2024年安徽省“江淮十校”協(xié)作體高考考前模擬數(shù)學(xué)試題（含解析）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,

4

在塹堵ABC—qqq中，AC1BC,A\=2,當(dāng)陽(yáng)馬3—ACq4體積的最大值為可時(shí)，塹堵ABC—的外

接球的體積為（）

48J23264點(diǎn)

A.-71B.上一兀C.—71D.上注兀

3333

12/八兀、

2.若夕是第二象限角且sin"二百，則tan（e+/=

177177

A.―――B.———C.D.——

717717

3.隨著人民生活水平的提高，對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大，下圖是某城市1月至8月的空氣質(zhì)量檢測(cè)情況，

圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí)，一級(jí)空氣質(zhì)量最好，一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣，下面敘述不正確的是（）

A.1月至8月空氣合格天數(shù)超過20天的月份有5個(gè)

B.第二季度與第一季度相比，空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了

C.8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月

D.6月份的空氣質(zhì)量最差.

4.以下兩個(gè)圖表是2019年初的4個(gè)月我國(guó)四大城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（上一年同月=100）變化圖表，則以下說

圖表一圖表

（注：圖表一每個(gè)城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個(gè)月份的條形圖從左到右四個(gè)城市依次是

北京、天津、上海、重慶）

A.3月份四個(gè)城市之間的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與其它月份相比增長(zhǎng)幅度較為平均

B.4月份僅有三個(gè)城市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)超過102

C.四個(gè)月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長(zhǎng)幅度波動(dòng)較小

D.僅有天津市從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)

5.設(shè)a,。為兩個(gè)平面，則a〃/?的充要條件是

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與//平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與//平行

C.?,。平行于同一條直線

D.a,"垂直于同一平面

6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

俯視圖

7.要得到函數(shù)y=&sin[x-W圖象，只需將函數(shù)y=JTsin[2x-g）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（）

K

A.伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移/單位長(zhǎng)度

71

B.伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度

4

15兀

C.縮短到原來(lái)的凌倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移五個(gè)單位長(zhǎng)度

11171

D.縮短到原來(lái)的]倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移訝個(gè)單位長(zhǎng)度

8.函數(shù)y=/（x）在區(qū)間卜5,上的大致圖象如圖所示，則〃x）可能是（）

A./(x)=ln|sinx|

B./(%)=In(cosx)

C./(x)=-sin|tanx|

D./(x)=-tan|cosx|

9.設(shè)y=/（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在[。,內(nèi)）單調(diào)遞增，。=映/3/=1叫。.3,則（）

A.f(a+b)>f(ab)>f(Q)B.f(a+b)>f(Q)>f(ab)

C.f(ab)>f(a+b)>f(Q)D.f(ab)>f(Q)>f(a+b)

10.在ABC中，角A8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c-acos3=（2a-b）cosA,則ABC的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰非等邊三角形

C.等喊直角三角形D.鈍角三角形△

11.如圖所示的程序框圖輸出的S是：126,則①應(yīng)為（）

A.n<5?B."W6?C.n<7?D.n<8?

x+y<2

12.已知變量了,丁滿足不等式組,VI,則2x—y的最小值為（）

x>0

A.—4B.—2C.0D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.安排4名男生和4名女生參與完成3項(xiàng)工作，每人參與一項(xiàng)，每項(xiàng)工作至少由1名男生和1名女生完成，則不同的

安排方式共有種（用數(shù)字作答）.

14.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足。2+拉+2。2=1,則a"+c的最小值是.

x>0

15.滿足線性的約束條件<xWy的目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值為

x+y<2

已知函數(shù)/Q）=<X2+2x+,—2<x<0,若函數(shù)gQ）=a|/G）+l有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

164x2+8%

+2x-1,x<-2,x>0

是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知數(shù)列M｝,｝滿足。=3,b=l,a-2a=2b-b,a-a=b-b+1.

nn11n+1nnn+1n+lnn+1n

（1）求數(shù)列｛a｝,布｝的通項(xiàng)公式；

nn

（2）分別求數(shù)列%｝,fe｝的前“項(xiàng)和S,T.

nnnn

18.（12分）2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中，居民生活垃圾分類逐漸形成意識(shí).有關(guān)部門

為宣傳垃圾分類知識(shí)，面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識(shí)''的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì)，通過

抽樣，得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖：

0.02SCr

0.0223------------------------------------------.........-

?.?2M----------------------------------------

------------

0.0100--------.............................................................

------------------------------------

Q.0S5------------------

?〃'---■?z

03?！埃?60，?SOM1。。轉(zhuǎn)分

(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(|l,210),口近似為這1000人得分的平均

值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)，利用該正態(tài)分布，求尸(50.5<Z<94);

(2)在(1)的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：

⑴得分不低于口可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于四則只有1次：

(?)每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)概率如下：

贈(zèng)送話費(fèi)(單位：元)1020

21

概率

33

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列.附：

751^=14.5,若ZNQ,B2),則<Z<|i+B)=0.6826,P(pi-25<Z<pi+25)=0.9544.

19.(12分)等比數(shù)列｛。｝中，a=2,a=4a.

n175

(I)求｛a｝的通項(xiàng)公式;

n

(H)記S為｛a｝的前"項(xiàng)和.若S=126,求機(jī).

nnm

20.(12分)如圖，四棱錐E-4BCZ)的側(cè)棱OE與四棱錐歹-4BCD的側(cè)棱5b都與底面HBCD垂直，AD1CD,

AB//CD,AB=3,AD=CD=4,AE=5,AF^3y/2.

(1)證明：〃平面BCE.

(2)設(shè)平面A3戶與平面CD尸所成的二面角為仇求cos2?.

21.(12分)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)/(。/)，且與直線/：y=-i相切，動(dòng)圓圓心的軌跡為C,過歹作斜率為左/*0)的直線

機(jī)與C交于兩點(diǎn)4,8,過分別作。的切線，兩切線的交點(diǎn)為P,直線尸歹與。交于兩點(diǎn)"，N.

(1)證明：點(diǎn)尸始終在直線/上且依JLAB；

(2)求四邊形AMBN的面積的最小值.

[x=COS0,

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為1.△以。為極點(diǎn)，》軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,

1[y=sinU.

兀

設(shè)點(diǎn)A在曲線C:Psin?=1上，點(diǎn)8在曲線C:9=--(p>0)±,且A03為正三角形.

236

(1)求點(diǎn)A,B的極坐標(biāo)；

⑵若點(diǎn)尸為曲線q上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段AP的中點(diǎn)，求18"I的最大貓.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

利用均值不等式可得V=^BCACAA=；BC-ACV：(BC2+AC2)=：AB2,即可求得A3,進(jìn)而求得外接

B-ACC^31333

球的半徑，即可求解.

【詳解】

由題意易得BC±平面ACCA,

所以V=LBCACAA=-BCAC<L(BC2+AC2)=-AB^

B-ACC^3I333

當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC時(shí)等號(hào)成立,

4

又陽(yáng)馬8-ACQAJ本積的最大值為-,

所以AB=2,

所以塹堵ABC-々qq的外接球的半徑R

所以外接球的體積V='?！?=WE兀，

33

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題以中國(guó)傳統(tǒng)文化為背景，考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀

想象等核心素養(yǎng).

2、B

【解析】

12—512

由夕是第二象限角且sim?二百知：cos0=-vl-sin20tanO

JItan0+tan45°7

所以tan(e+/=

l-tan0tan45°17

3、D

【解析】

由圖表可知5月空氣質(zhì)量合格天氣只有13天，5月份的空氣質(zhì)量最差.故本題答案選D.

4、D

【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)圖表，可得結(jié)果.

【詳解】

A正確，從圖表二可知，

3月份四個(gè)城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大

B正確，從圖表二可知，

4月份只有北京市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)低于102

C正確，從圖表一中可知，

只有北京市4個(gè)月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大

D錯(cuò)誤，從圖表一可知

上海市也是從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長(zhǎng)呈上升趨勢(shì)

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查圖表的認(rèn)識(shí)，審清題意，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)

定理即可作出判斷.

【詳解】

由面面平行的判定定理知：。內(nèi)兩條相交直線都與P平行是a//B的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若a//B,

則a內(nèi)任意一條直線都與P平行，所以。內(nèi)兩條相交直線都與P平行是a的必要條件，故選B.

【點(diǎn)睛】

面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若

aua,bu§,al",則此類的錯(cuò)誤.

6、A

【解析】

利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積.

【詳解】

幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，

1,,C2

則該幾何體的體積為：-xlxlx2=_.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.

7、B

【解析】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

詳解：將函數(shù)y=/in12x-；］圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，

得至IJy=—三)=psiriQx—1),

再將得到的圖象向左平移:個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=J3sin＜ix-=y/3sinCx-,

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結(jié)合05和平的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

8、B

【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

【詳解】

解：當(dāng)尤=0時(shí)，sinO=O,ln|sinO|無(wú)意義，故排除A；

又cosO=l,貝。/(O)=-tan|cosO|=-tanlwO,故排除D；

對(duì)于C,當(dāng)了＜0弓］時(shí)，|tanx|＞。，所以/(x)=—sin|tanx|不單調(diào)，故排除c；

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),比較|。+4,|附即可.

【詳解】

解：|叫=|除。.3+%。川黑+需

1g0.3x1g|lgO.3xlg|

-Ig5xlg2Ig5xlg2

lg0.3lg0.3

\ab\-|log0.3xlog0.3|二igoixigr

_-lg0.3xlg0.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

_-lg0.3x(-lg0.3)

Ig5xlg2

lg0.3xlg!2

Ig5xlg2

顯然lg^<lg曰，所以|a+b|<W|

y=fM是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在b,+8）單調(diào)遞增,

所以>f(a+b)>/(0)

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由sin（A+5）=sinC,化簡(jiǎn)可得sin5cosA=sinAcosA,最后分類討論可得;

【詳解】

解：因?yàn)閏-〃cosB=(2。-b)cosA

所以sinC—sinAcosB=(2sinA-sinB)cosA

所以sinC—sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinAcos5+sinBcosA-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinBcosA=sinAcosA

71

當(dāng)8$4=0時(shí)4=,，AABC為直角三角形；

當(dāng)cosAW0時(shí)sinA=sin5即A=5,AABC為等腰三角形；

???AABC的形狀是等腰三角形或直角三角形

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

試題分析：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加S=2+22+…+2n

的值，并輸出滿足循環(huán)的條件.

解：分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，

再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：

該程序的作用是累加S=2+22+…+211的值，

并輸出滿足循環(huán)的條件.

VS=2+22+...+21=121,

故①中應(yīng)填n<l.

故選B

點(diǎn)評(píng)：算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個(gè)熱點(diǎn)，應(yīng)高度重視.程序填空也是重要的考試題型，

這種題考試的重點(diǎn)有：①分支的條件②循環(huán)的條件③變量的賦值④變量的輸出.其中前兩點(diǎn)考試的概率更大.此種題

型的易忽略點(diǎn)是：不能準(zhǔn)確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

12、B

【解析】

先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.

【詳解】

解：由變量工,丁滿足不等式組（x-yvi,畫出相應(yīng)圖形如下：

x>0

可知點(diǎn)A（l,l）/（0,2）,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的方法，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1296

【解析】

先從4個(gè)男生選2個(gè)一組，將4人分成三組，然后從4個(gè)女生選2個(gè)一組，將4人分成三組，然后全排列即可.

【詳解】

由于每項(xiàng)工作至少由1名男生和1名女生完成，則先從4個(gè)男生選2個(gè)一組，將4人分成三組，所以男生的排法共有

C2A3=36,同理女生的排法共有C2A3=36,故不同的安排共有C2A3.C2A3=1296種.

43434343

故答案為：1296

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力.

9

14、-16

【解析】

先分離出42+從，應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于C的二次函數(shù)，進(jìn)而求出最小值.

【詳解】

解：若a0+c取最小值，則異號(hào)，c<0,

根據(jù)題意得：1一2。2=。2+。2,

又由成+加>2\ab\=-2ab,即有1一2。2之一2ab,

則a/?+c?c2+c一—=|c+—|-一，

214J16

即2ab+c的最小值為一2,

16

9

故答案為：一二

Io

【點(diǎn)睛】

本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值，屬于中檔題.

15、1

【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，將直線進(jìn)行平移，利用z=2x-y的幾何意義，可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值。

【詳解】

由z=2x—y,得y=2x—z,作出可行域，如圖所示:

平移直線y=2x-z,由圖像知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，截距最小，此時(shí)z取得最大值。

x-y-0X=1

[x+y-2=。'解得*

由V1,代入直線z=2x—y,得z=2x1—1=1。

b=1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的解法——平移法。

一1」

、

16’5

【解析】

由題意首先研究函數(shù)y的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于。的不等式，求解不等式即可確定實(shí)

數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)-1<X<0時(shí)，函數(shù)f(X)=尤2+2龍?jiān)趨^(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞增,

很明顯從x)e(-1,0),且存在唯一的實(shí)數(shù)X滿足fG)=」,

112

1f,1上單調(diào)遞減，在區(qū)間［-［o］上單調(diào)遞增,

當(dāng)一lWf<0時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=f+石在區(qū)間-1，”

At

1在區(qū)間(-1,\)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(\,0)上單調(diào)遞增，且當(dāng)

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)y=x2+2%+

4犬2+8x

x=%時(shí)，y=X2+2x+----------=1,

iJ4x2+8x

考查函數(shù)y=卜2+2x-在區(qū)間（0,仔O）上的性質(zhì)，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=g+2x-在區(qū)間（o,四一1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（管-1,+8）上單調(diào)遞增,

函數(shù)g（%）=。|/（x）|+1有6個(gè)零點(diǎn),即方程a|/（砌+1=0有6個(gè)根,

也就是!/■（%）1=—1有6個(gè)根，即y=1/（X）I與y=--W6個(gè)不同交點(diǎn)，

aa

注意到函數(shù)y=整+2x關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，則函數(shù)y="（x）?關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故答案為_1，一弓）.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)

生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

_721,_721及233

17、(1)。=2〃+一+一―；b=2〃————(2)S=2〃+i—2+—+—n?T—2?+i—2————n

n22n22n44n44

【解析】

⑴a+b=2（a+8）,a+b=4,可得｛a+。｝為公比為2的等比數(shù)歹-b=a—b+1可得｛a_b｝

n+1n+1nn11nnn+1n+\nnnn

為公差為1的等差數(shù)列，再算出｛。+b｝,｛a-b｝的通項(xiàng)公式，解方程組即可；

nnnn

（2）利用分組求和法解決.

【詳解】

a+b=2(Q+b)

(1)依題意有4向7〃+1nn

a-b=a—b+1

n+ln+1nn

又o+b=4；a-b=2

iiiit

可得數(shù)列〃+。｝為公比為2的等比數(shù)列，｛a-b｝為公差為1的等差數(shù)列,

nnnn

a+Z?=(a+b)x2?-ia+b=2?+i

由,nnz11x得j〃J1

a-b=\a-Z?)+(n-l)?a—b=n+l

nn11nn

=2〃+S

a

得廣22

n1

a=2n

22

故數(shù)列｛a｝,%｝的通項(xiàng)公式分別為a=2R+：+：；b

nnn22n22

c、o2G-2〃)n(n+1)n__n23

?1-24244

2G-2〃)n(n+1)nn23

T=...............-..............——=2"+i—2———一〃?

“1-24244

【點(diǎn)睛】

本題考查利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及分組求和法求數(shù)列的前“項(xiàng)和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔

題.

18、(1)0.8185(2)詳見解析

【解析】

(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)等于小矩形的面積乘以底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，再利用正態(tài)分布的對(duì)稱性進(jìn)行求解.

(2)寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，利用互斥事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式，再列表得到其分布列.

【詳解】

解：(1)從這1000人問卷調(diào)查得到的平均值口為

=35X0.025+45X0.15+55X0.20+65X0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75

=65

???由于得分Z服從正態(tài)分布N(65,210),

P（50,5<Z<94）=P（65-14,5<Z<65+2x14.5）=。6826+0.9544=。用⑻

2

（2）設(shè)得分不低于口分的概率為p,p=P（Z>pi）=l

0.2251

（或由頻率分布直方圖知2=0?。25+0.15+0.2+—^—=0.5=］）

法一：X的取值為10,20,30,40

P（X=10）=1x3=l.

2331

P（X=2O）=L1+L3X3=2_.

23233181

P（X=30）=1x0=

22（33）9，

P（X=40）=—x_x_=—.

233181

所以X的分布列為

X10203040

1721

p

318918

法二：2次隨機(jī)贈(zèng)送的話費(fèi)及對(duì)應(yīng)概率如下

2次話費(fèi)總和203040

2211

P_x__x_

3333

X的取值為10,20,30,40

p（x=10）=L3=l.

2331

P（X=20）=—X—+—X—=—

2329181

P（X=30）=lxi=

299,

P（X=40）=1X￡=J_.

29181

所以X的分布列為

X10203040

1721

p

318918

【點(diǎn)睛】

本題考查了正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于基礎(chǔ)題.

19、(I)a=2“或a=—(-2)(11)12

nn

【解析】

(1)先設(shè)數(shù)列｛a｝的公比為夕，根據(jù)題中條件求出公比，即可得出通項(xiàng)公式；

n

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，由等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】

(1)設(shè)數(shù)列3｝的公比為夕，

n

a

/=4A,

a，

5

4=±2,

「.4=2〃或a=-(-2)?.

nn

2(1—2”),

(2)q2時(shí)，s-.......=2〃—2=126，解得〃=6；

〃1-2

c2(1—(—2)“)2r1

q―-2貸，S=---------------=——(—2)?\=126，

?1+23L」

“無(wú)正整數(shù)解；

綜上所述〃=6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列，熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.

7

20、(1)證明見解析(2)--

【解析】

(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，可得DE//BF,然后根據(jù)勾股定理計(jì)算可得3尸最后利用線面平行的判定定理,

可得結(jié)果.

(2)利用建系的方法，可得平面A5F的一個(gè)法向量為“，平面C0F的法向量為加，然后利用向量的夾角公式以及

平方關(guān)系，可得結(jié)果.

【詳解】一

(1)因?yàn)槠矫鍭5CD,所以。E_LA0,

因?yàn)锳D=4,AE=5,DE=3,同理5尸=3,

又0EJ_平面A5CD,平面A3CD,

所以DE//BF,又BF=DE,

所以平行四邊形3E0F,板DFHBE,

因?yàn)锽EU平面5CE,平面5CE

所以。P〃平面BCE-

(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),A(4,0,0),

C(0,4,0),F(4,3,-3),

DC=(0,4,0),DF=(4,3,-3),

設(shè)平面CDF的法向量為機(jī)=(x,y,z),

Im-DC=4y=0,令x=3,得加=(3,0,4),

由m-DF=4x+3y-3z=0

易知了面ABF的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),

、3

所以?>=-,

7-

故cos2。=2COS20-1=-一,

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定以及利用建系方法解決面面角問題，屬基礎(chǔ)題.

21、(1)見解析(2)最小值為L(zhǎng)

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義，判斷出。的軌跡為拋物線，并由此求得軌跡C的方程.設(shè)出A3兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得

切線尸4,尸8的方程，由此求得尸點(diǎn)的坐標(biāo).寫出直線用的方程，聯(lián)立直線機(jī)的方程和曲線。的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求

得尸點(diǎn)的坐標(biāo)，并由此判斷出P始終在直線/上，且PF_LAB.

(2)設(shè)直線AB的傾斜角為a,求得的表達(dá)式，求得\MN\的表達(dá)式，由此求得四邊形AMBN的面積的表達(dá)式

進(jìn)而求得四邊形AMBN的面積的最小值.

【詳解】

(1)：動(dòng)圓過定點(diǎn)/(0/)，且與直線/：y=-1相切，，動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)/(0/)和定直線y=-1的距離相等，動(dòng)圓圓

心的軌跡c是以尸(0,1)為焦點(diǎn)的拋物線，.?.軌跡c的方程為：X2=4y,

YY2Y

%2=4y,：.y==，.?.直線Bl的方程為：y--=—(x—x),即：4y=2xx—x2①,

242i11

同理，直線P6的方程為：4，=2xx-x2②，

22

__+XXX、

由①②可得：P(—12”方力

[y=kx+l

直線機(jī)方程為：y=kx+l,聯(lián)立｛可得：