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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市石景山區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合,,則(

)A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?,,所以,故選:D.2.已知命題p:“”,則為()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗特稱命題的否定是全稱命題.命題p:“”,的否定為:.故選:C.3.已知等差數(shù)列,則等于()A. B.0 C.2 D.5〖答案〗B〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)?,所以,解得:?故選:B.4.已知事件A,B相互獨(dú)立,,,則等于()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭录嗀,B相互獨(dú)立,所以,所以,故選:B.5.在數(shù)列中,,(),則的值為(

)A.-2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗數(shù)列中,由,,得,同理可得,,...,所以,則.故選:D.6.函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直,則(

)A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由知,故.由于的斜率為,故在點(diǎn)處的切線斜率為.所以,故,得.故選:A.7.已知函數(shù),則下列選項(xiàng)正確的是(

)A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗,當(dāng)時(shí),,所以是單調(diào)遞增函數(shù),因?yàn)?,所?故選:D.8.已知數(shù)列是等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,則“”是“”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗,而,所以,充分性成立;反過(guò)來(lái)若,若,則一定有,所以,,故,必要性成立;也就是說(shuō),已知數(shù)列是等比數(shù)列,則“”是“”的充分必要條件.故選:C.9.若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的范圍為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗,則函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)圖象與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).又,則當(dāng)時(shí),,得在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在處取得極小值.又時(shí),,據(jù)此可得大致圖象如下:則.故選:C10.數(shù)列的通項(xiàng)公式為(),前n項(xiàng)和為,給出下列三個(gè)結(jié)論:①存在正整數(shù),使得;②存正整數(shù),使得;③記,則數(shù)列有最大項(xiàng)和最小項(xiàng).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意,數(shù)列的通項(xiàng)公式為,令,即,解得或(舍去),即,所以,即存在正整數(shù),使得,所以①正確;由,存在正整數(shù),使得,所以②正確;由數(shù)列的通項(xiàng)公式為,可得,且當(dāng)時(shí),,所以,所以當(dāng)時(shí),數(shù)列有最小項(xiàng),當(dāng)時(shí),數(shù)列有最大項(xiàng),所以③正確.故選:A.第二部分(非選擇題共60分)二、填空題共5小題,每小題4分,共20分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開____________.〖答案〗〖解析〗要使函數(shù)有意義,則,解得,故〖答案〗為:.12.已知函數(shù)定義域?yàn)?,為其?dǎo)函數(shù),函數(shù)的圖象如圖所示,且,,則不等式的解集為________.〖答案〗〖解析〗由導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,因?yàn)?,,?dāng)時(shí),,即不等式的解集為;故〖答案〗:13.已知數(shù)列是等比數(shù)列,且,,則_____________.〖答案〗〖解析〗由是等比數(shù)列,知.所以.故〖答案〗為:.14.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,則__________,過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為_______________.〖答案〗①4②〖解析〗的導(dǎo)數(shù)為,,解得,故,即;設(shè)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切,切點(diǎn)為,且,故切線斜率為,即切線方程為,切線方程過(guò)點(diǎn),代入方程可得,解得或,當(dāng)時(shí),直線方程為;當(dāng)時(shí),直線方程為.故〖答案〗為:4,.15.已知,函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),給出下列四個(gè)結(jié)論:①可能是負(fù)數(shù);②;③為定值;④若存在,使得,則.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________.〖答案〗②③④〖解析〗對(duì)于①,,因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),所以有兩個(gè)相異實(shí)根,這意味著,否則時(shí),,即單調(diào)遞增,這與已知矛盾,若,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,即在的條件下,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以有兩個(gè)極值點(diǎn),故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,是方程的兩根,從而,故②正確;對(duì)于③,,故③正確;對(duì)于④,若存在,使,即關(guān)于的不等式有解,而沒(méi)有最大值,故原命題等價(jià)于關(guān)于的不等式有解,令,而函數(shù)的最小值為1,所以當(dāng)且僅當(dāng),即滿足題意,即若存在,使得,則,故④正確.故〖答案〗為:②③④.三、解答題共5小題,共40分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,演算步驟或證明過(guò)程.16.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值;(2)若對(duì)都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)由,所以.得或.當(dāng)變化時(shí),在各區(qū)間上的正負(fù),以及的單調(diào)性如下表所示.+0-0+↗極大↘極小↗所以當(dāng)時(shí)取極大值;當(dāng)時(shí)取極小值.(2)由(1)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則在上的最小值.對(duì)都有恒成立,所以.17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,從條件①、條件②和條件③中選擇兩個(gè)作為已知,并完成解答.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),證明數(shù)列的前n項(xiàng)和.條件①,條件②,條件③.注:如果選擇的條件不符合要求,得0分;如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.解:(1)由于是等差數(shù)列,設(shè)公差為,當(dāng)選①②時(shí):,解得,所以的通項(xiàng)公式,.選①③時(shí),解得,所以的通項(xiàng)公式,.選②③時(shí),解得,所以的通項(xiàng)公式,.(2)由(1)知,,所以,所以,因?yàn)椋?18.某植物園種植一種觀賞花卉,這種觀賞花卉的高度(單位:cm)介于之間,現(xiàn)對(duì)植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測(cè)量,所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.(1)求的值;(2)若從高度在和中分層抽樣抽取5株,在這5株中隨機(jī)抽取3株,記高度在內(nèi)的株數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;(3)以頻率估計(jì)概率,若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株,求至少有2株高度在的概率.解:(1)依題意可得,解得;(2)由(1)可得高度在和的頻率分別為和,所以分層抽取的5株中,高度在和的株數(shù)分別為2和3,所以可取0,1,2,所以,,,所以的分布列為:012所以;(3)從所有花卉中隨機(jī)抽取3株,記至少有2株高度在為事件,則.19.已知函數(shù).(1)求證:當(dāng)時(shí),;(2)當(dāng)時(shí),若曲線在曲線的上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)令,.由得,于是,故函數(shù)是上的增函數(shù).所以當(dāng)時(shí),,即;(2)當(dāng)時(shí),由(1)知,滿足題意.令,則.當(dāng)時(shí),若,,則在上是減函數(shù).所以時(shí),,不合題意.當(dāng)時(shí),,則在上是減函數(shù),所以,不合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍.20.若數(shù)列對(duì)任意的,均滿足,則稱為“速增數(shù)列”.(1)已知數(shù)列是首項(xiàng)為1公比

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