用直角坐標(biāo)方程表示這條曲線.如圖1.2.3所示,以B為原點,BC為橫軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)Ax,y是曲線上的一點,作AD⊥B圖1.2.3記BC=a,則顯然x≥a2.記θxy由此得tanθ=y=即2故得曲線方程3倘若用配主意將方程化為x則可見這是一條雙曲線的右支.1.2.3用極坐標(biāo)方程表示曲線1.蚌線與心臟線設(shè)l為定直線,a為定長線段.在l的一側(cè)取定點O,對l上的點M,銜接OM并延伸OM至點P,使MP=a.當(dāng)點M在l圖1.2.4我們建立蛙線的極坐標(biāo)方程.取O為極點,與l垂直的直線OX為極軸,建立極坐標(biāo)系.設(shè)OX交l于點K,則OK為定長,記∠則Or故得蚌線方程為r按照蚌線的定義,我們可以設(shè)計如圖1.2.5所示的描畫參數(shù)為m和a的蚌線的工具,它由一條帶筆尖C的直尺和一條丁字尺組成,直尺和丁字尺的長臂上各開一條槽,丁字尺上固定滑輪A,直尺上固定滑輪B,且A,B均可以在槽中自由滑動,這時,筆尖C畫出參數(shù)為m和a的蚌線.我們不妨將這個畫蚌線的工具就叫作“蚌線規(guī)”,為了畫出不同的蚌線,可以將它設(shè)計成筆尖C的位置即BC考察蛙線的方程,我們看到其右邊的第一項r=mcosθ是與極點相距m且與極軸垂直的直線l的方程,而第二項為常數(shù)a,囫圇方程表示將直線l上每點的向徑延伸定長a,這正巧就是蚌線的定義.倘若我們用其他曲線代替直線l,則用生成蚌線的主意可以得到許多曲線.例如,用圓心在極軸上,通過極點而直徑為a的圓c代替直線l,若把c上每一點的向徑都沿向徑的方向延伸定長a,則得到的曲線其形如心臟,故稱為心臟線,如圖1.2.6所示.易知c的極坐標(biāo)方程為r圖1.2.5圖1.2.62.圓雉曲線的統(tǒng)一定義與方程我們已經(jīng)知道,用點的軌跡分離定義的橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓雉曲線,這是因為它們都是平面截圓雉面的截線.而利用極坐標(biāo),我們可進而得到圓雉曲線的統(tǒng)一的定義與方程.“到定點F與定直線l的距離之比等于定值e的點的軌跡”稱為圓雉曲線,e稱為圓雉曲線的離心率.如圖1.2.7所示,作FG⊥l于點G,記FG=p.以定點F為極點,以FG設(shè)Mr,θ是圓雉曲線上的任一點,作MN⊥lM即r由此得r(4)這是圓雉曲線的極坐標(biāo)方程.圖1.2.7(1)當(dāng)e=1時,如圖1.2.8所示,以FG的中點O為原點,極軸為橫軸建立直角坐標(biāo)系,則對于點Mr,θxy因而x由圓雉曲線的極坐標(biāo)方程可知r用坐標(biāo)變換關(guān)系式代人,得r兩邊平方消去r并化簡,得y這是拋物線的方程,故e=1圖1.2.8(2)當(dāng)0<e<1時,如圖1.2.9所示,取FG的內(nèi)分點A,使AF:AG=e;取AF的外分點O,使OF:Ap以O(shè)為原點,橫軸與極軸重合,建立直角坐標(biāo)系,則對于Mr,θ在此直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)xy因而x由圓雉曲線的極坐標(biāo)方程可知r故a圖1.2.9用p的表達式及坐標(biāo)變換關(guān)系式代人,得a兩邊平方消去r并化簡,得a令a2?x這是橢圓的方程,故0<e<1時的圓雉曲線為橢圓.(3)當(dāng)e>1時,如圖1.2.10所示,取FG的內(nèi)分點A,使AF:AG=e;取AF的外分點O,使Ap圖1.2.10以O(shè)為原點,橫軸與極軸重合,建立直角坐標(biāo)系,則對于Mr,θ在此直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)xy因而x由圓雉曲線的極坐標(biāo)方程可知r故a用p的表達式及坐標(biāo)變換關(guān)系式代人并化簡,得c令c2?x這是雙曲線的方程,故e>1由上面的研究可知,我們給出的圓雉曲線的定義是拋物線、橢圓、雙曲線的統(tǒng)一定義,而在極坐標(biāo)系中給出的方程(4)是它們的統(tǒng)一方程.1.2.4用參數(shù)方程表示曲線在建立直角坐標(biāo)系或極坐標(biāo)系以后,所謂用方程表示曲線,就是指出曲線上的點的坐標(biāo)x,y或r,θ所應(yīng)滿意的關(guān)系.往往碰到這樣的情況:要直接找出點的坐標(biāo)之間的關(guān)系十分艱難,或者這種關(guān)系表示起來十分復(fù)雜,這時,我們就設(shè)法通過“中介”以建立坐標(biāo)之間的間接關(guān)系.通常用“參數(shù)”來作為中介:把兩個坐標(biāo)(x,y或r,θ)在解析幾何課程中我們已經(jīng)認(rèn)識常見的一些曲線在直角坐標(biāo)系或/和極坐標(biāo)系中的參數(shù)方程表示.我們考察一個實際問題:已知射線OX,在其上的點M0處有一只螞蟻,OM0=r0.設(shè)射線從OX開始以角速度φ繞點O勻速旋轉(zhuǎn),同時螞蟻則從點解以O(shè)為極點,OX為極軸建立極坐標(biāo)系.記時刻t螞蟻所到達的位置為Mrr此式是等速螺線在極坐標(biāo)系中的參數(shù)方程.消去t,并記α=vr圖1.2.11等速螺線是一條往復(fù)地環(huán)抱極點的環(huán)形曲線;過極點的每一條射線與等速螺線相交的交點勻稱地分布在射線上.倘若考察一個固定的交點,那么,當(dāng)射線勻速地繞極點旋轉(zhuǎn)時,這個交點將勻速地沿射線運動.應(yīng)用這個原理,我們可以設(shè)計一種利用凸輪化轉(zhuǎn)動為平動的裝置.1.2.5用含復(fù)變數(shù)的方程表示曲線復(fù)數(shù)表示復(fù)平面上的點,故可用復(fù)變方程表示曲線:它是滿意方程的所有復(fù)數(shù)表示的點的集合(軌跡).1.用含復(fù)數(shù)表示點在平面上建立直角坐標(biāo)系,以橫軸作實軸,縱軸為虛軸,復(fù)數(shù)z=x+yi用點Zx,y表示,x,y分離稱為用復(fù)數(shù)表示點,則復(fù)數(shù)z=x+yi的模z表示原點Oz兩點Z1,Z2之間的距離為Z1Z2=z1下面是一道常見的例題,我們給出一個新奇而容易的解法.例3已知:復(fù)數(shù)z1,zz求證:對應(yīng)的點Z1,證實只要證實這四點中隨意兩點的連線的長等于其余兩點的連線的長,則四邊形的對邊相等,因而為平行四邊形;對角線也相等,因而為矩形.由z1+z即z=但z1=z于是有z=即z故得ZiZ2.用復(fù)變數(shù)方程(或含復(fù)變數(shù)的不等式)表示曲線(或平面區(qū)域)以點Z0為圓心,半徑為Rz復(fù)數(shù)方程Rez=a表示通過點a,0且與縱軸平行的直線,Imz=以Z0為圓心,半徑分離為R,r不等式a≤Imz≤b表示過點a,0,b,3.復(fù)變函數(shù)表示平面上的點的變換以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)稱為復(fù)變函數(shù).函數(shù)w=fz把復(fù)平面上的點Z變換為點W,因而把平面上的曲線或區(qū)域變換為新的曲線或區(qū)域.倘若把Z,W分離看成Z平面和W平面上的點,則函數(shù)w=fz可看成例4Z0≠0為復(fù)平面上的定點,Z1為動點,其軌跡方程為z1?z0=z解將z1=?1z?兩邊同乘以?zzz故所求軌跡為以?1z0為圓心,例5已知l為銜接復(fù)平面上2和2i兩點的直線,函數(shù)w=z2是Z平面到W平面的映射,如圖1.2.12所示,求l在此映射下在圖1.2.12解令w=uu展開得u由已知條件可知l的直角坐標(biāo)方程為x+yu=由此解得v故函數(shù)w=z2把直線1.2.6曲線的作圖我們以橢圓的畫法為例,說明曲線作圖的一些常用的主意.主意1:釘繩法.按照橢圓的定義,在平面上釘兩個釘子作為焦點F1,F2,其間的距離為2c;再用一根長度為2a+ca>c的繩子結(jié)成一環(huán),套在釘好的釘子上.用一支筆M將繩子時刻繃緊,形成以F1F2為底的三角形MF1F2(圖1.2.13),則無論M的位置如何變化,M到F1,F2的距離之和恒為定值2x主意2:橢圓規(guī)法.橢圓規(guī)由一個十字形的槽和一根畫桿組成.堅槽內(nèi)嵌有滑輪A,可以在槽內(nèi)上下滑動;橫槽內(nèi)嵌有滑輪B,可以在槽內(nèi)左右滑動.畫桿的長度可以自由調(diào)節(jié),其一端鉸接在滑輪A上,另一端帶一支畫筆M,滑輪B可以鉸接在畫桿中間的隨意位置(圖1.2.14).圖1.2.13圖1.2.14倘若要畫出長半軸為a,短半軸為b的橢圓,則將畫桿長調(diào)節(jié)為MA=a,而滑輪B鉸接在畫桿上,使MB=b.讓滑輪A,橢圓規(guī)的原理十分容易:以十字形槽的中央O為原點,兩中軸線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系,記筆尖所在的點的坐標(biāo)為Mx,y,xy這恰是橢圓的參數(shù)方程,當(dāng)θ從0變到2π時,點M描畫囫圇主意3:描點法.利用橢圓的性質(zhì)描出橢圓上的充足多的點,然后依次連線,就可以畫出橢圓.因為橢圓既軸對稱,又中央對稱,所以我們可以只描點畫出橢圓的一半或四分之一,然后利用對稱性畫出囫圇橢圓.這里推薦兩種描點的主意.(1)倘若要畫出長半軸為a,短半軸為b的橢圓,我們?nèi)∫粋€長為2a,寬為2b的矩形ABCD.如圖1.2.15所示,將矩形的邊BC,CD,DA均n等分,則折線BCDA被分成3n段,從B到A將各分點依次編號為0,1,?,n;n+1,?,2圖1.2.15為了證實這個作法的合理性,我們注重到所描出的點是左右對稱地分布的,故只需證實在矩形右邊的一半中描出的點在所要畫的橢圓上.以A為原點,AB,AD為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系.易見A,B的坐標(biāo)分離為A0,0,B2a,0;分點yy這兩直線的交點Mi0≤i≤n應(yīng)同時滿意這兩個方程.將這兩個方程相乘消去nx(2)倘若要畫出長半軸為a,短半軸為b的橢圓,我們建立直角坐標(biāo)系.如圖1.2.16所示,以原點O為圓心作半徑分離為a,b的兩個同心圓,作大圓的半徑OA交小圓于點B.過點A,B分離作橫軸、縱軸的垂線相交于點M.設(shè)點M的坐標(biāo)為Mxxy圖1.2.16這恰是橢圓的參數(shù)方程,點M在要求作的橢圓上.用這樣的主意在第一象限描出充足多的點并依次連線,即得到橢圓在第一象限中的弧,然后按照對稱性即可畫出囫圇橢圓.1.3研究曲線的主意在上面向曲線的研究中我們應(yīng)用了各種各樣的主意,歸納起來可以看到,研究曲線有三類重要的主意:綜合法、代數(shù)法、分析法.本節(jié)我們進一步概述這些主意并相應(yīng)地考察運用這些主意的幾個典型的例子.1.3.1綜合法:幾何主意囫圇初等幾何都是用綜合法研究幾何圖形,其中包括直線與圓.在研究用平面截圓雉面而得到三類圓雉曲線時我們所用的也是綜合法.所以綜合法是我們已經(jīng)認(rèn)識的一種初等主意.綜合法因為初等,所以在數(shù)學(xué)中是其他主意的基礎(chǔ);同時,用綜合法也能得到許多深刻的結(jié)果.前面我們用坐標(biāo)主意建立了作為“到兩定點的距離之比等于定值的點的軌跡”的阿波羅圓的方程,這個軌跡是圓是我們通過計算“算”出來的;下面我們將用綜合法“推”出這個軌跡是圓.我們將發(fā)現(xiàn):“推”比“算”更能反映事情的本質(zhì).例1證實:到兩定點的距離之比等于定值(不為1)的點的軌跡是圓.證實設(shè)兩定點為A,B,ρ,σ為給定的正數(shù),不妨設(shè)ρ>σ.設(shè)設(shè)點M和N分離按定比M內(nèi)分和外分線段AB,銜接PMPP及“三角形內(nèi)角(外角)平分線”定理(三角形一個內(nèi)角(外角)的平分線內(nèi)分(外分)對邊所得的兩條線段與這個角的兩鄰邊成比例;其逆亦真),可知PM,PN分離為△PAB在頂點P處的內(nèi)角和外角的平分線,因而PM⊥PN,即點P在線段圖1.3.1下面我們證實圓的一項重要的極值特性,這是用綜合法研究曲線的一個聞名的例子,證實的主意屬于近世幾何學(xué)家施泰納.例2在周長一定的所有平面封閉曲線中,所圍面積最大的曲線必然是圓周.證實分以下三步:(1)周長固定的封閉曲線所圍成的圖形中,面積最大的必然是凸圖形.一個圖形是凸的,則其周界上隨意兩點的銜接線段徹低落在圖形的內(nèi)部.倘若Φ不是凸圖形,則存在兩點的連線不徹低落在Φ的內(nèi)部,其上必有一段線段除端點落在Φ的邊界而外徹低落在Φ的外部,記為AC.我們以AC為對稱軸將ABC反射為AB*C(圖1.3.2),則ABC與AB*C長度相等,因而以AB*C代替ABC所得到的圖形Φ*與圖形Φ有相同的周長,但Φ*圖1.3.2(2)倘若周長固定的封閉曲線所圍成的圖形Φ具有最大面積,則任一平分Φ的周長的弦必平分Φ的面積.由(1),Φ是凸圖形,故Φ的弦必落在Φ的內(nèi)部.如圖1.3.3所示,設(shè)平分Φ的周長的弦AB分Φ為ACB和ADB兩部分.若這兩部分面積不相等,不妨設(shè)ADB的面積較大.我們以AB為對稱軸將ADB反射到AB的另一側(cè)得到AD*B,D*是D的對稱點,且以AD*B代替ACB得到圖形Φ*(3)現(xiàn)考察(2)中的圖形Φ*,它是以直線AB為對稱軸的軸對稱圖形.銜接AD,ADA由AD和AD圍成的圖形I與由AD*和AD*圍成的圖形II全等;由BD和BD圍成的圖形II與由BD圖1.3.3倘若∠ADB不為直角,則我們以與線段AD,BD等長的線段AD、BD為直角邊作直角三角形△>=故四邊形ADBD*的面積>2△=又由AB我們可將圖形I,II,IV,II分離拼在四邊形ADBD*的外部而得到圖形Φ,圖1.3.4于是我們證得,當(dāng)Φ具有最大面積時,曲線上的任一點D對AB所張的角是直角,即點D在以AB為直徑的圓周上,故Φ仔細(xì)的讀者興許已經(jīng)注重到,施泰納的上述證實關(guān)鍵在于平分Φ的周長的弦的存在性,對此我們不作深人研究.圓的這個極值特性容易用高等數(shù)學(xué)中的“變分法”證實,是變分法的典型例子.事實上,對圓的這個性質(zhì)的研究直接推進了變分法的產(chǎn)生和發(fā)展.1.3.2代數(shù)法:坐標(biāo)主意笛卡兒發(fā)現(xiàn)的坐標(biāo)法把數(shù)學(xué)中研究的“數(shù)”與“形”交流和結(jié)合起來,對數(shù)學(xué)的發(fā)展所起的作用是不可預(yù)計的.囫圇解析幾何就是用坐標(biāo)法研究曲線,在解析幾何中我們已經(jīng)深深地體味到數(shù)形結(jié)合的思想及代數(shù)主意的優(yōu)越性.我們都知道,過圓外一點可以作圓的兩條切線.倘若以圓的兩條互相垂直的半徑為一個正方形的一組鄰邊作正方形,則過此正方形在圓外的頂點所作圓的兩條切線互相垂直,而這個頂點與圓心的距離恰為圓的半徑的2倍.容易證實:倘若過一點作已知圓的兩條切線互相垂直,那么,這樣的點的軌跡是圓心在已知圓的圓心,半徑為已知圓半徑的2倍的一個同心圓.例3已知過一點P作給定的拋物線y=x解設(shè)切點為x1,x12,x2,x22,如圖1.3.5所示.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,過這兩點的切線的斜率分離為2x1ll圖1.3.5于是xx故x1,z的解,由韋達定理,有x(1)但兩條切線互相垂直,故2(2)比較式(1)和式(2)可得y(3)式(3)為所求的軌跡方程,它是平行于x軸的一條直線,恰是這條拋物線的準(zhǔn)線.下面的例4推廣了1.1.3節(jié)例4的結(jié)果,它給出了圓雉曲線作為一類曲線的集合的整體性質(zhì).例4離心率相同的圓雉曲線相似,異常地,所有拋物線都相似.拋物線的離心率都等于1,我們已經(jīng)證實所有拋物線都相似.設(shè)橢圓e1,e2的離心率都等于e因而b故e1,b設(shè)這兩個橢圓的方程分離為x直線l:y=kx與e1,e2分離交于M1x但b1ax又x1,x2同號,故O與k無關(guān),故e1與e2是以原點為位似中央,b圖1.3.6同樣的主意可證:離心率相等的雙曲線都相似.下面我們用坐標(biāo)主意證實關(guān)于圓雉曲線的光學(xué)性質(zhì)的聞名的結(jié)果.如圖1.3.7所示,設(shè)MN為平面鏡,光芒AO照耀到鏡面上的O點然后沿O∠圖1.3.7作AH⊥MN,垂足為點H;延伸AH與直線BO∠易知△AOA′為等腰三角形,OH垂直平分AA′,因而A′是A關(guān)于直線MN的軸對稱點,而反射線OB重合于A′O.這說明:倘若通過點A的光芒照到鏡面MN上的O點而A′在直角坐標(biāo)系中,倘若點A的坐標(biāo)為Ax1,y1,AH⊥MN于點H,則H是A與其軸對稱點A′的連線AA′的中點.記點Hx因而點A的對稱點A′x一條光芒照耀到一條曲線上的一點而被曲線反射,就是在曲線的這點放置一面鏡子與曲線相切,光芒依反射定律被鏡子反射.(1)倘若將光源置于拋物線的一個焦點上,則光芒經(jīng)拋物線反射后成為平行于拋物線的對稱軸的一束平行光芒.證實在直角坐標(biāo)系中,設(shè)拋物線的方程為x2=2py,則其焦點為F0,p2,準(zhǔn)線為l:y=?p2.設(shè)Ma,b(其中y圖1.3.8即y(4)在拋物線的焦點的光源射向這點的光芒將由拋物線反射,根據(jù)反射定律,人射角應(yīng)等于反射角.作焦點F關(guān)于切線的對稱點Ns,t,直線NN′∠故反射線應(yīng)重合于MN′我們求點Ns,t的坐標(biāo).因為焦點F與點Ns,ty(5)聯(lián)立式(4)與式(5),可求得x=a2,這是直線FN與切線PQ的交點G的橫坐標(biāo).但G是線段FN的中點,故點N的橫坐標(biāo)為s=2×a2?0=a所以,從焦點F發(fā)出的所有光芒經(jīng)拋物線反射后成為平行于拋物線對稱軸的一束平行光芒.若將拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周,則形成一個旋轉(zhuǎn)拋物面.人們將拋物面做成反光面,并且在焦點處放置強光源,就可以得到能夠照耀很遠(yuǎn)的強平行光束,這就是探照燈.從上述證實可以看出,點N是焦點F關(guān)于直線PQ的對稱點,故MF=MN;又MN平行于縱軸,故M推論拋物線的焦點關(guān)于拋物線的隨意一條切線的軸對稱點都在拋物線的準(zhǔn)線上.(2)倘若將光源置于雙曲線的一個焦點上,則光芒經(jīng)雙曲線反射后,就像是從雙曲線的另一個焦點發(fā)射出來的一樣.用數(shù)學(xué)語言描述這個性質(zhì)就是:從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光芒直射到雙曲線上的一點并且被雙曲線反射,則反射線的反向延伸線必過雙曲線的另一個焦點.證實如圖1.3.9所示,設(shè)雙曲線的方程為x即b圖1.3.9其焦點為F1cyd設(shè)Ms,tb在這點的切線MT的斜率為k=b2sa2t,又射線F1M,F2M的斜率分別為k1=ts?c,k2=ts+ctan將k,ktan==同樣可得tan故有tan從而α1=α2.但射線F1M為人射線,故射線F2M重合于反射線,即反射線恰通過F用盡全類似的主意可以證實橢圓的光學(xué)性質(zhì):(3)倘若將光源置于橢圓的一個焦點上,則光芒經(jīng)橢圓反射后,都通過另一個焦點.1.3.3分析法:微積分法牛頓、萊布尼茨發(fā)現(xiàn)的微積分是數(shù)學(xué)史上最偉大的成就之一,它為研究數(shù)學(xué)和現(xiàn)實世界提供了強有力的工具,微積分法理所當(dāng)然地成為研究曲線的一種重要的主意.前面關(guān)于用切線的性質(zhì)(切線垂直于過切點的向徑)可以決定圓就是用這種主意證實的.可以看到,這個證實極其容易,是其他主意不能比擬和難以做到的.等角螺線、懸鏈線的方程也是用微積分主意求得的.在第2章我們還將用微分法解決最速降線的問題.下面我們再舉一個用微積分法求曲線方程的例子.例5用微積分法求擺線方程.設(shè)圓O在一條直線上無滑動地滾動,取運動開始時圓與直線相切的切點P為原點,這條直線為橫軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)圓的半徑為1,則圓的周長為2π;設(shè)圓繞圓心旋轉(zhuǎn)的角速度為1,則在時刻t,此圓旋轉(zhuǎn)的弧度為t,其轉(zhuǎn)過的弧長為t這時,圓周上的點同時參加了兩項運動:(1)在圓心的帶動下沿直線平動,速度為1,方向沿橫軸正向;(2)繞圓心轉(zhuǎn)動,角速度為1,但圓的半徑為1,故轉(zhuǎn)動的線速度為1,線速度沿圓在該點的切線方向.從圖1.3.10中可以看出,在時刻t,圓旋轉(zhuǎn)(即滾動)角t,圓心前進到O′,而圓與直線相切于點H,原切點P到達圓O′上的點P∠轉(zhuǎn)動的線速度沿圓O′上過點P′的切線的方向.從圖1.3.10中可以看出此線速度與橫軸正向的夾角為πvv于是點P′d(6)d圖1.3.10式(6)即為點P的軌道(擺線)的微分方程,積分得xy當(dāng)t=0時,P′在原點,故C我們求得擺線的方程為xy與前面的結(jié)果一致.對于曲線,我們應(yīng)該協(xié)助普通曲線自身的性質(zhì):如曲線的長度、曲線彎曲的程度(曲率)、曲線彎曲的方向及其變化(高低性與拐點)等.這些都需要用微積分的概念和語言來刻畫,用微積分的主意舉行研究.在中學(xué)階段我們僅限于微積分初步,要將微積分用于曲線的研究,我們還需要進一步的學(xué)習(xí).1.4關(guān)于曲線應(yīng)用的幾個容易例子曲線的應(yīng)用是廣泛的,本節(jié)僅研究曲線在幾何、計算及實際問題中應(yīng)用的幾個容易的例子.1.4.1曲線在幾何中的應(yīng)用曲線本身就是幾何圖形,對曲線的研究豐盛了幾何學(xué)的內(nèi)容.作為例子,我們研究利用曲線三等分已知角.我們已經(jīng)知道,倘若只用圓規(guī)和無刻度的直尺,則三等分角是聞名的幾何作圖不能問題.有趣的是,利用蚌線或等軸雙曲線,我們可以完成三等分角的作圖.例1利用曲線三等分已知角.主意1:利用蚌線.已知:∠PO求作:13∠作法:(1)取蛙線規(guī)(見圖1.2.5),使點A重合于角的頂點O,丁字尺上的槽的中軸線l垂直于∠POQ的邊OQ且交OP于點B,調(diào)節(jié)筆尖C的位置,使BC(2)過點B作BN//OQ交蚌線b(3)作射線ON,則∠N圖1.4.1證實如圖1.4.1所示,設(shè)ON交l于點L,取LN的中點M,連BM,則BM為直角三角形LBN∠又點N在蛙線b上,故LN=O故∠又BN//OQ∠由此得到∠主意2:利用等軸雙曲線.已知:∠AO求作:13∠作法:(1)以點O為原點,OB為橫軸建立直角坐標(biāo)系,且于第一象限中作等軸雙曲線y=1x的一支與OA(2)以點P為圓心,2OP為半徑作圓交此雙曲線于點R(3)以PR為一條對角線作矩形PQ(4)作射線OM,則∠M圖1.4.2證實因為點P,R都在雙曲線y=1x上,故設(shè)其坐標(biāo)分離為Pa,1a,Rb,1b,于是點Q,M的坐標(biāo)分離為Qa,1b,Mb,1a設(shè)G為矩形兩對角線PR,QM的交點,則PG=GR=MG,又PR=2OP,故∠=由此即得∠MO從圖1.4.1與圖1.4.2的兩種作法的證實過程易見除所利用的曲線不同外,其核心原理是類似的.而當(dāng)已知角為鈍角時,可先將其平分為兩部分,這時,每部分都是銳角,用上面的作法作出其三分之一,然后加倍,就得到已知角的三分之一.另一個聞名的幾何作圖不能問題是倍立方體問題:求作一個立方體,使其體積為已知立方體的2倍.若已知立方體的棱長為a,則問題歸結(jié)為求32a下面是利用圓雉曲線設(shè)計的解倍立方體問題的主意:在a與2a之間插人兩個比例中項x,a則有x如圖1.4.3所示,這里有兩條拋物線和一條等軸雙曲線.容易求出這三條曲線有一個公共的交點M32圖1.4.31.4.2利用曲線舉行計算我們在中學(xué)教材中已經(jīng)學(xué)過圖像法解方程(組),其本質(zhì)就是利用曲線舉行計算.例如,二元一次方程組4的解就是直線l的交點M3,x的解就是拋物線y=x2?5x+6與橫軸的交點的橫坐標(biāo)或拋物線y=x2與直線y=5x?6的交點的橫坐標(biāo).倘若我們能夠確切地繪制y=x2下面是利用蔓葉線設(shè)計的求正數(shù)的立方根主意.如圖1.4.4所示,取直徑為1的圓為母線作一條蔓葉線,其方程為y在縱軸上取OD=a,Ay圖1.4.4此直線與蔓葉線的交點P的縱、橫坐標(biāo)的立方之比為y故yx=3a,因而點P在直線y=3ax上,它就是直線OP.記OP與直線x由上面的推導(dǎo)我們得到利用蔓葉線開立方的主意:(1)在縱軸上取點D0,(2)連AD交蔓葉線于點P(3)作直線OP交直線x=1于點B,則異常的,當(dāng)取OD=2時,在計算機問世之前,為解決數(shù)值計算問題人們想盡了各種辦法,如算盤、手搖計算機、對數(shù)表、對數(shù)計算尺、諾謨圖等.其中諾謨圖就是按照詳細(xì)計算的需要利用曲線設(shè)計的各式各樣的算圖.有了電子計算機后,上面的這些計算工具都成為了歷史,只剩下數(shù)學(xué)主意本身的意義.1.4.3利用曲線解決實際問題曲線在生產(chǎn)和生活的實際問題中有廣泛的應(yīng)用,下面是機械設(shè)計的一個容易例子.在機械上我們常用凸輪及其從動桿化轉(zhuǎn)動為平動.凸輪的邊緣是封閉的光潔曲線,其中央是曲線內(nèi)部的一點,凸輪可繞中央自由轉(zhuǎn)動.凸輪邊緣上的每一點與中央的銜接線段都稱為半徑.以凸輪的中央為圓心、最小半徑為半徑的圓稱為凸輪的基圓.從動桿可沿某個方向(設(shè)為上下方向)自由滑動,從動桿的桿尖與凸輪的邊緣接觸.當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)動時,推進從動桿上下往復(fù)運動.顯然,從動桿運動的方式由凸輪邊緣的曲線(稱為凸輪的輪廓線)的形狀決定.在實際問題中總是按照需要確切設(shè)計輪廓線以控制從動桿的運動,我們考察幾個容易的情況.例2設(shè)計一個基圓半徑為60?mm(1)當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)角θ自0增強至5π6時,從動桿勻速地升高60(2)當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)角θ自5π6增強至7π6時(圖1.4.5),從動桿勻速地下降圖1.4.5(3)當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)角θ自7π6增強至2解以凸輪中央為原點、向上的方向為極軸方向建立極坐標(biāo)系.(1)當(dāng)0≤θr的形式.當(dāng)θ=0時,r=60;當(dāng)θ=5r對應(yīng)的輪廓線為r(2)當(dāng)5π6≤θ≤7π6時,從動桿勻速下降,故凸輪的輪廓線也是等速螺線.當(dāng)θ=5π6時,r(3)當(dāng)7π6r綜上所述,凸輪的輪廓線設(shè)計為r例3設(shè)計一個凸輪,其基圓的半徑為r0,凸輪以角速度ω(1)從動桿作勻速往復(fù)運動,速度的大小為v;(2)從動桿作勻加速往復(fù)運動,加速度的大小為a.解設(shè)t=0圖1.4.6A落在凸輪的基圓上,如圖1.4.6所示,建立極坐標(biāo)系.因為從動桿作往復(fù)運動,故在t=πω達到最高點,然后返回,因而輪廓線為軸對稱的封閉曲線.我們只需研究旋轉(zhuǎn)角從0到(1)考慮時刻t時A的位置及凸輪旋轉(zhuǎn)角θ,可知r消去t,得r這段輪廓線為等速螺線.(2)考慮時刻t時A的位置及凸輪旋轉(zhuǎn)角θ,可知r消去t,得r利用軸對稱性,可以作出凸輪的囫圇輪廓線.2曲線名題賞析本章列舉關(guān)于曲線的一些聞名的數(shù)知識題或?qū)嶋H問題,通過對這些名題的研究,我們可以看到曲線在數(shù)知識題及實際問題中的應(yīng)用,在研究中我們還將進一步給出所論曲線的一些較深人的性質(zhì).2.1拋物線與安全域2.1.1最大弦問題在第1章1.1節(jié)中我們已經(jīng)得到從地面拋出的質(zhì)點的運動軌道在選定的直角坐標(biāo)系中的方程y(1)其中v1,v2分離為質(zhì)點拋出時在水平方向和堅直方向的速度分量,g為重力加速度.若質(zhì)點的初速度為v0,拋射角(v0v在時刻t時質(zhì)點的位置為xy(2)這就是以t為參數(shù)的運動軌道方程.于式(2)中消去t,可得y(3)當(dāng)v0固定而α圖2.1.1圖2.1.2當(dāng)質(zhì)點落到地面時,y=0x它依賴于拋射角α,且當(dāng)α=πx(4)這是前面我們已經(jīng)得到的結(jié)論.式(4)可以看成拋物線族(3)在直線y=0上截得的最大弦,進一步,試問:何時拋物線在直線y=hh≤v02sinx=(5)其中t1,t2分離是質(zhì)點升高及下降過程中先后兩次經(jīng)過高度h的時刻.由物理學(xué)可知,在時刻y(6)當(dāng)y=ht(7)而t1,t代人式(5)得x=如圖2.1.3所示,欲x2?z取極大.但v02v即拋射角為α(8)時,z取極大值,因而拋物線在直線y=h上截得最大弦.異常地,若取h=0,則圖2.1.3反過來,因為我們本來就已經(jīng)有了最大水平射程問題的解,所以我們可以用它來給出普通的最大弦問題的另一種解法.首先我們注重,由能量守恒定律,可知質(zhì)點通過直線y=h時的速度v1因為質(zhì)點的質(zhì)量m為常數(shù),故vh為常數(shù)(即與拋射角α無關(guān)).根據(jù)最大水平射程問題的解,只要質(zhì)點通過y=h時速度的方向與水平方向的夾角恰為α=π4v故得v(9)但由式(7)可得t代人式(9)得vvα我們重新得到式(8).2.1.2安全拋物線假設(shè)有一門高射炮,可以沿隨意角度發(fā)射炮彈,炮彈發(fā)射時的初速度為常數(shù)v0.倘若不計炮身的高度,不計空氣阻力,且視炮彈為質(zhì)點,則炮彈運行的所有可能的軌道就是拋物線族(3).在炮彈運行的鉛直平面上被這些軌道彌漫的部分就是炮彈能夠達到的區(qū)域,在這個區(qū)域之內(nèi)的飛機有被炮彈擊中的危險,而在區(qū)域以外的平面部分飛機是安全的.我們即將證實:作為這兩個部分的分界的曲線是一條拋物線,稱為“安全拋物線”有許多求安全拋物線方程的主意:最大射程法、判別式法、包絡(luò)法.我們先研究前兩種主意,包絡(luò)法留待第3章研究.用最大射程法求安全拋物線的方程,可以設(shè)計不同的主意.主意1:給出過原點的直線族y=kx:k∈?∞,+∞,考察式(3)的拋物線族,其中發(fā)射角α∈?π2,π2主意2:給出平行于縱軸的直線族x=a:a∈?∞,+∞,考察式(3)的拋物線族,其中發(fā)射角α∈?π2,π22.1.3求安全拋物線的方程1.最大射程法(I)現(xiàn)在研究拋物線族在每條直線y=kx的最大射程(也就是截得的最大弦)l.由v故t圖2.1.4此時x=故當(dāng)sin2α?kcos2α取極大值時,sin=令cosθ=11+kcos當(dāng)α=12θ+π2時,l取極大值,即拋物線在直線xy當(dāng)k變化時,這就是安全拋物線的參數(shù)方程;消去k得安全拋物線方程y(10)2.最大射程法(II)現(xiàn)在研究拋物線族在每條直線x=a圖2.1.5由式(3)可知,當(dāng)x=ay視y為tanαy則y有極大值y當(dāng)a變化時,即得安全拋物線方程(10).3.判別式法上面我們用最大射程法求得安全拋物線的方程,順便也就得到了拋物線族在直線y上的最大射程及質(zhì)點在這些直線上所達到的最遠(yuǎn)或最高的點的坐標(biāo).這些工作固然是存心義的.但倘若我們只要求安全拋物線的方程,則用判別式法很快就能得到結(jié)果.將式(3)改寫為g(11)設(shè)點Px,y為定點,則P屬于危險區(qū)域,當(dāng)且僅當(dāng)拋物線族中有一條拋物線通過P,亦即對此x,y,式(11)對于tanα有解,因而可以決定拋射角αx或?qū)懗蓎取等號即得危險區(qū)域的邊界y這就是安全拋物線的方程,與式(10)一致.由此還可以看出,安全拋物線本身屬于危險區(qū)域.有趣的是,倘若我們先用判別式法求出安全拋物線的方程(10),則我們可以求出它與隨意曲線的交點,這交點就是質(zhì)點在曲線上所能達到的最遠(yuǎn)的點.所以,反過來,利用安全拋物線很容易解決許許多多的最大射程問題.例1從地面以初速v0拋出一個質(zhì)點,求質(zhì)點在一個高度為h解所求的點就是直線y=hyy得xy則點x,y在第3章中我們還將推薦用曲線族的包絡(luò)求安全拋物線的方程的主意.2.2雙曲線與可聽域2.2.1問題的提出與可聽域一架超音速飛機在離地平面h的高度上從東向西勻速地沿水平直線翱翔,翱翔的速度為v.視飛機為一個質(zhì)點,地面為平面,則飛機沿水平線翱翔時在地面上的正投影為地面上的一條直線l.飛機的發(fā)動機不停地發(fā)出聲音以音速uu<v向四面?zhèn)鲹P,地面上可能聽到飛機發(fā)動機的聲音.設(shè)在某個決定的時刻,飛機在地面的投影為直線l上的點我們固定一個時刻T,這時飛機在地面的投影為直線l上的點O.設(shè)在時刻T之前的tt≥hu時刻(此時刻到時刻T的時量為t),飛機處于點B,B在l上的投影為點A,OA=vt.當(dāng)飛機到達O點上空時,它在點B時發(fā)動機發(fā)出的聲音彌漫了以B為中央,半徑為ut的一個球,如圖2.2.1所示.倘若ut≥h,則在點B發(fā)出的聲音可以到達地面,在地面上可以聽到這個聲音的區(qū)域是一個圓面,即地平面截此球的截面.這個圓面的中央為l上的點A,半徑為u2t2?h2,記此圓面為在圖2.2.2上我們作出了幾個這樣的圓面,其中的虛線所圍住的區(qū)域是所有這些圓面所蓋住的部分,即虛線表示可聽域的邊界.圖2.2.1圖2.2.22.2.2超音速汽車的可聽域我們?nèi)=0當(dāng)h=0時,圓面KA的半徑u2t2?h2=ut,我們的問題成為:作以l上與點O的距離為OA=vt的點這個問題不難解決.因為t變化時圓心A與點O的距離OA=vt與KA的半徑ut成比例,所以所有的圓KA都是位似形,點O是其公共的位似中央.在這種情況下,可聽域為從點O作所有圓K圖2.2.3顯然,直線l是∠SOT的角平分線,若記sintan故特征角由u,v2.2.3超音速飛機的可聽域現(xiàn)在我們回到本來的問題:超音速飛機的可聽域.如圖2.2.4所示,以O(shè)為原點,直線l為橫軸建立直角坐標(biāo)系,點Mx,y屬于時刻T時的可聽域,當(dāng)且僅當(dāng)存在t>0,使Mx,y屬于圓心在點A,半徑為x即v(1)所以Mx,y是否屬于可聽域,歸結(jié)為這個關(guān)于t圖2.2.4引理已知a,c為正數(shù),則存在正數(shù)t>a的充要條件是:(1)b<0(2)判別式非負(fù),即b2?證實須要性.若b≥0,則a,b,c均為正數(shù),因而對隨意正數(shù)t,at2+a故當(dāng)條件(1)或(2)不成立時,都不存在滿意引理中的不等式的正數(shù)t.充足性.由條件(2),方程a有兩個根.由a,c為正數(shù),條件(1)及韋達定理,可知兩根同號且其和為正,故兩根同為正數(shù),它們都應(yīng)用這個引理于不等式(1),則條件成為:(1)2vx>0,即(2)判別式非負(fù),即2將這個不等式的左邊展開,化簡并除以正數(shù)4v2x令vuhx(2)注重v>u,故c=vuh綜合條件(1)和(2)可得:時刻T時的可聽域為在縱軸右邊由不等式(2)決定的平面區(qū)域.這個區(qū)域的邊界為雙曲線x的右支.2.3阿波羅圓與平面追及問題本節(jié)我們利用阿波羅圓解決一個有趣的博弈問題一一平面追及問題.我們只考察最容易的情形:一個追及者P和一個逃竄者E.因為所論的是一個抽象的數(shù)學(xué)模型,故P和E均視為平面上的幾何點.2.3.1平面上的容易運動設(shè)A是平面上的一個動點,在時刻t時點A的位置記為At,A0是A的初始位置.若從t=0開始,將A順次通過的位置記錄下來,則得到一條平面曲線,就是點A的運動軌道.在0～t這段時光內(nèi)A沿軌道走過的路程(即軌道上的弧A0At的長度)記為StS則稱A的運動為容易運動,而v稱為A的線速度:容易運動的線速度是一個常數(shù).今后我們只考慮沿有有限個頂點的折線的容易運動,這就是說,在運動的進程中,A只是有限次地改變運動方向,而速度的大小保持不變.設(shè)點A從初始位置A0出發(fā)以常線速度v以各種方式沿有有限個頂點的折線作容易運動,t是一個固定的時刻,則在時刻t時點A能夠到達的所有可能位置組成的集合稱為A在時刻t的可達域,記為Gt.今后約定以HO,R表示以O(shè)為圓心,R引理1Gt證實設(shè)M為平面上的點.當(dāng)M在SA0,vt上時,A從A0出發(fā)沿半徑A0M運動,因為A0M=vt,故A在時刻t到達M;當(dāng)M在圓周SA0,vt外時A0到M的最短的路程A0M>vt,故A在時刻t不能到達M;當(dāng)M在圓周SA0,vt的內(nèi)部時,A有多種方式于時刻t到達M綜上所述,引理得證.顯然,HA0,vt也是A以常速v沿任何曲線作容易2.3.2平面追及問題的提法圖2.3.1設(shè)P和E在平面上沿有有限個頂點的折線作容易運動,其線速度分離為ρ和σ且ρ>σ.在t=0時,P和E的初始位置為P0,E0且P0E0>0;而在時刻t時它們的位置為Pt,Et.若Pt,Et重合,則稱在時刻t時P與E相遇或稱P追上E.在運動過程中的每個時刻,我們都假定E知道自己的位置,也知道P的位置;P知道自己的位置,也知道E的位置及E運動的方向,但P不能預(yù)先知道E將何時、以怎樣的方式改變運動的方向.設(shè)θ>0為實數(shù),若不論E如何運動,P都有一種相應(yīng)的運動方式,使P不遲于時刻θ而追上E,則稱θ為P保證追上E的時間;若E有一種運動方式,使不論P如何運動E都不會在時刻θ之前被P追上,則稱θ為E能保證不被P追上的時光.顯然,若θ是P能保證追上E的時光,則任何大于θ的數(shù)都是P能保證追上E的時光;若θ是E保證不被P追上的時光,則任何小于θ的數(shù)都是E保證不被P追上的時光.若θ不是P保證能追上E的時光,則E有一種主意使不論P如何運動都不能在較θ更短的時光內(nèi)追上E,故θ是E的保證不被追上的時光;若θ不是E保證能不被追上的時光,則不論E如何運動,P總有一種主意在不超過θ的時光內(nèi)追上E,故θ是P的保證能追上的時光.若θ是P保證追上E的時光,但任何的θ′<θ都是E保證不被P追上的時光,則稱θ為最優(yōu)追及時光,這時P和E的相應(yīng)的運動方式分離稱為最優(yōu)追及策略和最優(yōu)逃竄策略.值得注重的是,最優(yōu)追及時光是P保證追上E的時光的最小值,也是E保證不被P追上的時光的最大下界,這就是說,倘若E不按最優(yōu)逃竄策略運動,則P就能在少于θ的時光內(nèi)追上E;最優(yōu)追及策略是一種應(yīng)對方式,它指出P如何按照關(guān)于E的運動的已知信息決定自己的運動方式,使不遲于最優(yōu)追及時光而追上E;而最優(yōu)逃竄策略則是E自行決定的一種運動方式,使不論P如何運動,在最優(yōu)追及時光之前E我們將在P和E沿平面上有有限個頂點的折線(其特例為射線)作容易運動的條件下,已知P和E的初始位置P0,E0P0E0=b>0及線速度ρ綜上所述,這個問題的解答包含下面的三個方面:(1)最優(yōu)追及時光;(2)P的最優(yōu)追及策略;(3)E的最優(yōu)逃竄策略.2.3.3阿波羅圓的性質(zhì)在給出追及問題的解之前,我們先結(jié)合追及研究阿波羅圓的一些重要的性質(zhì)并歸結(jié)為若干引理,以備引用.首先,易知直線PE與阿波羅圓的交點A引理2阿波羅點A是阿波羅圓上與E0證實如圖2.3.2所示,設(shè)M是阿波羅圓上異于A的任一點,因為△O1∠于是有∠故有E即A是阿波羅圓上與E0圖2.3.2按照第1章,選定坐標(biāo)系使點E0,P0的坐標(biāo)分離為E00x容易算出EPO