2024年二次函數(shù)知識點

《二次函數(shù)》知識講解【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點壹、定義:壹般地，是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).要點詮釋：假如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這裏，當(dāng)a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同步都為零．a(chǎn)的絕對值越大，拋物線的開口越小.要點二、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.二次函數(shù)由特殊到壹般，可分為如下幾種形式：①；②；③；④，其；⑤.（以上式子a≠0）

幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特性如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時

開口向上

當(dāng)時

開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()2.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

(1)的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相似.

(2)平行于軸(或重疊)的直線記作.尤其地，軸記作直線.

3.拋物線中，的作用：

(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全同樣.

(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直，

故：①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號)時，對稱軸在軸右側(cè).

(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.

當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有壹種交點(0，)：

①，拋物線通過原點；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負半軸.

以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.

4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)壹般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，壹般選擇壹般式.

(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，壹般選擇頂點式.(可以當(dāng)作的圖象平移後所對應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標(biāo)、，壹般選用交點式：（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).要點詮釋：求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點坐標(biāo)壹般用三種措施：配措施、公式法、代入法，這三種措施均有各自的優(yōu)缺陷，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用．要點三、二次函數(shù)與壹元二次方程的關(guān)系

函數(shù)，當(dāng)時，得到壹元二次方程，那么壹元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點狀況決定壹元二次方程根的狀況.

(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有壹種交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.

通過下面表格可以直觀地觀測到二次函數(shù)圖象和壹元二次方程的關(guān)系：

的圖象

的解方程有兩個不等實數(shù)解方程有兩個相等實數(shù)解

方程沒有實數(shù)解要點詮釋：二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定.(1)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有壹種交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.

要點四、運用二次函數(shù)處理實際問題運用二次函數(shù)處理實際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，運用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再運用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.

運用二次函數(shù)處理實際問題的壹般環(huán)節(jié)是：

(1)建立合適的平面直角坐標(biāo)系；(2)把實際問題中的某些數(shù)據(jù)與點的坐標(biāo)聯(lián)絡(luò)起來；

(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；(4)運用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、處理問題.要點詮釋：常見的問題：求最大(小)值(如求