數(shù)列的概念 高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.1.1數(shù)列的概念學習目標1.通過實例，了解數(shù)列的概念和表示方法，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)．2.數(shù)列及其有關概念，通項公式及其應用.①會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項;②會根據(jù)其前幾項寫出它的通項公式.情境導入德國的天文學家提丟斯于1766年提出了一個數(shù)列：3，6，12，24，48，96，192……0，3，6，12，24，48，96，192……4，7，10，16，28，52，100，196……0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，19.6……他由此得出了太陽到行星平均距離的經(jīng)驗定律！情境導入

某些樹木各年的枝干數(shù)1，1，2，3，5，8……某足球前鋒5場進球數(shù)4，1，0，1，0王芳從1歲到17歲每年的身高依次排成一列數(shù)：75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.它們之間能否交換位置？具有確定的順序嗎？記王芳第i歲時的身高為hi，h1=75，h2＝87，h3=96，……，h17＝168．不能交換位置，具有確定的順序.1、數(shù)列的定義按一定次序排列的一列數(shù)，叫做數(shù)列.2、數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項.3、數(shù)列的分類項數(shù)有限的數(shù)列稱為有窮數(shù)列;項數(shù)無限的數(shù)列稱為無窮數(shù)列.一、數(shù)列的概念

二、數(shù)列的通項公式f(n)?不是所有的數(shù)列都有通項公式

思考辨析，判斷正誤(1)1，1，1，1是一個數(shù)列.(

)(2)數(shù)列1，3，5，7，…的第10項是21.(

)提示

第10項并不一定是21，也可能是其他任何數(shù).(3)每一個數(shù)列都有通項公式.(

)提示

并不是每一個數(shù)列都有通項公式.(4)如果一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列.(

)提示

也可能是擺動數(shù)列，如：1，－1，1，－1，….√×××思考1：1，2，3，4，5與5，4，3，2，1是不是同一個數(shù)列?思考2：集合和數(shù)列的區(qū)別是什么？集合中的元素滿足：無序性，互異性，確定性.數(shù)列中的項滿足：有序性，可重復性.思考3：

例2根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式：

解：

通項公式不唯一

本課小結：本節(jié)課我們學習了：1.數(shù)列的定義；2.數(shù)列的表示；3.數(shù)列的分類；4.數(shù)列的通項公式.

復習回顧1.有窮數(shù)列與無窮數(shù)列：若數(shù)列是有限項，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列.2.數(shù)列{an}的單調性：若滿足an<an＋1(n∈N*)則是遞增數(shù)列；若滿足an>an+1(n∈N*)則是遞減數(shù)列；若滿足an＝an＋1(n∈N*)則是常數(shù)列；若an與an＋1(n∈N*)的大小不確定時，則是擺動數(shù)列.4、數(shù)列的分類【回顧】寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：（1）6，66，666，6666，…；解

這個數(shù)列的奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，前6項的絕對值可看作分母依次為1，2，3，4，5，6，分子依次為1，3，1，3，1，3，所以它的一個通項公式為解

法一函數(shù)單調性法當n<8時，an＋1－an>0，即an＋1>an，即{an}在n<8時單調遞增；當n＝8時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an，得a8＝a9；當n>8時，an＋1－an<0，即an＋1<an，得{an}在n>8時單調遞減.法二不等式組法解得8≤n≤9.又因為n∈N*，所以n＝8或9.求數(shù)列{an}的最大(小)項的方法(1)利用判斷函數(shù)單調性的方法，先判斷數(shù)列的單調情況，再求數(shù)列的最大項或最小項；如本題利用差值比較法來探討數(shù)列的單調性，以此求解最大項.思維升華學習目標1.理解數(shù)列的遞推公式是數(shù)列的表示方法的一種形式.2.掌握由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式的方法.3.會用an與求和公式Sn的關系求通項公式.思考

你能用數(shù)學語言歸納出前一項與后一項的關系嗎？

如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.三、數(shù)列的遞推公式知道了首相和遞推公式，就能知道數(shù)列的每一項了.

問題1：什么是一個數(shù)列的遞推公式？1，3，9，27……

問題2：相鄰多項之間的關系能用遞推公式來表示嗎？1，1，2，3，5，8，13，21，34……（斐波那契數(shù)列）1，3，9，27……項與序號之間的關系相鄰兩項之間的關系

通項公式遞推公式問題3：一個數(shù)列的通項公式和遞推公式有何聯(lián)系與區(qū)別？數(shù)列的遞推公式也是數(shù)列的表示方法的一種形式.思考辨析，判斷正誤(1)數(shù)列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，則a2＝2a1.(

)(2)利用an＋1＝2an，n∈N*可以確定數(shù)列{an}.(

)提示

只有給出a1的值(或者任意一項的值)，才可以確定數(shù)列{an}.(3)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則an＝Sn－Sn－1.(

)√××(4)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法.(

)√

解：練習A2.數(shù)列{an}，a2＝1，an＋an＋1＝2n，n∈N*，則a1＋a3的值為(

) A.4 B.5 C.6 D.8A3.已知數(shù)列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，則a9＝________.練習a1＝1也符合上式，思維升華把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an四、數(shù)列的求和公式如果數(shù)列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n項和公式.問題4：什么是數(shù)列的前n項和公式？Sn＝g（n）Sn＝a1＋a2＋…＋an-1＋an問題5：數(shù)列的前n項和公式與通項公式有何聯(lián)系？Sn-1Sn-1＝a1＋a2＋…＋an-1(n≥2)

解：

(2)∵Sn＝2n－1，∴當n＝1時，a1＝S1＝2－1＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.當n＝1時，a1＝1符合上式，∴an＝2n－1.

用an與Sn的關系求an的步驟(1)先利用Sn求出a1(a1＝S1)；(2)再確定n≥2時an＝Sn－Sn－1的表達式；(3)驗證a1的值是否適合an＝Sn－Sn－1的表達式；(4)寫出數(shù)列的通項公式.思維升華練習1.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－2n，則a2＋a18等于(

) A.36 B.35

C.34 D.33

C2.設Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若2Sn＝3an－3，則a4＝(

) A.27 B.81

C.93 D.243

解析

根據(jù)2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，

兩式相減得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an.

當n＝1時，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，

則a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81.B本課小結：本節(jié)課我們學習了：1.遞推公式；2.前n項和公式.作業(yè)

對于任意數(shù)列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立.試根據(jù)這一結論，完成問題：已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1－an＝2，n∈N*，求通項an；解

當n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)a1＝1也符合上式，所以數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n－1，n∈N*.Q

∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，能力提升…∴(n＋1)an＋1＝nan，∴數(shù)列{nan}是常數(shù)列，解析

∵anan－1＝an－1－an，且各項均不為0，3.(多選題)已知數(shù)列{xn}滿足x1＝a，x2＝b，xn＋1＝xn－xn－1(n≥2)，則下列結論正確的是(

) A.x2020＝a B.x2022＝a－b C.x11＝x2021 D.x1＋x2＋…＋x2020＝2b－a

解析

x1＝a，x2＝b，x3＝x2－x1＝b－a， x4＝x3－x2＝－a，x5＝x4－x3＝－b，x6＝x5－x4＝a－b， x7＝x6－x5＝a＝x1，x8＝x7－x6＝b＝x2， ∴{xn}是周期數(shù)列，周期為6，∴x2020＝x4＝－a，A不正確； x2022＝x6＝a－b，B正確；x2021＝x5＝x11，C正確； x1＋x2＋…＋x2020＝x1＋x2＋x3＋x4＝2b－a，D正確.BCD…，∴(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)又當n＝1時，a1＝－1也符合上式.創(chuàng)新拓展將以上等式兩邊分別相加可得

＝log2(2