2024-2025學年新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)檢測十二第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2.1基本不等式含解析新人教A版必修第一冊

PAGE課時素養(yǎng)檢測十二基本不等式(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知a>0,b>0,a+b=2,則y=QUOTE+QUOTE的最小值是 ()A.QUOTE B.4 C.QUOTE D.5【解析】選C.y=QUOTE(a+b)QUOTE=QUOTE≥QUOTE.2.若實數(shù)x>0,y>0,且x+4y=xy,則x+y的最小值為 ()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】選C.依據(jù)題意,實數(shù)x>0,y>0,若x+4y=xy,則QUOTE+QUOTE=1,x+y=(x+y)QUOTE=QUOTE+QUOTE+5≥2QUOTE+5=9,當且僅當x=2y時等號成立,即x+y的最小值為9.3.若f(x)=x+QUOTE(x>2)在x=n處取得最小值,則n= ()A.QUOTE B.3 C.QUOTE D.4【解析】選B.由f(x)=x+QUOTE=(x-2)+QUOTE+2≥4,當且僅當x-2=QUOTE>0,即x=3時,取得等號.4.已知0<x<1,則x(3-3x)取得最大值時x的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為0<x<1,所以x·(3-3x)=QUOTE·3x·(3-3x)≤QUOTE·QUOTE=QUOTE,當3x=3-3x,即x=QUOTE時,x(3-3x)取得最大值QUOTE.5.若實數(shù)a,b滿意QUOTE+QUOTE=QUOTE,則ab的最小值為 ()A.QUOTE B.2 C.2QUOTE D.4【解析】選C.由QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE,得ab≥2QUOTE,當且僅當QUOTE=QUOTE時取“=”.6.已知x>1,則函數(shù)y=x+QUOTE的值域為 ()A.(6,+∞) B.[8,+∞)C.[6,+∞) D.[16,+∞)【解析】選D.因為x>1,所以x-1>0,所以y=x+QUOTE=x+QUOTE=x+9+QUOTE=x-1+QUOTE+10≥2QUOTE+10=16,當且僅當x-1=QUOTE,即x=4時,y取最小值16,所以函數(shù)y=x+QUOTE的值域為[16,+∞).二、填空題(每小題5分,共10分)7.已知y=4x+QUOTE(x>0,a>0)在x=3時取得最小值,則a=________.

【解析】y=4x+QUOTE≥2QUOTE=4QUOTE(x>0,a>0),當且僅當4x=QUOTE,即x=QUOTE時等號成立,此時y取得最小值4QUOTE.因為在x=3時y取得最小值,所以QUOTE=3,即a=36.答案:368.若a<1,則a+QUOTE與-1的大小關系是________.

【解析】因為a<1,即1-a>0,所以-QUOTE=(1-a)+QUOTE≥2QUOTE=2(當且僅當a=0時等號成立).即a+QUOTE≤-1.答案:a+QUOTE≤-1【補償訓練】若實數(shù)x,y滿意4x+4y=2x+1+2y+1,則t=2x+2y的取值范圍是________.

【解析】設a=2x,b=2y,則a>0,b>0,由條件得a2+b2=2(a+b),因為(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2),當且僅當a=b時取等號,所以(a+b)2≤4(a+b),所以a+b≤4,又(a+b)2-2(a+b)=2ab>0.所以a+b>2,所以2<a+b≤4,即2<t≤4.答案:(2,4]三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知x>0,y>0,z>0.求證:QUOTE≥8.【證明】因為x>0,y>0,z>0,所以QUOTE+QUOTE≥QUOTE>0,QUOTE+QUOTE≥QUOTE>0,QUOTE+QUOTE≥QUOTE>0,所以QUOTE≥QUOTE=8,當且僅當x=y=z時等號成立.10.(1)已知x>0,y>0,且2x+3y=6,求xy的最大值.(2)已知x>0,y>0,QUOTE+QUOTE=1,求x+y的最小值.【解析】(1)因為x>0,y>0,2x+3y=6,所以xy=QUOTE(2x·3y)≤QUOTE·QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE,當且僅當2x=3y,即x=QUOTE,y=1時,xy取到最大值QUOTE.(2)因為QUOTE+QUOTE=1,所以x+y=(x+y)·QUOTE=1+QUOTE+QUOTE+9=QUOTE+QUOTE+10,又因為x>0,y>0,所以QUOTE+QUOTE+10≥2QUOTE+10=16,當且僅當QUOTE=QUOTE,即y=3x時,等號成立.由QUOTE得QUOTE即當x=4,y=12時,x+y取得最小值16.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.設a>0,b>0,則下列不等式中不肯定成立的是 ()A.a+b+QUOTE≥2QUOTEB.QUOTE≥QUOTEC.QUOTE≥a+bD.(a+b)QUOTE≥4【解析】選B.因為a>0,b>0,所以a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE≥2QUOTE,當且僅當a=b且2QUOTE=QUOTE,即a=b=QUOTE時取等號,故A肯定成立.因為a+b≥2QUOTE>0,所以QUOTE≤QUOTE=QUOTE,當且僅當a=b時取等號,所以QUOTE≥QUOTE不肯定成立,故B不肯定成立.因為QUOTE≤QUOTE=QUOTE,當且僅當a=b時取等號,所以QUOTE=QUOTE=a+b-QUOTE≥2QUOTE-QUOTE,當且僅當a=b時取等號,所以QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE≥a+b,故C肯定成立.因為(a+b)QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥4,當且僅當a=b時取等號,故D肯定成立.2.設x>0,則y=3-3x-QUOTE的最大值是 ()A.3 B.3-2QUOTEC.3-2QUOTE D.-1【解析】選C.y=3-3x-QUOTE=3-QUOTE≤3-2QUOTE=3-2QUOTE,當且僅當3x=QUOTE,即x=QUOTE時取等號.3.設x>0,則函數(shù)y=x+QUOTE-QUOTE的最小值為 ()A.0 B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選A.因為x>0,所以x+QUOTE>0,所以y=x+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE-2≥2QUOTE-2=0,當且僅當x+QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE時等號成立,所以函數(shù)的最小值為0.4.(多選題)規(guī)定:“?”表示一種運算,即a?b=QUOTE+a+b(a,b為正實數(shù)).若1?k=3,函數(shù)f(x)=QUOTE,1≤x≤4,則下列說法正確的是 ()A.f(x)的最小值為3 B.f(x)的最小值為2C.f(x)的最大值為QUOTE D.f(x)的最大值為QUOTE【解析】選AC.由題意得1?k=QUOTE+1+k=3,即k+QUOTE-2=0,解得QUOTE=1或QUOTE=-2(舍去),故k的值為1.又f(x)=QUOTE=QUOTE=1+QUOTE+QUOTE≥1+2=3,當且僅當QUOTE=QUOTE,即x=1時取等號,故函數(shù)f(x)的最小值為3.由函數(shù)單調性知:f(x)=QUOTE=QUOTE=1+QUOTE+QUOTE在x=4時有最大值為QUOTE.二、填空題(每小題5分,共20分)5.函數(shù)y=2x+QUOTE(x>1)的最小值為________.

【解析】因為y=2x+QUOTE(x>1),所以y=2x+QUOTE=2(x-1)+QUOTE+2≥2+2QUOTE=2QUOTE+2.當且僅當x=1+QUOTE時取等號,故函數(shù)y=2x+QUOTE(x>1)的最小值為2QUOTE+2.答案:2QUOTE+26.定義運算“?”:x?y=QUOTE(x,y∈R,xy≠0).當x>0,y>0時,x?y+(2y)?x的最小值為________.

【解析】因為x>0,y>0,所以x?y+(2y)?x=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE≥QUOTE,當且僅當QUOTE=QUOTE,即x=QUOTEy時取等號,故x?y+(2y)?x的最小值為QUOTE.答案:QUOTE7.已知正數(shù)a,b滿意2a2+b2=3,則aQUOTE的最大值為________.

【解析】aQUOTE=QUOTE×QUOTEaQUOTE≤QUOTE×QUOTE(2a2+b2+1)=QUOTE×(3+1)=QUOTE,當且僅當QUOTEa=QUOTE,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1時,等號成立,故aQUOTE的最大值為QUOTE.答案:QUOTE8.已知正實數(shù)a,b滿意a+b=4,則QUOTE+QUOTE的最小值為________.

【解析】因為a+b=4,所以(a+1)+(b+3)=8,所以8QUOTE=[(a+1)+(b+3)]QUOTE=QUOTE+QUOTE+2≥2QUOTE+2=4,所以QUOTE+QUOTE≥QUOTE,當且僅當a+1=b+3時,等號成立,所以QUOTE+QUOTE的最小值為QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)9.若正數(shù)a,b滿意ab=a+b+3,求:(1)ab的取值范圍.(2)a+b的取值范圍.【解析】(1)因為ab=a+b+3≥2QUOTE+3,令t=QUOTE>0,所以t2-2t-3≥0所以(t-3)(t+1)≥0.所以t≥3即QUOTE≥3,所以ab≥9,當且僅當a=b=3時取等號.(2)因為ab=a+b+3,所以a+b+3≤QUOTE.令t=a+b>0,所以t2-4t-12≥0,所以(t-6)(t+2)≥0.所以t≥6即a+b≥6,當且僅當a=b=3時取等號.10.(1)若x>0,求函數(shù)y=x+QUOTE的最小值,并求此時x的值.(2)設0<x<QUOTE,求函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值.(3)已知x>2,求x+QUOTE的最小值.【解析】(1)當x>0時,x+QUOTE≥2QUOTE=4,當且僅當x=QUOTE,即x2=4,x=2時取等號.所以函數(shù)y=x+QUOTE(x>0)在x=2時取得最小值4.(2)因為0<x<QUOTE,所以3-2x>0,所以y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤2QUOTE=QUOTE.當且僅當2x=3-2x,即x=QUOTE時,等號成立.因為QUOTE∈QUOTE.所以函數(shù)y=4x(3-2x)QUOTE的最大值為QUOTE.(3)因為x>2,所以x-2>0,所以x+QUOTE=x-2+QUOTE+2≥2QUOTE+2=6,當且僅當x-2=QUOTE,即x=4時,等號成立.所以x+QUOTE的最小值為6.11.我們學習了二元基本不等式:設a>0,b>0,QUOTE≥QUOTE,當且僅當a=b時,等號成立,利用基本不等式可以證明不等式,也可以利用“和定積最大,積定和最小”求最值.(1)對于三元基本不等式請猜想:設a>0,b>0,c>0,QUOTE≥________,當且僅當a=b=c時,等號成立(把橫線補全).

(2)利用(1)猜想的三元基本不等式證明:設a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求證:QUOTE≥9abc.(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值:設a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求QUOTE的最大值.【解析】(1)對于三元基本不等式請猜想:設a>0,b>0,c>0,QUOTE≥QUOTE