2024中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：直角三角形過關(guān)檢測(解析版)

18直曼三扇形赴美超瓠

（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）

。、選擇題《本題共10小題，毒小題3分，共30分）8

1.在ZvlBC中，ZA=40°,NC=90°,則NB的度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】8

【解答］解：在“BC中，ZC=90°,

則NA+/B=90°,

VZA=40°,

/.ZB=90°-40°=50°,

故選:B.

2.一直角三角形的兩直角邊長為6和8,則斜邊長為（）

A.10B.13C.7D.14

【答案】A

【解答】解：由勾股定理可得，

斜邊長為：V62+82=10,

故選：A.

,AC=5cm9BC=12cm9則斜邊A5上的高為（

C.30cmD.

13

【答案】D

【解答】解：過C作CaJ_AB于/A

?.,ZC=90°,AC=5cm,BC=l2cm,

■-AB=yl-KC^中,2=13(cm),

,?AABC的面積=LAB?CH=-1AC?8C,

22

A13C7f=5X12,

：.CH=^-,

13

二斜邊AB上的高為N.

13

故選：D.

C1------------------------------

4.如圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,CD為A5邊上中線,過點。作Z)E_LAB,連接AE,BE,若AE=

10,CD=S,則0E的長為（）

E

A^B

C

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解答】解：在RtZXABC中，ZACB=90°,CO為AB邊上中線CD—8,

則AO=C￡>=8,

'：DE±AB,AE=10,

?'?￡>￡，=VAE2-AD2=V102-82=6>

故選：o.

5.如圖，在ZvlBC中，NA8C為直角，/A=30°,8Z）_LAC于O,若CD=2,則AC的長為（）

A

J

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【解答】解：:△ABC中，ZABC=90°,ZA=30°,

；.ZBCD=6Q°,

「MLIC于。，

：.ZDBC=ZA^3Q°,

'：CD=2,

：.BC=4,

,'.AC—8,

故選：A.

6.如圖，若要用“HL”證明RtAiABC咨RtZ\A8Z）,則還需補充條件（）

A.ZBAC=ZBADB.AC=A￡>或

C./ABC=NABDD.以上都不正確

【答案】B

【解答】解：若要用“HZ/'證明RtZ\A2C/RtZiAB。，則還需補充條件AC=AO或BC=5D,

故選：B.

7.如圖，ZA=ZD=90°,AC=DB,則的依據(jù)是（）

【答案】A

【解答】解：HL,

理由是:'：ZA=ZD=90°,

：.在RtAABC和RtAOCB中

fAC=BD

|BC=BC，

/.RtAABC^RtADCB〈HL),

故選:A.

8.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是()

A.1,V2,MB.0.6,0.8,1C.5,11,12D.8,15,17

【答案】D

【解答】解：A、I2+(V2)2=(V3)2'近,向不是正整數(shù)，因此不是勾股數(shù)，不符合題意；

B、0.62+0.82=12,0.6、0.8不是正整數(shù)，因此不是勾股數(shù)，不符合題意；

C、52+112/122因此不是勾股數(shù)，不符合題意；

。、82+152=172都是正整數(shù)，符合題意，因此是勾股數(shù)，符合題意.

故選：D.

9.如圖，長為8cw的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和2,然后把中點C垂直向上拉升3c機到。點,

則橡皮筋被拉長了()

A.2cmB.3cmC.4cmD.1cm

【答案】A

【解答】解：：點C為線段AB的中點，

.'.AC=—AB=4cm,

2

在RtAACD中，CD=3cm；

根據(jù)勾股定理，得：

AD=&C2KM=5(cm)；

'：CD±AB,

：.ZDCA=ZDCB=9Q°,

在△A￡>C和△BDC中，

'DC=DC

-ZACD=ZBCD,

AC=BC

：.AADC^/\BDC(SAS'),

.'.AD=BD=5cm,

S.AD+BD-AB=2AD-AB=10-S=2(cm)；

二橡皮筋被拉長了2cm.

故選：A.

10.勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的

記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理.圖2是

由圖1放入長方形內(nèi)得到的，NBAC=90°,A8=6,8c=10,點O,E,F,G,H,/都在長方形KLMJ

的邊上，則長方形KLMJ的面積為（）

圖1圖2

A.420B.440C.430D.410

【答案】B

【解答】解：如圖，延長交紅于P,延長AC交加于0,

由題意得，ZBAC=ZBPF=ZFBC=90°,BC=BF,

：.ZABC+ZACB^9Q°=ZPBF+ZABC,

：.NACB=/PBF,

：.AABC^APFB(AAS),

同理可證△ABCg/kQCG(AAS),

.?.P2=AC=8,CQ=AB=6,

??,圖2是由圖1放入長方形內(nèi)得到，

「?"=8+6+8=22,6+8+6=20,

，長方形KLMJ的面積=22X20=440.

故選：B.

￡填室題(本題我6%每小題2分，共12分).

11.直角三角形的一個銳角為25°,則它的另一個銳角為65度.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：1,直角三角形的一個銳角為25°,

二它的另一個銳角為90°-25°=65°.

故答案為：65.

12.如圖，在Rt/\ACB中，NACB=90°,以AC為邊向外作正方形AOEC,若圖中陰影部分的面積為

【答案】5.

【解答】解：：正方形ADEC的面積為9,

：.AC2=9,

在Rt^ABC中，由勾股定理得，

AB=22

VAC+BC=V9+16=5(cm),

故答案為：5.

13.如圖，CD是Rt^ABC的中線，ZACB=90°,NCD4=120°,則N8的度數(shù)為60°

【答案】60°.

【解答】解：：NACB=90°,CD是△ABC斜邊AB的中線,

:.AD=CD=BD,

：.ZDCB=ZDBC.

'：ACDA是ACDB的一個外角,

ZCDA=120°,

：.ZDCB+ZDBC^nO°.

：.ZDBC=60°.

故答案為：60°.

14.如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹

的樹梢，問小鳥至少飛行10米.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為48=10米，

小樹高為CD=4米，

過C點作CE±AB于E,則EBDC是矩形，

連接AC,

:.EB=4m,EC=8〃z,AE=A8-￡2=10-4=6（米）,

在RtZ^AEC中，AC=4AE2+EC2=1O（米），

故答案為：10.

15.如圖，△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AB的垂直平分線交AB于點E,交BC于點歹，若BF=

3.5,貝ijCF=7

A

E

BF\C

【答案】7.

【解答】解：連接A凡如圖,

'：AB=AC,ZBAC=120°,

?'-ZB=ZC=yX(180*-120*)=30°，

垂直平分線段AB,8尸=3.5,

：.BF=AF=3.5,

：.ZB=ZBAF=30°,

?.ZFAC=ABAC-ZBAF=9Q°,

.?.在Rtz\APC中，NC=30°,有尸C=2AP=7,

故答案為：7.

16.如圖是一個三級臺階，它的每一級長、寬、高分別是2米、0.3米、0.2米，A,B是這個臺階上兩個相

對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿臺階面爬行到2點最短路程是2.5

_米.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為2,寬為(0.2+0.3)*3,

則螞蟻沿臺階面爬行到8點最短路程是此長方形的對角線長.

可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到2點最短路程為x,

由勾股定理得：x2=22+[(0.2+0.3)X3]2=2.52,

解得x=2.5.

京、解答題(本題共7題，共鵑分)e

17.(6分)如圖，在RtZkABC中，NACB=90°,OE過點C且平行于AB,若NBCE=35°,求/A的度

數(shù).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解："DE//AB,

：.ZB=ZBCE=35°,

?.ZA=90°-35°=55°.

18.(8分)如圖，在△ABC和△DC8中，/A=ND=90°,AC=BD,AC與8。相交于點O.

(1)求證：AABC冬ADCB；

(2)△OBC是何種三角形？證明你的結(jié)論.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】證明：(1)在△ABC和△DCB中，ZA=ZD=90°,

在RtAABC和RtADCB中，

fAC=BD

1BC=BC5

.,.RtAABC^RtADCB(HL)；

(2)△03C是等腰三角形，

由(1)得：RtAABC^RtADCB,

?.NACB=/DBC,

：.OB=OC,

...△OBC是等腰三角形.

19.(8分)如圖，RtZXABC中，NBAC=90°,/C=30°,4。_18(7于。，B尸平分/ABC,交AO于瓦

交AC于E

(1)求證：AAE廠是等邊三角形；

(2)求證：BE=EF.

【答案】(1)證明見解答過程；

(2)證明見解答過程.

【解答】證明：(1)：/a4C=90°,ZC=30°,

ZABC=60°,

：BP平分/ABC,

/.ZABF=ZCBF=30°,

'：AD±BC,

：.ZAZ)B=90°,

:./AEF=/BED=90°-ZCBF=60°,

?/ZAFB=90°-ZABF=60°,

?.ZAFE=ZAEF=60°,

.?.△AEF是等邊三角形；

(2),/ZADB=90°,ZABC=6Q°,

/.ZBAE=ZABF=30°,

：.AE=BE,

由（1）知AAE/是等邊三角形,

：.AE=EF,

：.BE=EF.

20.(8分)如圖，在△ABC中，CD_LAB于點O,AC=6,BC=8,AB=10.求:

(1)△ABC的面積；

(2)線段CD的長.

【答案】（1）24；

（2）4.8.

【解答】解：（1）\'AC=6,2C=8,AB=10,

：.AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

.?.△ABC的面積=/ACXBC=、X6X8=24；

（2）"BC的面積=鼻乂8，="如'，口,

.,.6X8=10CD,

；.CD=4.8.

21.（8分）如圖1,同學(xué)們想測量旗桿的高度〃（米），他們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面，并多出

了一段，但這條繩子的長度未知.小明和小亮同學(xué)應(yīng)用勾股定理分別提出解決這個問題的方案如下：

圖1

小明：①測量出繩子垂直落地后還剩余1米，如圖1;

②把繩子拉直，繩子末端在地面上離旗桿底部4米，如圖2.

小亮：先在旗桿底端的繩子上打了一個結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到如圖3點。處（8O=8C）.

（1）請你按小明的方案求出旗桿的高度九米；

（2）已知小亮舉起繩結(jié)離旗桿4.5米遠(yuǎn)，此時繩結(jié)離地面多高？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）如圖2,設(shè)旗桿的長度為x米，則繩子的長度為（x+1）米,

在RtZkABC中，由勾股定理得：*+42=（x+1）2,

解得：x=7.5,

故旗桿的高度為7.5米；

（2）由題可知，BD=BC=15米,r>E=4.5米.

在Rtz\BDE中，由勾股定理得：8￡2+4.52=7.52,

解得：BE=6,

:.EC=BC-BE=75-6=L5（米），

：.DF=EC=1.5米.

故繩結(jié)離地面1.5米高.

22.（10分）【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正方形,

通過證明可得中間也是一個正方形.其中四個直角三角形直角邊長分別為a、b,斜邊長為c.圖中大正

方形的面積可表示為（a+b）2,也可表示為c2+4X2ab,即（a+b）2=c2+4X—ab,所以02+b2=c2.

22

【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”如圖②所示，用兩個全等的直角三角形拼成一

個直角梯形BCDE,其中△BC4g△4￡）￡r,ZC=ZD=90°,根據(jù)拼圖證明勾股定理.

【定理應(yīng)用】在Rt^ABC中，NC=90°,NA、NB、NC所對的邊長分別為a、b、c.

求證：。2c2+°262=f4-i>4.

【定理應(yīng)用】見解析.

【解答】證明：【嘗試探究】梯形的面積為S=工(a+b)(6+a)=ab+^-(晨+房)，

22

利用分割法，梯形的面積為S=Snpab+—c-+—ab=ab+—c~,

△A/JC△An/1,AL)L2222

■.Clb-\——(02+匕2)=a6H-c2,

22

.,.a2+z?2=c2；

【定理應(yīng)用】2c2+a2b2=02(c2+〃)，c4-M=(c2+%2)(C2-Z>2)=(c2+02)O2,

a2c2+a2b2=c4--4.

23.(10分)如圖，在△ABC中，已知4B=AC,BC>AC,點P在線段BC上運動(P不與B、C重合),

連接AP,作NAPM=/B,PM交AC于點M.