2025屆湖南省汨羅市第二中學(xué)高三下學(xué)期檢測試題卷（一）數(shù)學(xué)試題含解析

2025屆湖南省汨羅市第二中學(xué)高三下學(xué)期檢測試題卷（一）數(shù)學(xué)試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A． B． C． D．2．如圖，內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)是正實數(shù)，則實數(shù)的值為()A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．15．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則（）A．4 B．3 C．2 D．16．已知全集，函數(shù)的定義域為，集合，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．7．若不等式在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．8．已知集合，則()A． B．C． D．9．大衍數(shù)列，米源于我國古代文獻《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則大衍數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式為（）A． B． C． D．10．設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則的一個充分條件是（）A．且 B．且 C．且 D．且11．不等式的解集記為，有下面四個命題：；；；.其中的真命題是（）A． B． C． D．12．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為______.14．“”是“”的__________條件.（填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）15．袋中裝有兩個紅球、三個白球，四個黃球，從中任取四個球，則其中三種顏色的球均有的概率為________.16．已知邊長為的菱形中，，現(xiàn)沿對角線折起，使得二面角為，此時點，，，在同一個球面上，則該球的表面積為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.（1）求的值；（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？文科生理科生合計獲獎6不獲獎合計400（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知橢圓（）的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線與橢圓交于不同的兩點，，試問在軸上是否存在定點使得直線與直線恰關(guān)于軸對稱？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.19．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分別是AB，A1C的中點.（1）求證：直線MN⊥平面ACB1；（2）求點C1到平面B1MC的距離.20．（12分）如圖，已知四棱錐，底面為邊長為2的菱形，平面，，是的中點，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若為上的動點，求與平面所成最大角的正切值．21．（12分）如圖,直角三角形所在的平面與半圓弧所在平面相交于,，,分別為,的中點,是上異于,的點,.（1）證明:平面平面;（2）若點為半圓弧上的一個三等分點(靠近點)求二面角的余弦值.22．（10分）已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列，，，且，，依次成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的前n項和；（2）若，求數(shù)列的前n項和為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

先利用向量坐標(biāo)運算求解，再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量，故向量在向量上的投影是.故選：A本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運算和向量投影的概念，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.2．B【解析】

根據(jù)已知證明平面，只要設(shè)，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值．【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形.又因為平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，，設(shè)，則，所以，所以.又因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以.故選：B．本題考查求棱錐體積的最大值．解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長為，用建立體積與邊長的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值．3．C【解析】

將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，由題意可得實部大于零，虛部等于零，即可得到答案.【詳解】因為為正實數(shù)，所以且，解得.故選：C本題考查復(fù)數(shù)的基本定義，屬基礎(chǔ)題.4．C【解析】

化簡復(fù)數(shù)，分子分母同時乘以，進而求得復(fù)數(shù)，再求出，由此得到虛部.【詳解】，，所以的虛部為.故選：C本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.5．A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】由成等比數(shù)列得，即，已知，解得.故選：.本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.6．A【解析】

求函數(shù)定義域得集合M，N后，再判斷．【詳解】由題意，，∴．故選A．本題考查集合的運算，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素．確定集合的元素時要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域，還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點集，都由代表元決定．7．C【解析】

由題可知，設(shè)函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的極值點，得出單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)，，因為，所以，或，因為時，，或時，，，其圖象如下：當(dāng)時，至多一個整數(shù)根；當(dāng)時，在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，只需，，所以.故選：C.本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.8．B【解析】

先由得或，再計算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B本題主要考查了集合的交集，補集的運算，考查學(xué)生的運算求解能力.9．B【解析】

直接代入檢驗，排除其中三個即可．【詳解】由題意，排除D，，排除A，C．同時B也滿足，，，故選：B．本題考查由數(shù)列的項選擇通項公式，解題時可代入檢驗，利用排除法求解．10．B【解析】由且可得，故選B.11．A【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示，當(dāng)時，，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.12．B【解析】

由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，由此求出四棱錐的體積．【詳解】由三視圖知該四棱錐是底面為正方形，且一側(cè)棱垂直于底面，畫出四棱錐的直觀圖，如圖所示：則該四棱錐的體積為.故選：B.本題考查了利用三視圖求幾何體體積的問題，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖：此四棱錐的高為，底面是長為，寬為2的矩形，所以體積.所以本題答案為.本題考查幾何體與三視圖的對應(yīng)關(guān)系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進行判斷.14．充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.15．【解析】

基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有包含的基本事件個數(shù)m72，由此能求出其中三種顏色的球都有的概率．【詳解】解：袋中有2個紅球，3個白球和4個黃球，從中任取4個球，基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有，可能是2個紅球，1個白球和1個黃球或1個紅球，2個白球和1個黃球或1個紅球，1個白球和2個黃球，所以包含的基本事件個數(shù)m72，∴其中三種顏色的球都有的概率是p．故答案為：．本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．16．【解析】

分別取，的中點，，連接，由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上，設(shè)球心為，半徑為，，由勾股定理可得、，再根據(jù)球的面積公式計算可得；【詳解】如圖，分別取，的中點，，連接，則易得，，，，由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上，設(shè)球心為，半徑為，，可得，解得，.故該球的表面積為.故答案為：本題考查多面體的外接球的計算，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），，.（2）填表見解析；在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)（3）詳見解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分步直方圖和構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，即可得解；（2）由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫列聯(lián)表，再用的計算公式運算即可；（3）獲獎的概率為，隨機變量，再根據(jù)二項分布即可求出其分布列與期望.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知，，因為構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以，解得，所以，.故，，.（2）獲獎的人數(shù)為人，因為參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，所以400人中文科生的數(shù)量為，理科生的數(shù)量為.由表可知，獲獎的文科生有6人，所以獲獎的理科生有人，不獲獎的文科生有人.于是可以得到列聯(lián)表如下：文科生理科生合計獲獎61420不獲獎74306380合計80320400所以在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).（3）由（2）可知，獲獎的概率為，的可能取值為0，1，2，，，，分布列如下：012數(shù)學(xué)期望為.本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計案例和離散型隨機變量的分布列與期望，考查學(xué)生的閱讀理解能力和計算能力，屬于中檔題．18．(1)(2)見解析【解析】

（1）由題得a,b,c的方程組求解即可（2）直線與直線恰關(guān)于軸對稱，等價于的斜率互為相反數(shù)，即，整理.設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，將韋達定理代入整理即可.【詳解】(1)由題意可得，，又，解得，.所以，橢圓的方程為(2)存在定點，滿足直線與直線恰關(guān)于軸對稱.設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，整理得，.設(shè)，，定點.(依題意則由韋達定理可得，，.直線與直線恰關(guān)于軸對稱，等價于的斜率互為相反數(shù).所以，，即得.又，，所以，，整理得，.從而可得，，即，所以，當(dāng)，即時，直線與直線恰關(guān)于軸對稱成立.特別地，當(dāng)直線為軸時，也符合題意.綜上所述，存在軸上的定點，滿足直線與直線恰關(guān)于軸對稱.本題考查橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系，熟記橢圓方程簡單性質(zhì)，熟練轉(zhuǎn)化題目條件，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是中檔題.19．（1）證明見解析.（2）【解析】

（1）連接AC1，BC1，結(jié)合中位線定理可證MN∥BC1，再結(jié)合線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)分別求證AC⊥BC1，BC1⊥B1C，即可求證直線MN⊥平面ACB1；（2）作交于點，通過等體積法，設(shè)C1到平面B1CM的距離為h，則有，結(jié)合幾何關(guān)系即可求解【詳解】（1）證明：連接AC1，BC1，則N∈AC1且N為AC1的中點；∵M是AB的中點.所以：MN∥BC1；∵A1A⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴A1A⊥AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC，∴AC⊥CC1，∵∠ACB＝90°，BC∩CC1＝C，BC?平面BB1C1C，CC1?平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，∴AC⊥BC1；又MN∥BC1∴AC⊥MN，∵CB＝C1C＝1，∴四邊形BB1C1C正方形，∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C，而AC∩B1C＝C，且AC?平面ACB1，CB1?平面ACB1，∴MN⊥平面ACB1，（2）作交于點，設(shè)C1到平面B1CM的距離為h，因為MP，所以?MP，因為CM，B1C；B1M，所以所以：CM?B1M.因為，所以，解得所以點，到平面的距離為本題主要考查面面垂直的證明以及點到平面的距離，一般證明面面垂直都用線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直，而點到面的距離常用體積轉(zhuǎn)化來求，屬于中檔題20．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）由底面為邊長為2的菱形，平面，，易證平面，可得；（Ⅱ）連結(jié)，由（Ⅰ）易知為與平面所成的角，在中，可求得.試題解析：（Ⅰ）∵四邊形為菱形，且，∴為正三角形，又為中點，∴；又，∴，∵平面，又平面，∴，∴平面，又平面，∴；(Ⅱ)連結(jié)，由（Ⅰ）知平面，∴為與平面所成的角，在中，，最大當(dāng)且僅當(dāng)最短，即時最大，依題意，此時，在中，，∴，，∴與平面所成最大角的正切值為．考點：1.線線垂直證明；2.求線面