2024年北師大版數學八年級上冊知識點總結

北師大版《數學》（八年級上冊）知識點總結勾股定理1、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即2、勾股定理的逆定理假如三角形的三邊長a，b，c有關系，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股數：滿足的三個正整數，稱為勾股數。實數壹、實數的概念及分類1、實數的分類 正有理數有理數零有限小數和無限循環(huán)小數實數負有理數正無理數無理數無限不循環(huán)小數負無理數2、無理數：無限不循環(huán)小數叫做無理數。在理解無理數時，要抓住“無限不循環(huán)”這壹時之，歸納起來有四類：（1）開方開不盡的數，如等；（2）有特定意義的數，如圓周率π，或化簡後具有π的數，如+8等；（3）有特定構造的數，如0.…等；（4）某些三角函數值，如sin60o等二、實數的倒數、相反數和絕對值1、相反數實數與它的相反數時壹對數（只有符號不壹樣的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點有關原點對稱，假如a與b互為相反數，則有a+b=0，a=—b，反之亦成立。2、絕對值在數軸上，壹種數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。（|a|≥0）。零的絕對值是它自身，也可當作它的相反數，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。3、倒數假如a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于自身的數是1和-1。零沒有倒數。4、數軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺壹不可）。解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是壹壹對應的，并能靈活運用。5、估算三、平方根、算數平方根和立方根1、算術平方根：壹般地，假如壹種正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x就叫做a的算術平方根。尤其地，0的算術平方根是0。表達措施：記作“”，讀作根號a。性質：正數和零的算術平方根都只有壹種，零的算術平方根是零。2、平方根：壹般地，假如壹種數x的平方等于a，即x2=a，那么這個數x就叫做a的平方根（或二次方根）。表達措施：正數a的平方根記做“”，讀作“正、負根號a”。性質：壹種正數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。開平方：求壹種數a的平方根的運算，叫做開平方。注意的雙重非負性：03、立方根壹般地，假如壹種數x的立方等于a，即x3=a那么這個數x就叫做a的立方根（或三次方根）。表達措施：記作性質：壹種正數有壹種正的立方根；壹種負數有壹種負的立方根；零的立方根是零。注意：，這闡明三次根號內的負號可以移到根號外面。四、實數大小的比較1、實數比較大?。赫龜挡恍∮诹?，負數不不小于零，正數不小于壹切負數；數軸上的兩個點所示的數，右邊的總比左邊的大；兩個負數，絕對值大的反而小。2、實數大小比較的幾種常用措施（1）數軸比較：在數軸上表達的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。（2）求差比較：設a、b是實數，（3）求商比較法：設a、b是兩正實數，（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則。（5）平措施：設a、b是兩負實數，則。五、算術平方根有關計算（二次根式）1、具有二次根號“”；被開方數a必須是非負數。2、性質：（1）（2）（3）（）（4）（）3、運算成果若具有“”形式，必須滿足：（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式六、實數的運算（1）六種運算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實數的運算次序先算乘方和開方，再算乘除，最終算加減，假如有括號，就先算括號裏面的。（3）運算律加法互換律加法結合律乘法互換律乘法結合律乘法對加法的分派律圖形的平移與旋轉壹、平移1、定義在平面內，將壹種圖形整體沿某方向移動壹定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。2、性質平移前後兩個圖形是全等圖形，對應點連線平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。二、旋轉1、定義在平面內，將壹種圖形繞某壹定點沿某個方向轉動壹種角度，這樣的圖形運動稱為旋轉，這個定點稱為旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。2、性質旋轉前後兩個圖形是全等圖形，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線所成的角等于旋轉角。四邊形性質探索壹、四邊形的有關概念1、四邊形在同壹平面內，由不在同壹直線上的四條線段首尾順次相接構成的圖形叫做四邊形。2、四邊形具有不穩(wěn)定性3、四邊形的內角和定理及外角和定理四邊形的內角和定理：四邊形的內角和等于360°。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。推論：多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于180°；多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。6、設多邊形的邊數為n，則多邊形的對角線共有條。從n邊形的壹種頂點出發(fā)能引（n-3）條對角線，將n邊形提成（n-2）個三角形。二、平行四邊形1、平行四邊形的定義兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質（1）平行四邊形的對邊平行且相等。（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等（3）平行四邊形的對角線互相平分。（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。常用點：（1）若壹直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被壹組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的鑒定（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：壹組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線的距離兩條平行線中，壹條直線上的任意壹點到另壹條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。平行線間的距離到處相等。5、平行四邊形的面積S平行四邊形=底邊長×高=ah三、矩形1、矩形的定義有壹種角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質（1）矩形的對邊平行且相等（2）矩形的四個角都是直角（3）矩形的對角線相等且互相平分（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。3、矩形的鑒定（1）定義：有壹種角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積S矩形=長×寬=ab四、菱形1、菱形的定義有壹組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質（1）菱形的四條邊相等，對邊平行（2）菱形的相鄰的角互補，對角相等（3）菱形的對角線互相垂直平分，并且每壹條對角線平分壹組對角（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。3、菱形的鑒定（1）定義：有壹組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積S菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的二分之壹五、正方形（3~10分）1、正方形的定義有壹組鄰邊相等并且有壹種角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質（1）正方形四條邊都相等，對邊平行（2）正方形的四個角都是直角（3）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每壹條對角線平分壹組對角（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。3、正方形的鑒定鑒定壹種四邊形是正方形的重要根據是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積設正方形邊長為a，對角線長為bS正方形=六、梯形（壹）1、梯形的有關概念壹組對邊平行而另壹組對邊不平行的四邊形叫做梯形。梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，壹般把較短的底叫做上底，較長的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。2、梯形的鑒定（1）定義：壹組對邊平行而另壹組對邊不平行的四邊形是梯形。（2）壹組對邊平行且不相等的四邊形是梯形。（二）直角梯形的定義：壹腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。壹般地，梯形的分類如下：壹般梯形梯形直角梯形特殊梯形等腰梯形（三）等腰梯形1、等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。（2）等腰梯形同壹底上的兩個角相等，同壹腰上的兩個角互補。（3）等腰梯形的對角線相等。（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有壹條對稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的鑒定（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同壹底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）（四）梯形的面積（1）如圖，（2）梯形中有關圖形的面積：①；②；③七、有關中點四邊形問題的知識點：（1）順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；（4）順次連接等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；（5）順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；（6）順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；（7）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形；八、中心對稱圖形1、定義在平面內，壹種圖形繞某個點旋轉180°，假如旋轉前後的圖形互相重疊，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。2、性質（1）有關中心對稱的兩個圖形是全等形。（2）有關中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都通過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）有關中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同壹直線上）且相等。3、鑒定假如兩個圖形的對應點連線都通過某壹點，并且被這壹點平分，那么這兩個圖形有關這壹點對稱。九、四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的關系圖：位置確實定壹、在平面內，確定物體的位置壹般需要兩個數據。二、平面直角坐標系及有關概念1、平面直角坐標系在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸，構成平面直角坐標系。其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統(tǒng)稱坐標軸。它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。2、為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第壹象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x軸和y軸上的點（坐標軸上的點），不屬于任何壹種象限。3、點的坐標的概念對于平面內任意壹點P,過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應的數a，b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數對（a，b）叫做點P的坐標。點的坐標用（a，b）表達，另壹方面序是橫坐標在前，縱坐標在後，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內點的坐標是有序實數對，當時，（a，b）和（b，a）是兩個不壹樣點的坐標。平面內點的與有序實數對是壹壹對應的。4、不壹樣位置的點的坐標的特性（1）、各象限內點的坐標的特性點P(x,y)在第壹象限點P(x,y)在第二象限點P(x,y)在第三象限點P(x,y)在第四象限（2）、坐標軸上的點的特性點P(x,y)在x軸上，x為任意實數點P(x,y)在y軸上，y為任意實數點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同步為零，即點P坐標為（0，0）即原點（3）、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特性點P(x,y)在第壹、三象限夾角平分線（直線y=x）上x與y相等點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數（4）、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特性位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相似。位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相似。（5）、有關x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特性點P與點p’有關x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數，即點P（x，y）有關x軸的對稱點為P’（x，-y）點P與點p’有關y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數，即點P（x，y）有關y軸的對稱點為P’（-x，y）點P與點p’有關原點對稱橫、縱坐標均互為相反數，即點P（x，y）有關原點的對稱點為P’（-x，-y）(6)、點到坐標軸及原點的距離點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：（1）點P(x,y)到x軸的距離等于（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于（3）點P(x,y)到原點的距離等于三、坐標變化與圖形變化的規(guī)律：坐標（x，y）的變化圖形的變化x×a或y×a被橫向或縱向拉長（壓縮）為本來的a倍x×a，y×a放大（縮?。楸緛淼腶倍x×（-1）或y×（-1）有關y軸或x軸對稱x×（-1），y×（-1）有關原點成中心對稱x+a或y+a沿x軸或y軸平移a個單位x+a，y+a沿x軸平移a個單位，再沿y軸平移a個單壹次函數壹、函數：壹般地，在某壹變化過程中有兩個變量x與y，假如給定壹種x值，對應地就確定了壹種y值，那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。二、自變量取值范圍使函數故意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。壹般從整式（取全體實數），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數為非負數）、實際意義幾方面考慮。三、函數的三種表達法及其優(yōu)缺陷（1）關系式（解析）法兩個變量間的函數關系，有時可以用壹種具有這兩個變量及數字運算符號的等式表達，這種表達法叫做關系式（解析）法。（2）列表法把自變量x的壹系列值和函數y的對應值列成壹種表來表達函數關系，這種表達法叫做列表法。（3）圖象法用圖象表達函數關系的措施叫做圖象法。四、由函數關系式畫其圖像的壹般環(huán)節(jié)（1）列表：列表給出自變量與函數的某些對應值（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出對應的點（3）連線：按照自變量由小到大的次序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。五、正比例函數和壹次函數1、正比例函數和壹次函數的概念壹般地，若兩個變量x，y間的關系可以表到達（k，b為常數，k0）的形式，則稱y是x的壹次函數（x為自變量，y為因變量）。尤其地，當壹次函數中的b=0時（即）（k為常數，k0），稱y是x的正比例函數。2、壹次函數的圖像:所有壹次函數的圖像都是壹條直線3、壹次函數、正比例函數圖像的重要特性：壹次函數的圖像是通過點（0，b）的直線；正比例函數的圖像是通過原點（0，0）的直線。k的符號b的符號函數圖像圖像特性k>0b>0y0x圖像通過壹、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0y0x圖像通過壹、三、四象限，y隨x的增大而增大。K<0b>0y0x圖像通過壹、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0y0x圖像通過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當b=0時，壹次函數變?yōu)檎壤瘮?，正比例函數是壹次函數的特例?、正比例函數的性質壹般地，正比例函數有下列性質：（1）當k>0時，圖像通過第壹、三象限，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，圖像通過第二、四象限，y隨x的增大而減小。5、壹次函數的性質壹般地，壹次函數有下列性質：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小6、正比例函數和壹次函數解析式確實定確定壹種正比例函數，就是要確定正比例函數定義式（k0）中的常數k。確定壹種壹次函數，需要確定壹次函數定義式（k0）中的常數k和b。解此類問題的壹般措施是待定系數法。7、壹次函數與壹元壹次方程的關系：任何壹種壹元壹次方程都可轉化為：kx+b=0（k、b為常數，k≠0）的形式．而壹次函數解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數，k≠0）．當函數值為0時，即kx+b=0就