人教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)【同步教學課件】

第五章5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)能求簡單的復合函數(shù)(限于形如f(ax＋b))的導數(shù).課標要求素養(yǎng)要求在根據(jù)復合函數(shù)的求導法則求復合函數(shù)的導數(shù)的過程中，發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng).課前預習課堂互動分層訓練內(nèi)容索引課前預習知識探究11.復合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數(shù)，記作____________________.y＝f(g(x))2.復合函數(shù)的求導法則一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導數(shù)與y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝________________，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.yu′·ux′點睛對于復合函數(shù)的求導法則要注意以下三點：(1)yx′＝y(tǒng)u′·ux′也可表示為yx′＝f′(u)·g′(x)；(2)我們把復合函數(shù)的這種求導法則稱為“鏈式法則”；(3)法則可以推廣到兩個以上的中間變量，例如yx′＝y(tǒng)u′·uv′·vx′.

1.思考辨析，判斷正誤(1)函數(shù)y＝sin(πx)的復合過程是y＝sinu，u＝πx.(

)√×(3)f(x)＝x2cos2x，則f′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x.(

)提示f′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x.×2.設(shè)f(x)＝ln(2x＋1)，則f′(x)＝(

)BB4.設(shè)曲線y＝eax在點(0，1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________.2課堂互動題型剖析2題型一求復合函數(shù)的導數(shù)【例1】

求下列函數(shù)的導數(shù).解

(3)設(shè)y＝eu，u＝3x＋2，則yx′＝y(tǒng)′uu′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2，即y′＝3e3x＋2.思維升華(1)求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟(2)求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導時分清是對哪個變量求導；③計算結(jié)果盡量簡潔.【訓練1】

求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3；解

(1)設(shè)y＝u4，u＝2x－1，則yx′＝y(tǒng)u′ux′＝(u4)′(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)設(shè)y＝10u，u＝2x＋3，則yx′＝y(tǒng)u′ux′＝(10u)′(2x＋3)′＝10uln10×2＝2×102x＋3×ln10＝102x＋3×ln100.解

(3)yx′＝(e－x)′sin2x＋e－x·(sin2x)′＝－e－xsin2x＋2e－xcos2x.【例2】

(1)曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線2x－y＋3＝0的最短距離是(

)題型二復合函數(shù)求導法則的綜合應用A2(2)令y＝f(x)，則曲線y＝eax在點(0，1)處的切線的斜率為f′(0)，又切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因為f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.解由題意可知，設(shè)切點P(x0，y0)，則當m＝－12時，直線2x－y－12＝0與曲線y＝ln(2x－1)有交點，則曲線上的點到曲線2x－y＋m＝0的距離為0，故m＝－12舍去.即實數(shù)m的值為8.【遷移2】

(變條件、變結(jié)論)把本例(1)條件變?yōu)椤叭糁本€y＝kx＋b是y＝lnx＋2的切線，也是y＝ln(x＋1)的切線”，求b的值.利用導數(shù)的幾何意義解題時的注意點(1)求曲線過某一定點的切線方程或斜率時，首先應判斷所給定點是不是切點，如果不是，需將切點坐標設(shè)出.(2)切點既在原函數(shù)的圖象上也在切線上，可將切點坐標代入兩者的函數(shù)解析式建立方程組.(3)如果切線的斜率存在，那么函數(shù)在切點處的導數(shù)值等于切線的斜率，這是求切線方程最重要的條件.(4)與曲線只有一個公共點的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個.思維升華【訓練2】

已知f(x)為偶函數(shù)，當x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(1，2)處的切線方程是__________.2x－y＝0解析

設(shè)x>0，則－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以當x>0時，f(x)＝ex－1＋x.因此，當x>0時，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.則曲線y＝f(x)在點(1，2)處的切線的斜率為f′(1)＝2，所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.題型三復合函數(shù)導數(shù)的綜合問題將復合函數(shù)的求導與導數(shù)的實際意義結(jié)合，函數(shù)在某點處的導數(shù)反映了函數(shù)在該點的瞬時變化率，體現(xiàn)導數(shù)揭示物體在某時刻的變化狀況.思維升華【訓練3】

已知某質(zhì)點的位移s與位移時間t滿足s＝tet－1，則質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度為________.解析

s′＝(t＋1)et－1，當t＝1時，s′(1)＝2.1.求復合函數(shù)的導數(shù)的3個注意點：①分解函數(shù)為基本初等函數(shù)；②求導時分清是對哪個變量求導；③計算結(jié)果盡量簡潔.2.和與差的運算法則的1個推廣 [f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn).課堂小結(jié)分層訓練素養(yǎng)提升3

C2.函數(shù)y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，則a＝(

) A.1 B.－1 C.2 D.－2A解析

y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，則y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.3.設(shè)函數(shù)f(x)＝(2021－2020x)3，則f′(1)＝(

)A.6060 B.－6060C.2020 D.－2020B解析

f′(x)＝3×(－2020)(2021－2020x)2，則f′(1)＝3×(－2020)＝－6060.4.(多選題)下列結(jié)論中不正確的是(

)ACD對于B，y＝sinx2，則y′＝2xcosx2，故正確；對于C，y＝cos5x，則y′＝－5sin5x，故錯誤；B二、填空題6.某鐵路線新開行“綠巨人”動力集中復興號動車組，最高時速為160km/h.假設(shè)“綠巨人”開出站一段時間內(nèi)，速度v(m/s)與行駛時間t(s)的關(guān)系v＝0.4t＋0.6t2，則出站后“綠巨人”速度首次達到24m/s時加速度為________(m/s2).7.6解析

當v＝24時，0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6(負根舍去)，v′＝0.4＋1.2t，當t＝6時，v′＝0.4＋1.2×6＝7.6(m/s2).7.已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為________.2解析

設(shè)直線y＝x＋1切曲線y＝ln(x＋a)于點(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.0－1解析

由曲線y＝f(x)過(0，0)點，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.此即為曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線的斜率.所以a＝0，b＝－1.三、解答題9.求下列函數(shù)的導數(shù)：解

(1)設(shè)y＝u8，u＝1＋2x2，∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.(3)y＝sin2x－cos2x；(4)y＝cosx2.解

(3)yx′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′(4)設(shè)y＝cosu，u＝x2，則yx′＝(cosu)′·(x2)′＝(－sinu)·2x＝(－sinx2)·2x＝－2xsinx2.10.已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲線y＝f(x)在點P(0，f(0))處的切線.求切線l的方程.解

f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.f′(0)＝－1，∴切點P的坐標為(0，1)，l的斜率為－1，∴切線l的方程為x＋y－1＝0.ABA.y＝2x＋6 B.y＝2x－4C.y＝3x＋1 D.y＝3x－4解析

y′＝e2x(2cos3x－3sin3x)，∴y′|x＝0＝2，∴直線l的方程為y＝2x＋6或y＝2x－4.2