2025屆黑龍江省大興安嶺漠河縣高中高考第三次質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆黑龍江省大興安嶺漠河縣高中高考第三次質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C.2 D.3.設(shè)M是邊BC上任意一點(diǎn),N為AM的中點(diǎn),若,則的值為()A.1 B. C. D.4.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng),每人只能去一個(gè)社區(qū),每個(gè)社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū),乙不去社區(qū),則不同的安排方法種數(shù)為()A.8 B.7 C.6 D.55.已知函數(shù)若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知斜率為的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若為線段中點(diǎn)且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A. B.3 C. D.7.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B.2 C.4 D.38.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.9.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.給出下列四個(gè)命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€(gè)對稱軸是③的一個(gè)對稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.410.已知函數(shù),當(dāng)時(shí),的取值范圍為,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.11.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,則|a+bi|=().A. B. C. D.512.已知為虛數(shù)單位,實(shí)數(shù)滿足,則()A.1 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在△ABC中,a=3,,B=2A,則cosA=_____.14.若,則的最小值是______.15.西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個(gè)特例:勾三,股四,弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù),則這3個(gè)數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的概率為__________.16.某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生.若從中隨機(jī)選出名同學(xué)代表該小組參加知識競賽,則選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,為正數(shù),且,證明:(1);(2).18.(12分)如圖,三棱柱中,與均為等腰直角三角形,,側(cè)面是菱形.(1)證明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)不存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,,求的最小值.20.(12分)如圖所示,在三棱錐中,,,,點(diǎn)為中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)若點(diǎn)為中點(diǎn),求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21.(12分)已知三棱柱中,,是的中點(diǎn),,.(1)求證:;(2)若側(cè)面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))和曲線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)是射線與直線的公共點(diǎn),點(diǎn)是與曲線的公共點(diǎn),求的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

設(shè),利用余弦定理,結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè),由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用,考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2.D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡出,即可得出虛部.【詳解】解:=,故虛部為-2.故選:D.本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.3.B【解析】

設(shè),通過,再利用向量的加減運(yùn)算可得,結(jié)合條件即可得解.【詳解】設(shè),則有.又,所以,有.故選B.本題考查了向量共線及向量運(yùn)算知識,利用向量共線及向量運(yùn)算知識,用基底向量向量來表示所求向量,利用平面向量表示法唯一來解決問題.4.B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為:A(甲,乙)B(丙)C(?。?;A(甲,乙)B(丁)C(丙);A(甲,丙)B(丁)C(乙);A(甲,?。〣(丙)C(乙);A(甲)B(丙,?。〤(乙);A(甲)B(?。〤(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7種,選B.5.D【解析】

由恒成立,等價(jià)于的圖像在的圖像的上方,然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因?yàn)橛珊愠闪?,分別作出及的圖象,由圖知,當(dāng)時(shí),不符合題意,只須考慮的情形,當(dāng)與圖象相切于時(shí),由導(dǎo)數(shù)幾何意義,此時(shí),故.故選:D此題考查的是函數(shù)中恒成立問題,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.6.B【解析】

設(shè),代入雙曲線方程相減可得到直線的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而得到的等式,求出離心率.【詳解】,設(shè),則,兩式相減得,∴,.故選:B.本題考查求雙曲線的離心率,解題方法是點(diǎn)差法,即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.7.A【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出,再由模的定義計(jì)算出模.【詳解】.故選:A.本題考查復(fù)數(shù)的除法法則,考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8.B【解析】

畫出可行域,根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,,三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,顯然原點(diǎn)到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值,此時(shí),點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值,此時(shí).所以的取值范圍是.故選:B本小題考查線性規(guī)劃,兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,數(shù)形結(jié)合思想,應(yīng)用意識.9.C【解析】

由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗(yàn)法判斷②③;對求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個(gè)單位可得,,的值域?yàn)?①錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對稱軸,②正確;當(dāng)時(shí),,所以的一個(gè)對稱中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個(gè).故選:C本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對稱軸和對稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.10.C【解析】

求導(dǎo)分析函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性、極值,可得時(shí),滿足題意,再在時(shí),求解的x的范圍,綜合可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí),,令,則;,則,∴函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.∴函數(shù)在處取得極大值為,∴時(shí),的取值范圍為,∴又當(dāng)時(shí),令,則,即,∴綜上所述,的取值范圍為.故選C.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)值域的方法,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),屬于難題.11.C【解析】試題分析:由已知,-2a+i=1-bi,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,選C考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,復(fù)數(shù)相等的充要條件,復(fù)數(shù)的模12.D【解析】,則故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解.【詳解】解:∵a=3,,B=2A,∴由正弦定理可得:,∴cosA.故答案為.本題主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14.8【解析】

根據(jù),利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)且,即時(shí),等號成立.時(shí),取得最小值.故答案為:本題考查基本不等式,構(gòu)造基本不等式的形式是解題關(guān)鍵.15.【解析】

由組合數(shù)結(jié)合古典概型求解即可【詳解】從11個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)有種不同的方法,其中能構(gòu)成勾股數(shù)的有共三種,所以,所求概率為.故答案為本題考查古典概型與數(shù)學(xué)文化,考查組合問題,數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.16.【解析】

從7人中選出2人則總數(shù)有,符合條件數(shù)有,后者除以前者即得結(jié)果【詳解】從7人中隨機(jī)選出2人的總數(shù)有,則記選出的名同學(xué)中恰好名男生名女生的概率為事件,∴故答案為:組合數(shù)與概率的基本運(yùn)用,熟悉組合數(shù)公式三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】

(1)利用均值不等式即可求證;(2)利用,結(jié)合,即可證明.【詳解】(1)∵,同理有,,∴.(2)∵,∴.同理有,.∴.本題考查利用均值不等式證明不等式,涉及的妙用,屬綜合性中檔題.18.(1)見解析(2)【解析】

(1)取中點(diǎn),連接,,通過證明,得,結(jié)合可證線面垂直,繼而可證面面垂直.(2)設(shè),建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面和平面的法向量,繼而可求二面角的余弦值.【詳解】解析:(1)取中點(diǎn),連接,,由已知可得,,,∵側(cè)面是菱形,∴,,,即,∵,∴平面,∴平面平面.(2)設(shè),則,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,令得.同理可求得平面的法向量,∴.本題考查了面面垂直的判定,考查了二面角的求解.一般在求二面角或者線面角的問題時(shí),常建立空間直角坐標(biāo)系,通過求面的法向量、線的方向向量,繼而求解.特別地,對于線面角問題,法向量與方向向量的余角才是所求的線面角,即兩個(gè)向量夾角的余弦值為線面角的正弦值.19.(1)(2)【解析】分析:(1)先求導(dǎo),再令在上恒成立,得到上恒成立,利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到,再求得,再構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.詳解:(1)由函數(shù)有意義,則由且不存在單調(diào)遞減區(qū)間,則在上恒成立,上恒成立(2)由知,令,即由有兩個(gè)極值點(diǎn)故為方程的兩根,,,則由由,則上單調(diào)遞減,即由知綜上所述,的最小值為.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的難點(diǎn)有兩個(gè),其一是求出,其二是構(gòu)造函數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.20.(1)答案見解析.(2)【解析】

(1)通過證明平面,證得,證得,由此證得平面,進(jìn)而證得平面平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計(jì)算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1)因?yàn)?,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以.因?yàn)椋c(diǎn)為中點(diǎn),所以.因?yàn)?,所以平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線分別為軸,軸,過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量,則即取,則,,所以,設(shè)平面的一個(gè)法向量,則即取,則,,所以,設(shè)平面與平面所成銳二面角為,則.所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.本小題主要考查面面垂直的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)取的中點(diǎn),連接,,證明平面得出,再得出;(2)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,計(jì)算,即可得出答案.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接,,,,,,,故,又,,平面,平面,,,分別是,的中點(diǎn),,.(2)解:四邊形是正方形,,又,,平面,平面,在平面內(nèi)作直線的垂線,以為原點(diǎn),以,,為所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,1,,,2,,,0,,,1,,,2,,,1,,設(shè)平面

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