人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)5.1.2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義【同步教學(xué)課件】

5.1.2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過(guò)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動(dòng)分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究11.切線的概念在曲線y＝f(x)上任取一點(diǎn)P(x，f(x))，如果當(dāng)點(diǎn)P(x，f(x))沿著曲線y＝f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)P0(x0，f(x0))時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定的位置P0T稱為曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0處的切線.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義點(diǎn)睛(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)即為曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率k＝f′(x0).此時(shí)曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).如果切線的傾斜角為α，則tanα＝f′(x0).(2)若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)不存在，表明曲線在該點(diǎn)處有切線，且切線與x軸垂直或曲線在該點(diǎn)處無(wú)切線.

3.導(dǎo)函數(shù)1.思考辨析，判斷正誤×(1)若f′(x0)＝0，則曲線在x＝x0處切線不存在.(

)提示若f′(x0)＝0，則切線斜率為0，其切線存在，與x軸平行或重合.(2)函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是一個(gè)常數(shù).(

)(3)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)值就是曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線的斜率.(

)(4)直線與曲線相切，則直線與已知的曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).(

)提示

也可能有多個(gè)公共點(diǎn)，如曲線y＝x3在點(diǎn)(1，1)處的切線與曲線y＝x3有兩個(gè)公共點(diǎn).√√×2.若曲線y＝h(x)在點(diǎn)P(a，h(a))處的切線方程為2x＋y＋1＝0，則(

) A.h′(a)＝0 B.h′(a)<0 C.h′(a)>0 D.h′(a)不存在

解析

由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知h′(a)＝－2<0.BA所以2a＝2，所以a＝1.3課堂互動(dòng)題型剖析2題型一求切線方程【例1】

已知曲線C：y＝x3.(1)求曲線C在橫坐標(biāo)為x＝1的點(diǎn)處的切線方程；解將x＝1代入曲線C的方程得y＝1，∴切點(diǎn)P(1，1).＝

[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝3.∴曲線在點(diǎn)P(1，1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)求曲線C過(guò)點(diǎn)(1，1)的切線方程.①當(dāng)x0＝1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，相應(yīng)的切線方程為3x－y－2＝0.即3x－4y＋1＝0.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的方法(1)若已知點(diǎn)(x0，y0)是切點(diǎn)，求在點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程，先求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).(2)若點(diǎn)(x0，y0)不是切點(diǎn)，求過(guò)點(diǎn)(x0，y0)的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程.思維升華∴曲線在點(diǎn)P(2，4)處切線的斜率為∴曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2，4)的切線方程.∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或x0＝2.故所求的切線方程為x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.【例2】

(1)已知拋物線y＝f(x)＝2x2＋1在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°，則該切點(diǎn)的坐標(biāo)為________.題型二求切點(diǎn)坐標(biāo)或參數(shù)值解析

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，又∵切線的斜率為k＝tan45°＝1，(2)若直線y＝3x＋b與曲線y＝x3相切，則b＝________.±2因此x0＝±1，所以P(1，1)或P(－1，－1).因?yàn)辄c(diǎn)P在直線y＝3x＋b上，所以b＝±2.解答此類題目時(shí)，所給的直線的傾斜角或斜率是解題的關(guān)鍵，由這些信息得知函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而可求此點(diǎn)的橫坐標(biāo).解題時(shí)要注意解析幾何知識(shí)的應(yīng)用，如直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，平行，垂直等.思維升華【訓(xùn)練2】

已知曲線f(x)＝x2－1在x＝x0處的切線與曲線g(x)＝1－x3在x＝x0處的切線互相平行，求x0的值.解

對(duì)于曲線f(x)＝x2－1，【例3】

(1)已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是(

)題型三與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)的圖象問(wèn)題A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB) C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能確定B解析

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′(xA)，f′(xB)分別是切線在點(diǎn)A，B處切線的斜率，由圖象可知f′(xA)<f′(xB).(2)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是(

)A解析

函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)在[a，b]上是增函數(shù)，若對(duì)任意x1和x2滿足a<x1<x2<b，則有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知函數(shù)y＝f(x)的切線斜率在[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增，觀察圖象.只有A選項(xiàng)符合.導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)的大小可以根據(jù)函數(shù)圖象，觀察對(duì)應(yīng)切線的斜率的大小.思維升華A.f′(1)<f′(2)<a

B.f′(1)<a<f′(2) C.f′(2)<f′(1)<a

D.a<f′(1)<f′(2)B1.1個(gè)思想

以直代曲：“以直代曲”在微積分中是最基本、最樸素的思想方法，在新的課程標(biāo)準(zhǔn)中也被提到了一定的高度.作為一種基本的數(shù)學(xué)方法，其本質(zhì)是轉(zhuǎn)化與化歸，與極限思想有關(guān).2.1個(gè)注意點(diǎn)

利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上.如果已知點(diǎn)是切點(diǎn)，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知點(diǎn)不是切點(diǎn)，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，f(x0))，表示出切線方程，然后求出切點(diǎn).課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題D2.若曲線y＝f(x)在其上一點(diǎn)(1，3)處的切線過(guò)點(diǎn)(0，2)，則(

) A.f′(1)>0 B.f′(1)＝0 C.f′(1)<0 D.f′(1)不存在A3.已知函數(shù)f(x)在R上有導(dǎo)函數(shù)，f(x)圖象如圖所示，則下列不等式正確的是(

)AA.f′(a)<f′(b)<f′(c) B.f′(b)<f′(c)<f′(a)C.f′(a)<f′(c)<f′(b) D.f′(c)<f′(a)<f′(b)解析

如圖，分別作曲線在x＝a，x＝b，x＝c三處的切線l1，l2，l3，設(shè)切線的斜率分別為k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c).故選A.4.曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x＋y＋1＝0，則(

) A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1D5.(多選題)過(guò)點(diǎn)(2，0)作曲線f(x)＝x3的切線l，則直線l的方程可能為(

) A.y＝0 B.x＝0 C.12x－y－24＝0 D.27x－y－54＝0AD把點(diǎn)(2，0)代入并解得x0＝0或x0＝3.當(dāng)x0＝0時(shí)，切線方程為y＝0；當(dāng)x0＝3時(shí)，切點(diǎn)為(3，27)，斜率k＝27，故切線方程為y－27＝27(x－3)，整理得27x－y－54＝0.二、填空題27.已知f(x)＝mx2＋n，且f(1)＝－1，f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝4x，則m＝________，n＝________.2－3所以m＝2.又f(1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，故m＝2，n＝－3.8.若點(diǎn)P是拋物線y＝x2上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為________.所以點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.即12x－3y－16＝0.10.在拋物線y＝x2上，哪一點(diǎn)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0？哪一點(diǎn)處的切線垂直于這條直線？設(shè)拋物線上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0，則k＝2x0＝4，解得x0＝2.設(shè)拋物線上點(diǎn)Q(x1，y1)處的切線垂直于直線4x－y＋1＝0，11.(多選題)下列說(shuō)法正確的是(

)ACA.若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處也可能有切線B.若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處有切線，則f′(x0)必存在C.若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率不存在D.若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處沒(méi)有切線，則f′(x0)有可能存在解析

k＝f′(x0)，所以f′(x0