全國版2024高考數(shù)學一輪復習解題思維6高考中立體幾何解答題的提分策略試題理含解析

第第頁解題思維6高考中立體幾何解答題的提分策略1.[12分]如圖6-1,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,PA=PD.(1)證明:BC⊥PB.(2)若PA⊥PD,PB=AB,求二面角A-PB-C的余弦值.圖6-12.[12分]如圖6-2,正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長都為2,D為CC1的中點.(1)求證:AB1⊥平面A1BD.(2)求銳二面角A-A1D-B的余弦值.圖6-23.[2024惠州市二調,12分]一副標準的三角板(如圖6-3)中,∠ABC為直角,∠A=60°,∠DEF為直角,DE=EF,BC=DF.把BC與DF重合,拼成一個三棱錐(如圖6-4),設M是AC的中點,N是BC的中點.(1)求證:平面ABC⊥平面EMN.(2)若AC=4,二面角E-BC-A為直二面角,求直線EM與平面ABE所成角的正弦值.圖6-3圖6-44.[新角度題,12分]如圖6-5,EC⊥平面ABC,BD∥EC,AC=AB=BD=12EC=2,點F為線段DE上的動點(1)試在BC上找一點O,使得AO⊥CF,并證明.(2)在第(1)問的基礎上,若AB⊥AC,則平面ACE與平面AOF所成的銳二面角的大小可否為π4圖6-5答案解題思維6高考中立體幾何解答題的提分策略1.(1)如圖D6-1,取AD的中點E,連接PE,BE,BD,圖D6-1∵PA=PD,∴PE⊥AD.∵底面ABCD為菱形,且∠BAD=60°,∴△ABD為等邊三角形,∴BE⊥AD.∵PE∩BE=E,PE,BE?平面PBE,∴AD⊥平面PEB,又PB?平面PEB,∴AD⊥PB.∵AD∥BC,∴BC⊥PB.(4分)(2)設AB=2,則AB=PB=AD=2,BE=3.∵PA⊥PD,E為AD的中點,∴PA=2,PE=1,∴PE2+BE2=PB2,∴PE⊥BE.以E為坐標原點,分別以EA,EB,EP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖D6-2所示的空間直角坐標系,則A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,1),C(-2,3,0),圖D6-2∴AB=(-1,3,0),AP=(-1,0,1),BP=(0,-3,1),BC=(-2,0,0).設平面PAB的法向量為n1=(x1,y1,z1),∵n∴-x1+3y1=0,-x1+z1=0,令x1=1,得z設平面BPC的法向量為n2=(x2,y2,z2),則n令y2=-1,得x2=0,z2=-3,即n2=(0,-1,-3)為平面BPC的一個法向量.∴n1·n設二面角A-PB-C的平面角為θ,由圖可知θ為鈍角,則cosθ=-2772.(1)取BC的中點O,連接AO.∵△ABC為等邊三角形,∴AO⊥BC.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,又平面ABC∩平面BCC1B1=BC,∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點O1,連接OO1,以O為原點,OB,OO1,OA的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系O-xyz,如圖D6-3所示,則B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,3),B∴AB1=(1,2,-3),BD=(-2,1,0),BA∴AB1·BD=0,AB∴AB1⊥BD,AB1⊥BA1.∵BD∩BA1=B,∴AB1⊥平面A1BD.(6分)(2)設平面A1AD的法向量為n=(x,y,z).∵AD=(-1,1,-3),AA∴n令z=1,得n=(-3,0,1)為平面A1AD的一個法向量.由(1)知AB1⊥平面A1BD,∴AB1為平面A1∴cos<n,AB1>=n·∴銳二面角A-A1D-B的余弦值為64.3.(1)∵M是AC的中點,N是BC的中點,∴MN∥AB,(1分)∵AB⊥BC,∴MN⊥BC.(2分)∵BE=EC,N是BC的中點,∴EN⊥BC.(3分)又MN∩EN=N,MN?平面EMN,EN?平面EMN,(4分)∴BC⊥平面EMN.(5分)又BC?平面ABC,∴平面ABC⊥平面EMN.(6分)(2)由(1)可知,EN⊥BC,MN⊥BC,∴∠ENM為二面角E-BC-A的平面角,又二面角E-BC-A為直二面角,∴∠ENM=90°,即EN⊥MN.(7分)以點N為坐標原點,NM,NC,NE所在直線分別為x,y,z軸建立如圖D6-4所示的空間直角坐標系N-xyz,(8分)圖D6-4∵AC=4,∴AB=2,BC=23,∴NE=3,MN=1,則N(0,0,0),E(0,0,3),M(1,0,0),B(0,-3,0),A(2,-3,0),∴EM=(1,0,-3),BE=(0,3,3),BA=(2,0,0).(9分)設m=(x,y,z)為平面ABE的法向量,則m·BA得x=0,令y=1,則z=-1,∴平面ABE的一個法向量為m=(0,1,-1).(10分)設直線EM與平面ABE所成的角為θ,則sinθ=|cos<m,EM>|=|m·EM|m即直線EM與平面ABE所成角的正弦值為64.4.(1)BC的中點即為所找的點O.∵AB=AC,∴AO⊥BC,又EC⊥平面ABC,AO?平面ABC,∴EC⊥AO.(2分)∵BC∩EC=C,BC?平面BDEC,EC?平面BDEC,∴AO⊥平面BDEC.又CF?平面BDEC,∴AO⊥CF.(4分)(2)以A為坐標原點,AB,AC所在直線分別為x軸、y軸,過點A且平行于EC的直線為z軸建立如圖D6-5所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),E(0,-2,4),D(-2,0,2),O(-1,-1,0),圖D6-5AO=(-1,-1,0),ED=(-2,2,-2).(6分)設EF=λED(0≤λ≤1),則可得F(-2λ,2λ-2,4-2λ),則AF=(-2λ,2λ-2,4-2λ).設平面AOF的